Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur le Problème de la détermination des orbites des comètes d’après trois observations

Joseph-Louis Lagrange

Sur le Problème de la détermination des orbites des comètes d’après trois observations

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 439-532).

SUR LE PROBLÈME
DE LA
DÉTERMINATION DES ORBITES DES COMÈTES
D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS.

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[Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, années 1778 et 1783^[1].]

PREMIER MÉMOIRE.

Le fameux Problème de la détermination de l’orbite d’une Comète d’après trois observations, sur lequel Newton s’est exercé le premier et dont il ne nous a laissé que des solutions imparfaites, a occupé depuis plusieurs grands Géomètres ; mais leurs efforts n’ont presque abouti jusqu’à présent qu’à varier et à simplifier à quelques égards les méthodes proposées par Newton, sans les rendre plus exactes et plus commodes pour la pratique.

Je me propose d’exposer, dans ce Mémoire, l’état de la question et le résultat des principales recherches qu’on a faites pour la résoudre.

Le Problème, considéré analytiquement, n’a point de difficulté, rien n’étant plus aisé que de le ramener à deux équations algébriques entre deux inconnues. Car chaque observation de la Comète donne immédiatement la position de la droite visuelle qui joint les centres de la Terre et de la Comète ; de sorte qu’en prenant les distances de la Comète à la Terre au temps des deux premières observations pour les deux inconnues du Problème, on peut déterminer algébriquement les lieux de la Comète par rapport aux lieux du Soleil qu’on suppose connus par les Tables. Ayant ainsi la position de deux points de l’orbite de la Comète pour deux instants donnés, on détermine 1^o la position du plan de cette orbite, c’est-à-dire le lieu du nœud et l’inclinaison ; 2^o les distances de la Comète au Soleil, ou les rayons vecteurs de l’orbite, avec l’angle intercepté entre ces rayons ; d’où, par les propriétés connues du mouvement parabolique, on déduit aisément le paramètre de la parabole, la position de son grand axe et l’instant du passage de la Comète par son sommet ou par le périhélie ; et enfin l’expression du temps écoulé entre les deux observations, expression qui, étant égalée à l’intervalle observé, fournit une première équation algébrique.

On trouve ensuite une seconde équation, par le moyen de la troisième observation, en comparant le lieu observé de la Comète avec celui qu’on trouve pour le même instant d’après les propriétés du mouvement parabolique. Et l’on voit même que cette comparaison doit fournir deux équations, l’une relative à la longitude de la Comète, et l’autre à sa latitude ; en sorte qu’il suffit, pour la détermination du Problème, que l’on connaisse seulement la longitude ou la latitude géométrique de la Comète au temps de la troisième observation.

Au lieu d’employer pour inconnues les deux distances de la Comète à la Terre au temps de deux observations, on pourrait prendre d’autres quantités quelconques, pourvu que ces quantités combinées avec les données déterminassent entièrement la position des deux lieux de la Comète dans son orbite autour du Soleil. On pourrait, par exemple, prendre pour inconnues les deux rayons vecteurs de l’orbite, ou les deux longitudes héliocentriques de la Comète, ou, etc. ; ou enfin le lieu du nœud et l’inclinaison de l’orbite à l’écliptique, ce qui paraît au premier aspect plus simple et plus naturel, puisque ces deux dernières quantités sont indépendantes des lieux de la Comète aux temps des observations ; mais il est facile de se convaincre que ce dernier choix des inconnues rendrait le calcul plus long et plus compliqué.

Ayant ainsi réduit le Problème à deux équations algébriques entre deux inconnues, il ne s’agit plus que de traiter ces équations par les règles connues de l’Algèbre il faudra donc éliminer d’abord une des deux inconnues et ensuite résoudre l’équation finale. Mais : 1^o les deux équations, auxquelleson parvient par l’analyse précédente, se présentent sous une forme très-compliquée et embarrassée de radicaux qu’il faudrait faire disparaître avant d’entreprendre l’élimination ; 2^o cette élimination demanderait des calculs très-longs et ferait monter l’équation finale à un degré si élevé qu’il serait absolument impossible d’en tirer aucun parti.

Tels sont les obstacles qui rendent la méthode directe tout à fait impraticable et qui ont forcé les Géomètres à recourir aux méthodes d’approximation. Mais l’approximation même présente de grandes difficultés ; car, pour pouvoir l’employer avec succès, il faut connaître d’avance les premières valeurs approchées des inconnues dont on cherche la valeur exacte ; or dans le Problème des Comètes rien ne peut nous faire connaître à priori ces valeurs approchées dont il faut partir ; ainsi il ne reste qu’à tâcher de simplifier le Problème par le moyen de quelque supposition convenable ; et celle qui se présente le plus naturellement est de regarder la portion de l’orbite décrite dans l’intervalle des trois observations comme rectiligne et parcourue d’un mouvement uniforme. Cette hypothèse doit même paraître d’autant plus plausible qu’elle a été pendant longtemps l’hypothèse favorite des Astronomes, pour le mouvement des Comètes, avant que Newton eût démontré que ces astres étaient soumis aux lois générales du mouvement des planètes, et que leurs orbites étaient à très-peu près paraboliques. Le grand avantage de cette hypothèse est de réduire la recherche des vrais lieux de la Comète, au temps des observations, à des équations du premier degré ; si l’on n’emploie que des observations de la longitude il en faut quatre, ainsi qu’on le voit dans le Problème LVI de l’Arithmétique universelle ; mais en tenant aussi compte des latitudes, trois observations suffisent pour la solution du Problème ; et, ce qu’il y a de singulier, c’est que si l’on prend pour inconnues le lieu du nœud et l’inclinaison de l’orbite, on tombe dans une équation finale du neuvième degré, au lieu qu’en prenant pour inconnues deux distances de la Comète à la Terre, on parvient directement à des équations du premier degré, comme on le voit par la solution que M. Bouguer a donnée le premier de ce Problème dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1733.

Il est visible que l’hypothèse dont il s’agit s’écartera d’autant plus de la vérité que l’arc parcouru par la Comète dans l’intervalle des observations sera plus grand ; mais aussi, par la raison contraire, elle doit s’en approcher d’autant plus que cet arc sera moindre ; ainsi en employant des observations peu distantes entre elles, il semble qu’on pourrait du moins trouver de cette manière les premières valeurs approchées des inconnues du Problème. Mais malheureusement ce moyen si simple d’arriver à ce but est trop défectueux pour qu’on puisse s’en servir sans s’exposer à de très-grandes erreurs. C’est ce que quelques Géomètres ont déjà remarqué et que je me propose de prouver rigoureusement dans le cours de ce Mémoire.

L’hypothèse dont nous venons de parler en renferme réellement deux, l’une que la portion de l’orbite de la Comète soit rectiligne, l’autre qu’elle soit parcourue d’un mouvement uniforme ; voilà pourquoi cette hypothèse seule suffit pour déterminer tout d’un coup les deux inconnues du Problème. Si l’on n’adoptait qu’une partie de cette hypothèse, on ne pourrait alors déterminer qu’une seule inconnue ; et il faudrait chercher l’autre, ou par la résolution directe d’une équation fort élevée, ou par plusieurs fausses positions.

Dans la solution que Newton propose à la fin de son petit Traité De systemate mundi, il regarde l’orbite de la Comète comme rectiligne, mais il suppose que les parties décrites dans les deux intervalles entre les trois observations soient parcourues avec les vitesses réelles que la Comète doit avoir aux temps de la première et de la seconde observation ; vitesses qui par la théorie du mouvement parabolique sont en raison inverse des racines des distances de la Comète au Soleil aux temps de ces observations ; et il emploie la méthode de fausse position pour déterminer une des distances de la Comète à la Terre.

Mais si l’on évite, par ce moyen, une partie de l’inexactitude attachée à l’hypothèse du mouvement rectiligne et uniforme, il y reste néanmoins encore une trop grande source d’erreur pour qu’on puisse l’employer avec succès. C’est apparemment ce qui a engagé Newton à donner une autre solution du Problème des Comètes, entièrement indépendante de l’hypothèse dont il s’agit, et dans laquelle on aurait égard en même temps à la courbure de l’arc parabolique et à la variation du mouvement.

Telle est celle qu’on lit à la fin du troisième Livre des Principes, et dans laquelle le génie inventeur ne brille pas moins que dans le reste de cet admirable Ouvrage.

Newton y donne d’abord un moyen de couper la corde qui sous-tend l’arc parabolique parcouru entre la première et la troisième observation, de manière que les parties soient à très-peu près proportionnelles aux aires parcourues, et par conséquent aux temps employés par la Comète à décrire deux portions quelconques de cet arc ; et il remarque que cette proportion devient rigoureusement exacte, lorsque le point qui sépare les deux parties de l’arc tombe au sommet du diamètre qui partage la corde donnée en deux également. Il détermine ensuite la vitesse avec laquelle la même corde pourrait être parcourue uniformément dans un temps égal à celui que la Comète emploie à décrire l’arc ; enfin il détermine la force accélératrice qui dans le même temps ferait décrire, d’un mouvement uniformément accéléré, une ligne égale à la flèche du même arc, comprise entre le sommet de l’arc et la corde. Newton n’emploie dans ces déterminations d’autres données que la distance du sommet de l’arc au foyer de la parabole, et la longueur de la corde, ou celle de la flèche ; de sorte que, comme par les propriétés de la parabole la flèche est égale au carré de la corde divisée par seize fois la distance du sommet de l’arc au foyer, et que cette distance plus la flèche est égale à la demisomme des distances des extrémités du même arc au foyer, on peut par le moyen de ces Théorèmes déterminer immédiatement le temps employé à décrire l’arc parabolique, par la corde qui sous-tend cet arc, et par la somme des rayons vecteurs qui répondent aux deux extrémités de l’arc. C’est ce que M. Lambert a fait depuis dans son beau Traité De orbitis Cometarum, où il est parvenu à un des Théorèmes les plus élégants et les plus utiles qui aient été trouvés jusqu’ici sur ce sujet, et qui a en même temps l’avantage de s’appliquer aussi aux orbites elliptiques.

Pour en revenir à la solution de Newton, voici comment il la déduit des principes qu’il a posés. Il choisit trois observations de la Comète, dont les intervalles soient peu différents, afin qu’au temps de la seconde observation la Comète se soit trouvée peu éloignée du sommet de l’arc décrit entre la première et la troisième. Il mène, dans un plan qu’il regarde comme celui de l’écliptique, trois droites qui soient les projections des rayons visuels tirés de la Terre à la Comète dans les trois observations, et dont la position est par conséquent connue. Il prend dans la droite qui répond à la seconde observation un point arbitraire pour la projection du lieu de la Comète ; de ce point il coupe, dans la droite qui va au Soleil, une partie égale à la projection de la flèche qui doit soustendre l’arc parcouru dans l’intervalle donné entre la première et la troisième observation ; et par l’extrémité de cette partie coupée il mène une droite dont les parties, coupées par les deux lignes qui sont les projections des rayons visuels dans la première et dans la troisième observation, soient entre elles comme les intervalles entre ces observations et la seconde. Il est visible que cette droite serait la projection de la corde qui sous-tend le véritable arc parabolique décrit par la Comète depuis la première jusqu’à la troisième observation : 1^o si le point pris arbitrairement pour le lieu de la Comète dans l’écliptique au temps de la deuxième observation était le véritable ; 2^o si la Comète au temps de cette observation s’était trouvée précisément au sommet de l’arc ; 3^o si la corde qui sous-tend cet arc était coupée par le rayon vecteur du sommet en deux parties exactement proportionnelles aux temps employés à décrire les deux parties de l’arc qui sont de part et d’autre du sommet. Comme ces deux dernières conditions ont lieu à peu près, Newton se sert de cette première détermination de la corde pour en trouver une plus exacte, au moyen du Théorème qu’il a donné pour couper la corde dans une raison très-approchante de celle des temps.

Connaissant ainsi la longueur et la position de la corde projetée, il en déduit, au moyen des latitudes observées, celles de la véritable corde dans l’orbite, et il compare cette longueur avec celle que la même corde doit avoir pour répondre au temps écoulé entre la première et la troisième observation. Si ces deux quantités s’accordent, c’est une marque que les déterminations précédentes sont exactes ; et il n’y a plus qu’à décrire l’orbite parabolique par la condition qu’elle passe par les deux extrémités de la corde ; ce qui est un Problème déterminé et résoluble par les principes que Newton a établis dans le premier Livre. Mais comme il est presque impossible que cet accord ait lieu dans la première opération, Newton prescrit de réitérer la même opération en prenant deux différents points pour le lieu de la Comète dans l’écliptique au temps de la seconde observation ; ensuite il coupe, dans les cordes projetées, des parties respectivement égales aux erreurs des opérations, et faisant passer un arc de cercle par les points correspondants, il prend l’intersection de cet arc de cercle avec la droite qui est la projection du rayon visuel dans la première ou dans la troisième observation, pour le vrai lieu de la Comète dans l’écliptique au temps de cette observation. De cette manière Newton détermine les lieux de la Comète dans l’écliptique au temps de la première et de la dernière observation, et de là il déduit ensuite par un calcul direct tous les éléments de l’orbite.

Ce procédé de Newton serait sans doute plus exact, si au lieu d’un cercle il faisait passer une ligne parabolique par les points correspondants aux erreurs des différentes opérations ; mais il faudrait alors avoir un plus grand nombre d’erreurs, et par conséquent multiplier davantage les opérations, ce qui allongerait considérablement la recherche dont il s’agit. D’ailleurs Newton ne regarde encore ces résultats que comme des approximations, et il enseigne ensuite à les corriger par des doubles parties proportionnelles.

Telle est en substance la méthode de Newton, que la plupart de ceux qui ont traité le Problème des Comètes après lui ont passée sous silence, ou n’ont regardée que comme une méthode graphique peu exacte et d’un usage difficile. Par le détail où nous venons d’entrer sur cette méthode, il est facile de juger que les difficultés qu’elle renferme naissent du fond même du sujet, et qu’on ne saurait employer plus de sagacité et d’adresse pour les surmonter. Le but de Newton est de réduire le Problème à une seule inconnue, et il y parvient par la considération de la corde qui soustend l’arc parcouru entre la première et la troisième observation, et par le moyen qu’il donne pour la partager en deux parties proportionnelles aux aires paraboliques correspondantes. Si Newton avait voulu se contenter de supposer que le rayon vecteur qui répond à la seconde observation partage la corde en parties proportionnelles aux intervalles de temps entre cette observation et les deux autres, sa solution serait devenue beaucoup plus simple ; mais il a peut-être regardé cette supposition comme trop peu exacte, et il ne s’en est servi que pour trouver une première approximation, qu’il a soin de corriger aussitôt.

Cependant, comme dans toute cette Recherche il ne s’agit à proprement parler que de trouver des valeurs approchées qu’il est facile de corriger ensuite, il paraît qu’on peut s’en tenir à cette supposition, qui revient dans le fond à prendre, à la place des vrais secteurs paraboliques décrits entre les deux premières et les deux dernières observations, les secteurs triangulaires formés par les mêmes rayons vecteurs et par les cordes des arcs parcourus entre ces observations ; car il est aisé de voir que ces secteurs sont exactement en raison des parties de la corde qui sous-tend l’arc entier, décrit entre la première et la troisième observation.

Cette remarque importante est due à M. Lambert, qui en a fait le plus heureux usage dans son Traité déjà cité. Mais, avant de parler de cet Ouvrage, je dois faire mention de celui que M. Euler a donné en 1744 sous le titre de Theoria motus Planetarum et Cometarum, et qui paraît être le prernier où le Problème des Comètes ait été traité analytiquement.

M. Euler suppose d’abord que l’arc parcouru par la Comète dans l’intervalle des observations est très-petit, moyennant quoi il prouve facilement, par la théorie des forces centrales, que dans les points intermédiaires la corde de l’arc est coupée par le rayon vecteur en raison des temps, et il donne une formule assez simple, mais seulement approchée, pour exprimer la flèche correspondante.

D’après ces principes et en prenant pour inconnue la distance de la Comète à la Terre dans la seconde observation, il détermine la position et la longueur de la corde qui sous-tend l’arc parcouru entre la première et la troisième observation ; par conséquent il trouve les lieux de la Comète dans son orbite aux temps de ces observations ; d’où il conclut ensuite tous les éléments de l’orbite.

Jusqu’ici la solution de ill. Euler est analogue à celle de Newton ; mais, pour déterminer la valeur de l’inconnue, M. Euler demande une quatrième observation, et, en comparant le lieu donné par cette observation avec celui que la Comète doit avoir dans le même instant dans l’orbite trouvée, il parvient à la détermination dont il s’agit par la méthode ordinaire de fausse position.

Cette manière de trouver la valeur de l’inconnue est peut-être plus exacte que celle de Newton, surtout si, comme M. Euler le prescrit, on choisit une observation assez distante des premières. Mais en même temps on doit avouer qu’elle est moins directe, puisqu’on y emploie plus de données qu’il ne faut pour la solution complète du Problème.

L’hypothèse de la proportionnalité des parties de la corde aux temps correspondants est aussi la base de la solution que M. Lambert a donnée du Problème des Comètes dans le Traité déjà cité ; mais deux choses distinguent surtout cette solution l’une, c’est le beau Théorème que M. Lambert y donne pour exprimer le temps employé à parcourir un arc quelconque, au moyen de la corde qui sous-tend cet arc et de la somme des deux rayons vecteurs qui répondent aux extrémités du même arc, Théorème qui, par sa simplicité et par sa généralité, doit être regardé comme une des plus ingénieuses découvertes qui aient été faites dans la Théorie du système du monde ; l’autre, c’est le moyen que M. Lambert a imaginé pour se dispenser de tenir compte de la flèche de l’arc parcouru, en considérant la projection des lieux de la Terre et de la Comète sur un plan perpendiculaire à celui dans lequel la Terre, le Soleil et la Comète se trouvent au temps de la seconde observation, et qui est déterminé par les deux lignes qui vont de la Terre au Soleil et à la Comète. Car il est visible que la projection du rayon vecteur de la Comète sur le plan dont il s’agit doit se confondre avec la projection de la ligne visuelle menée de la Terre à la Comète et dont la position est connue par l’observation. D’ailleurs il est clair que si la corde est coupée par le rayon vecteur qui répond à la seconde observation en parties proportionnelles aux intervalles de temps, la projection de cette corde sur un plan quelconque doit être coupée de même par la projection du rayon vecteur. Donc la projection de la corde sur le plan dont nous venons de parler sera coupée en parties proportionnelles aux temps, par la projection de la ligne menée de la Terre à la Comète dans la seconde observation. Il s’ensuit de là qu’il n’y a qu’à prendre pour inconnue la partie de cette ligne projetée qui est comprise entre le lieu de la Terre et le point d’intersection de la corde projetée, et mener par ce point dans le plan de projection une droite telle, qu’elle soit coupée par les lignes visuelles menées de la Terre à la Comète dans la première et dans la troisième observation, et projetées également sur le même plan, de manière que les parties soient proportionnelles aux temps écoulés entre les trois observations. Cette droite sera la projection de la corde, dont on connaîtra par conséquent la position et la grandeur. De là on trouvera les valeurs des deux rayons vecteurs qui joignent cette corde, et enfin le temps que la Comète a dû employer à parcourir l’arc sous-tendu par la même corde. Ce temps étant comparé avec l’intervalle entre la première et la troisième observation donnera une équation qui servira à déterminer l’inconnue.

M. Lambert trouve que, lorsque l’arc parcouru est assez petit, l’équation dont il s’agit ne monte qu’au sixième degré ; mais nous verrons plus bas qu’il est impossible d’abaisser l’équation finale au-dessous du septième degré, quand même on supposerait les intervalles écoulés entre les trois observations infiniment petits. Ayant examiné d’où peut venir l’inexactitude de ce résultat, j’ai reconnu que c’est uniquement parce que M. Lambert prend la distance du point du milieu de la corde au Soleil pour la demi-somme des distances des extrémités de la même corde au Soleil, c’est-à-dire pour la demi-somme des rayons vecteurs ; ce qui n’est pas rigoureusement exact. Il est vrai que l’erreur doit être d’autant moindre que la corde est plus petite, de sorte qu’il semble qu’elle devrait disparaître dans l’infiniment petit ; mais comme cette erreur a toujours une proportion finie avec les autres quantités qui deviennent aussi infiniment petites et d’où dépend la solution du Problème, il n’est pas plus permis de la négliger, qu’il ne le serait de négliger les carrés des différences premières dans les équations différentielles du second ordre.

Au reste M. Lambert ne fait point usage de cette équation approchée, ni même de l’équation générale, pour déterminer l’inconnue. Il abandonne au contraire l’Analyse et lui substitue une construction dans laquelle, au moyen de la description d’une courbe qu’il fait passer par différents points déterminéspar plusieurs opérationssucessives, il détermine les vrais lieux de la Comète et les éléments de son orbite ; ensuite il corrige ces valeurs approchées par la méthode différentielle connue. On trouve cette méthode plus détaillée et appliquée en même temps à différents exemples dans la troisième Partie des Beyträge zum Gebrauche der Mathematik, etc.

Ce que M. Lambert n’a point fait a été entrepris depuis, avec succès, par M. Tempelhoff dans la Pièce qui vient de partager le prix de l’Académie. En partant du même principe de la proportionnalité des parties de la corde aux temps, et en employant le Théorème de $\mathrm {M} .$ Lambert pour déterminer le temps par la corde et par la somme des rayons vecteurs, M. Tempelhoff parvient à une équation finale qui ne contient qu’une seule inconnue et qu’il résout par la méthode ordinaire de fausse position. L’application qu’il a faite de sa solution à la Comète de 1769 en prouve la bonté et l’utilité.

Les découvertes de M. Lambert, dont nous venons de rendre compte, ne sont pas les seules dont la Théorie des Comètes lui ait obligation. Ce Savant a donné depuis dans le volume de l’Académie pour l’année 1771 un moyen très-ingénieux pour trouver directement les distances de la Comète au Soleil dans la seconde observation, en considérant la déviation du lieu apparent de la Comète dans cette observation, par rapport au grand cercle de sphère qui passerait par les deux lieux apparents de la première et de la troisième observation. $\mathrm {M} .$ Lambert remarque que cette déviation est l’effet combiné de la courbure de l’arc parcouru par la Terre et de celle de l’arc parcouru par la Comète dans le même temps. Or la première courbure est connue ; la seconde l’est aussi à très-peu près par la théorie des forces centrales, du moins tant que l’arc est supposé fort petit ; ainsi l’on peut former une équation qui servira à déterminer le vrai lieu de la Comète. M. Lambert réduit le Problème à trouver sur une droite donnée de position un point tel, que la partie déterminée par ce point fasse avec le cube de la distance de ce même point à un autre point, donné hors de la droite dont il s’agit, un solide donné ; et il est facile de se convaincre, en réduisant ce Problème au calcul, qu’il conduit à une équation du septième degré ; ce qui confirme ce que nous avons déjà avancé plus haut touchant la limite du degré de l’équation finale. On trouve un exemple de cette méthode dans les Éphémérides de 1777.

Tels sont les principaux pas que l’on a faits jusqu’ici dans la solution du Problème des Comètes. Comme la solution directe et rigoureuse est impossible, du moins dans l’état d’imperfection où est encore la Théorie des équations, le seul objet qu’on puisse se proposer est de résoudre le Problème par approximation. On ne manque pas de méthodes pour corriger par des approximationssuccessives les premières valeurs trouvées. Ainsi la difficulté ne consiste qu’à parvenir à une première approximation, et c’est le but des différentes méthodes dont nous venons de rendre compte. Mais ces méthodes, quelque ingénieuses qu’elles soient, me paraissent laisser encore beaucoup à désirer. Car : 1^o ces méthodes ne sont pas assez directes, n’étant pas tirées des principes de la question envisagée d’une manière générale et rigoureuse, mais plutôt de considérations particulières et de suppositionsprécaires ; 2^o elles sont assez compliquées et ne peuvent donner que des résultats incertains, puisqu’on n’y apprécie point l’effet des erreurs qui doivent naître des suppositions sur lesquelles elles sont fondées. La seule circonstance, d’où l’on puisse déduire une première approximation, est que les observations soient peu distantes entre elles ; il faut donc faire voir à priori et par la nature même des équations fondamentales du Problème, comment cette supposition seule peut servir à trouver des valeurs approchées des inconnues ; ensuite il faut encore assigner des limites entre lesquelles on soit assuré que doivent tomber les véritables valeurs. Ce n’est qu’en observant ces conditions qu’on peut se flatter de parvenir à une solution satisfaisante du Problème des Comètes ; et c’est l’objet que l’Académie avait eu en vue en proposant ce Problème pour le sujet du dernier prix de Mathématiques. Quoique les deux Pièces couronnées et celles qui ont eu l’accessit aient répandu beaucoup de nouvelles lumières sur cette question, il paraît néanmoins qu’elle n’y a pas été envisagée sous le point de vue dont je viens de parler, et qu’on peut à cet égard la traiter encore comme un sujet entièrement nouveau ; ce sera l’objet d’un autre Mémoire.

