coup plus belles, celles de Paris & de Londres. (Le Chevalier de Jaucourt.)
POLYGONATUM, (Botan.) on nomme vulgairement cette plante sceau de Salomon.
Tournefort compte douze especes de ce genre de plante, dont la principale est à larges feuilles, polygonatum latifolium vulgare, C. B. P. 303. I. R. H. 78. en anglois the common broad, leav’d Salomon’s seal.
Sa racine est longue, fibreuse, située transversalement, à fleur de terre, grosse comme le doigt, genouillée d’espace en espace par de gros nœuds fort blancs, d’un goût douçâtre. Elle pousse des tiges à la hauteur d’un à deux piés, rondes, lisses, sans rameaux, un peu recourbées en leur sommité ; d’une odeur agréable, si on les froisse ou qu’on les coupe par morceaux ; revêtues de plusieurs feuilles disposées alternativement, oblongues, larges, assez semblables à celles du muguet ; nerveuses, d’un verd brun luisant en-dessus, & d’un verd de mer en-dessous.
Ses fleurs naissent des aisselles des feuilles le long de la tige, attachées à de courts pédicules, une à une, deux à deux, ou trois à trois, rangées plusieurs de suite du même cote ; chacune de ces fleurs est une cloche alongée en tuyau, & découpée en six crenelures sans culice, de couleur blanche, mais verdâtre dans ses bords.
Quand les fleurs sont tombées, il leur succede des baies grosses comme celles du lierre, presque rondes, un peu molles, vertes, purpurines ou noirâtres, lesquelles renferment ordinairement trois semences grosses comme celles de la vesce, ovales, dures, blanches. Cette plante croît presque par-tout, aux lieux ombrageux, le long des haies, dans les bois & les forêts, ou elle se multiplie par ses racines qui tracent, & dont les nœuds ont une figure approchante de celle d’un sceau ou cachet qu’on y auroit imprimé : elle fleurit en Mai & Juin, & ses baies sont mûres au mois d’Août. Sa racine passe en Médecine appliquée extérieurement pour vulnéraire-astringent. On en tire par sa distillation une eau cosmétique, bonne pour adoucir & embellir la peau. (D. J.)
POLYGONE, s. m.en terme de Géométrie ; se dit d’une figure de plusieurs côtés, ou d’une figure dont le contour ou le périmetre a plus que quatre côtés & quatre angles. Ce mot est formé du grec πολὺ, plusieurs, & γωνία, angle.
Si les côtés & les angles en sont égaux, la figure est appellée polygone régulier. Voyez Régulier. Sur les polygones semblables, voyez Semblable.
On distingue les polygones suivant le nombre de leurs côtés ; ceux qui en ont cinq s’appellent pentagones ; les hexagones en ont six, les heptagones sept, les octogones huit, &c. Sur les propriétés particulieres de chaque polygone, consultes les articles Pentagone, Hexagone, &c.
Propriétés générales des polygones. Euclide démontre les propriétés suivantes : 1°. que tout polygone peut être divisé en autant de triangles qu’il a de côtés. Voyez Triangle.
Ce qui se fait en prenant un point comme F (Pl. Géomet. fig. 28.), en quelqu’en droit que ce soit au-dedans du polygone, d’où l’on tire des lignes à chaque angle Fa, Fb, Fc, Fd, &c.
2°. Que les angles d’un polygone quelconque, pris ensemble, font deux fois autant d’angles droits, moins quatre, que la figure a de côtés ; ce qui est aisé à démontrer ; car tous les triangles font deux fois autant d’angles droits que la figure a de côtés ; & il faut retrancher de cette somme les angles au-tour du point F, qui valent quatre angles droits.
Par conséquent si le polygone a cinq côtés, en doublant on a dix, d’où ôtant quatre, il reste six angles droits.
3°. Tout polygone circonscrit à un cercle, est égal à un triangle rectangle, dont un des côtés est le rayon du cercle, & l’autre est le périmetre ou la somme de tous les côtés du polygone.
D’où il suit que tout polygone régulier est égal à un triangle rectangle, dont un des côtés est le périmetre du polygone, & l’autre côté une perpendiculaire tirée du centre sur l’un des côtés du polygone. Voyez Triangle.
Tout polygone circonscrit à un cercle est plus grand que le cercle, & tout polygone inscrit est plus petit que le cercle, par la raison que ce qui contient est toujours plus grand que ce qui est contenu.
Il suit encore que le périmetre de tout polygone circonscrit à un cercle est plus grand que la circonférence de ce cercle, & que le périmetre de tout polygone inscrit à un cercle est plus petit que la circonférence de ce cercle ; d’où il suit qu’un cercle est égal à un triangle rectangle, dont la base est la circonférence du cercle, & la hauteur est le rayon, puisque ce triangle est plus petit qu’un polygone quelconque circonscrit, & plus grand qu’un inscrit.
C’est pourquoi il n’est besoin pour la quadrature du cercle que de trouver une ligne égale à la circonférence d’un cercle. Voyez Cercle, Quadrature,
Pour trouver l’aire d’un polygone régulier, multipliez un côté du polygone comme AB, par la moitié du nombre des côtés, par exemple le côté d’un hexagone par 3, multipliez encore le produit par une perpendiculaire abaissée du centre du cercle circonscrit sur le côté AB, le produit est l’aire que l’on demande. Voyez Aire.
Ainsi supposons AB = 54, & la moitié du nombre des côtés , le produit ou le demi-périmetre = 135 ; supposant alors que la perpendiculaire soit 29, le produit 3915 de ces deux nombres est l’aire du pentagone cherché.
Pour trouver l’aire d’un polygone irrégulier ou d’un trapèse, résolvez-le en triangle ; déterminez les différentes aires de ces différens triangles (voyez Triangle), la somme de ces aires est l’aire du polygone proposé. Voyez Trapese.
Pour trouver la somme de tous les angles d’un polygone quelconque, multipliez le nombre des côtés par 180d ; ôtez de ce produit le nombre 360, le reste est la somme cherchée.
Ainsi dans un pentagone, 180 multipliés par 5, donne 900 ; d’où soustrayant 360, il reste 540, qui est la somme des angles d’un pentagone ; d’où il suit que si l’on divise la somme trouvée par le nombre des côtés, le quotient sera l’angle d’un polygone régulier.
On trouve la somme des angles d’une maniere plus expéditive, comme il suit : multipliez 180 par un nombre plus petit de deux que le nombre des côtés du polygone, le produit est la quantité des angles cherchés : ainsi 180 multipliés par 3, qui est un nombre plus petit de deux que le nombre des côtés, donne le produit 540 pour la quantité des angles, ainsi que ci-dessus.
La table suivante représente la somme des angles de toutes les figures rectilignes, depuis le triangle jusqu’au dodécagone ; & elle est utile tant pour la description des figures régulieres que pour vérifier si l’on a trouvé exactement ou non la quantité des angles que l’on a pris avec un instrument.
| Nombre des côtés. |
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Somme des angles. |
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Angle des fig. rég. |
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Nombre des côtés. |
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Somme des angles. |
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Angle des fig. rég. |
| III. | 180°. | 60. | VIII. | 1080°. | 135. | |||||
| IV. | 360. | 90. | IX. | 1260. | 140. | |||||
| V. | 540. | 108. | X. | 1440. | 144. | |||||
| VI. | 720. | 120. | XI. | 1620. | 147 . | |||||
| VII. | 900. | 128 . | XII. | 1800. | 150. |