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DEUXIÈME MÉMOIRE.

Après avoir donné dans le Mémoire précédent une analyse succincte des différentes méthodes qui ont été proposées jusqu’ici pour la solution du Problème de la détermination des orbites des Comètes d’après trois observations, et fait voir ce que ces méthodes laissent encore à désirer, je me propose dans celui-ci de rendre compte des tentatives que j’ai faites de mon côté pour parvenir à une méthode directe et analytique, qui donne d’abord, et sans tâtonnement, les premières valeurs des inconnues du Problème, et par laquelle on puisse ensuite corriger ces valeurs et les rendre aussi exactes qu’on voudra. Une telle méthode est peut-être le seul but auquel l’état actuel de l’Analyse permette d’atteindre, dans la solution du Problème qui fait l’objet de ces recherches.

1. Je rapporte le lieu de la Comète dans son orbite au plan de l’écliptique et à la ligne des équinoxes, par le moyen de trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ qui aient leur origine dans le centre du Soleil ; $x$ sera l’abscisse prise dans la ligne de l’équinoxe du printemps ; $y$ sera la première ordonnée perpendiculaire à $x$ dans le plan de l’écliptique et dirigée vers l’orient ; $z$ sera la seconde ordonnée perpendiculaire au plan même de l’écliptique, et du côté du pôle boréal. On prendra ces différentes lignes négatives lorsqu’elles auront des directions contraires à celles de l’hypothèse.

Il est visible que la distance de la Comète au Soleil ou le rayon vecteur de son orbite, que je désignerai par $r,$ sera exprimé par

${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

Soient de plus $\mathrm {X,Y}$ l’abscisse et l’ordonnée du lieu de la Terre dans l’écliptique rapportées aux mêmes axes que les $x$ et $y\,;$ on aura de même

$\mathrm {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$

pour la distance de la Terre au Soleil, ou pour le rayon vecteur de l’orbite de la Terre que je désignerai par $\mathrm {R} .$

Enfin soient $\xi ,\eta ,\zeta$ les trois coordonnées rectangles du lieu apparent de la Comète relativement au centre de la Terre, $\xi$ l’abscisse prise depuis le centre de la Terre dans une droite parallèle à celle des équinoxes, $\eta$ l’ordonnée perpendiculaire à $\xi$ dans le plan de l’écliptique, et $\zeta$ l’ordonnée perpendiculaire à l’écliptique ; on aura pareillement

${\sqrt {\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}}$

pour la distance de la Comète à la Terre, que je désignerai par $\rho .$

Et il est facile de concevoir qu’on aura

$x=\mathrm {X} +\xi ,\quad y=\mathrm {Y} +\eta ,\quad z=\zeta .$

Soit maintenant $\mathrm {A}$ la longitude de la Terre au même instant, $\alpha$ la longitude géocentrique de la Comète, et $\beta$ sa latitude géocentrique que nous supposerons boréale ; l’angle $\mathrm {A}$ sera connu par la Théorie du Soleil, et les angles $\alpha$ et $\beta$ le seront par l’observation.

Il est visible qu’on aura

$\mathrm {X=R\cos A,\quad Y=R\sin A} \,;$

ensuite on aura

$\xi =\rho \cos \alpha \cos \beta ,\quad \eta =\rho \sin \alpha \cos \beta ,\quad \zeta =\rho \sin \beta .$

Ces formules sont si connues que je ne crois pas devoir m’arrêter à les démontrer.

2. Faisant donc ces substitutions, on aura

${\begin{aligned}x=&\mathrm {R} \cos \mathrm {A} +\rho \cos \alpha \cos \beta ,\\y=&\mathrm {R} \,\sin \mathrm {A} +\rho \sin \alpha \cos \beta ,\\z=&\rho \sin \beta ,\end{aligned}}$

d’où l’on voit que les trois coordonnées $x,y,z$ ne dépendent que d’une seule inconnue $\rho ,$ qui est la distance de la Comète à la Terre. C’est à quoi se réduisent les données que chaque observation peut fournir. Le reste des données nécessaires pour la solution du Problème dépend de la figure parabolique de l’orbite de la Comète et de l’intervalle de temps écoulé entre les observations.

3. Pour mettre dans nos calculs le plus d’ordre et de clarté qu’il est possible, nous désignerons toujours les mêmes quantités par les mêmes lettres dans chaque observation ; mais nous marquerons celles qui se rapportent à la première observation par un trait, celles qui se rapportent à la seconde par deux traits, et ainsi de suite. De cette manière $x',y',z'$ seront les coordonnées rectangles du lieu de la Comète dans la première observation, $\rho '$ sa distance à la Terre, $\alpha ',\beta '$ sa longitude et sa latitude géocentriques, etc.

4. Cela posé, avant de faire entrer dans le calcul la considération de la parabole, nous commencerons par ne considérer que la condition qui exige que tous les lieux de la Comète soient dans un même plan passant par le Soleil. La manière la plus simple et la plus directe d’exprimer cette condition analytiquement est de considérer l’équation générale d’un plan passant par l’origine des coordonnées, qu’on sait être de cette forme

$z=\mathrm {B} y-\mathrm {C} x,$

et dans laquelle $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ sont deux constantes dépendantes uniquement de la position du plan ; en sorte que si l’on nomme i l’inclinaison du plan dont il s’agit avec le plan des $x$ et $y,$ c’est-à-dire l’inclinaison de l’orbite de la Comète, et $h$ l’angle que l’intersection de ces deux plans fait avec l’axe des $x,$ c’est-à-dire la longitude des nœuds, on a

$\mathrm {B} =\operatorname {tang} i\cos h,\quad \mathrm {C} =\operatorname {tang} i\sin h.$

Substituant donc dans cette équation les valeurs de $x,y,z$ du n^o 2, on aura

$\rho \sin \beta =\mathrm {BR\sin A+B\rho \sin \alpha \cos \beta -CR\cos A-C\rho \cos \alpha \cos \beta } ,$

d’où l’on tire sur-le-champ

$\rho =\mathrm {\frac {BR\sin A-CR\cos A}{\sin \beta -B\sin \alpha \cos \beta +C\cos \alpha \cos \beta }} \,;$

et, substituant cette valeur de $\rho$ dans les mêmes expressions de $x,y,z,$ on aura

${\begin{aligned}x=&\mathrm {R} \mathrm {\frac {\cos A\sin \beta -B\sin(\alpha -A)\cos \beta }{\sin \beta -B\sin \alpha \cos \beta +C\cos \alpha \cos \beta }} ,\\y=&\mathrm {R} \mathrm {\frac {\sin A\sin \beta -C\sin(\alpha -A)\cos \beta }{\sin \beta -B\sin \alpha \cos \beta +C\cos \alpha \cos \beta }} ,\\z=&\mathrm {R} \mathrm {\frac {B\sin A\sin \beta -C\cos A\cos \beta }{\sin \beta -B\sin \alpha \cos \beta +C\cos \alpha \cos \beta }} .\end{aligned}}$

Si donc l’on a trois observations d’une Comète, on aura, en marquant seulement toutes les lettres d’un trait pour la première, de deux pour la seconde et de trois pour la troisième, à l’exception des quantités $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ qui sont les mêmes pour toutes les observations d’une même Comète, on aura, dis-je, les valeurs des coordonnées $x',y',z'\,;x'',y'',z''\,;x''',y''',z''',$ pour les trois lieux de la Comète dans son orbite, exprimées par des quantités toutes connues et par les seules inconnues $\mathrm {B,C} .$

Pour déterminer ces inconnues, il faudra employer la considération du temps écoulé entre les observations ; or si l’on nomme $\theta '$ le temps écoulé entre la première et la seconde observation, ce temps étant exprimé par l’arc du mouvement moyen du Soleil réduit en parties du rayon, et $2\omega$ l’angle parcouru par la Comète autour du Soleil dans le même temps, on a pour la parabole la formule (voyez plus bas le n^o 16)

${\frac {3}{\sqrt {2}}}\theta '=(r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega ){\sqrt {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }}.$

Or on a

$r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},\quad r''={\sqrt {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}},$

et l’on trouve facilement (voyez le n^o 24)

$\cos 2\omega ={\frac {x'x''+y'y''+z'z''}{r'r''}},$

et par conséquent

${\sqrt {rr'}}\cos \omega ={\sqrt {\frac {r'r''+x'x''+y'y''+z'z''}{2}}},$

à cause de

$\cos \omega ={\sqrt {\frac {1+\cos 2\omega }{2}}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et mettant ensuite à la place de $x',y',z'\,;x'',y'',z''$ leurs valeurs en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ on aura une équation dans laquelle il n’entrera que ces deux inconnues.

On trouvera une pareille équation en considérant le temps écoulé entre la seconde observation et la troisième ; et l’on pourra en avoir une troisième en comparant la première et la troisième observation mais comme il n’y a que deux inconnues $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ deux équations suffisent pour les déterminer et c’est à cette détermination qu’est maintenant réduite toute la difficulté du Problème.

Mais pour peu qu’on considère la forme des équations qu’il s’agit de résoudre, on verra aisément que la difficulté dont nous venons de parler est absolument insurmontable, par les méthodes connues ; car quoique ces équations soient algébriques, elle sont néanmoins si compliquées que si l’on voulait prendre la peine de les réduire à une forme rationnelle, et ensuite d’éliminer une des deux inconnues, on parviendrait, après des calculs immenses, à une équation finale d’un degré très-élevé, dont on ne pourrait tirer aucun parti.

Cette manière donc d’envisager le Problème des Comètes, quoiqu’elle paraisse la plus directe et la plus simple, est néanmoins celle qui promet le moins de succès ; et cela, non-seulement à l’égard de la solution rigoureuse, mais aussi à l’égard d’une solution seulement approchée, puisque rien ne saurait faire connaître d’avance les valeurs approchées de l’inclinaison et du lieu du nœud de la Comète, qui sont les deux inconnues qui entrent dans les équations à résoudre.

Si pour parvenir à ces valeurs on voulait faire usage de l’hypothèse du mouvement rectiligne et uniforme dans l’intervalle des trois observations, ainsi qu’en ont usé plusieurs Auteurs, alors il n’y aurait qu’à considérer que dans cette hypothèse les différences des coordonnées

$x''-x',\quad y''-y',\quad z''-z'$

seraient aux différences

$x''-x'',\quad y''-y'',\quad z''-z''$

dans une même raison, qui est celle de l’intervalle écoulé entre les deux premières observations à l’intervalle écoulé entre les deux dernières. De sorte qu’en nommant $\mu$ cette raison qui est connue par les observations, on aura

$x''-x'=\mu (x'''-x''),$

et par conséquent

$x'-(1+\mu )x''+\mu x'''=0\,;$

et de même

$y'-(1+\mu )y''+\mu y'''=0,\quad z'-(1+\mu )z''+\mu z'''=0.$

Il n’y aura donc qu’à substituer dans deux de ces équations (la troisième étant déjà une suite des deux autres, à cause que nous avons précédemment fait entrer dans le calcul la considération de l’orbite plane) les valeurs trouvées ci-dessus de $x',y',\ldots ,$ et l’on aura deux équations rationnelles en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ qui étant délivrées des fractions monteront chacune au troisième degré ; en sorte que l’équation finale montera généralement parlant au neuvième.

Il est possible que cette équation finale s’abaisse d’elle-même à un degré moindre, et même cela paraît nécessaire, puisqu’on sait d’ailleurs que le Problème n’est que du premier degré ; ce qu’on peut aussi démontrer par nos formules, en prenant pour inconnues les distances $\rho ',\rho '',\rho '''$ de la Comète à la Terre aux temps des trois observations.

En effet, si dans les trois équations ci-dessus on substitue pour $x',y',\ldots$ les premières valeurs du n^o 2, qui sont indépendantes de la considération du plan de l’orbite, on aura trois équations linéaires entre les trois inconnues $\rho ',\rho '',\rho ''',$ par lesquelles on pourra déterminer ces inconnues ; de là on aura les valeurs de $x',y',z'\,;x'',y'',z'',$ et les deux équations

$z'=\mathrm {B} y'-\mathrm {C} x',\quad z''=\mathrm {B} y''-\mathrm {C} x''$

donneront ensuite, si l’on veut, les valeurs de $\mathrm {B}$ et de $\mathrm {C}$ qui étaient les inconnues cherchées d’abord.

Mais nous venons plus bas que l’hypothèse sur laquelle est fondée cette solution n’est point admissible, même en supposant les intervalles entre les observations infiniment petits ; de sorte qu’on ne peut pas même employer cette solution pour avoir les premières valeurs approchées des inconnues.

5. Puisque la manière précédente de traiter le Problème des Comètes, en y prenant pour inconnue la position du plan de l’orbite, n’est point propre à fournir une solution approchée ; que, même dans le cas le plus simple, elle conduit à des équations beaucoup plus compliquées qu’il ne faut, il s’ensuit qu’il est nécessaire de s’y prendre autrement pour réduire le Problème en équations ; et comme la condition, que les trois lieux de la Comète soient dans un même plan avec le Soleil, est la plus simple de toutes celles que la question renferme, il paraît naturel de commencer par y satisfaire ; mais il faudra employer pour cela d’autres moyens que ceux dont on a fait usage plus haut.

Je considère donc que si l’on désigne par $t$ et $u$ l’abscisse et l’ordonnée de l’orbite de la Comète, prises dans le plan de cette orbite et ayant leur origine au centre du Soleil, et qu’on cherche à en déduire les coordonnées $x,y,z$ dont l’origine est pareillement au centre du Soleil, on trouvera des expressions de cette forme

$x=at+bu,\quad y=ct+eu,\quad z=ft+gu,$

les coefficients $a,b,c,e,f,g$ étant constants et ne dépendant que de la position du plan de l’orbite par rapport au plan des $x$ et $y,$ et de la position de l’axe des abscisses $t$ par rapport à l’axe des abscisses $x.$

Nous nous dispenserons ici de donner la démonstration de ces formules, qui doit être très-facile pour quiconque est tant soit peu versé dans l’Analyse des courbes ; nous nous contenterons seulement de remarquer que comme, par l’hypothèse, la distance de la Comète au Soleil doit être exprimée par ${\sqrt {t^{2}+u^{2}}},$ il faudra que l’on ait

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}+u^{2}\,;$

par conséquent

$(at+bu)^{2}+(ct+eu)^{2}+(ft+gu)^{2}=t^{2}+u^{2},$

équation qui doit être identique, et d’où l’on tire par conséquent ces trois déterminations

$a^{2}+c^{2}+f^{2}=1,\quad b^{2}+e^{2}+g^{2}=1,\quad ab+ce+fg=0.$

Il ne restera donc plus parmi les six constantes $a,b,c,e,f,g,$ que trois indéterminées ; ce seront celles qui dépendent de la position de la ligne des nœuds de l’orbite, de son inclinaison et de l’angle de l’axe des $t$ avec la ligne des nœuds ; mais il nous suffira, pour le présent, de considérer les formules précédentes sous la forme où elles se présentent.

6. On aura donc, dans chaque observation, trois équations analogues à celles qu’on vient de donner, les coefficients $a,b,c,\ldots$, étant partout les mêmes.

Ainsi, pour trois observations différentes, on aura d’abord ces trois équations

$x'=at'+bu',\quad x''=at''+bu'',\quad x'''=at'''+bu'',$

d’où l’on peut éliminer $a$ et $b.$

Cette élimination faite, et les termes étant ordonnés par rapport à $x',x'',$$x''',$ on aura l’équation

$(t'''u''-t''u''')x'-(t'''u'-t'u''')x''+(t''u'-t'u'')x'''=0.$

On aura de même ces trois autres équations

$y'=ct'+eu',\quad y''=ct''+eu'',\quad y'''=ct'''+eu''',$

d’où, éliminant $c$ et $e,$ on aura

$(t'''u''-t''u''')y'-(t'''u'-t'u''')y''+(t''u'-t'u'')y'''=0\,;$

enfin on aura aussi

$z'=ft'+gu',\quad z''=ft''+gu'',\quad z'''=ft'''+gu''',$

d’où l’on tirera pareillement

$(t'''u''-t''u''')z'-(t'''u'-t'u''')z''+(t''u'-t'u'')z'''=0.$

7. Donc, si l’on fait, pour abréger,

$t''u'-t'u''=\mathrm {L} ,\quad t'''u'-t'u'''=\mathrm {M} ,\quad t'''u''-t''u'''=\mathrm {N} ,$

on aura ces trois équations semblables

$\mathrm {N} x'-\mathrm {M} x''+\mathrm {L} x'''=0,\quad \mathrm {N} y'-\mathrm {M} y''+\mathrm {L} y'''=0,\quad \mathrm {N} z'-\mathrm {M} z''+\mathrm {L} z'''=0.$

Qu’on substitue dans ces équations les valeurs de $x',y',z'$ en $\rho ',$ celles de $x'',y'',z''$ en $\rho '',$ et enfin celles de $x''',y''',z'''$ en $\rho ''',$ données par les formules du n^o 2, en marquant successivement toutes les lettres d’un trait, ou de deux, ou de trois, pour les rapporter à la première observation, à la seconde, ou à la troisième ; on aura, comme l’on voit, trois équations linéaires en $\rho ',\rho '',\rho ''',$ par lesquelles on pourra déterminer ces trois quantités. De sorte que le Problème serait résolu si l’on connaissait les valeurs des trois quantités $\mathrm {L,M,N} ,$ ou seulement leurs rapports, puisqu’en divisant les trois équations par $\mathrm {L} ,$ il ne s’y trouvera que les deux quantités $\mathrm {\frac {M}{L}} ,\mathrm {\frac {N}{L}} .$

8. En effet on aura, par les substitutions dont il s’agit, ces trois équations

${\begin{aligned}\mathrm {N} \rho '\cos \alpha '\cos \beta '&-\mathrm {M} \rho ''\cos \alpha ''\cos \beta ''+\mathrm {L} \rho '''\cos \alpha '''\cos \beta '''\\+&\mathrm {NR'\cos A'-MR''\cos A''+LR'''\cos A'''} =0,\\\mathrm {N} \rho '\sin \alpha '\cos \beta '&-\mathrm {M} \rho ''\sin \alpha ''\cos \beta ''+\mathrm {L} \rho '''\sin \alpha '''\cos \beta '''\\+&\mathrm {NR'\sin A'-MR''\sin A''+LR'''\sin A'''} =0,\\\mathrm {N} \rho '\sin \beta '-\ \mathrm {M} &\rho ''\sin \beta ''+\mathrm {L} \sin \beta '''=0.\end{aligned}}$

Qu’on multiplie la première par $\sin \alpha '''$ et qu’on en retranche la seconde multipliée par $\cos \alpha ''',$ on aura

$\mathrm {N} \rho '\sin(\alpha '''-\alpha ')\cos \beta '-\mathrm {M} \rho ''\sin(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta ''$

$+\mathrm {NR'\sin(\alpha '''-A')-MR''\sin(\alpha '''-A'')+LR'''\sin(\alpha '''-A''')} =0.$

Qu’on multiplie encore la première par $\cos \alpha '''$ et qu’on y ajoute la seconde multipliée par $\sin \alpha ''',$ on aura

$\mathrm {N} \rho '\cos(\alpha '''-\alpha ')\cos \beta '-\mathrm {M} \rho ''\cos(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta ''+\mathrm {L} \rho '''\cos \beta '''$

$+\mathrm {NR'\cos(\alpha '''-A')-MR''\cos(\alpha '''-A'')+LR'''\cos(\alpha '''-A''')} =0.$

Qu’on multiplie maintenant celle-ci par $\sin \beta '''$ et qu’on la retranche de la troisième multipliée par $\cos \beta ''',$ on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {N} \,\rho '\ \left[\sin \beta '\,\cos \beta '''-\cos(\alpha '''-\alpha '\ )\cos \beta '\,\sin \beta '''\right]\\-&\mathrm {M} \rho ''\left[\sin \beta ''\cos \beta '''-\cos(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta ''\sin \beta '''\right]\\-&\mathrm {NR'\cos(\alpha '''-A')\sin \beta '''+MR''\cos(\alpha '''-A'')\sin \beta '''} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\mathrm {LR'''\cos(\alpha '''-A''')\sin \beta '''} =0.\end{aligned}}$

Qu’on multiplie enfin la première réduite, trouvée ci-dessus, par

$\sin \beta ''\cos \beta '''-\cos(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta ''\sin \beta ''',$

et qu’on en retranche l’équation précédente multipliée par

$\sin(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta '',$

on aura, après les réductions,

$\mathrm {N} \rho '\left[\sin(\alpha '''-\alpha ')\cos \beta '''\cos \beta '\sin \beta ''-\sin(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta '''\cos \beta ''\sin \beta '\right.$

${\begin{aligned}\left.-\sin(\alpha ''-\alpha ')\cos \beta ''\cos \beta '\sin \beta '''\right]&\\+\mathrm {N\,R'\ \left[\sin(\alpha '''-A'\ )\cos \beta '''\sin \beta ''-\sin(\alpha ''-A'\ \ )\cos \beta ''\sin \beta '''\right]} &\\-\mathrm {MR''\left[\sin(\alpha '''-A''\,)\cos \beta '''\sin \beta ''-\sin(\alpha ''-A''\ )\cos \beta ''\sin \beta '''\right]} &\\+\mathrm {L\ R''\left[\sin(\alpha '''-A''')\cos \beta '''\sin \beta ''-\sin(\alpha ''-A''')\cos \beta ''\sin \beta '''\right]} &=0.\end{aligned}}$

D’où, en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\gamma &=\sin(\alpha ''\,-\alpha '\,\ )\cos \beta '\ \ \cos \beta ''\ \sin \beta '''\\&+\sin(\alpha '''-\alpha ''\ )\cos \beta ''\ \cos \beta '''\sin \beta '\\&+\sin(\alpha '\ \ -\alpha ''')\cos \beta '''\cos \beta '\ \ \sin \beta ''\end{aligned}}$

on tire

${\begin{aligned}\rho '&=\sin \beta ''\cos \beta '''\\&\times \mathrm {\frac {NR'\sin(\alpha '''-A')-MR''\sin(\alpha '''-A'')+LR'''\sin(\alpha '''-A''')}{N\gamma }} \\&-\cos \beta ''\sin \beta '''\\&\times \mathrm {\frac {NR'\sin(\alpha ''-A')-MR''\sin(\alpha ''-A'')+LR'''\sin(\alpha ''-A''')}{N\gamma }} .\end{aligned}}$

On trouvera de même les valeurs de $\rho ''$ et de $\rho ''',$ et pour cela il n’y aura qu’à changer, dans l’expression précédente, d’abord $\mathrm {N}$ en $-\mathrm {M}$ e $'$ en $''$ et ensuite $\mathrm {N}$ en $\mathrm {L}$ et $'$ en $''',$ et vice versâ.

Donc, si l’on fait de plus

${\begin{aligned}\Gamma '\ \ =&\mathrm {NR'\sin(\alpha '\ -A')-MR''\sin(\alpha '\ \ -A'')+LR'''\sin(\alpha '\ \ -A''')} ,\\\Gamma ''\ =&\mathrm {NR'\sin(\alpha ''\,-A')-MR''\sin(\alpha ''\ -A'')+LR'''\sin(\alpha ''\ -A''')} ,\\\Gamma '''=&\mathrm {NR'\sin(\alpha '''-A')-MR''\sin(\alpha '''-A'')+LR'''\sin(\alpha '''-A''')} ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&\mathrm {\frac {\Gamma '''\sin \beta ''\cos \beta '''-\Gamma ''\sin \beta '''\cos \beta ''}{N\gamma }} ,\\\rho ''\ =&\mathrm {\frac {\Gamma '\ \ \sin \beta '''\cos \beta '\ -\Gamma '''\sin \beta '\cos \beta '''}{-M\gamma }} ,\\\rho '''=&\mathrm {\frac {\Gamma ''\ \sin \beta '\ \ \cos \beta ''-\Gamma '\sin \beta ''\cos \beta '}{L\gamma }} .\end{aligned}}$

Or on a, en général (3),

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=\mathrm {R^{2}+2\rho R\cos(\alpha -A)\cos \beta +\rho ^{2}} \,;$

donc, marquant successivement toutes les lettres d’un trait, de deux, de trois, on aura

${\begin{aligned}r'^{2}\ \ =&\mathrm {R} '^{2}\,\ +2\rho '\ \mathrm {R} '\ \ \cos(\alpha '\ \,-\mathrm {A} '\,\ )\cos \beta '\,\ +\rho '^{2},\\r''^{2}\ =&\mathrm {R} ''^{2}\,+2\rho ''\,\mathrm {R} ''\ \cos(\alpha ''\,-\mathrm {A} ''\ )\cos \beta ''\,+\rho ''^{2},\\r'''^{2}=&\mathrm {R} '''^{2}+2\rho '''\mathrm {R} '''\cos(\alpha '''-\mathrm {A} ''')\cos \beta '''+\rho '''^{2},\\\end{aligned}}$

de sorte que, par la substitution des valeurs précédentes de $\rho ',\rho '',\rho ''',$ on aura celles de $r',r'',r''',$ c’est-à-dire des trois rayons vecteurs de l’orbite.

9. Supposons que dans l’intervalle des trois observations le mouvement de la Comète soit rectiligne et uniforme, il est clair que nommant $\theta '$ l’intervalle entre la première et la seconde, et $\theta ''$ l’intervalle entre la seconde et la troisième, on aura ces deux proportions

$t''-t':t'''-t''=\theta ':\theta '',\quad u''-u':u'''-u''=\theta ':\theta ''\,;$

d’où l’on tire

$t'''={\frac {(\theta '+\theta '')t''-\theta ''t'}{\theta '}},\quad u'''={\frac {(\theta '+\theta '')u''-\theta ''u'}{\theta '}}.$

Qu’on substitue ces valeurs dans les expressions de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {(\theta '+\theta '')(t''u'-t'u'')}{\theta '}}={\frac {\mathrm {L} (\theta '+\theta '')}{\theta '}},\\\mathrm {N} =&-{\frac {\theta ''(t'u''-t''u')}{\theta '}}={\frac {\mathrm {L} \theta ''}{\theta '}}.\end{aligned}}$

Par conséquent $\mathrm {\frac {M}{L}} ={\frac {\theta '+\theta ''}{\theta '}}$ et $\mathrm {\frac {N}{L}} ={\frac {\theta ''}{\theta '}},$ quantités connues par les observations. Dans cette hypothèse donc le Problème ne sera que du premier degré, ce qui s’accorde avec ce que M. Bouguer a trouvé par une autre voie.

10. Mais voyons jusqu’à quel point l’hypothèse dont il s’agit peut s’accorder avec les principes connus du mouvement des Comètes autour du Soleil. Comme on sait que les Comètes sont attirées vers le Soleil en raison inverse du carré des distances et qu’en vertu de cette attraction elles décrivent des orbites à très-peu près paraboliques, il est clair que l’hypothèse du mouvement rectiligne et uniforme doit s’éloigner d’autant plus de la vérité que l’arc décrit par la Comète sera plus grand ; ce n’est donc que dans les arcs très-petits, c’est-à-dire lorsque les intervalles $\theta '$ et $\theta ''$ seront très-petits, qu’on pourra regarder cette hypothèse comme approchante de la vérité, et le maximum d’approximation devra par conséquent avoir lieu dans l’infiniment petit. Or nommant, en général, le temps $\theta ,$ on aura dans l’infiniment petit

$\theta '=d\theta ,\quad \theta ''=d\theta +d^{2}\theta ,$

et de même en désignant par $t$ et $u$ l’abscisse et l’ordonnée qui répondent à la première observation, on aura

${\begin{alignedat}{3}t'\,=&t,\qquad &t''\,=&t\,+dt,\qquad &t'''\,=&t\,+2dt\,+d^{2}t,\\u'=&u,&u''=&u+du,&u'''=&u+2du+d^{2}u\end{alignedat}}$

or l’équation

$t'''={\frac {(\theta '+\theta '')t''-\theta ''t'}{\theta '}}$

se réduit à

${\frac {t'''-t''}{\theta ''}}-{\frac {t''-t'}{\theta '}}=0,$

donc

${\frac {dt+d^{2}t}{d\theta +d^{2}\theta }}-{\frac {dt}{d\theta }}=0,$

ou bien

$d{\frac {dt}{d\theta }}=0,$

et de même l’autre équation en u deviendra

$d{\frac {du}{d\theta }}=0.$

Mais par la Théorie des forces centrales on a, en nommant $\mathrm {F}$ la force attractive du Soleil à la distance $1,$ les deux équations

$d{\frac {dt}{d\theta }}+{\frac {\mathrm {F} td\theta }{r^{3}}}=0,\quad d{\frac {du}{d\theta }}+{\frac {\mathrm {F} ud\theta }{r^{3}}}=0.$

Donc les deux quantités $d{\frac {dt}{d\theta }}$ et $d{\frac {du}{d\theta }}$ ne sont pas nulles, ainsi qu’on le suppose dans l’hypothèse du mouvement rectiligne. On ne pourrait pas dire que, les termes ${\frac {\mathrm {F} td\theta }{r^{3}}}$ et ${\frac {\mathrm {F} ud\theta }{r^{3}}}$ étant infiniment petits du premier ordre, on ne commet, en les négligeant, qu’une erreur infiniment petite car il est visible que les quantités $d{\frac {dt}{d\theta }}$ et $d{\frac {du}{d\theta }}$ sont aussi infiniment petites du premier ordre ; de sorte que ces quantités sont du même ordre que les termes en question, et ont par conséquent avec eux un rapport fini.

En général, on sait par la Théorie du Calcul infinitésimal que lorsqu’on ne considère que deux points consécutifs et infiniment proches d’une courbe, on peut regarder l’arc intercepté comme une ligne droite, mais que cela n’est plus permis lorsqu’on veut considérer trois points consécutifs ; car la position de ces trois points détermine alors la courbure de l’arc, qu’on ne peut regarder comme nulle, à moins qu’il n’y ait là un point d’inflexion ; ce qui n’a point lieu dans les trajectoires décrites par des forces centrales. Voilà la vraie raison métaphysique par laquelle il n’est pas permis de supposer que l’orbite d’une Comète soit rectiligne, même dans un intervalle de temps infiniment petit, dès qu’on veut employer trois observations, c’est-à-dire qu’on veut considérer trois points consécutifs de la même orbite.

M. de Laplace m’a mandé, il y a quelque temps, qu’il avait fait une pareille remarque à l’occasion d’une solution du Problème des Comètes présentée à l’Académie par l’Abbé Boscovich. On trouve au reste, dans le volume des Éphémérides de 1779, un Mémoire de M. Lambert qui contient encore d’autres remarques intéressantes sur l’hypothèse rectiligne et sur les méthodes de MM. Cassini et Bouguer.

11. Pour jeter encore un plus grand jour sur ce que nous venons de démontrer, et pour faire voir en même temps de quelle manière on doit traiter la question, sans manquer à l’exactitude nécessaire, je considère que les abscisses $t',t'',t''',$ ainsi que les ordonnées correspondantes $u',u'',u''',$ peuvent être regardées, en général, comme des fonctions du temps écoulé depuis une époque donnée, et qu’ainsi en nommant $\theta$ le temps de la seconde observation, et par conséquent $\theta -\theta '$ et $\theta +\theta ''$ les temps de la première et de la troisième, les quantités $t'',u''$ deviendront $t',u'$ et $t''',u'''$ en y changeant $\theta$ en $\theta -\theta '$ et $\theta +\theta ''.$

Or on sait que, si $\varphi$ est une fonction quelconque de $\theta$, elle devient

$\varphi -{\frac {d\varphi }{d\theta }}\theta '+{\frac {d^{2}\varphi }{d\theta ^{2}}}{\frac {\theta '^{2}}{2}}-\ldots ,$

lorsque $\theta$ devient $\theta -\theta ',$ et

$\varphi +{\frac {d\varphi }{d\theta }}\theta ''+{\frac {d^{2}\varphi }{d\theta ^{2}}}{\frac {\theta ''^{2}}{2}}+\ldots ,$

lorsque $\theta$ devient $\theta +\theta '.$

Donc on aura

${\begin{aligned}t'\ \ \,=&t''\,-{\frac {dt''\,}{d\theta }}\theta '+{\frac {d^{2}t''\,}{d\theta ^{2}}}{\frac {\theta '^{2}}{2}}-\ldots ,\\u'\ \ =&u''-{\frac {du''}{d\theta }}\theta '+{\frac {d^{2}u''}{d\theta ^{2}}}{\frac {\theta '^{2}}{2}}-\ldots ,\\t'''\,=&t''\,+{\frac {dt''\,}{d\theta }}\theta ''+{\frac {d^{2}t''\,}{d\theta ^{2}}}{\frac {\theta ''^{2}}{2}}+\ldots ,\\u'''=&u''+{\frac {du''}{d\theta }}\theta ''+{\frac {d^{2}u''}{d\theta ^{2}}}{\frac {\theta ''^{2}}{2}}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

Mais on a par la théorie des forces centrales, en prenant $d\theta$ pour constante,

${\frac {d^{2}t''}{d\theta ^{2}}}=-{\frac {\mathrm {F} t''}{r''^{3}}},\quad {\frac {d^{2}u''}{d\theta ^{2}}}=-{\frac {\mathrm {F} u''}{r''^{3}}}.$

Donc les expressions précédentes deviendront

${\begin{aligned}t'\ \ \,=&t''\,-{\frac {dt''\,}{d\theta }}\theta '-{\frac {\mathrm {F} t''\,}{2r''^{3}}}\theta '^{2}-\ldots ,\\u'\ \ =&u''-{\frac {du''}{d\theta }}\theta '-{\frac {\mathrm {F} u''}{2r''^{3}}}\theta '^{2}-\ldots ,\\t'''\,=&t''\,+{\frac {dt''\,}{d\theta }}\theta ''-{\frac {\mathrm {F} t''\,}{2r''^{3}}}\theta ''^{2}+\ldots ,\\u'''=&u''+{\frac {du''}{d\theta }}\theta ''-{\frac {\mathrm {F} u''}{2r''^{3}}}\theta ''^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Il est aisé de voir que, dans l’hypothèse du mouvement rectiligne et uniforme, on ne prend que les deux premiers termes de chacune de ces formules ; en effet si des deux équations

$t'=t''-{\frac {dt''}{d\theta }}\theta ',\quad t'''=t''+{\frac {dt''}{d\theta }}\theta ''$

on élimine ${\frac {dt''}{d\theta }},$ il vient

$t'''={\frac {(\theta '+\theta '')t''-\theta ''t'}{\theta '}},$

et de même si l’on élimines ${\frac {du''}{d\theta }}$ des équations

$u'=u''-{\frac {du''}{d\theta }}\theta ',\quad u'''=u''+{\frac {du''}{d\theta }}\theta '',$

on a

$u'''={\frac {(\theta '+\theta '')u''-\theta ''u'}{\theta '}}\,;$

formules identiques avec celles qu’on a trouvées directement dans l’hypothèse dont il s’agit (8).

Il est donc nécessaire d’avoir égard, dans les valeurs des quantités précédentes, aux termes où les quantités $\theta ',\theta ''$ montent au second degré.

En substituant les valeurs ci-dessus dans les formules du nn^o 7, on trouve

${\begin{aligned}\mathrm {L} =&{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}\theta ',\\\mathrm {M} =&{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}(\theta '+\theta '')\left(1-{\frac {\mathrm {F} \theta '\theta ''}{2r''^{3}}}\right),\\\mathrm {N} =&{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}\theta '',\end{aligned}}$

où le terme ${\frac {\mathrm {F} \theta '\theta ''}{2r''^{3}}}$ est l’effet de la courbure de l’orbite.

Or, quoique ce terme devienne très-petit du second ordre vis-a-vis de $1,$ lorsque $\theta ',\theta ''$ sont des quantités très-petites du premier ordre, il n’est pas néanmoins permis de le négliger dans les valeurs des quantités $\Gamma ',\Gamma '',\Gamma '''$ des expressions de $\rho ',\rho '',\rho '''$ du n^o 8.

En effet si l’on substitue dans ces quantités les valeurs précédentes de $\mathrm {L,M,N} ,$ et qu’on suppose, en général,

$\delta =\theta ''\mathrm {R'\sin(\alpha -A')-(\theta '+\theta '')R''\sin(\alpha -A'')+\theta 'R'''\sin(\alpha -A''')} ,$

qu’ensuite on dénote par $\delta ',\delta '',\delta '''$ les valeurs de $\delta$ correspondantes à $\alpha =\alpha ',\alpha '',\alpha ''',$ on aura

${\begin{aligned}\Gamma '\ \ =&{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}\left[\delta '\ +{\frac {\mathrm {F} (\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''\sin(\alpha '\ \ -\mathrm {A} '')}{2r''^{3}}}\right],\\\Gamma ''\ =&{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}\left[\delta ''\,+{\frac {\mathrm {F} (\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''\sin(\alpha ''\ -\mathrm {A} '')}{2r''^{3}}}\right],\\\Gamma '''=&{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}\left[\delta '''+{\frac {\mathrm {F} (\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''\sin(\alpha '''-\mathrm {A} '')}{2r''^{3}}}\right].\end{aligned}}$

Or en supposant que les intervalles $\theta '$ et $\theta ''$ entre les observations soient très-petits du premier ordre, il est visible que la quantité $(\theta '+\theta '')\theta '\theta ''$ devient très-petite du troisième ordre ; par conséquent on pourra, dans les expressions précédentes, négliger les termes affectés de cette quantité, à moins que dans la même supposition les quantités $\delta ',\delta '',\delta '''$ ne deviennent aussi très-petites du même ordre.

12. Je considère donc que, l’orbite de la Terre étant à très-peu près circulaire et décrite d’un mouvement uniforme, les rayons $\mathrm {R',R'',R'''}$ peuvent être sans erreur sensible supposés égaux, et les différences de longitude du Soleil $\mathrm {A''-A',\ A'''-A''}$ supposées proportionnelles aux intervalles de temps $\theta ',\theta ''\,;$ et ces suppositions seront d’autant plus exactes que ces intervalles seront très-petits.

On aura donc ainsi

$\mathrm {R'=R''=R'''}$

et

$\mathrm {A''-A'} =m\theta ',\quad \mathrm {A'''-A''} =m\theta ''\,;$

par conséquent

$\mathrm {A'=A''} -m\theta ',\quad \mathrm {A'''=A''} +m\theta ''\,;$

et la quantité deviendra

$\delta =\mathrm {R} ''\left[\theta ''\sin(\alpha -\mathrm {A} ''+m\theta ')-(\theta '+\theta '')\sin(\alpha -\mathrm {A} '')\right.$

$\left.+\theta '\sin(\alpha -\mathrm {A} ''-m\theta '')\right].$

Mais $\theta '$ et $\theta ''$ étant très-petits, on a

${\begin{aligned}\sin(\alpha -\mathrm {A} ''+m\theta ')=&\sin(\alpha -\mathrm {A} '')+m\theta '\cos(\alpha -\mathrm {A} '')-{\frac {m^{2}\theta '^{2}}{2}}\sin(\alpha -\mathrm {A} '')\\&-{\frac {m^{3}\theta '^{3}}{6}}\cos(\alpha -\mathrm {A} '')+\ldots ,\\\sin(\alpha -\mathrm {A} ''+m\theta '')=&\sin(\alpha -\mathrm {A} '')-m\theta ''\cos(\alpha -\mathrm {A} '')-{\frac {m^{2}\theta ''^{2}}{2}}\sin(\alpha -\mathrm {A} '')\\&+{\frac {m^{3}\theta ''^{3}}{6}}\cos(\alpha -\mathrm {A} '')+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, substituant et négligeant les quantités des ordres supérieurs au troisième, on aura

$\delta =-{\frac {m^{2}(\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''}{2}}\sin(\alpha -\mathrm {A} ''),$

quantité qui est, comme l’on voit, du troisième ordre.

Donc, faisant successivement $\alpha =\alpha ',\alpha '',\alpha '''$ pour avoir les valeurs de $\delta ',\delta '',\delta ''',$ et substituant ensuite ces valeurs dans les expressions de $\Gamma ',\Gamma '',$$\Gamma '''$ du numéro précédent, on aura

${\begin{aligned}\Gamma '\ \ =&-{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}{\frac {(\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''}{2}}\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right)\sin(\alpha '\ \ -\mathrm {A} ''),\\\Gamma ''\ =&-{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}{\frac {(\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''}{2}}\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right)\sin(\alpha ''\ -\mathrm {A} ''),\\\Gamma '''=&-{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}{\frac {(\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''}{2}}\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right)\sin(\alpha '''-\mathrm {A} '').\end{aligned}}$

Substituant donc ces valeurs ainsi que celles de $\mathrm {L,M,N}$ dans les expressions de $\rho ',\rho '',\rho '''$ du n^o 8, et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mu '\ \ =&\sin \beta ''\ \cos \beta '''\sin(\alpha '''-\mathrm {A} '')-\sin \beta '''\cos \beta ''\ \sin(\alpha ''\,-\mathrm {A} ''),\\\mu ''\ =&\sin \beta '''\cos \beta '\ \ \sin(\alpha '\,\ -\mathrm {A} '')-\sin \beta '\,\ \cos \beta '''\sin(\alpha '''-\mathrm {A} ''),\\\mu '''=&\sin \beta '\ \ \cos \beta ''\ \sin(\alpha ''\,-\mathrm {A} '')-\sin \beta ''\,\cos \beta '\ \ \sin(\alpha '\,\ -\mathrm {A} ''),\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\frac {(\theta '+\theta '')\theta '\mu '}{2\gamma }}\mathrm {R} ''\left({\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}-m^{2}\right),\\\rho ''\ =&-{\frac {\theta '\theta ''\mu ''}{2\gamma \left(1+{\frac {\mathrm {F} \theta '\theta ''}{2r''^{3}}}\right)}}\mathrm {R} ''\left({\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}-m^{2}\right),\\\rho '''=&{\frac {(\theta '+\theta '')\theta ''\mu '''}{2\gamma }}\mathrm {R} ''\left({\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}-m^{2}\right).\end{aligned}}$

Il est visible que ces expressions ne sauraient être réduites davantage, si ce n’est en négligeant dans le dénominateur de $\rho ''$ le terme du second ordre ${\frac {\mathrm {F} \theta '\theta ''}{2r''^{3}}}$ vis-à-vis de $1,$ ce qui donnera

$\rho ''={\frac {\theta '\theta ''\mu ''}{2\gamma }}\mathrm {R} ''\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right).$

Or la quantité $r''$ est donnée en $\rho ''$ par la formule

$r''^{2}=\mathrm {R} ''^{2}+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''+\rho ''^{2}.$

Donc, si l’on fait cette substitution dans la dernière équation, on aura une équation où il n’y aura d’inconnue que $\rho '',$ et qui servira à la déterminer.

13. Soit, pour abréger,

$\lambda ={\frac {\theta '\theta ''\mu ''\mathrm {R} ''}{2\gamma }},$

on aura

$\rho ''=\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right)\lambda \,;$

donc

$\lambda \mathrm {F} =\left(\lambda m^{2}-\rho ''\right)r''^{3}\,;$

prenant les carrés et substituant la valeur de $r''^{2}$ en $\rho ,$ on aura l’équation

$\left(\rho ''-\lambda m^{2}\right)^{2}\left[\mathrm {R} ''^{2}+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''+\rho ''^{2}\right]^{3}-\lambda ^{2}\mathrm {F} ^{2}=0,$

laquelle étant développée et ordonnée par rapport à $\rho ''$ montera au huitième degré.

Or je remarque que $\mathrm {F}$ étant la force attractive du Soleil à la distance $1,$ $\mathrm {\frac {F}{R''^{2}}}$ sera l’action du Soleil sur la Terre à la distance $\mathrm {R} ''\,;$ si donc on regarde l’orbite de la Terre comme circulaire, il faudra que $\mathrm {\frac {F}{R''^{2}}}$ soit égale à la force centrifuge de la Terre ; mais on a supposé que $m$ dénotait la vitesse angulaire de la Terre ; donc sa vitesse réelle sera $m\mathrm {R} '',$ et la force centrifuge ${\frac {m^{2}\mathrm {R} ''^{2}}{\mathrm {R} ''}}=m^{2}\mathrm {R} ''\,;$ donc $\mathrm {\frac {F}{R''^{2}}} =m^{2}\mathrm {R} ''\,;$ donc

$\mathrm {F} =m^{2}\mathrm {R} ''^{3}.$

Mais si l’on veut tenir compte de l’excentricité de l’orbite de la Terre, on remarquera que par les Théorèmes de Newton la même force absolue $\mathrm {F} ,$ qui fait mouvoir la Terre dans une ellipse dont $\mathrm {R} ''$ est le rayon vecteur, pourrait lui faire décrire en même temps un cercle dont le rayon serait égal au demi-axe de l’ellipse, et avec une vitesse égale à celle que la Terre a dans l’ellipse à la même distance du Soleil, c’est-à-dire au sommet du petit axe. Nommant donc $a$ le demi-axe de l’ellipse ou la distance moyenne de la Terre, et $g$ sa vitesse angulaire moyenne, on aura également $\mathrm {F} =g^{2}a^{3}\,;$ or $g$ étant la vitesse angulaire dans le cercle, $ag$ sera la vitesse réelle, laquelle est égale à la vitesse réelle dans l’ellipse au sommet du petit axe ; donc nommant $b$ le demi-petit axe, on aura $bg$ pour la vitesse circulatoire autour du foyer, et ${\frac {bg}{a}}$ pour la vitesse angulaire ; mais par la loi des aires il est visible que les vitesses angulaires sont réciproquement proportionnelles aux carrés des distances ; donc la vitesse angulaire à la distance $\mathrm {R} ''$ sera à la vitesse angulaire ${\frac {bg}{a}}$ à la distance $a,$ comme ${\frac {1}{\mathrm {R} ''^{2}}}$ est à ${\frac {1}{a^{2}}}\,;$ donc

$m={\frac {abg}{\mathrm {R} ''^{2}}}.$

Si l’on prend, pour plus de simplicité, la distance moyenne de la Terre pour l’unité, et qu’on exprime les temps par le mouvement moyen du Soleil, on aura alors

$a=1\quad g=1\,;$

donc

$\mathrm {F} =1,\quad m={\frac {b}{\mathrm {R} ''^{2}}}\,;$

or l’excentricité de l’orbite du Soleil étant

$0{,}0168<{\frac {1}{50}},$

on aura

$b>{\sqrt {1-{\frac {1}{2500}}}}\,;$

donc en prenant $b=1,$ on ne commettra qu’une erreur presque insensible.

Nous ferons donc $\mathrm {F} =1$ et $m={\frac {1}{\mathrm {R} ''^{2}}},$ moyennant quoi le dernier terme de l’équation en $\rho '',$ lequel est $\lambda ^{2}\left(m^{4}\mathrm {R} ''^{6}-\mathrm {F} ^{2}\right),$ deviendra $\lambda ^{2}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{2}}}-1\right),$ et sera par conséquent nul lorsque $\mathrm {R} ''=1,$ c’est-à-dire lorsque la seconde observation aura été faite dans les moyennes distances de la Terre ; mais comme l’orbite de la Terre est presque circulaire, $\mathrm {R} ''$ sera toujours à trèspeu près égal à $1\,;$ par conséquent si le dernier terme de l’équation en $\rho ''$ n’est pas exactement nul, il sera du moins toujours extrêmement petit, et pourra être pris pour nul, d’autant plus qu’il ne s’agit ici que d’une détermination approchée.

L’équation en $\rho ''$ s’abaissera donc par là au septième degré, et aura nécessairement une racine réelle ; et il est facile de se convaincre que cette équation ne pourra s’abaisser davantage ; car son dernier terme sera

$-2\lambda m^{2}\mathrm {R} ''^{6}+6\lambda ^{2}m^{4}\mathrm {R} ''^{5}\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''=$

${\frac {2\lambda }{\mathrm {R} ''^{3}}}\left[-\mathrm {R} ''^{5}+3\lambda \cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''\right],$

quantité qui ne peut être nulle, en général,.

Voilà donc la limite fixée par la nature même du Problème, et au-dessous de laquelle il est impossible de le rabaisser, quelque petits qu’on suppose les intervalles entre les trois observations ; car il est facile de se convaincre que la quantité $\lambda$ demeure toujours finie, même en supposant $\theta '$ et $\theta ''$ infiniment petites, puisqu’alors les différences entre $\alpha ',\alpha '',\alpha '''$ devenant infiniment petites du même ordre, ainsi que celles entre $\beta ',\beta '',\beta '''$ la quantité $\mu ''$ devient infiniment petite du premier ordre, et la quantité $\gamma$ infiniment petite du troisième ; en sorte que $\lambda$ sera nécessairement une quantité finie.

Il est visible que la solution précédente sera entièrement rigoureuse dans l’infiniment petit, mais que son exactitude diminuera à mesure que les intervalles entre les observations seront plus grands ; on pourra cependant l’employer dans tous les cas comme une solution approchée, pour en tirer les premières valeurs des inconnues ; et c’est la seule solution directe dont le Problème proposé soit susceptible. C’est ce que nous confirmerons plus bas par une analyse encore plus rigoureuse.

14. Il n’est pas difficile au reste de ramener cette solution à la Géométrie. Car, ayant tiré la droite infinie $\mathrm {TA}$ (fig. 1) et pris dans cette

triangle avec un côté prolongé à droite

droite la partie $\mathrm {TA} =m^{2}\lambda ,$ qu’on mène par le point $\mathrm {T}$ la droite $\mathrm {TS=R''} ,$ qui fasse l’angle $\mathrm {STA}$ tel que

$\cos \mathrm {STA} =\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta '',$

la question sera réduite à trouver dans la droite $\mathrm {TA}$ un point $\mathrm {C}$ tel que l’on ait

$\mathrm {AC:AT={\overline {TS}}^{3}:{\overline {SC}}^{3}} \,;$

et l’on aura alors $\mathrm {TC} =\rho ''.$

Car il est visible que l’on a par la construction

$\mathrm {SC} ={\sqrt {\mathrm {R} ''^{2}+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''+\rho ''^{2}}}=r'',$

et que la proportion précédente donne

$m^{2}\lambda -\rho '':m^{2}\lambda =\mathrm {R} ''^{3}:r''^{3},$

savoir

$m^{2}\lambda \mathrm {R} ''^{3}=\left(m^{2}\lambda -\rho ''\right)r''^{3}\,;$

mais nous avons vu que $m^{2}\mathrm {R} ''^{3}=\mathrm {F} \,;$ donc

$\lambda \mathrm {F} =\left(m^{2}\lambda -\rho ''\right)r''^{3}\,;$

ce qui est l’équation trouvée dans le n^o  13.

Or $\mathrm {R} ''$ étant la distance de la Terre au Soleil au temps de la seconde observation, $\rho ''$ la distance de la Terre à la Comète et $r''$ le rayon vecteur de la Comète, il est visible que les trois points $\mathrm {T,S,C}$ représenteront les lieux de la Terre, du Soleil et de la Comète au temps de la seconde observation et la solution précédente reviendra à celle que M. Lambert a proposée dans les Mémoires de 1771, et dont nous avons déjà fait mention dans le premier Mémoire. La méthode de M. Lambert est fondée uniquement sur la considération synthétique de l’orbite apparente de la Comète, et n’en est que plus ingénieuse ; mais elle ne fait pas voir que la solution qui en résulte a réellement le dernier degré de simplicité qu’on puisse donner au Problème des Comètes envisagé directement, et il n’y avait qu’une analyse telle que la précédente qui pût lui procurer cet avantage ; sur quoi, voyez les n^os 20 et suivants.

15. Après avoir considéré le Problème des Comètes, pour ainsi dire, dans l’infiniment petit, il est nécessaire de l’envisager sous un point de vue plus général, en supposant les intervalles entre les observations d’une grandeur quelconque.

Pour cela je remarque d’abord que tout se réduit à connaître les valeurs des quantités $\mathrm {L,M,N}$ du n^o  7. Or $t',u'$ étant des coordonnées rectangles du lieu de la Comète dans la première observation, prises du centre du Soleil et dans le plan même de son orbite, et de même $t'',u''$ et $t''',u'''$ étant les coordonnées rectangles des lieux de la Comète dans la seconde et dans la troisième observation, il est facile de voir que la quantité ${\frac {t''u'-t'u''}{2}}$ exprime l’aire du triangle formé par les deux droites menées du centre du Soleil aux lieux de la Comète dans la première et dans la seconde observation et par la corde qui joint ces deux lieux, c’est-à-dire qui sous-tend l’arc parcouru dans l’intervalle des observations ; triangle que nous nommerons dorénavant secteur triangulaire décrit par la Comète ; tandis que nous appellerons secteur parabolique l’espace compris par les mêmes rayons vecteurs et par l’arc parabolique parcouru par la Comète. Pareillement ${\frac {t'''u''-t''u'''}{2}}$ sera le secteur triangulaire décrit pendant l’intervalle de la seconde à la troisième observation, et ${\frac {t'''u'-t'u'''}{2}}$ sera par la même raison le secteur triangulaire décrit depuis la première jusqu’à la troisième observation. Ainsi les quantités $\mathrm {L,N,M}$ ne sont autre chose que le double de ces différents secteurs triangulaires, et toute la difficulté se réduit à déterminer la valeur de $c$es secteurs en connaissant le temps employé à les décrire. Mais il est visible que cette donnée ne suffit pas, et qu’il faut nécessairement y ajouter encore quelque autre quantité relative aux lieux de la Comète dans son orbite ; et nous allons voir qu’en supposant l’orbite parabolique, comme cela a lieu pour les Comètes, il suffit de connaître, outre le temps, encore la somme des deux rayons vecteurs qui comprennent le secteur cherché.

Il est facile de prouver par la Géométrie que, si l’on nomme $2\omega$ l’angle intercepté par les deux rayons vecteurs $r'$ et $r'',$ on aura $r'r''\sin \omega \cos \omega$ pour l’aire du triangle formé par ces deux rayons et par la droite qui joint leurs extrémités, de sorte qu’on aura

$\mathrm {L} =2r'r''\sin \omega \cos \omega .$

Tout se réduit donc à trouver la valeur de l’angle $\omega$ par le temps $\theta '$ employé par la Comète à le parcourir.

Or on sait que dans les sections coniques, décrites en vertu d’une force tendante à l’un des foyers et réciproquement proportionnelle au carré de la distance, le temps employé à parcourir un arc quelconque est toujours proportionnel à l’aire du secteur curviligne divisée par la racine carrée du paramètre, tant que la force attractive absolue demeure la même. Commençonsdonc par déterminer l’aire d’un secteur parabolique.

16. Soit, en général, $r$ le rayon vecteur d’une parabole dont le paramètre soit $4p,$ et soit $\varphi$ l’anomalie correspondante, c’est-à-dire l’angle formé au foyer par le rayon $r$ et par la partie de l’axe comprise entre le foyer et le sommet. On aura

$r={\frac {2p}{1+\cos \varphi }}={\frac {p}{\cos ^{2}{\cfrac {\varphi }{2}}}}$

pour l’équation de la parabole ; donc l’élément du secteur parabolique sera

${\frac {r^{2}d\varphi }{2}}={\frac {p^{2}d\varphi }{2\cos ^{4}{\cfrac {\varphi }{2}}}},$

dont l’intégrale sera

${\frac {p^{2}\sin {\cfrac {\varphi }{2}}}{3\cos ^{3}{\cfrac {\varphi }{2}}}}+{\frac {2p^{2}\sin {\cfrac {\varphi }{2}}}{3\cos {\cfrac {\varphi }{2}}}},$

c’est-à-dire, à cause de $\cos ^{2}{\frac {\varphi }{2}}={\frac {1}{1+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varphi }{2}}}},$

$p^{2}\left(\operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}}+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\varphi }{2}}\right)\,;$

donc le secteur compris entre deux rayons vecteurs $r'$ et $r''$ qui répondent aux anomalies $\varphi '$ et $\varphi ''$ sera exprimé par cette formule

$p^{2}\left[\operatorname {tang} {\frac {\varphi ''}{2}}-\operatorname {tang} {\frac {\varphi '}{2}}+{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\varphi ''}{2}}-\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\varphi '}{2}}\right)\right].$

Or on a

$r'={\frac {p}{\cos ^{2}{\cfrac {\varphi '}{2}}}},\quad r''={\frac {p}{\cos ^{2}{\cfrac {\varphi ''}{2}}}}\,;$

donc, si l’on fait

$\varphi '+\varphi ''=2\psi ,\quad \varphi ''-\varphi '=2\omega ,$

en sorte que $\omega$ soit la moitié de l’angle intercepté entre les deux rayons $r'$ et $r''$ qui renferment le secteur dont il s’agit, on aura d’abord

${\sqrt {\frac {r'}{r}}}={\frac {\cos {\cfrac {\varphi ''}{2}}}{\cos {\cfrac {\varphi '}{2}}}}={\frac {\cos {\cfrac {\psi +\omega }{2}}}{\cos {\cfrac {\psi -\omega }{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tang} {\cfrac {\psi }{2}}\operatorname {tang} {\cfrac {\omega }{2}}}{1+\operatorname {tang} {\cfrac {\psi }{2}}\operatorname {tang} {\cfrac {\omega }{2}}}},$

d’où l’on tire

$\operatorname {tang} {\frac {\psi }{2}}={\frac {{\sqrt {r''}}-{\sqrt {r'}}}{\left({\sqrt {r''}}+{\sqrt {r'}}\right)\operatorname {tang} {\cfrac {\omega }{2}}}}.$

On a de plus

${\sqrt {r'r''}}={\frac {p}{\cos {\cfrac {\varphi '}{2}}\cos {\cfrac {\varphi ''}{2}}}},$

d’où l’on tire

$p={\sqrt {r'r''}}\cos {\frac {\varphi '}{2}}\cos {\frac {\varphi ''}{2}}={\frac {\sqrt {r'r''}}{2}}(\cos \psi +\cos \omega ).$

Mais

${\begin{aligned}\cos \psi =&{\frac {1-\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\psi }{2}}}{1+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\psi }{2}}}}={\frac {\left({\sqrt {r''}}+{\sqrt {r'}}\right)^{2}\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}-\left({\sqrt {r''}}-{\sqrt {r'}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {r''}}+{\sqrt {r'}}\right)^{2}\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}+\left({\sqrt {r''}}-{\sqrt {r'}}\right)^{2}}}\\=&{\frac {(r''+r')\left(\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}-1\right)+2{\sqrt {r'r''}}\left(\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}+1\right)}{(r''+r')\left(\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}+1\right)+2{\sqrt {r'r''}}\left(\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}-1\right)}}\\=&{\frac {2{\sqrt {r'r''}}-(r'+r'')\cos \omega }{r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }},\end{aligned}}$

en substituant la valeur précédente de $\operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}}\,;$ ajoutons à cette quantité $\cos \omega ,$ et l’on aura

$\cos \psi +\cos \omega ={\frac {2{\sqrt {r'r''}}\sin ^{2}\omega }{r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }}\,;$

donc

$p={\frac {r'r''\sin ^{2}\omega }{r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }}.$

Maintenant, puisque

$\operatorname {tang} {\frac {\varphi '}{2}}=\operatorname {tang} {\frac {\psi -\omega }{2}}={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\psi }{2}}-\operatorname {tang} {\cfrac {\omega }{2}}}{1+\operatorname {tang} {\cfrac {\psi }{2}}\operatorname {tang} {\cfrac {\omega }{2}}}},$

si l’on substitue pour $\operatorname {tang} {\frac {\psi }{2}}$ sa valeur trouvée ci-dessus, on aura

$\operatorname {tang} {\frac {\varphi '}{2}}={\frac {{\sqrt {r''}}\cos \omega -{\sqrt {r'}}}{{\sqrt {r''}}\sin \omega }},$

et l’on trouvera de la même manière, à cause de $\varphi ''=\psi +\omega ,$

$\operatorname {tang} {\frac {\varphi ''}{2}}={\frac {{\sqrt {r''}}-{\sqrt {r'}}\cos \omega }{{\sqrt {r'}}\sin \omega }}\,;$

donc

$\operatorname {tang} {\frac {\varphi ''}{2}}-\operatorname {tang} {\frac {\varphi '}{2}}={\frac {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }{{\sqrt {r'r''}}\sin \omega }},$

et

$\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\varphi ''}{2}}-\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\varphi '}{2}}={\frac {\left(r''-{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right)^{3}+\left(r'-{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right)^{3}}{r'r''{\sqrt {r'r''}}\sin ^{3}\omega }}$

$={\frac {\begin{aligned}r'^{3}+r''^{3}-3\left(r'^{2}+r''^{2}\right){\sqrt {r'r''}}\cos \omega +3(r'+r'')r'r''\cos ^{2}\omega &\\-2r'r''{\sqrt {r'r''}}\cos ^{3}\omega &\end{aligned}}{r'r''{\sqrt {r'r''}}\sin ^{3}\omega }}.$

Donc

$3\left(\operatorname {tang} {\frac {\varphi ''}{2}}-\operatorname {tang} {\frac {\varphi '}{2}}\right)+\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\varphi ''}{2}}-\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\varphi '}{2}}$

égale

$3r'r''\left(r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right)\left(1-\cos ^{2}\omega \right)+r'^{3}+r''^{3}$

$-3\left(r'^{2}+r''^{2}\right){\sqrt {r'r''}}\cos \omega +3(r'+r'')r'r''\cos ^{2}\omega -2r'r''{\sqrt {r'r''}}\cos ^{3}\omega ,$

divisé par $r'r''{\sqrt {r'r''}}\sin ^{3}\omega \,;$ ce qui se réduit à cette quantité

${\frac {(r'+r'')^{3}-3(r'+r'')^{2}{\sqrt {r'r''}}\cos \omega +4r'r''{\sqrt {r'r''}}\cos ^{3}\omega }{r'r''{\sqrt {r'r''}}\sin ^{3}\omega }}$

$={\frac {\left(r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right)^{2}\left(r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right)}{r'r''{\sqrt {r'r''}}\sin ^{3}\omega }}.$

Multipliant cette quantité par

${\frac {p^{2}}{3}}={\frac {r'^{2}r''^{2}\sin ^{4}\omega }{3\left(r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right)^{2}}},$

on aura

${\frac {\left(r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right){\sqrt {r'r''}}\sin \omega }{3}}$

pour le secteur parabolique renfermé entre les deux rayons vecteurs $r'$ et $r''$ qui comprennent l’angle $2\omega .$

Cette expression est assez remarquable, parce qu’elle est indépendante du paramètre de la parabole et du lieu du périhélie. M. Lambert est le premier qui l’ait trouvée dans son beau Traité des Orbites des Comètes, d’où j’aurais pu l’emprunter si je n’avais cru faire plaisir aux Géomètres en la déduisant des formules ordinaires de la parabole.

Qu’on divise maintenant la quantité précédente par

${\sqrt {p}}={\frac {{\sqrt {r'r''}}\sin \omega }{\sqrt {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }}},$

on aura une quantité proportionnelle au temps $\theta '$ employé par la Comète à décrire l’angle $2\omega =\varphi ''-\varphi '\,;$ donc

$3K\theta '=\left(r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right){\sqrt {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }},$

le coefficient $\mathrm {K}$ étant le même pour toutes les Planètes et les Comètes qui tournent autour du Soleil. De sorte que, nommant $\mathrm {D}$ le temps périodique d’une Planète quelconque, $\mathrm {A}$ l’aire de l’ellipse décrite par cette Planète et $4\mathrm {P}$ le paramètre de cette ellipse, on aura aussi

$\mathrm {KD={\frac {A}{\sqrt {P}}}} ,$

et par conséquent

$\mathrm {K={\frac {A}{D{\sqrt {P}}}}} .$

En prenant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour l’unité, c’est-à-dire en faisant le demi-grand axe de l’orbite de la Terre $=1$ et le demi-petit axe $=b,$ on a $\mathrm {A} =b\times 180^{\circ }\,;$ de plus on a, par les propriétés de l’ellipse, $p={\frac {b^{2}}{2}}\,;$ donc

$\mathrm {K={\frac {180^{\circ }\times {\sqrt {2}}}{D}}} .$

Donc, si l’on représente le temps par le mouvement moyen du Soleil, on aura $\mathrm {D} =360^{\circ },$ et par conséquent

$\mathrm {K} ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,;$

en sorte que l’équation ci-dessus deviendra

${\frac {3}{\sqrt {2}}}\theta '=\left(r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right){\sqrt {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }},$

où $\theta '$ devra être exprimé par l’arc du mouvement moyen, réduit en parties du rayon.

17. Or nous avons déjà trouvé ( 15)

$\mathrm {L} =2r'r''\sin \omega \cos \omega \,;$

donc, si l’on divise cette quantité par la valeur de ${\sqrt {p}}$ du numéro précédent, on aura

${\frac {\mathrm {L} }{\sqrt {p}}}=2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega {\sqrt {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }},$

et, divisant encore cette équation par celle qu’on a trouvée en dernier lieu, il viendra

${\frac {\mathrm {L} }{3{\sqrt {2p}}}}={\frac {\theta '{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }{r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }}.$

Soit, pour abréger,

$\tau ={\frac {{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }{r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }},$

et, faisant de plus

$r'+r''=2s,$

on aura

${\sqrt {r'r''}}\cos \omega ={\frac {2s\tau }{1-\tau }}\,;$

et, substituant cette valeur dans la dernière équation du numéro précédent, elle deviendra

${\frac {3\theta '}{\sqrt {2}}}=(2s)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {1-3\tau }}{(1-\tau )^{\frac {3}{2}}}}.$

Cette équation, en faisant

$\tau =1-{\frac {2}{3}}\upsilon ,$

se change en celle-ci

$\upsilon =1+{\frac {\theta '^{2}}{12s^{3}}}\upsilon ^{3},$

d’où l’on tirera la valeur de $\upsilon ,$ laquelle ne dépendra, comme l’on voit, que de celle de ${\frac {\theta '^{2}}{s^{3}}}.$

D’où l’on conclura d’abord que, lorsque $\theta '^{2}$ est proportionnel à $s^{3},$ la quantité $\upsilon$ sera constante, ainsi que la quantité $\tau ,$ et que par conséquent $\mathrm {L}$ sera simplement proportionnelle à $\theta '\,;$ d’où résulte le Théorème suivant :

Le secteur triangulaire décrit par la Comète, dans un temps quelconque, est toujours exactement proportionnel à ce temps, lorsque le cube de la somme des deux rayons vecteurs qui comprennent ce secteur est proportionnel au carré du temps.

18. L’équation

$\upsilon =1+{\frac {\theta '^{2}}{12s^{3}}}\upsilon ^{3}$

peut se résoudre par approximation, au moyen des formules que j’ai données dans les Mémoires de 1768 ; et l’on peut avoir, par ces formules, non-seulement la valeur de $\upsilon ,$ mais encore celle d’une puissance quelconque $\upsilon ^{m}.$ Car en faisant, pour abréger,

${\frac {\theta '^{2}}{12s^{3}}}=q,$

et appliquant à l’équation

$\upsilon =1+q\upsilon ^{3}$

les formules du Problème II du Mémoire cité^[2], on aura

${\begin{aligned}\upsilon ^{m}=&1+mq+{\frac {m(m+5)}{2}}q^{2}+{\frac {m(m+7)(m+8)}{2.3}}q^{3}\\&+{\frac {m(m+9)(m+10)(m+11)}{2.3.4}}q^{4}+\ldots ,\end{aligned}}$

et dans le cas de $m=1$

$\upsilon =1+q+3q^{2}+12q^{3}+55q^{4}+\ldots ,$

séries qui seront toujours convergentes tant que $q$ sera $<{\frac {4}{27}},$ et par conséquent tant que

${\frac {\theta '}{s^{3}}}<{\frac {16}{9}}.$

Or, comme la condition de $q<{\frac {4}{27}}$ est aussi celle qui rend réelles toutes les racines de l’équation

$\upsilon =1+q\upsilon ^{3},$

on pourra aussi employer dans ce cas la trisection de l’angle. En effet, si l’on considère l’équation

$\sin 3\nu =3\sin \nu -4\sin 3\nu$

et qu’on la mette sous la forme

${\frac {3\sin \nu }{\sin 3\nu }}=1+{\frac {(2\sin 3\nu )^{2}}{27}}\left({\frac {3\sin \nu }{\sin 3\nu }}\right)^{3},$

on aura, en la comparant à la proposée,

$\upsilon ={\frac {3\sin \nu }{\sin 3\nu }}\quad {\text{et}}\quad \sin 3\nu ={\frac {3{\sqrt {3q}}}{2}}.$

Mais cette solution, ainsi que la précédente, n’aura lieu que tant que ${\frac {\theta '^{2}}{s^{3}}}$ sera $<{\frac {16}{9}}\,;$ dans les autres cas il faudra avoir recours à l’équation primitive

$\upsilon =1+q\upsilon ^{3},$

laquelle n’aura plus qu’une racine réelle.

19. Donc, si l’on fait

$\mathrm {L=T} '{\sqrt {2p}},$

on aura

$\mathrm {T} '=\theta '(3-2\upsilon ),$

et la quantité $\upsilon$ sera déterminée par l’équation

$\upsilon =1+{\frac {\theta '^{2}}{3(r'+r'')^{3}}}\upsilon ^{3},$

laquelle, si

${\frac {\theta '^{2}}{(r'+r'')^{3}}}<{\frac {2}{9}},$

donne, par approximation,

$\upsilon =1+{\frac {\theta '^{2}}{12\left({\cfrac {r'+r''}{2}}\right)^{3}}}+{\frac {\theta ''^{4}}{48\left({\cfrac {r'+r''}{2}}\right)^{6}}}+{\frac {\theta ''^{6}}{144\left({\cfrac {r'+r''}{2}}\right)^{9}}}+\ldots ,$

ou bien, par la trisection de l’angle,

$\upsilon ={\frac {3\sin \nu }{\sin 3\nu }}=1+{\frac {4\sin ^{3}\nu }{\sin 3\nu }},$

en faisant

$\sin 3\nu ={\frac {3\theta '}{4\left({\cfrac {r'+r''}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Si donc on change dans ces formules $\theta '$ en \theta et $r',r''$ en $r'',r'''$ et qu’on dénote par $\mathrm {T} ''$ ce que devient alors la quantité $\mathrm {T} ',$ il est aisé de conclure de ce qu’on a dit dans le n^o 15 qu’on aura pareillement

$\mathrm {N=T''} {\sqrt {2p}}.$

Enfin on aura par la même raison

$\mathrm {M=T'''} {\sqrt {2p}},$

en dénotant par $\mathrm {T} '''$ ce que devient $\mathrm {T} '$ lorsqu’on y change $r''$ en $r'''$ et $\theta '$ en $\theta '+\theta ''.$

Si donc on substitue ces valeurs dans les expressions de $\Gamma ',\Gamma '',\Gamma '''$ du n^o 8, et qu’on fasse, en général,

$\Delta =\mathrm {T''R'\sin(\alpha -A')-T'''R''\sin(\alpha -A'')+T'R'''\sin(\alpha -A''')} ,$

qu’ensuite on dénote par $\Delta ',\Delta '',\Delta '''$ les valeurs de $\Delta$ correspondantes à $\alpha =\alpha ',\alpha '',\alpha ''',$ on aura

$\Gamma '=\Delta '{\sqrt {2p}},\quad \Gamma ''=\Delta ''{\sqrt {2p}},\quad \Gamma '''=\Delta '''{\sqrt {2p}}.$

Donc enfin

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\frac {\Delta '''\sin \beta ''\ \cos \beta '''-\Delta ''\ \sin \beta '''\cos \beta ''}{\mathrm {T} ''\gamma }},\\\rho ''\ =&{\frac {\Delta '\ \ \sin \beta '''\cos \beta '\ \ -\Delta '''\sin \beta '\ \ \cos \beta '''}{-\mathrm {T} '''\gamma }},\\\rho '''=&{\frac {\Delta ''\ \sin \beta '\ \ \cos \beta ''\ -\Delta '\ \ \sin \beta ''\ \cos \beta '}{\mathrm {T} '\gamma }},\end{aligned}}$

la quantité $\gamma$ étant (numéro cité)

${\begin{aligned}\gamma =&\sin(\alpha ''-\alpha ')\cos \beta '\cos \beta ''\sin \beta '''+\sin(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta ''\cos \beta '''\sin \beta '\\&+\sin(\alpha '-\alpha ''')\cos \beta '''\cos \beta '\sin \beta ''.\end{aligned}}$

Telles sont les formules rigoureuses du Problème des Comètes, présentées sous la forme la plus simple et en même temps la plus propre à fournir des approximations directes et faciles.

On se souviendra que dans ces formules $\alpha ',\alpha '',\alpha '''$ sont les trois longitudes de la Comète observées, $\beta ',\beta '',\beta '''$ fi', \beta"' les trois latitudes observées, $\mathrm {A',A'',A'''}$ les trois longitudes de la Terre dans les instants des observations, $\mathrm {R',R'',R'''} ,$ les trois distances de la Terre au Soleil dans les mêmes instants (en prenant la distance moyenne pour l’unité), $\theta ',\theta ''$ les intervalles entre les deux premières et entre les deux dernières observations, ou plutôt les angles du mouvement moyen du Soleil qui répondent à ces intervalles ces quantités sont toutes données par les observations ou par le calcul. Enfin $\rho ',\rho '',\rho '''$ sont les trois distances de la Comète à la Terre, lesquelles sont en même temps les trois inconnues du Problème, et $r',r'',r''',$ sont les trois rayons vecteurs de la Comète dans son orbite autour du Soleil, lesquels dépendent des inconnues $\rho ',\rho '',\rho ''',$ de cette manière (8)

${\begin{aligned}r'^{2}\ \ =&\mathrm {R} '^{2}\ +2\rho '\ \ \mathrm {R} '\ \ \cos(\alpha '\ -\mathrm {A} '\ \ )\cos \beta '\,\ +\rho '^{2},\\r''^{2}\ =&\mathrm {R} ''^{2}\,+2\rho ''\ \mathrm {R} ''\ \cos(\alpha ''-\mathrm {A} ''\ )\cos \beta ''\ +\rho ''^{2},\\r'''^{2}=&\mathrm {R} '''^{2}+2\rho '''\mathrm {R} '''\cos(\alpha '''-\mathrm {A} ''')\cos \beta '''+\rho '''^{2}.\end{aligned}}$

20. Si dans ces trois dernières équations on substitue pour $\rho ',\rho '',\rho '''$ leurs valeurs trouvées plus haut, on aura les valeurs de $r',r'',r'''$ en quantités toutes connues, et en $\mathrm {T',T'',T'''}$ qui dépendent à leur tour de $r',r'',r'''.$

On a donc ainsi trois équations entre les trois inconnues $r',r'',r''',$ dans lesquelles ces inconnues sont mêlées entre elles en sorte qu’il est comme impossible de les dégager. Mais si l’on suppose que les intervalles $\theta ',\theta ''$ entre les observations soient assez petits, ou que du moins on les regarde comme tels pour avoir une première approximation alors on pourra employer les valeurs de $\mathrm {T',T'',T'''}$ en série et ne tenir compte que des puissances de $\theta '$ et $\theta ''$ qui ne passeront pas un certain ordre.

Comme l’on a

$\mathrm {T} '=\theta '(3-2\upsilon ),$

réduisons d’abord la quantité $\upsilon$ à son premier terme qui est $1,$ en y négligeant toutes les puissances de $\theta '\,;$ il viendra

$\mathrm {T} '=\theta ',$

et de même

$\mathrm {T} ''=\theta '',\quad \mathrm {T} '''=\theta '''\,;$

donc

$\mathrm {L} =\theta '{\sqrt {2p}},\quad \mathrm {N} =\theta ''{\sqrt {2p}},\quad \mathrm {M} =(\theta '+\theta ''){\sqrt {2p}}\,;$

donc

$\mathrm {\frac {N}{L}} ={\frac {\theta ''}{\theta '}},\quad \mathrm {\frac {M}{L}} ={\frac {\theta '+\theta ''}{\theta '}}.$

C’est le cas de l’orbite supposée rectiligne (9), dont nous avons démontré l’insuffisance.

Il s’ensuit de là qu’il faut nécessairement tenir compte dans la valeur de $\upsilon$ du terme suivant ${\frac {2\theta '^{2}}{3(r'+r'')^{3}}}.$ Ainsi l’on aura

$\upsilon =1+{\frac {2\theta '^{2}}{3(r'+r'')^{3}}},$

par conséquent

$\mathrm {T} '=\theta '-{\frac {4\theta '^{3}}{3(r'+r'')^{3}}},$

et de même

$\mathrm {T} ''=\theta ''-{\frac {4\theta ''^{3}}{3(r''+r''')^{3}}},\quad \mathrm {T} '''=\theta '+\theta ''-{\frac {4(\theta '+\theta '')^{3}}{3(r'+r''')^{3}}},$

et l’on remarquera que ces valeurs sont exactes, aux cinquièmes dimensions près de $\theta '$ et $\theta ''.$

On fera donc ces substitutions dans la valeur de la quantité $\Delta ,$ et il est clair que la substitution des premiers termes $\theta ',\theta '',\theta '+\theta ''$ donnera la quantité $\delta$ du n^o 11 ; or, comme les valeurs précédentes de $\mathrm {T',T'',T'''}$ sont exactes jusqu’à la quatrième dimension de $\theta '$ et $\theta ''$ inclusivement, pour conserver le même degré d’exactitude dans la valeur de $\Delta ,$ il ne faudra négliger dans celle de $\delta$ que les termesoù les dimensions de $\theta '$ et $\theta ''$ seraient plus hautes que la quatrième. Employant donc les réductions du n^o 12, mais ayant égard de plus dans les valeurs de $\sin(\alpha -\mathrm {A} '),\sin(\alpha -\mathrm {A} ''')$ aux termes affectés de $\theta '^{3}$ et $\theta ''^{3},$ et faisant $m={\frac {1}{\mathrm {R} ''^{3}}}$ (13), on aura

$\delta =-{\frac {(\theta '+\theta '')\theta '\theta ''}{2\mathrm {R} ''^{3}}}\sin(\alpha -\mathrm {A} '')-{\frac {\left(\theta '^{2}+\theta ''^{2}\right)\theta '\theta ''}{6\mathrm {R} ''^{5}}}\cos(\alpha -\mathrm {A} '').$

C’est la première partie de la valeur de $\Delta .$

On substituera ensuite les termes

$-{\frac {4\theta '^{3}}{3(r'+r'')^{3}}},\quad -{\frac {4\theta ''^{3}}{3(r''+r''')^{3}}},\quad -{\frac {4(\theta '+\theta '')^{3}}{3(r'+r''')^{3}}},$

à la place de $\mathrm {T',T'',T'''}$ dans l’expression de $\Delta$, et comme nous ne voulons

avoir égard qu’aux quatrièmes dimensions de $\theta '$ et $\theta '',$ il est visible que dans les valeurs de $\sin(\alpha -\mathrm {A} ')$ et $\sin(\alpha -\mathrm {A} ''')$ il faudra rejeter les termes où ces quantités monteraient à la seconde dimension. On fera donc simplement

$\sin(\alpha -\mathrm {A} ')=\sin(\alpha -\mathrm {A} '')+m\theta '\cos(\alpha -\mathrm {A} '')$

et

$\sin(\alpha -\mathrm {A} ''')=\sin(\alpha -\mathrm {A} '')-m\theta ''\cos(\alpha -\mathrm {A} '')\,;$

et, supposant toujours

$\mathrm {R'''=R''=R'} ,$

on aura pour la seconde partie de $\Delta$ la quantité

${\begin{aligned}&-{\frac {4}{3}}\left[{\frac {\theta '^{3}}{(r'+r'')^{3}}}-{\frac {(\theta '+\theta '')^{3}}{(r'+r''')^{3}}}+{\frac {\theta ''^{3}}{(r''+r''')^{3}}}\right]\mathrm {R} ''\sin(\alpha -\mathrm {A} '')\\&-{\frac {4}{3}}\left[{\frac {\theta '''^{2}}{(r''+r''')^{3}}}-{\frac {\theta '^{2}}{(r'+r'')^{3}}}\right]{\frac {\theta '\theta ''}{\mathrm {R} ''}}\cos(\alpha -\mathrm {A} '').\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait, pour plus de simplicité, ${\frac {\theta ''}{\theta '}}=n,$ et

${\begin{aligned}{\frac {(1+n\ \ )n}{2\mathrm {R} ''^{3}}}&+{\frac {4}{3}}\left[{\frac {1}{(r'+r'')^{3}}}-{\frac {(1+n)^{3}}{(r'+r''')^{3}}}+{\frac {n^{3}}{(r''+r''')^{3}}}\right]\mathrm {R} ''=p,\\{\frac {(1-n^{2})n}{6\mathrm {R} ''^{3}}}&+{\frac {4}{3}}\left[{\frac {n^{2}}{(r''+r''')^{3}}}-{\frac {1}{(r'+r'')^{3}}}\right]{\frac {n}{\mathrm {R} ''}}=q,\end{aligned}}$

on aura cette valeur totale de $\Delta ,$ savoir

$\Delta =-\theta '^{3}p\sin(\alpha -\mathrm {A} '')-\theta '^{4}q\cos(\alpha -\mathrm {A} ''),$

laquelle sera exacte, aux cinquièmes dimensions de $\theta '$ près.

On fera donc successivement $\alpha =\alpha ',\alpha '',\alpha '''$ pour avoir les valeurs de $\Delta ',\Delta '',\Delta ''',$ et l’on substituera ces valeurs, ainsi que celles de $\mathrm {T',T'',T'''} ,$ dans les expressions de $\rho ',\rho '',\rho '''$ du numéro précédent.

Mais, comme dans la valeur de $\Delta$n n’a eu égard qu’à deux puissances successives de $\theta ',$ il faudra en faire de même dans les valeurs de $\mathrm {T',T'',T'''} \,;$ par conséquent, comme les premiers termes de ces quantités sont de la première dimension, il y faudra rejeter les termes de la troisième, ce qui réduira ces quantités à leurs premiers termes $\theta ',n\theta ',(1+n)\theta '.$

Faisant donc, comme dans le n^o 12,

${\begin{aligned}\mu '\ \ =&\sin \beta ''\ \cos \beta '''\sin(\alpha '''-\mathrm {A} '')-\sin \beta '''\cos \beta ''\ \sin(\alpha ''\ -\mathrm {A} ''),\\\mu ''\ =&\sin \beta '''\cos \beta '\ \ \sin(\alpha '\,\ -\mathrm {A} '')-\sin \beta '\ \ \cos \beta '''\sin(\alpha '''-\mathrm {A} ''),\\\mu '''=&\sin \beta '\ \ \cos \beta ''\ \sin(\alpha ''\,-\mathrm {A} '')-\sin \beta ''\ \cos \beta '\ \ \sin(\alpha '\ \ -\mathrm {A} ''),\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}\nu '\ \ =&\sin \beta ''\ \cos \beta '''\cos(\alpha '''-\mathrm {A} '')-\sin \beta '''\cos \beta ''\ \cos(\alpha ''\ -\mathrm {A} ''),\\\nu ''\ =&\sin \beta '''\cos \beta '\ \ \cos(\alpha '\,\ -\mathrm {A} '')-\sin \beta '\ \ \cos \beta '''\cos(\alpha '''-\mathrm {A} ''),\\\nu '''=&\sin \beta '\ \ \cos \beta ''\ \cos(\alpha ''\,-\mathrm {A} '')-\sin \beta ''\ \cos \beta '\ \ \cos(\alpha '\ \ -\mathrm {A} ''),\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&-{\frac {p\mu '\theta '^{2}}{n\gamma }}\ \,-{\frac {q\nu '\theta '^{3}}{n\gamma }},\\\rho ''\ =&{\frac {p\mu ''\theta '^{2}}{(1+n)\gamma }}\ \ +{\frac {q\nu ''\theta '^{3}}{(1+n)\gamma }},\\\rho '''=&-{\frac {p\mu '''\theta '^{2}}{\gamma }}-{\frac {q\nu '''\theta '^{3}}{\gamma }},\end{aligned}}$

valeurs qui sont exactes, à la quatrième dimension de $\theta '$ près.

Or, comme les quantités $\rho ',\rho '',\rho '''$ sont toujours finies, quelque petit que soit l’intervalle de temps $\theta ',$ et que d’ailleurs $p$ et $q$ sont aussi par leur nature des quantités finies, il s’ensuit que les quantités ${\frac {p\mu '\theta '^{2}}{\gamma }},{\frac {p\mu ''\theta '^{2}}{\gamma }},$${\frac {p\mu '''\theta '^{2}}{\gamma }}$ seront nécessairement toujours des quantités finies ; et comme les quantités $\nu ',\nu '',\nu '''$ sont semblables à $\mu ',\mu '',\mu ''',$ on en conclura que ${\frac {p\nu '\theta '^{2}}{\gamma }},$${\frac {p\nu ''\theta '^{2}}{\gamma }},$${\frac {p\nu '''\theta '^{2}}{\gamma }}$ seront pareillement des quantités finies.

D’où l’on voit que les seconds termes des expressions précédentes de $\rho ',\rho '',\rho '''$ seront très-petits de l’ordre de $\theta ',$ et que par conséquent ces expressions seront exactes, aux quantités de l’ordre de $\theta '^{2}$ près.

21. Je considère maintenant que, si les intervalles entre les trois observations sont égaux, ou du moins à très-peu près égaux, on aura $n=1,$ et les quantités $p$ et $q$ deviendront

${\begin{aligned}p=&{\frac {1}{\mathrm {R} ''^{3}}}+{\frac {4}{3}}\left[{\frac {1}{(r'+r'')^{3}}}-{\frac {8}{(r'+r''')^{3}}}+{\frac {1}{(r''+r''')^{3}}}\right]\mathrm {R} '',\\q=&{\frac {4}{3}}\left[{\frac {1}{(r''+r''')^{3}}}-{\frac {1}{(r'+r'')^{3}}}\right]{\frac {1}{\mathrm {R} ''}}.\end{aligned}}$

Je considère ensuite qu’en regardant le rayon vecteur $r''$ de la parabole comme une fonction du temps $\theta$ écoulé depuis une époque quelconque, les rayons vecteurs $r'$ et $r'''$ seront de pareilles fonctions des temps correspondants $\theta -\theta '$ et $\theta +\theta ',$ à cause de $\theta ''=\theta '\,;$ donc on aura, aux quantités de l’ordre de $\theta '^{2}$ près,

$r'=r''-{\frac {dr''}{d\theta }}\theta ',\quad r'''=r''+{\frac {dr''}{d\theta }}\theta '.$

Substituant ces valeurs dans celles de $p$ et $q,$ et négligeant le carré de $\theta ',$ on aura

$p={\frac {1}{\mathrm {R} ''^{3}}}-{\frac {\mathrm {R} ''}{r''^{3}}},\quad q=-{\frac {\mathrm {R} ''}{2r''^{4}}}{\frac {dr''}{d\theta }}\theta ',$

les termes qui renfermeraient la première dimension de $\theta '$ se détruisant dans la quantité $p,$ et les termes sans $\theta '$ se détruisant dans $q.$

Donc, puisque $q$ est déjà de l’ordre de $\theta '$ et que les quantités ${\frac {\nu '\theta '^{3}}{\gamma }},$${\frac {\nu ''\theta '^{3}}{\gamma }},$${\frac {\nu '''\theta '^{3}}{\gamma }}$ sont aussi de l’ordre de $\theta ',$ il s’ensuit que les seconds termes des valeurs de $\rho ',\rho '',\rho '''$ deviendront de l’ordre de $\theta '^{2},$ et par conséquent devront être rejetés.

Ainsi donc on aura simplement

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&-{\frac {\mathrm {R} ''\mu '\ \,\theta '^{2}}{\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right),\\\rho ''\ =&+{\frac {\mathrm {R} ''\mu ''\ \theta '^{2}}{2\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right),\\\rho '''=&-{\frac {\mathrm {R} ''\mu '''\theta '^{2}}{2\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right),\end{aligned}}$

et ces valeurs seront exactes, aux quantités près de l’ordre de $\theta '^{2}.$

Si l’on ne voulait pas supposer $n=1,$ c’est-à-dire les intervalles entre les observations égaux, alors les termes de l’ordre de $\theta '$ ne se détruiraient pas dans les expressions de $\rho ',\rho '',\rho '''\,;$ mais en négligeant ces termes on aurait

$p={\frac {(1+n)n}{2\mathrm {R} ''^{3}}}+{\frac {\mathrm {R} ''}{6r''^{3}}}\left[1-(1+n)^{3}+n^{3}\right]={\frac {(1+n)n\mathrm {R} ''}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right),$

et de là

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&-{\frac {(1+n)n\mathrm {R} ''\mu '\theta '^{2}}{2\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right),\\\rho ''\ =&+{\frac {n\mathrm {R} ''\mu ''\theta '^{2}}{2\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right),\\\rho '''=&-{\frac {(1+n)n\mathrm {R} ''\mu '''\theta '^{2}}{2\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right).\end{aligned}}$

Ces expressions s’accordent avec celles du n^o 12 en y faisant (13)

$\mathrm {F} =1,\quad m={\frac {1}{\mathrm {R} ''^{2}}},$

ce qui pourrait servir à confirmer la bonté de nos calculs ; mais l’analyse précédente fait voir de plus que, si l’on y fait $n=1,$ alors les mêmes expressions qui ne sont exactes, en général, qu’aux quantités de l’ordre de $\theta '$ près, deviennent exactes aux quantités près de l’ordre de $\theta '^{2}\,;$ remarque très-importante pour l’usage de ces formules, et que l’analyse seule pouvait fournir.

22. Si l’on combine l’équation

$\rho ''={\frac {n\mathrm {R} ''\mu ''\theta '^{2}}{2\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)$

avec celle-ci

$r''^{2}=\mathrm {R} ''^{2}+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''+\rho ''^{2},$

on aura, en éliminant $r''^{2},$ une équation en $\rho '',$ laquelle sera essentiellement du huitième degré, mais qui en faisant $\mathrm {R} ''=1$ s’abaissera d’elle-même au septième, comme nous l’avons déjà vu plus haut (13).

Mais il est peut-être plus simple d’éliminer $\rho '',$ pour avoir une équation en $r'',$ laquelle, en faisant

$\lambda ={\frac {n\mathrm {R} ''\mu ''\theta '^{2}}{2\gamma }},$

sera

$\left(r''^{2}-\mathrm {R} ''^{2}\right)r''^{6}-2\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''$

$\times \lambda \left(r''^{3}-\mathrm {R} ''^{4}\right){\frac {r''^{3}}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {\lambda ^{2}}{\mathrm {R} ''^{8}}}\left(r''^{3}-\mathrm {R} ''^{4}\right)^{2}=0.$

Cette équation est évidemment du huitième degré ; mais en supposant $\mathrm {R} ''=1,$ ou bien en mettant simplement $\mathrm {R} ''^{3}$ à la place de $\mathrm {R} ''^{4}$ dans les termes qui contiennent $r''^{3}-\mathrm {R} ''^{4},$ elle deviendra toute divisible par $r''-\mathrm {R} '',$ et s’abaissera par là au septième degré.

Mais, pour n’être pas embarrassé dans le choix des racines de cette équation, et même pour pouvoir trouver avec facilité la racine cherchée, je remarque que par la nature du Problème les deux quantités $r''$ et $\rho ''$ doivent être toutes deux positives.

Donc, en faisant, pour plus de simplicité,

${\frac {n\mathrm {R} ''\mu ''\theta '^{2}}{2\gamma }}=\lambda ,\quad \cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''=\varepsilon ,\quad \mathrm {R} ''=1,$

en sorte que l’on ait

$\rho ''=\lambda \left(1-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)\quad {\text{et}}\quad r''^{2}=1+2\rho ''\varepsilon +\rho ''^{2},$

il faudra :

1^o Que, si $\lambda >0,$ on ait $1-{\frac {1}{r''^{3}}}>0\,;$ donc $r''>1\,;$ donc $\rho ''<\lambda \,;$ donc, si $\varepsilon >0,$ on aura

$r''^{2}<1+2\lambda \varepsilon +\lambda ^{2}\,;$

si $\varepsilon <0,$ alors la quantité

$1+2\rho ''\varepsilon +\rho ''^{2}$

diminue depuis $\rho ''=0$ jusqu’à $\rho ''=-\varepsilon ,$ et ensuite augmente à mesure que $\rho ''$ croît ; donc entre $\rho ''=0$ et $\rho ''=-\varepsilon ,$ on aura $r''<1,$ ce qui ne se peut ; donc $\rho ''$ est nécessairement $>-\varepsilon \,;$ donc aussi $\lambda >-\varepsilon .$ Donc, en

faisant $\rho ''=\lambda ,$ la valeur de $1+2\rho ''\varepsilon +\rho ''^{2}$ sera nécessairement trop grande ; donc aussi

$r''^{2}<1+2\lambda \varepsilon +\lambda ^{2}.$

Donc, en général, si $\lambda >0,$ on aura

$r''>1\quad {\text{et}}\quad <{\sqrt {1+2\lambda \varepsilon +\lambda ^{2}}}.$

2^o Si $\lambda$ est $<0,$ alors $1-{\frac {1}{r''^{3}}}<0\,;$ donc $r''<1\,;$ donc $2\rho ''\varepsilon +\rho ''^{2}<0\,;$ par conséquent $\rho ''<-2\varepsilon \,;$ donc $\varepsilon <0\,;$ or

$\rho ''=-\lambda \left({\frac {1}{r''^{3}}}-1\right)\,;$

donc

$-\lambda \left({\frac {1}{r''^{3}}}-1\right)<-2\varepsilon \,;$

donc

${\frac {1}{r''^{3}}}<1+{\frac {-2\varepsilon }{-\lambda }}\,;$

donc on aura, dans le cas de $\lambda <0,$

$r''<1\quad {\text{et}}\quad >{\frac {1}{\sqrt[{3}]{1+{\cfrac {-2\varepsilon }{-\lambda }}}}}.$

On a donc par là les premières limites de la valeur de $r'',$ qu’on pourra, au moyen de l’équation en $r'',$ resserrer autant que l’on voudra par les méthodes connues.

23. La valeur de $r'',$ qu’on aura trouvée par la résolution de l’équation du numéro précédent, sera la première valeur approchée des trois rayons vecteurs $r',r'',r''',$ si $n$ n’est pas égal à $1,$ parce qu’alors l’équation n’est exacte qu’aux quantités du premier ordre près ; mais si $n=1,$ ou exactement, ou à très-peu près, alors cette valeur de $r''$ sera approchée, aux quantités du second ordre près ; donc, en la substituant dans les expressions de $\rho '$ et $\rho ''$ du n^o 21, on aura les valeurs de $\rho ',\rho '''$ approchées, de même aux quantités du second ordre près ; et de là on aura celles de $r'$ et $r'''$ poussées au même degré d’exactitude par les formules

$r'^{2}=\mathrm {R} '^{2}+2\rho '\mathrm {R} '\cos(\alpha '-\mathrm {A} ')\cos \beta '+\rho '^{2},$

$r'''^{2}=\mathrm {R} '''^{2}+2\rho '''\mathrm {R} '''\cos(\alpha '''-\mathrm {A} ''')\cos \beta '''+\rho '''^{2}.$

Ayant ainsi les premières valeurs approchées des inconnues $r',r'',r''',$ rien ne sera plus facile que d’en trouver de plus exactes au moyen des formules générales du n^o 19, en substituant dans ces formules $r'+\sigma ',$ $r''+\sigma '',$ $r'''+\sigma '''$ à la place de $r',r'',r''',$ et traitant les quantités $\sigma ',\sigma '',\sigma '''$ comme très-petites ; ce qui, en rejetant les dimensions de ces quantités plus hautes que la première, donnera trois équations linéaires en $\sigma ',\sigma '',\sigma '''$ pour la détermination de ces quantités ; et l’on pourra de cette manière pousser l’approximation aussi loin que l’on voudra, en employant dans chaque opération les valeurs de $r',r'',r'''$ trouvées par l’approximation précédente.

L’objet de ce Mémoire n’était que de donner une méthode directe et analytique pour trouver les premières valeurs approchées, et je crois que celle que je viens d’exposer ne laisse à cet égard rien à désirer ; on pourra ensuite corriger ces valeurs par nos formules, ou par les autres méthodes déjà connues.

24. Quant à la détermination des éléments de l’orbite parabolique, elle n’a aucune difficulté, dès qu’on connaît deux lieux de la Comète, avec le temps écoulé dans le passage de l’un à l’autre ; on trouve, dans plusieurs Ouvrages, des méthodes pour y parvenir, soit à l’aide de l’Analyse, soit par la simple Trigonométrie ; mais comme les formules de ce Mémoire fournissent aussi des moyens fort simples pour cet objet, nous croyons devoir montrer comment elles s’appliquent à cette recherche.

Supposons donc qu’on connaisse deux rayons vecteurs $r'$ et $r'',$ avec le temps $\theta '$ écoulé pendant que la Comète a décrit l’arc renfermé entre ces rayons ; on cherchera d’abord la valeur de $\upsilon$ (17) par la résolution de l’équation

$\upsilon =1+{\frac {\theta '^{2}}{12s^{3}}}\upsilon ^{3},$

où

$s={\frac {r'+r''}{2}}\,;$

de là on trouvera l’angle $2\omega$ intercepté entre les deux rayons, par la formule

$\cos \omega ={\frac {{\cfrac {3}{\upsilon }}-2}{\sqrt {r'r''}}}$

du même numéro, à cause de $\tau =1-{\frac {2}{3}}\upsilon .$

Ayant $\omega ,$ on trouvera le paramètre $4p$ par la formule du n^o 16

$p={\frac {r'r''\sin ^{2}\omega }{r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }},$

et la position du périhélie au moyen de l’angle $\varphi '$ que le rayon vecteur $r'$ fait avec celui du périhélie, et qui est donné par la formule du même numéro

$\operatorname {tang} {\frac {\varphi '}{2}}={\frac {{\sqrt {r''}}\cos \omega -{\sqrt {r'}}}{{\sqrt {r''}}\sin \omega }}.$

Il ne reste donc plus qu’à trouver la position du plan de l’orbite par rapport à l’écliptique. Or, si des trois équations

$x=at+bu,\quad y=ct+eu,\quad z=ft+gu$

du n^o 5 on chasse $t$ et $u,$ on aura celle-ci

$z={\frac {(ag-bf)y-(cg-ef)x}{ae-bc}},$

qui est l’équation d’un plan dont la position par rapport au plan des $x$ et $y$ est telle que, si l’on nomme $i$ l’inclinaison des deux plans et $h$ l’angle que l’intersection de ces plans fait avec l’axe des $x,$ on aura

$\operatorname {tang} i\cos h={\frac {ag-bf}{ae-bc}},\quad \operatorname {tang} i\sin h={\frac {cg-ef}{ae-bc}}\,;$

en sorte que $i$ sera l’inclinaison de l’orbite de la Comète, et $h$ la longitude du nœud ascendant.

Or, comme

$(ag-bf)^{2}+(cg-ef)^{2}+(ae-bc)^{2}=$

$\left(a^{2}+c^{2}+f^{2}\right)\left(b^{2}+e^{2}+g^{2}\right)-(ab+ce+fg)^{2}=1$

par les équations de conditions que nous avons vu devoir avoir lieu entre les constantes $a,b,c,\ldots$, (numéro cité), on aura plus simplement

$\sin i\cos h=ag-bf,\quad \sin i\sin h=cg-ef,\quad \cos i=ae-bc.$

Maintenant on a, pour les deux observations,

${\begin{alignedat}{2}x'=&at'+bu',\qquad &x''=&at''+bu'',\\y'=&ct'+eu',\qquad &y''=&ct''+eu'',\\z'=&ft'+gu',\qquad &z''=&ft''+gu'',\end{alignedat}}$

et de là on tirera

${\begin{aligned}x''z'-x'z''=&(ag-bf)(t''u'-t'u''),\\y''z'-y'z''=&(cg-ef)(t''u'-t'u''),\\x''y'-x'y''=&(ae-bc)(t''u'-t'u''),\end{aligned}}$

en sorte qu’on aura

$\sin i\cos h={\frac {x''z'-x'z''}{t''u'-t'u''}},\ \ \sin i\sin h={\frac {y''z'-y'z''}{t''u'-t'u''}},\ \ \cos i={\frac {x''y'-x'y''}{t''u'-t'u''}}.$

Or on a déjà vu (15) que $t''u'-t'u''=2r'r''\sin \omega \cos \omega \,;$ ainsi il ne restera qu’à trouver les valeurs de $x',x'',y',y'',z',z'',$ qu’on aura par les formules du n^o 3 en connaissant $\rho '$ et $\rho ''\,;$ or ces quantités se tireront directement des formules du n^o 19.

De là il s’ensuit aussi qu’on aura

$(t''u'-t'u'')^{2}=(x''z'-x'z'')^{2}+(y''z'-y'z'')^{2}+(x''y'-x'y'')^{2}$

$=\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)\left(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}\right)-(x'x''+y'y''+z'z'')^{2}\,;$

donc

$4r'^{2}r''^{2}\sin ^{2}\omega \cos ^{2}\omega =r'^{2}r''^{2}-(x'x''+y'y''+z'z'')^{2}\,;$

mais

$2\sin \omega \cos \omega =\sin 2\omega \,;$

donc

$\cos 2\omega ={\frac {x'x''+y'y''+z'z''}{r'r''}}\,;$

par où l’on pourra connaitre l’angle $\omega$ sans la résolution de l’équation en $\upsilon .$

25. Nous terminerons ce Mémoire par la remarque suivante qui peut être utile dans quelques occasions. Soit une courbe quelconque $\mathrm {ABC}$ dans laquelle soient pris trois points quelconques $\mathrm {A,B,C} \,;$ et soient tirées les cordes $\mathrm {AB,BC,AC} ,$ et les rayons vecteurs $\mathrm {OA,OB,OC}$ partant d’un centre fixe $\mathrm {O}$ (fig. 2) ; qu’on désigne par $r',r'',r'''$ ces trois rayons,

arc de courbe, corde et longueur de la flêche

et par $\Delta ',\Delta '',\Delta '''$ les trois secteurs triangulaires $\mathrm {AOB,BOC,AOC} \,;$ il est visible que $\Delta '+\Delta ''$ sera égal au quadrilatère $\mathrm {ABCO} \,;$ d’où ôtant le triangle $\mathrm {AOC} =\Delta ''',$ on aura

$\Delta '+\Delta ''-\Delta '''$

pour le triangle $\mathrm {ABC}$ formé par les trois cordes. Or il est facile de prouver par la Géométrie élémentaire que le triangle $\mathrm {ABC}$ est au quadrilatère $\mathrm {ABCO}$ comme $\mathrm {BD}$ est à $\mathrm {BO} \,;$ de sorte qu’en nommant $f$ la flèche $\mathrm {BD} ,$ on aura

${\frac {f}{r''}}={\frac {\Delta '+\Delta ''-\Delta '''}{\Delta '+\Delta ''}}.$

Ainsi l’on aura l’expression générale de la flèche $f,$ dès qu’on connaîtra celles des triangle $\Delta ',\Delta '',\Delta '''.$

Or si l’on nomme $\varphi '$ l’angle $\mathrm {AOB} ,$ $\varphi ''$ l’angle $\mathrm {BOC} ,$ et par conséquent $\varphi '+\varphi ''$ l’angle $\mathrm {AOC} ,$ on a par la Géométrie

$\Delta '={\frac {r'r''\sin \varphi '}{2}},\quad \Delta ''={\frac {r''r'''\sin \varphi ''}{2}},\quad \Delta '''={\frac {r'r'''\sin(\varphi '+\varphi '')}{2}}\,;$

et si l’on aime mieux employer les coordonnées rectangles de la courbe

$\mathrm {ABC} ,$ on aura, en nommant ces coordonnées $t',u'$ pour le point $\mathrm {A} ,$ $t'',u''$ pour le point $\mathrm {B} ,$ $t''',u'''$ pour le point $\mathrm {C} ,$ et supposant que leur origine commune soit au point $\mathrm {O} ,$ on aura, dis-je (15),

$\Delta '={\frac {t''u'-t'u''}{2}},\quad \Delta ''={\frac {t'''u''-t''u'''}{2}},\quad \Delta '''={\frac {t'''u'-t'u'''}{2}}\,;$

enfin, si au lieu d’employer les coordonnées dans le plan de la courbe, on voulait employer d’autres coordonnées rectangles rapportées à un plan quelconque passant par le centre $\mathrm {O} ,$ on nommerait $x',y'$ les coordonnées du point $\mathrm {A} ,$ $x'',y''$ les coordonnées du point $\mathrm {B} ,$ $x''',y'''$ les coordonnées du point $\mathrm {C} ,$ l’origine de ces coordonnées étant toujours au point $\mathrm {O} \,;$ on nommerait de plus $i$ l’inclinaison des deux plans, et l’on aurait par les formules du n^o 24

$\Delta '={\frac {x''y'-x'y''}{2\cos i}},\quad \Delta ''={\frac {x'''y''-x''y'''}{2\cos i}},\quad \Delta '''={\frac {x'''y'-x'y'''}{2\cos i}}.$

---

TROISIÈME MÉMOIRE.
dans lequel on donne une solution directe et générale du problème.

Les Recherches que j’ai données, dans le Volume de 1778, sur la détermination de l’orbite des Comètes, ont fait naître celles que MM. du Séjour et de Laplace ont publiées sur le même sujet dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1779 et 1780 ; et celles-ci ont occasionné encore ce Mémoire.

Mon dessein est moins de donner une nouvelle solution du Problème dont il s’agit que de simplifier et généraliser tout à la fois celle que j’ai donnée dans le second Mémoire. En suivant à peu près la route que j’y ai tracée, je parviens à trois équations finales, qui ont pour inconnues les trois principaux éléments de l’orbite, savoir le paramètre, le grand axe et le lieu du périhélie. Ces équations ne sont à la vérité qu’approchées mais d’un côté on peut les rendre aussi exactes que l’on veut, et de l’autre elles ont l’avantage de se simplifier de plus en plus à mesure qu’on suppose les intervalles entre les observations plus petits ; de sorte qu’elles acquièrent le dernier degré de simplicité que la nature de la question peut comporter, lorsqu’on regarde les intervalles comme infiniment petits. Dans cet état les trois équations dont il s’agit se réduisent à une équation du septième degré et à deux équations linéaires ; mais si l’on fait le grand axe infini, ce qui est le cas de la parabole, alors on a une équation de plus qu’il ne faut ; et cette équation surnuméraire peut servir, si l’on veut, à rabaisser l’équation du septième degré au premier ; ce qui ne doit point paraître surprenant, attendu que dans ce cas le Problème est plus que déterminé par trois lieux observés de la Comète.

Cette solution est peut-être tout ce qu’on peut attendre d’une analyse directe de la question proposée ; et j’ai cru qu’elle intéresserait les Géomètres, indépendamment même de son utilité pour l’Astronomie.

1. Soient $x,y,z$ les trois coordonnées rectangles du lieu d’une Comète par rapport au Soleil, $r$ le rayon vecteur égal à ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$ $t$ le temps et $\mathrm {S}$ la masse du Soleil ; on aura, en vertu de l’attraction ${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}$ de cet astre, les trois équations connues

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {S} x}{r^{3}}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {S} y}{r^{3}}}=0,\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {S} z}{r^{3}}}=0.$

Et comme ces équations ont aussi lieu pour la Terre, si l’on représente le temps $t$ par le mouvement moyen de la Terre ou du Soleil, et qu’on prenne la distance moyenne du Soleil pour l’unité, on aura $\mathrm {S} =1.$ Car on sait par les Théorèmes de Newton que le mouvement angulaire moyen d’une Planète est le même que si elle décrivait un cercle dont le rayon serait égal à sa moyenne distance du Soleil ; or dans ce cas il est visible qu’en prenant les coordonnées $x,y$ dans le plan de l’orbite et supposant le rayon du cercle égal à $1$ et l’angle parcouru égal à $t,$ on aura

$x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=0,$

valeurs qui étant substituées dans les équations ci-dessus donnent $\mathrm {S} =1.$

2. En intégrant les équations précédentes, on aura les valeurs de $x,y,z$ pour un temps quelconque ; ces valeurs sont assez connues et l’on sait que dans les orbites fort allongées, comme celles des Comètes, il est impossible de les exprimer directement en fonction de $t\,;$ mais lorsqu’on ne les demande que pour un intervalle de temps peu considérable, on peut toujours les réduire en suites infinies d’autant plus convergentes que cet intervalle sera plus petit ; et dans ce cas on peut même se passer d’intégration, et parvenir au but par de simples différentiations réitérées.

En effet, en regardant $x,y,z$ comme des fonctions de $t,$ et supposant que $t$ y devienne $t+\theta ,$ $\theta$ étant un angle assez petit, les valeurs de $x,y,z$ deviendront par le Théorème connu

${\begin{aligned}x+{\frac {dx}{dt}}\theta &+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\theta ^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\y+{\frac {dy}{dt}}\theta &+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\theta ^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\z+{\frac {dz}{dt}}\theta &+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\theta ^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots .\end{aligned}}$

De sorte qu’il ne s’agira que d’avoir les valeurs des différences successives de $x,y,z$ déduites des équations proposées ; ce qui ne demande que de simples différentiations et substitutions.

3. Pour faciliter davantage ces opérations, il est bon d’avoir aussi une équation différentielle en $r,$ et pour cela on n’a qu’à remarquer que

$rdr=xdx+ydr+zdz,$

et par conséquent

$d(rdr)=xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.$

Or les équations différentielles du n^o 1 donnent (en faisant $\mathrm {S} =1$)

${\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r}}=0\,;$

et les mêmes équations étant multipliées respectivement par $2dy,\ 2dy,$

$2dz,$ ensuite ajoutées ensemble et intégrées, donnent

${\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {2}{r}}+{\frac {1}{a}}=0,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Donc on aura sur-le-champ cette équation en $r$ et $t$

${\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{a}}=0,$

laquelle étant différentiée pour en chasser la constante $a,$ on aura

${\frac {d^{2}(rdr)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}=0.$

Et si l’on fait, pour plus de simplicité, $r^{2}=s,$ on aura cette équation

${\frac {d^{3}s}{dt^{3}}}+{\frac {1}{s^{\frac {3}{2}}}}{\frac {ds}{dt}}=0.$

Avant d’aller plus loin, nous remarquerons qu’en intégrant cette équation, on a

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-{\frac {2}{\sqrt {s}}}+{\frac {2}{a}}=0\,;$

multipliant par $ds$ et intégrant de nouveau, on aura

${\frac {1}{2}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}-4{\sqrt {s}}+{\frac {2s}{a}}+b=0,$

$a$ et $b$ étant deux constantes. Or cette dernière intégrale donne, en remettant $r^{2}$ à la place de $s,$

$dt={\frac {rdr}{\sqrt {-b+2r-{\frac {r^{2}}{a}}}}}\,;$

d’où il est aisé de conclure que $a$ est le demi-axe de la section conique et $b$ le demi-paramètre. Car en faisant $dr=0,$ on aura pour les deux apsides

$-b+2r-{\frac {r^{2}}{a}}=0,\quad {\text{savoir}}\quad r^{2}-2ar+ab=0\,;$

en sorte que $2a$ sera la somme de la plus grande et de la plus petite distance et $ab$ le produit.

4. Cela posé, nous avons donc (en prenant la distance moyenne du Soleil à la Terre pour l’unité, le mouvement moyen de cet astre pour le temps $t,$ et faisant $r^{2}=s$) ces quatre équations différentielles

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{s^{\frac {3}{2}}}}=0,\ \ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{s^{\frac {3}{2}}}}=0,\ \ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{s^{\frac {3}{2}}}}=0,\ \ {\frac {d^{3}s}{dt^{3}}}+{\frac {1}{s^{\frac {3}{2}}}}{\frac {ds}{dt}}=0.$

Ainsi l’on aura par des différentiations et des substitutions consécutives

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&-{\frac {x}{s^{\frac {3}{2}}}},\\{\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}=&{\frac {3}{2s^{\frac {5}{2}}}}{\frac {ds}{dt}}x-{\frac {1}{s^{\frac {3}{2}}}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{4}x}{dt^{4}}}=&\left({\frac {3}{2s^{\frac {5}{2}}}}{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-{\frac {3.5}{4s^{\frac {7}{2}}}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{s^{3}}}\right)x+{\frac {3}{s^{\frac {5}{2}}}}{\frac {ds}{dt}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{5}x}{dt^{5}}}=&\left(-{\frac {15}{2s^{4}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {9.5}{4s^{\frac {7}{2}}}}{\frac {dsd^{2}s}{dt^{3}}}+{\frac {3.5.7}{8s^{\frac {9}{2}}}}{\frac {ds^{3}}{dt^{3}}}\right)x\end{aligned}}$

$+\left({\frac {9}{2s^{\frac {5}{2}}}}{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-{\frac {9.5}{4s^{\frac {7}{2}}}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{s^{3}}}\right){\frac {dx}{dt}},$

et ainsi de suite.

Et l’on aura de pareilles formules pour les différences de $y$ et $z.$

5. Si donc on fait ces substitutions dans les formules du n^o 2 et qu’après avoir remis $r^{2}$ à la place de $s,$ on suppose, pour abréger,

${\begin{aligned}f=1&-{\frac {\theta ^{2}}{2}}{\frac {1}{r^{3}}}+{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}{\frac {3}{r^{4}}}{\frac {dr}{dt}}+{\frac {\theta ^{4}}{2.3.4}}\left[{\frac {3}{r^{5}}}{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}-{\frac {3.5}{r^{5}}}{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{6}}}\right]\\&-{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}\left[{\frac {3.5}{r^{7}}}{\frac {d(dr}{dt}}+{\frac {9.5}{r^{6}}}{\frac {drd(rdr)}{dt^{3}}}-{\frac {3.5.7}{r^{6}}}{\frac {r^{3}}{t^{3}}}\right]-\ldots ,\\\\g=\theta &-{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}{\frac {1}{r^{3}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2.3.4}}{\frac {6}{r^{4}}}{\frac {dr}{dt}}+{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}\left[{\frac {9}{r^{5}}}{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}-{\frac {9.5}{r^{5}}}{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{6}}}\right]-\ldots ,\end{aligned}}$

on aura

$fx+g{\frac {dx}{dt}},\quad fy+g{\frac {dy}{dt}},\quad fz+g{\frac {dz}{dt}},$

pour les valeurs de $x,y,z$ qui répondent au temps $t+\theta .$

6. On peut trouver de même la valeur de $s$ répondante à $t+\theta \,;$ cette valeur sera représentée par la série

$s+{\frac {ds}{dt}}\theta +{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}{\frac {\theta ^{2}}{2.3}}+\ldots .$

Or l’équation

${\frac {d^{3}s}{dt^{3}}}+{\frac {1}{s^{\frac {3}{2}}}}{\frac {ds}{dt}}=0$

donne les valeurs suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d^{3}s}{dt^{3}}}=&-{\frac {1}{s^{\frac {3}{2}}}}{\frac {ds}{dt}},\\{\frac {d^{4}s}{dt^{4}}}=&-{\frac {1}{s^{\frac {3}{2}}}}{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2s^{\frac {5}{2}}}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}},\\{\frac {d^{5}s}{dt^{5}}}=&{\frac {1}{s^{3}}}{\frac {ds}{dt}}+{\frac {9}{2s^{\frac {5}{2}}}}{\frac {dsd^{2}s}{dt^{2}}}-{\frac {3.5}{4s^{\frac {7}{2}}}}{\frac {ds^{3}}{dt^{3}}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, puisque $s=r^{2},$ si l’on suppose que $r^{2}$ devienne $hr^{2}$ après le temps $t+\theta ,$ on aura

${\begin{aligned}h=1&+\theta {\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2}}{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}{\frac {2}{r^{4}}}{\frac {dr}{dt}}-{\frac {\theta ^{4}}{2.3.4}}\left[{\frac {2}{r^{5}}}{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}-{\frac {6}{r^{5}}}{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}\right]\\&+{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}\left[{\frac {2}{r^{7}}}{\frac {dr}{dt}}+{\frac {18}{r^{6}}}{\frac {drd(rdr)}{dt^{3}}}-{\frac {30}{r^{6}}}{\frac {dr^{3}}{dt^{3}}}\right]+\ldots .\end{aligned}}$

7. On aurait pu aussi déduire cette formule de celles du n^o 5, en remarquant que, comme

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$

on aura la valeur de $hr^{2}$ en mettant $fx+g{\frac {dx}{dt}}$ au lieu de $x,$ $fy+g{\frac {dy}{dt}}$

au lieu de $y$ et $fz+g{\frac {dz}{dt}}$ au lieu de $z\,;$ de sorte que cette valeur sera

$\left(fx+g{\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left(fy+g{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left(fz+g{\frac {dz}{dt}}\right)^{2}$

ou bien

$f^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2fg\left(x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}+z{\frac {dz}{dt}}\right)+g^{2}\left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)\,;$

mais on a

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\quad xdx+ydy+zdz=rdr,$

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=d(rdr)-xd^{2}x-yd^{2}y-zd^{2}z=d(rdr)+{\frac {dt^{2}}{r}}\,;$

donc, substituant et divisant par $r^{2},$ on aura

$h=f^{2}+fg{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}+g^{2}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}\right]\,;$

et mettant pour $f$ et $g$ leurs valeurs, il viendra la même formule que nous venons de trouver par une voie plus simple et plus directe.

8. Regardons maintenant la quantité $t$ comme constante et $\theta$ comme variable, il est clair que les quantités

$x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},r{\frac {dr}{dt}},{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}},$

qui sont des fonctions de $t,$ seront aussi constantes par rapport à $\theta \,;$ ainsi l’on aura, par les formules des numéros précédents, les valeurs des coordonnées $x,y,z$ et du rayon vecteur $r$ en fonction de ces dernières constantes et de la variable, et ces valeurs seront d’autant plus exactes que l’angle $\theta$ sera plus petit.

Or, puisque (7)

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},\quad {\frac {rdr}{dt}}={\frac {xdx+ydy+zdz}{dt}},$

${\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r}},$

on voit que ces différentes constantes se réduisent à ces six $x,y,z,{\frac {dx}{dt}},$

${\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ lesquelles dépendent de la vitesse et de la direction du corps, lorsque $\theta =0\,;$ de sorte que les formules du n^o 5 sont en effet les intégrales complètes des trois équations différentielles du n^o 1, en y supposant $dt=d\theta ,$ mais intégrales en série et seulement approchées.

9. Les mêmes constantes déterminent aussi les éléments de l’orbite. Car en nommant, comme dans le n^o 3, $a$ le demi-grand axe de l’orbite et $b$ le demi-paramètre, on a d’abord

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{r}}-{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}},\quad b=2r-{\frac {r^{2}}{a}}-r^{2}{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}.$

Ensuite, si l’on nomme $\varphi$ l’angle du rayon $r$ avec la ligne du périhélie, on aura, par la nature des sections coniques,

${\frac {b}{r}}=1+e\cos \varphi ,$

$e$ étant l’excentricité de l’orbite, $={\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}.$

D’où l’on voit que les trois quantités $r,{\frac {dr}{dt}},{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}$ donnent immédiatement les dimensions de l’orbite et la position du périhélie sur l’orbite ; en sorte qu’il sera facile de calculer par les formules connues le temps du passage par le périhélie.

Lorsque l’orbite est parabolique, comme le sont à peu près celles des Comètes, on a $a=\infty \,;$ donc

${\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}={\frac {1}{r}}\,;$

ce qui simplifie les expressions de $f,g,h.$

À l’égard de la position du plan de l’orbite, si l’on nomme $\varpi$ l’inclinaison par rapport au plan des $x$ et $y,$ et $\psi$ l’angle de la ligne des nœuds avec l’axe des $x,$ on aura par les formules connues

$\operatorname {tang} \varpi \sin \psi ={\frac {ydz-zdy}{xdy-ydx}},\quad \operatorname {tang} \varpi \cos \psi ={\frac {xdz-zdx}{xdy-ydx}}.$

.

10. Ces préliminaires posés, venons à la solution du Problème de la détermination de l’orbite d’une Comète par trois observations peu éloignées entre elles.

Soit $\rho$ la distance rectiligne de la Comète à la Terre au bout d’un temps quelconque $t+\theta ,$ et soient $\alpha \rho ,\beta \rho ,\gamma \rho$ les trois coordonnées rectangles du lieu apparent de la Comète par rapport au centre de la Terre ; en sorte que l’on ait

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.$

Il est clair que ces quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ déterminent simplement la position de la ligne $\rho ,$ c’est-à-dire la direction du rayon visuel de la Comète ; elles seront par conséquent données par chaque observation de la Comète.

Soient de plus $\mathrm {R}$ la distance du Soleil à la Terre, et $\mathrm {AR,BR,CR}$ les coordonnées du lieu du Soleil par rapport à la Terre, en sorte que l’on ait aussi

$\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} =1.$

Il est facile de concevoir qu’en retranchant respectivement ces dernières coordonnées des premières, les différences

$\alpha \rho -\mathrm {AR} ,\quad \beta \rho -\mathrm {BR} ,\quad \gamma \rho -\mathrm {CR}$

doivent être égales aux coordonnées de l’orbite de la Comète autour du Soleil, que nous avons vu (5) être exprimées, en général, par

$fx+g{\frac {dx}{dt}},\quad fy+g{\frac {dy}{dt}},\quad fz+g{\frac {dz}{dt}}.$

On aura donc ces trois équations

${\begin{aligned}\alpha \rho -\mathrm {AR} =&fx+g{\frac {dx}{dt}},\\\beta \rho -\mathrm {BR} =&fy+g{\frac {dy}{dt}},\\\gamma \rho -\mathrm {CR} =&fz+g{\frac {dz}{dt}}\,;\end{aligned}}$

desquelles éliminant l’inconnue $\rho ,$ on aura deux équations qui contien-

dront les six constantes inconnues $x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ d’où dépend la détermination de l’orbite de la Comète (9).

Chaque observation fournira donc deux équations de cette espèce ; par conséquent il faudra trois observations pour avoir autant d’équations que d’inconnues.

11. Supposons donc qu’on ait observé une Comète trois fois au bout des temps

$t,t+\theta ',t+\theta '',$

on aura trois systèmes d’équations semblables à celles, du numéro précédent, en y faisant successivement

$\theta =0,\theta =\theta ',\theta =\theta ''.$

Or, lorsque $\theta =0,$ on a $f=1,g=0\,;$ si donc on désigne par $f',g'$ et par $f'',g''$ les valeurs de $f,g$ qui répondent à $\theta =\theta ',\theta =\theta '',$ que de même on marque par un ou par deux traits toutes les autres quantités correspondantes, on aura ces trois systèmes d’équations

Premier système$\ldots \ldots \left\{{\begin{aligned}\alpha \ \ \rho \ \ -\mathrm {A\ \ R\ \ } =&x,\\\beta \ \ \rho \ \ -\mathrm {B\ \ R\ \ } =&y,\\\gamma \ \ \rho \ \ -\mathrm {C\ \ R\ \ } =&z,\end{aligned}}\right.$

Deuxième système$\ldots \ \ \left\{{\begin{aligned}\alpha '\ \rho '\ -\mathrm {A'\ R'\ } =&f'\ x+g'\ {\frac {dx}{dt}},\\\beta '\ \rho '\ -\mathrm {B'\ R'\ } =&f'\ y+g'\ {\frac {dy}{dt}},\\\gamma '\ \rho '\ -\mathrm {C'\ R'\ } =&f'\ z+g'\ {\frac {dz}{dt}}.\end{aligned}}\right.$

Troisième système $\ldots \ \ \left\{{\begin{aligned}\alpha ''\rho ''-\mathrm {A''R''} =&f''x+g''{\frac {dx}{dt}},\\\beta ''\rho ''-\mathrm {B''R''} =&f''y+g''{\frac {dy}{dt}},\\\gamma ''\rho ''-\mathrm {C''R''} =&f''z+g''{\frac {dz}{dt}}.\end{aligned}}\right.$

12. Tout se réduit maintenant à éliminer les différentes inconnues.

Pour y parvenir, je commence par éliminer les deux inconnues $x$ et \frac{dx}{dt} des premières équations de chaque système ; et faisant, pour abréger,

$l=f'g''-f''g',$

j’aurai cette équation

$\alpha \gamma l-\alpha '\rho 'g''+\alpha ''\rho ''g'=\mathrm {AR} l-\mathrm {A'R'} g''+\mathrm {A''R''} g'.$

J’aurai de même, en éliminant $y$ et ${\frac {dy}{dt}}$ des deuxièmes équations, et ensuite $z$ et ${\frac {dz}{dt}}$ des troisièmes, ces deux autres-ci

${\begin{aligned}\beta \gamma l-\beta '\rho 'g''+\beta ''\rho ''g'=&\mathrm {BR} l-\mathrm {B'R'} g''+\mathrm {B''R''} g',\\\gamma \gamma l-\gamma '\rho 'g''+\gamma ''\rho ''g'=&\mathrm {CR} l-\mathrm {C'R'} g''+\mathrm {C''R''} g'.\end{aligned}}$

Au moyen de ces trois équations on déterminera $\rho ',\rho '',\rho '''\,;$ et si l’on fait, pour abréger,

${\begin{alignedat}{6}\delta \ \ \ =&\alpha (\beta '\gamma ''&-&\beta ''\gamma ')&+&\beta (\gamma '\alpha ''&-&\gamma ''\alpha ')&+&\gamma (\alpha '\beta ''&-&\alpha ''\beta '),\\\Delta \ \ =&\mathrm {A} (\beta '\gamma ''&-&\beta ''\gamma ')&+&\mathrm {B} (\gamma '\alpha ''&-&\gamma ''\alpha ')&+&\mathrm {C} (\alpha '\beta ''&-&\alpha ''\beta '),\\\Delta _{1}=&\mathrm {A} (\gamma \beta ''&-&\beta \gamma '')&+&\mathrm {B} (\alpha \gamma ''&-&\gamma \alpha '')&+&\mathrm {C} (\beta \alpha ''&-&\alpha \beta ''),\\\Delta _{2}=&\mathrm {A} (\beta \gamma '&-&\beta '\gamma )&+&\mathrm {B} (\gamma \alpha '&-&\gamma '\alpha )&+&\mathrm {C} (\alpha \beta '&-&\alpha '\beta ).\end{alignedat}}$

qu’ensuite on dénote par $\Delta ',\Delta '_{1},\Delta '_{2},$ ce que deviennent $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2},$ en y changeant $\mathrm {A,B,C}$ en $\mathrm {A',B',C'} ,$ et par $\Delta '',\Delta ''_{1},\Delta ''_{2}$ ce que les mêmes quantités deviennent lorsque $\mathrm {A,B,C}$ deviennent $\mathrm {A'',B'',C''} \,;$ on trouvera par les formules connues pour l’élimination

${\begin{aligned}\rho \ \ =&{\frac {\Delta \mathrm {R} l-\Delta '\mathrm {R} 'g''+\Delta ''\mathrm {R} ''g'}{\delta l}},\\\rho '\ =&-{\frac {\Delta _{1}\mathrm {R} l-\Delta '_{1}\mathrm {R} 'g''+\Delta ''_{1}\mathrm {R} ''g'}{\delta g''}},\\\rho ''=&{\frac {\Delta _{2}\mathrm {R} l-\Delta '_{2}\mathrm {R} 'g''+\Delta ''_{2}\mathrm {R} ''g'}{\delta g'}}.\end{aligned}}$

13. Je remarque maintenant que, si l’on ajoute ensemble les carrés des trois équations de chaque système, on peut également faire disparaître les quantités $x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}.$ Car si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}\Gamma \ \ =&\mathrm {A\,\ \alpha \ \ +B\,\ \ \beta \,\ +C} \ \ \gamma ,\\\Gamma '\ =&\mathrm {A'\,\alpha '\,+B'\,\beta '\ +C'} \ \gamma ',\\\Gamma ''=&\mathrm {A''\alpha ''+B''\beta ''+C''} \gamma '',\end{aligned}}$

et qu’on dénote par $h',h''$ les valeurs de $h$ qui répondent à $\theta =\theta ',\theta =\theta '',$ on aura, par ce qu’on a vu dans le n^o 6, trois équations de la forme suivante

${\begin{aligned}\rho ^{2}\ \,-2\Gamma \ \ \mathrm {R} \ \ \rho \,\ +\mathrm {R} ^{2}\ \ =&r^{2},\\\rho '^{2}\,-2\Gamma '\,\mathrm {R} '\ \rho '\,+\mathrm {R} '^{2}\ =&h'r^{2},\\\rho ''^{2}-2\Gamma ''\mathrm {R} ''\rho ''+\mathrm {R} ''^{2}=&h''r^{2}.\end{aligned}}$

14. Donc enfin, substituant dans ces équations les valeurs de $\rho ',\rho '',\rho '''$ trouvées ci-dessus, on aura les trois équations finales

${\begin{aligned}&\left(\Delta \mathrm {R} l-\Delta '\mathrm {R} 'g''+\Delta ''\mathrm {R} ''g'\right)^{2}-2\Gamma \mathrm {R} (\Delta \mathrm {R} l-\Delta '\mathrm {R} 'g''+\Delta ''\mathrm {R} ''g')\delta l\\&\qquad +\left(\mathrm {R} ^{2}-r^{2}\right)\delta ^{2}l^{2}=0,\\\\&\left(\Delta _{1}\mathrm {R} l-\Delta _{1}'\mathrm {R} 'g''+\Delta _{1}''\mathrm {R} ''g'\right)^{2}+2\Gamma '\mathrm {R} '(\Delta _{1}\mathrm {R} l-\Delta _{1}'\mathrm {R} 'g''+\Delta _{1}''\mathrm {R} ''g')\delta g''\\&\qquad +\left(\mathrm {R} '^{2}-h'r^{2}\right)\delta ^{2}g''^{2}=0,\\\\&\left(\Delta _{2}\mathrm {R} l-\Delta _{2}'\mathrm {R} 'g''+\Delta _{2}''\mathrm {R} ''g'\right)^{2}-2\Gamma ''\mathrm {R} ''(\Delta _{2}\mathrm {R} l-\Delta _{2}'\mathrm {R} 'g''+\Delta _{2}''\mathrm {R} ''g')\delta g'\\&\qquad +\left(\mathrm {R} ''^{2}-h''r^{2}\right)\delta ^{2}g'^{2}=0.\end{aligned}}$

Or, des différentes quantités qui composent ces trois équations, les unes, telles que

$\delta ,\ \Delta ,\ \Delta _{1},\ \Delta _{2},\ \Delta ',\ \Delta '_{1},\ \Delta '_{2},\ \Delta '',\ \Delta ''_{1},\ \Delta ''_{2},\ \Gamma ',\ \Gamma '',\ \Gamma ''',\ \mathrm {R',\ R'',\ R'''} ,\$

sont censées données et connues par les observations de la Comète et par la Théorie du Soleil. Les autres, savoir

$l,\ \ g',\ \ g'',\ \ h',\ \ h'',\ \$

sont des fonctions connues des quantités connues $\theta ',\theta ''$ et des trois con-

stantes inconnues $r,{\frac {dr}{dt}},{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}\,;$ ainsi les équations précédentes peuvent servir à déterminer ces trois inconnues et à résoudre par conséquent le Problème. Examinons successivement ces deux espèces de quantités.

15. Je remarque d’abord que si l’on fait le carré de la quantité $\delta$ (12), on peut le mettre sous cette forme

${\begin{aligned}\delta ^{2}=&\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}\right)\left(\alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}\right)\\&+2\left(\alpha \alpha '+\beta \beta '+\gamma \gamma '\right)\left(\alpha \alpha ''+\beta \beta ''+\gamma \gamma ''\right)\left(\alpha '\alpha ''+\beta '\beta ''+\gamma '\gamma ''\right)\\&-\left(\alpha ^{2}\,\ +\beta ^{2}\ +\gamma ^{2}\ \ \right)\left(\alpha '\alpha ''+\beta '\beta ''+\gamma '\gamma ''\right)^{2}\\&-\left(\alpha '^{2}\,+\beta '^{2}\,+\gamma '^{2}\ \right)\left(\alpha \ \alpha ''+\beta \,\ \beta ''+\gamma \ \gamma ''\right)^{2}\\&-\left(\alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}\right)\left(\alpha \ \ \alpha '+\beta \ \beta '\ +\gamma \ \gamma '\ \right)^{2}.\end{aligned}}$

Or on a(10)

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1,$

et par conséquent aussi (11)

$\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}=1,\quad \alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}=1.$

De plus, comme $\alpha \rho ,\beta \rho ,\gamma \rho$ sont les trois coordonnées de la Comète par rapport au centre de la Terre dans l’observation faite au bout du temps $t,$ et que de même $\alpha '\rho ',\beta '\rho ',\gamma '\rho '$ sont les trois coordonnées de la même Comète dans l’observation faite au bout du temps $t+\theta '$ (numéros cités), il s’ensuit que la distance rectiligne de ces deux lieux de la Comète sera exprimée par la racine carrée de la quantité

$(\alpha \rho -\alpha '\rho ')^{2}+(\beta \rho -\beta '\rho ')^{2}+(\gamma \rho -\gamma '\rho ')^{2}$

$=\rho ^{2}-2\rho \rho '\left(\alpha \alpha '+\beta \beta '+\gamma \gamma '\right)+\rho '^{2}.$

Mais, en considérant le triangle rectiligne dont la base est cette distance et dont les côtés sont les droites $\rho ,\rho '$ menées du centre de la Terre aux deux lieux de la Comète, si l’on nomme $\omega$ l’angle compris entre ces deux côtés, on aura par le Théorème connu

$\rho ^{2}-2\rho \rho '\cos \omega +\rho '^{2}$

pour le carré de la base. De sorte qu’en comparant cette expression à la

précédente, on aura

$\alpha \alpha '+\beta \beta '+\gamma \gamma '=\cos \omega .$

Et l’on prouvera de même qu’en nommant $\omega '$ l’angle compris par les droites $\rho ',\rho '',$ et $\omega ''$ l’angle compris par les droites $\rho$ et $\rho '',$ on aura

${\begin{aligned}\alpha '\alpha ''+\beta '\beta ''+\gamma '\gamma ''=&\cos \omega ',\\\alpha \ \alpha ''+\beta \ \beta ''+\gamma \ \gamma ''=&\cos \omega ''.\end{aligned}}$

Donc la valeur de $\delta ^{2}$ deviendra par ces substitutions

$\delta ^{2}=1+2\cos \omega \cos \omega '\cos \omega ''-\cos ^{2}\omega -\cos ^{2}\omega '-\cos ^{2}\omega ''.$

Cette expression peut se mettre encore sous une autre forme plus commode pour le calcul car il est facile de se convaincre, par le développement des termes, qu’elle est la même chose que celle-ci

$-\left[\cos(\omega +\omega ')-\cos \omega ''\right]\left[\cos(\omega -\omega ')-\cos \omega ''\right]\,;$

en sorte qu’on aura par les transformations connues

$\delta ^{2}=-4\sin {\frac {\omega +\omega '+\omega ''}{2}}\sin {\frac {\omega +\omega '-\omega ''}{2}}\sin {\frac {\omega -\omega '+\omega ''}{2}}\sin {\frac {\omega -\omega '-\omega ''}{2}},$

formule très-commode pour le calcul logarithmique.

16. Or il est visible que les angles, $\omega ,\omega ',\omega ''$ ne sont autre chose que les trois côtés du triangle sphérique formé par les trois cercles de la sphère, lesquels joignent les trois lieux apparents de la Comète dans les trois observations. Si donc orrconsidère ce triangle sphérique et qu’on nomme $\Omega ,\Omega ',\Omega '',$ les angles opposés aux côtés, $\omega ,\omega ',\omega '',$ on aura par le Théorème connu

$\cos \omega ''=\cos \omega \cos \omega '+\sin \omega \sin \omega '\cos \Omega ''\,;$

cette valeur étant substituée dans la première expression de $\delta ^{2},$ on aura après les réductions

$\delta ^{2}=\sin ^{2}\omega \sin ^{2}\omega '\sin ^{2}\Omega '',$

et extrayant la racine carrée,

$\delta =\sin \omega \sin \omega '\sin \Omega ''.$

On trouvera de la même manière

$\delta =\sin \omega '\sin \omega ''\sin \Omega =\sin \omega \sin \omega ''\sin \Omega '\,;$

ce qui fournit différents moyens de calculer la quantité $\delta .$

Au reste il est facile de prouver que cette quantité n’est autre chose que la solidité prise six fois de la pyramide triangulaire qui a le sommet au centre de la sphère dont le rayon est supposé égal à $1,$ et qui insiste sur le triangle sphérique formé par les arcs $\omega ,\omega ',\omega '',$ c’est-à-dire qui a pour base le triangle rectiligne formé par les cordes de ces arcs. Car si l’on considère une des faces triangulaires de cette pyramide, celle, par exemple, qui a pour base la corde de l’arc $\omega ,$ on aura ${\frac {\sin \omega }{2}}$ pour l’aire de cette face ; ensuite, si l’on considère la face qui a pour base la corde de l’arc $\omega ',$ il est clair que l’angle d’inclinaison de ces deux faces sera le même que celui que forment les arcs $\omega$ et $\omega '$ dans le triangle sphérique, et que nous avons dénoté par $\Omega ''\,;$ et de là il est aisé de déduire qu’en regardant la face ${\frac {\sin \omega }{2}}$ comme la base de la pyramide, sa hauteur sera exprimée par $\sin \omega '\sin \Omega ''.$ De sorte que la solidité de la pyramide sera

${\frac {\sin \omega \sin \omega '\sin \Omega ''}{6}}={\frac {\delta }{6}}.$

17. Examinons maintenant les autres quantités dépendantes des observations. On voit d’abord par les formules du n^o 12 que les expressions de $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2}$ sont semblables à celle de $\delta ,$ et qu’elles résultent de celle-ci en y mettant simplement $\mathrm {A,B,C}$ à la place de $\alpha ,\beta ,\gamma$ pour avoir $\Delta ,$ à la place de $\alpha ',\beta ',\gamma '$ pour avoir $\Delta _{1},$ et à la place de $\alpha '',\beta '',\gamma ''$ pour avoir $\Delta _{2}.$ Or, puisque $\mathrm {AR,BR,CR}$ sont les trois coordonnées du Soleil correspondantes aux coordonnées $\alpha \rho ,\beta \rho ,\gamma \rho$ de la Comète, $\mathrm {R}$ et $\rho$ étant les distances du Soleil et de la Comète à la Terre (10), il s’ensuit que $\mathrm {A,B,C}$ sont pour le Soleil ce que $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont pour la Comète.

D’où l’on peut conclure qu’on aura les valeurs de $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2}$ par les mêmes formules que celle de $\delta ,$ en substituant successivement le lieu du Soleil dans la première observation à chacun des trois lieux observés de la Comète.

Et, comme les quantités $\Delta ',\Delta '_{1},\Delta '_{2}$ et $\Delta '',\Delta ''_{1},\Delta ''_{2}$ résultent de celles de $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2}$ en y changeant $\mathrm {A,B,C}$ en $\mathrm {A',B',C'}$ et en $\mathrm {A'',B'',C''} ,$ il s’ensuit que pour avoir ces quantités il n’y aura qu’à employer les lieux du Soleil correspondants à la seconde et à la troisième observation.

Enfin, puisqu’on a trouvé plus haut

$\alpha \alpha '+\beta \beta '+\gamma \gamma '=\cos \omega ,$

$\omega$ étant la distance des deux premiers lieux de la Comète, il est facile de voir qu’on aura aussi

$\alpha \mathrm {A+\beta B+\gamma C} =\cos \psi ,$

en dénotant par $\psi$ la distance apparente des lieux de la Comète et du Soleil dans la première observation.

De là on conclura donc que, si $\psi ,\psi ',\psi ''$ sont les arcs qui joignent les lieux correspondants de la Comète et du Soleil dans chacune des trois observations, on aura (14)

$\Gamma =\cos \psi ,\quad \Gamma '=\cos \psi ',\quad \Gamma ''=\cos \psi ''.$

18. Pour mettre les quantités précédentessous une forme plus simple, je désignerai, en général, par $\mathrm {(ABC} )$ la valeur de six fois la solidité de la pyramide triangulaire qui insiste sur un triangle sphérique quelconque $\mathrm {ABC} ,$ et qui a le sommet au centre de la sphère. Cette valeur est déterminée par les formules

${\begin{aligned}\mathrm {(ABC)} =&\mathrm {\sqrt {1+2\cos AB\cos AC\cos BC-\cos ^{2}AB-\cos ^{2}AC-\cos ^{2}BC}} ,\\=&2{\sqrt {\begin{aligned}&-\mathrm {\sin {\frac {AB+AC+BC}{2}}\sin {\frac {AB+AC-BC}{2}}} \\&\,\times \mathrm {\sin {\frac {AB-AC+BC}{2}}\sin {\frac {AB-AC-BC}{2}}} \end{aligned}}}\\=&\mathrm {\sin AB\sin AC\sin A} ,\\=&\mathrm {\sin AB\sin BC\sin B} ,\\=&\mathrm {\sin AC\sin BC\sin C} ,\end{aligned}}$

desquelles on pourra, dans chaque cas particulier, employer celle qu’on jugera la plus commode.

D’après cette notation, si l’on désigne par $\mathrm {C,C',C''}$ les trois points de la surface de la sphère où la Comète a été observée au bout des temps $t,t+\theta ',t+\theta '',$ et par $\mathrm {S,S',S''}$ les trois lieux correspondants du Soleil ; qu’ensuite on joigne ces six points par des arcs de grand cercle, et qu’on considère les différents triangles formés par ces arcs et ayant leurs angles à trois de ces six points $\mathrm {C,C',C'',S,S',S''} ,$ on aura les valeurs suivantes

${\begin{alignedat}{3}\delta \ \ \ =&(\mathrm {C\ C'C''} ),\\\Delta \ \ =&(\mathrm {S\ \ C'C''} ),\qquad &\Delta _{1}=&(\mathrm {CS\ \ C''} ),\qquad &\Delta _{2}=&(\mathrm {CC'S\ \ } ),\\\Delta '\ =&(\mathrm {S'\ C'C''} ),&\Delta '_{1}=&(\mathrm {CS'\ C''} ),&\Delta '_{2}=&(\mathrm {CC'S'\ } ),\\\Delta ''=&(\mathrm {S''C'C''} ),&\Delta ''_{1}=&(\mathrm {CS''C''} ),&\Delta ''_{2}=&(\mathrm {CC'S''} ).\end{alignedat}}$

De plus on aura

$\mathrm {\Gamma =\cos SC,\quad \Gamma '=\cos S'C',\quad \Gamma ''=\cos S''C''} .$

19. Ce sont là les seuls éléments qui dépendent des observations et qui demandent à être calculés séparément pour chaque système de trois observations d’une Comète. On voit que ces éléments dépendent uniquement de la position respective des trois lieux apparents de la Comète et des trois lieux correspondants du Soleil sur la surface de la sphère, c’est-à-dire de l’hexagone sphérique formé par des arcs de grand cercle, qui joignent ces six points de la surface de la sphère ; et l’on pourra, dans une première approximation, se contenter de déterminer les angles, les côtés et les diagonales de cet hexagone par le moyen d’un bon globe céleste mais, quand on voudra mettre plus d’exactitude dans le calcul, il sera nécessaire de les déterminer par les règles de la Trigonométrie.

À l’égard des trois quantités $\mathrm {R,R',R''} ,$ qui expriment les distances du Soleil à la Terre dans les trois observations, on les aura par les Tables du Soleil ou par les Éphémérides. On pourra même, à cause de la petitesse de l’excentricité du Soleil, faire

$\mathrm {R=R'=R''=1} ,$

ce qui servira à simplifier les équations du n^o sans-préjudicier sensiblement à leur exactitude.

20. Au reste, si l’on nomme $\varpi$ l’angle que la droite $\rho$ ou le rayon visuel de la Comète fait avec le plan des $x$ et $y,$ et $\sigma$ l’angle que la projection de cette ligne fait avec l’angle des $x,$ il est facile de voir qu’on aura

$\alpha =\cos \varpi \cos \sigma ,\quad \beta =\cos \varpi \sin \sigma ,\quad \gamma =\sin \varpi .$

De même, si l’on nomme $\Pi$ et $\Sigma$ les angles que le rayon $\mathrm {R}$ de l’orbite du Soleil fait avec le même plan des $x$ et $y,$ et que la projection de ce rayon fait avec l’axe des $x,$ on aura

$\mathrm {A} =\cos \Pi \cos \Sigma ,\quad \mathrm {B} =\cos \Pi \sin \Sigma ,\quad \mathrm {C} =\sin \Pi .$

Donc, si l’on marque par un et par deux traits toutes les quantités qui se rapportent à la seconde et à la troisième observation, et qu’on substitue ces valeurs dans les formules du n^o 12, on aura

${\begin{aligned}\delta \ \ \ =&\sin(\sigma '\ -\sigma \ )\cos \varpi \ \cos \varpi '\ \sin \varpi ''\\-&\sin(\sigma ''-\sigma \ )\cos \varpi \ \cos \varpi ''\sin \varpi '\\+&\sin(\sigma ''-\sigma ')\cos \varpi '\cos \varpi ''\sin \varpi ,\\\\\Delta \ \ =&\sin(\sigma '\ -\Sigma )\cos \ \Pi \ \cos \varpi '\ \sin \varpi ''\\-&\sin(\sigma ''-\Sigma )\ \cos \Pi \ \cos \varpi ''\sin \varpi '\\+&\sin(\sigma ''-\sigma ')\cos \varpi '\cos \varpi ''\sin \Pi ,\\\\\Delta _{1}=&\sin(\Sigma \ -\sigma \ )\cos \varpi \ \ \cos \ \Pi \,\sin \varpi ''\\-&\sin(\sigma ''-\sigma \ )\cos \varpi \ \,\cos \varpi ''\sin \Pi \\+&\sin(\sigma ''-\Sigma \ )\cos \Pi \,\ \cos \varpi ''\sin \varpi ,\\\\\Delta _{2}=&\sin(\sigma '\ -\sigma \ )\cos \varpi \ \cos \varpi '\sin \Pi ''\\-&\sin(\Sigma \ \ -\sigma \ )\cos \varpi \ \cos \ \Pi \,\sin \varpi '\\+&\sin(\Sigma \ \ -\sigma ')\cos \varpi '\cos \ \Pi \,\sin \varpi .\end{aligned}}$

Et pour avoir les valeurs de $\Delta ',\Delta '_{1},\Delta '_{2}$ et de $\Delta '',\Delta ''_{1},\Delta ''_{2},$ il n’y aura qu’à marquer successivement d’un et de deux traits les lettres $\Pi$ et $\Sigma .$

Enfin on aura (13)

${\begin{aligned}\Gamma \ \ =&\cos \Pi \ \ \cos \varpi \,\ \cos(\Sigma \ \ -\sigma \ \,)+\sin \Pi \ \ \sin \varpi ,\\\Gamma '\ =&\cos \Pi '\ \cos \varpi '\,\cos(\Sigma '\,-\sigma '\,)+\sin \Pi '\ \sin \varpi ',\\\Gamma ''=&\cos \Pi ''\cos \varpi ''\cos(\Sigma ''-\sigma '')+\sin \Pi ''\sin \varpi ''.\end{aligned}}$

Si l’on suppose que le plan des $x$ et $y$ soit celui de l’écliptique, et que l’axe des $x$ soit dirigé vers le premier point d’Aries, il est clair que $\varpi ,\varpi ',\varpi ''$ seront les latitudes observées de la Comète au bout des temps $t,t+\theta ',t+\theta '',$ et que $\sigma ,\sigma ',\sigma '',$ seront les longitudes correspondantes ; ainsi ces quantités seront données par les observations. De plus on aura, dans cette hypothèse, $\Pi =0,\ \Pi '=0,\ \Pi ''=0,$ et $\Sigma ,\Sigma ',\Sigma ''$ seront les trois longitudes du Soleil au temps des trois observations, longitudes qu’on aura immédiatement par les Éphémérides.

Mais, au lieu de prendre le plan de l’écliptique pour celui des $x$ et $y,$ on peut prendre également l’équateur pour ce plan ; alors il est visible que $\varpi ,\varpi ',\varpi ''$ seront les trois déclinaisons observées de la Comète, et, $\sigma ,\sigma ',\sigma ''$ les trois ascensions droites. De même $\Pi ,\Pi ',\Pi '',$ seront les trois déclinaisons, et $\Sigma ,\Sigma ',\Sigma ''$ les trois ascensions droites du Soleil, correspondantes à celles de la Comète. Les premières sont données immédiatement par les observations, et les secondes le sont par les Éphémérides.

21. Après avoir donné la manière de calculer les quantités de la première espèce, lesquelles dépendent des observations et de la Théorie du Soleil, considérons maintenant celles de la seconde espèce, lesquelles dépendent de l’orbite de la Comète.

Soit, pour plus de simplicité,

${\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}=p,\quad {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}=q,$

on aura, par les formules des n^os 5 et 6, en y marquant la lettre $\theta$ d’un

trait.

${\begin{aligned}f'=&1-{\frac {\theta '^{2}}{2r^{3}}}+{\frac {\theta '^{3}p}{2r^{3}}}+{\frac {\theta '^{4}}{8r^{3}}}\left(q-5p^{2}+{\frac {1}{3r^{3}}}\right)-{\frac {\theta '^{5}}{8r^{3}}}\left(3pq+{\frac {p}{r^{3}}}-7p^{3}\right)-\ldots ,\\g'=&\theta '-{\frac {\theta '^{3}}{6r^{3}}}+{\frac {\theta '^{4}p}{4r^{3}}}+{\frac {\theta '^{5}}{8r^{3}}}\left({\frac {3q}{5}}-3p^{2}+{\frac {1}{15r^{3}}}\right)-\ldots ,\\h'=&1+2\theta 'p+\theta '^{2}q-{\frac {\theta '^{3}}{3r^{3}}}+{\frac {\theta '^{4}}{4r^{3}}}\left({\frac {q}{3}}-p^{2}\right)+{\frac {\theta '^{5}}{4r^{3}}}\left({\frac {3pq}{5}}+{\frac {p}{15r^{3}}}-p^{3}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Et, marquant la quantité $\theta$ de deux traits, on aura les valeurs de $f'',g'',h''.$

Substituant ces valeurs dans l’expression de

$l=f'g''-f''g',$

on aura, après les réductions,

${\begin{aligned}l=&\theta ''-\theta '-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}}+{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}(\theta ''+\theta ')p}{4r^{3}}}\\&+{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}\left(3\theta ''^{2}+4\theta ''\theta '+3\theta '^{2}\right)\left({\cfrac {q}{5}}-p^{2}\right)}{8r^{3}}}+{\frac {(\theta ''-\theta ')^{5}}{3.5.8.r^{6}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Dans ces formules, les quantités $\theta '$ et $\theta ''$ sont connues, puisqu’elles expriment les intervalles de temps, c’est-à-dire les angles que le Soleil a parcourus par son mouvement moyen entre les trois observations de la Comète (I et II) angles qui doivent être évalués, pour l’homogénéité, en parties du rayon ; il n’y a donc d’inconnues que les trois quantités $r,p,q,$ lesquelles déterminent les trois principaux éléments de la Comète, de manière que, nommant $a$ le demi-grand axe, $b$ le demi-paramètre, $\varphi$ l’angle du rayon vecteur $r$ avec le périhélie, on a (9)

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{r}}-r^{2}q,\quad b=2r-{\frac {r^{2}}{a}}-r^{4}p^{2},\quad \cos \varphi ={\frac {b-r}{r{\sqrt {1-{\cfrac {b}{a}}}}}}.$

22. Il ne s’agira donc plus que de faire ces différentes substitutions dans les trois équations finales du n^o 14, et de déterminer, par le moyen de ces équations, les trois inconnues $r,p,q\,;$ c’est à quoi se réduit la solution que nous avons annoncée du Problème des Comètes.

Il est visible que ces équations seront d’autant plus compliquées qu’on prendra plus de termes dans les séries qui expriment les valeurs des quantités $l,g',h',g'',h''\,;$ mais comme on peut rendre ces séries aussi convergentes que l’on veut en diminuant les valeurs des intervalles $\theta '$ et $\theta ''$ entre les observations, on a un moyen de les simplifier sans préjudice de l’exactitude.

Supposons, par exemple, qu’on s’arrête aux troisièmes dimensions de $\theta '$ et $\theta '',$ on aura alors

${\begin{alignedat}{2}l\ =&\theta ''-\theta '-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}},\\g'=&\theta '-{\frac {\theta '^{3}}{6r^{3}}},&g''=&\theta ''-{\frac {\theta ''^{3}}{6r^{3}}},\\h'=&1+2\theta 'p+\theta '^{2}q-{\frac {\theta '^{3}p}{3r^{3}}},\qquad &h''=&1+2\theta ''p+\theta ''^{2}q-{\frac {\theta ''^{3}p}{3r^{3}}}.\end{alignedat}}$

Par ces substitutions on aura trois équations, dont la première ne contiendra que l’inconnue $r,$ et dont les deux autres contiendront de plus les inconnues $p$ et $q,$ mais simplement sous la forme linéaire.

23. En effet, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&\Delta \mathrm {R} (\theta ''-\theta ')\ \,-\Delta '\mathrm {R} '\theta ''\ \,+\Delta ''\mathrm {R} ''\theta ',\\\mathrm {N} \,=&\Delta \mathrm {R} (\theta ''-\theta ')^{3}-\Delta '\mathrm {R} '\theta ''^{3}+\Delta ''\mathrm {R} ''\theta '^{3},\end{aligned}}$

et qu’on dénote par $\mathrm {M_{1},N_{1}} ,$ et par $\mathrm {M_{2},N_{2}}$ ce que deviennent ces expressions de $\mathrm {M,N} ,$ en y changeant $\Delta ,\Delta ',\Delta ''$ en $\Delta _{1},\Delta '_{1},\Delta ''_{1}$ et en $\Delta _{2},\Delta '_{2},\Delta ''_{2},$ on aura (12)

$\rho ={\frac {\mathrm {M} -{\cfrac {\mathrm {N} }{6r^{3}}}}{\delta \left[\theta ''-\theta '-{\cfrac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}}\right]}},\quad \rho '=-{\frac {\mathrm {M} _{1}-{\cfrac {\mathrm {N} _{1}}{6r^{3}}}}{\delta \left(\theta ''-{\cfrac {\theta ''^{3}}{6r^{3}}}\right)}},$

$\rho ''=-{\frac {\mathrm {M} _{2}-{\cfrac {\mathrm {N} _{2}}{6r^{3}}}}{\delta \left(\theta '-{\cfrac {\theta '^{3}}{6r^{3}}}\right)}}\,;$

substituant ces valeurs dans les trois équations suivantes (13)

${\begin{aligned}\rho ^{2}\ \ &-2\Gamma \mathrm {R} \rho +\mathrm {R} ^{2}=r^{2},\\\rho '^{2}\ &-2\Gamma '\ \mathrm {R} '\ \rho '\ +\mathrm {R} '^{2}=r^{2}\left(1+2\theta '\ p+\theta '^{2}q-{\frac {\theta '^{3}\ p}{3r^{3}}}\right),\\\rho ''^{2}&-2\Gamma ''\mathrm {R} ''\rho ''+\mathrm {R} ''^{2}=r^{2}\left(1+2\theta ''p+\theta ''^{2}q-{\frac {\theta ''^{3}p}{3r^{3}}}\right),\end{aligned}}$

il est visible que la première équation contiendra seulement l’inconnue $r,$ laquelle $y$ montera au huitième degré ; et cette inconnue étant déterminée par la résolution de cette équation, on aura ensuite $p$ et $q$ par les deux autres équations, lesquelles, en y négligeant pour plus de simplicité les termes du troisième ordre ${\frac {\theta '^{3}p}{3r^{3}}},\ {\frac {\theta ''^{3}p}{3r^{3}}},$ donnent sur-le-champ

${\begin{aligned}p=&{\frac {\left(\rho '^{2}\ -2\Gamma '\mathrm {R} '\rho '+\mathrm {R} '^{2}-r^{2}\right)\theta ''^{2}-\left(\rho ''^{2}-2\Gamma ''\mathrm {R} ''\rho ''+\mathrm {R} ''^{2}-r^{2}\right)\theta '^{2}}{2r^{2}\theta '\theta ''(\theta ''-\theta ')}},\\q=&{\frac {\left(\rho '^{2}\ -2\Gamma '\mathrm {R} '\rho '+\mathrm {R} '^{2}-r^{2}\right)\theta ''\ \,-\left(\rho ''^{2}-2\Gamma ''\mathrm {R} ''\rho ''+\mathrm {R} ''^{2}-r^{2}\right)\theta '}{r^{2}\theta '\theta ''(\theta '-\theta '')}}.\end{aligned}}$

24. Pour que l’orbite soit parabolique, il faut que l’on ait $a=\infty \,;$ donc (21)

${\frac {1}{r}}-r^{2}q=0,\quad q={\frac {1}{r^{3}}}.$

En faisant cette substitution on aura, comme l’on voit, une seconde équation en $r,$ laquelle montera de même au huitième degré ; mais si dans le numérateur de l’expression de $q$ on met à la place de $r^{2}$ sa valeur tirée de la première équation, savoir

$r^{2}=\rho ^{2}-2\Gamma \mathrm {R} \rho +\mathrm {R} ^{2},$

qu’ensuite on substitue partout les valeurs de $\rho ,\rho ',\rho ''$ en $r,$ on trouvera que l’équation dont il s’agit ne montera plus qu’au sixième degré.

En général, comme cette seconde équation doit avoir lieu en même temps que la première, pour que l’orbite soit parabolique, il est clair que dans ce cas les deux équations doivent avoir un diviseur commun qu’on trouvera par les méthodes connues, et ce diviseur sera lui-même ou contiendra du moins la racine cherchée. On sait en effet depuis longtemps que le Problème de la détermination des orbites paraboliques est plus que déterminé par trois observations complètes, c’est-à-dire par trois longitudes et trois latitudes observées ; car on a de cette manière six données, tandis que les éléments à déterminer ne sont qu’au nombre de cinq.

25. Nous venons de trouver dans le n^o 23 que l’équation en $r$ est du huitième degré ; cela est vrai, en général, mais je remarque qu’une des racines de cette équation est nécessairement égale à $\mathrm {R} ,$ de sorte qu’en faisant disparaître cette racine l’équation dont il s’agit s’abaissera au septième degré.

Car, puisque la force qui fait décrire à la Comète son orbite autour du Soleil est la même que celle qui fait décrire à la Terre la sienne, il s’ensuit que la Comète peut aussi décrire la même orbite que la Terre et coïncider par conséquent avec elle. Or dans ce cas il est visible que la direction des rayons visuels menés du centre de la Terre à la Comète devient indéterminée, en sorte que les lieux apparents de la Comète peuvent être supposés quelconques, et par conséquent toujours conformes à ceux qui ont été observés et qu’on prend pour les données du Problème. Ainsi, quelles que soieqt les valeurs de ces données, on est assuré d’avoir une solution possible en supposant la coïncidence de la Comète avec la Terre, et cette solution doit nécessairement être renfermée dans la solution générale.

Or dans cette supposition les distances $\rho ,\rho ',\rho ''$ de la Comète à la Terre deviennent nulles ; donc, faisant $r=\mathrm {R}$ dans les expressions de ces distances données plus haut (23), il faudra qu’elles deviennent nulles ; donc

$\mathrm {M-{\frac {N}{6R^{3}}}=0,\quad M_{1}-{\frac {N_{1}}{6R^{3}}}=0,\quad M_{2}-{\frac {N_{2}}{6R^{3}}}} =0\,;$

ce qui donne

$\mathrm {M={\frac {N}{6R^{3}}},\quad M_{1}={\frac {N_{1}}{6R^{3}}},\quad M_{2}={\frac {N_{2}}{6R^{3}}}} .$

De sorte que, substituant ces valeurs dans les expressions dont il s’agit, on aura

$\rho ={\frac {{\cfrac {\mathrm {N} }{6}}\left({\cfrac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\cfrac {1}{r^{3}}}\right)}{\delta \left[\theta ''-\theta '-{\cfrac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}}\right]}},\quad \rho '=-{\frac {{\cfrac {\mathrm {N} _{1}}{6}}\left({\cfrac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\cfrac {1}{r^{3}}}\right)}{\delta \left(\theta ''-{\cfrac {\theta ''^{3}}{6r^{3}}}\right)}},$

$\rho ''=-{\frac {{\cfrac {\mathrm {N} _{2}}{6}}\left({\cfrac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\cfrac {1}{r^{3}}}\right)}{\delta \left(\theta '-{\cfrac {\theta '^{3}}{6r^{3}}}\right)}}.$

La valeur de $\rho$ étant maintenant substituée dans l’équation

$\rho ^{2}s-2\Gamma \mathrm {R} \rho +\mathrm {R} ^{2}=r^{2},$

on aura celle-ci

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {N} ^{2}}{36}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)^{2}-{\frac {\Gamma \mathrm {RN} }{3}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)\left[\theta ''-\theta '-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}}\right]\ \,&\delta \\+\left(\mathrm {R} ^{2}-r^{2}\right)\left[\theta ''-\theta '-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}}\right]^{2}&\delta ^{2}=0,\end{aligned}}$

laquelle, étant multipliée par $\mathrm {R} ^{6}r^{6},$ devient

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {N} ^{2}}{36}}\left(r^{3}-\mathrm {R} ^{3}\right)^{2}-{\frac {\Gamma \mathrm {NR} ^{4}}{3}}\left(r^{3}-\mathrm {R} ^{3}\right)\left[(\theta ''-\theta ')r^{3}-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6}}\right]\ \,&\delta \\+\mathrm {R} ^{6}\left(\mathrm {R} ^{2}-r^{2}\right)\left[(\theta ''-\theta ')r^{3}-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6}}\right]^{2}&\delta ^{2}=0,\end{aligned}}$

équation qu’on voit bien être divisible par $\mathrm {R} -r,$ et qui après cette division ne montera plus qu’au septième degré et aura par conséquent toujours au moins une racine réelle.

26. En général, il suit du raisonnement du numéro précédent que si dans les expressions de $\rho ,\rho ',\rho ''$ du n^o 12 on change $r$ en $\mathrm {R} ,$ et de même $dr$ en $d\mathrm {R}$ et $d(rdr)$ en $d(\mathrm {R} d\mathrm {R} ),$ ces expressions doivent devenir nulles d’elles-mêmes. De sorte que, si l’on dénote par $\mathrm {L,G',G''}$ ce que deviennent alors les quantités $l,g',g'',$ on aura nécessairement ces trois équations

${\begin{aligned}\Delta \ \ \mathrm {RL-\Delta '\,R'G''+\Delta ''R''G'} =&0,\\\Delta _{1}\mathrm {RL-\Delta '_{1}R'G''+\Delta ''_{1}R''G'} =&0,\\\Delta _{2}\mathrm {RL-\Delta '_{2}R'G''+\Delta ''_{2}R''G'} =&0.\end{aligned}}$

Mais pour ne laisser aucun doute sur la vérité de cette conclusion, nous allons la démontrer directement par le calcul.

27. Pour cela on remarquera que, puisque la Terre se meut autour du Soleil par la même force qui y fait mouvoir les Comètes, il s’ensuit que les formules générales des n^os 5 et 6 auront lieu aussi pour l’orbite de la Terre, de même que pour l’orbite apparente du Soleil.

Si donc on dénote par $\mathrm {X,Y,Z}$ les trois coordonnées rectangles du lieu du Soleil par rapport à la Terre considérée comme en repos, et par $\mathrm {R}$ le rayon vecteur ou la distance du Soleil ; qu’on désigne de même par $\mathrm {F,G,H}$ ce que deviennent les quantités $f,g,h$ en y changeant $r$ en $\mathrm {R} ,$ on aura pareillement

$\mathrm {FX+G} {\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\quad \mathrm {FY+G} {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},\quad \mathrm {FZ+G} {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {HR} ^{2}$

pour les valeurs de $\mathrm {X,Y,Z}$ et $\mathrm {R} ^{2}$ après le temps $t+\theta .$

Donc, suivant les suppositions des n^os 11 et 12, on aura

$\mathrm {AR=X,\quad BR=Y,\quad CR=Z} ,$

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A'\ R'\ } =&\mathrm {F'\,X+G'\ } {\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\quad &\mathrm {B'\ R'\ } =&\mathrm {F'\,Y+G'} {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},\quad &\mathrm {C'\ R'\ } =&\mathrm {F'\,Z+G'\ } {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}},\\\mathrm {A''R''} =&\mathrm {F''X+G''} {\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\quad &\mathrm {B''R''} =&\mathrm {F''Y+G''} {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},\quad &\mathrm {C''R''} =&\mathrm {F''Z+G''} {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}.\end{alignedat}}$

D’où, éliminant $\mathrm {X} ,{\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\mathrm {Y} ,\ldots$ et faisant

$\mathrm {L=F'G''-F''G'} ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {ARL-A'R'G''+A''R''G'} =&0,\\\mathrm {B\,RL-B'R'G''+B''R''G'} =&0,\\\mathrm {CRL-C'R'G''+G''R''G'} =&0\,;\end{aligned}}$

équations qui étant ajoutées ensemble, après avoir été multipliées respectivement par $\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma ',\ \gamma '\alpha ''-\gamma ''\alpha ',\ \alpha '\beta ''-\alpha ''\beta ',$ par $\gamma \beta ''-\beta \gamma '',\ldots ,$

donneront (1) celles-ci

${\begin{aligned}\mathrm {\Delta \ \ RL-\Delta '\,R'G''+\Delta ''R''G'} =&0,\\\mathrm {\Delta _{1}RL-\Delta '_{1}R'G''+\Delta ''_{1}R''G'} =&0,\\\mathrm {\Delta _{2}RL-\Delta '_{2}R'G''+\Delta ''_{2}R''G'} =&0,\end{aligned}}$

qui sont celles qu’il s’agissait de démontrer.

28. Par le moyen de ces équations on peut réduire les valeurs de $\rho ,\rho ',\rho '',$ du n^o 12 à cette forme

${\begin{aligned}\rho \ \ =&{\frac {\Delta \ \mathrm {R} (l-\mathrm {L} )-\Delta '\mathrm {R} '(g''-\mathrm {G} '')+\Delta ''\mathrm {R} ''(g'-\mathrm {G} ')}{\delta l}},\\\rho '\ =&-{\frac {\Delta _{1}\mathrm {R} (l-\mathrm {L} )-\Delta '_{1}\mathrm {R} '(g''-\mathrm {G} '')+\Delta ''_{1}\mathrm {R} ''(g'-\mathrm {G} ')}{\delta g''}},\\\rho ''=&{\frac {\Delta _{2}\mathrm {R} (l-\mathrm {L} )-\Delta '_{2}\mathrm {R} '(g''-\mathrm {G} '')+\Delta ''_{2}\mathrm {R} ''(g'-\mathrm {G} ')}{\delta g'}},\\\end{aligned}}$

On peut ensuite réduire les équations du n^o 13 à la forme suivante

${\begin{aligned}&\rho ^{2}\ \,-2\Gamma \mathrm {R} \rho =r^{2}-\mathrm {R} ^{2},\\&\rho '^{2}\,-2\Gamma '\,\mathrm {R} '\ \rho '\,=h'\,r^{2}-\mathrm {H'\ R^{2}} ,\\&\rho ''^{2}-2\Gamma ''\mathrm {R} ''\rho ''=h''r^{2}-\mathrm {H''R^{2}} .\end{aligned}}$

Or, si l’on fait

${\frac {1}{\mathrm {R} }}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=\mathrm {P} ,\quad {\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}{\frac {d(\mathrm {R} d\mathrm {R} )}{dt^{2}}}=\mathrm {Q} ,$

on aura pour $\mathrm {L,G',H',G'',H''}$ les mêmes expressions que pour $l,g',h',$$g'',h''$ (21), en y changeant seulement $r,p,q$ en $\mathrm {R,P,Q} \,;$ et il est visible que dans les trois équations finales les inconnues $r,p,q$ auront pour racines les quantités $\mathrm {R,P,Q} ,$ puisqu’en faisant

$r=\mathrm {R} ,\quad p=\mathrm {P} ,\quad q=\mathrm {Q} ,$

ce qui donne

$l=\mathrm {L} ,\quad g=\mathrm {G} ,\quad h=\mathrm {H} ,$

tous les termes de ces équations se détruisent d’eux-mêmes.

29. On pourrait aussi se servir des équations du n^o 27 pour éliminer des expressions de $\rho ,\rho ',\rho ''$ les quantités $\Delta '',\Delta ''_{1},\Delta ''_{2}.$ On trouverait de cette manière

${\begin{aligned}\rho \ \ =&{\frac {\Delta \ \mathrm {R} (l\mathrm {G'-L} g')-\Delta '\mathrm {R} '(g''\mathrm {G} '-g'\mathrm {G} '')}{\delta l\mathrm {G} '}},\\\rho '\ =&-{\frac {\Delta _{1}\mathrm {R} (l\mathrm {G'-L} g')-\Delta '_{1}\mathrm {R} '(g''\mathrm {G} '-g'\mathrm {G} '')}{\delta l\mathrm {G} '}},\\\rho ''=&{\frac {\Delta _{2}\mathrm {R} (l\mathrm {G'-L} g')-\Delta '_{2}\mathrm {R} '(g''\mathrm {G} '-g'\mathrm {G} '')}{\delta l\mathrm {G} '}}\,;\end{aligned}}$

et ces valeurs, étant employées à la place de celles du numéro précédent, donneront aussi des équations finales dont les inconnues $r,p,q$ auront pour racines $\mathrm {R,P,Q} .$

30. Enfin, si l’on reprend les formules du n^o 27, et qu’on substitue dans les valeurs de $\mathrm {A'R',B'R'} ,\ldots$ les valeurs de $\mathrm {X,Y,Z}$ et de ${\frac {d\mathrm {X} }{dt}},{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},$${\frac {d\mathrm {Z} }{dt}},$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A'R'} =&\left(\mathrm {F'A+G'} {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\right)\mathrm {R+G'A} {\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\\\mathrm {B'R'} =&\left(\mathrm {F'B+G'} {\frac {d\mathrm {B} }{dt}}\right)\mathrm {R+G'B} {\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\\\mathrm {C'R'} =&\left(\mathrm {F'C+G'} {\frac {d\mathrm {C} }{dt}}\right)\mathrm {R+G'C} {\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\end{aligned}}$

et, changeant seulement $\mathrm {F',G'}$ en $\mathrm {F'',G''} ,$ on aura les valeurs de $\mathrm {A''R''} ,$$\mathrm {B''R'',C''R''} .$

De là on trouvera, d’après les formules du n^o 12 et en supposant que les différences de $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2}$ se rapportent seulement aux variations de $\mathrm {A,B,C} ,$ on trouvera, dis-je,

${\begin{aligned}\Delta '\mathrm {R} '=&\left(\mathrm {F'R+G'} {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\right)\Delta \,\ +\mathrm {G'R} {\frac {d\Delta }{dt}},\\\Delta '_{1}\mathrm {R} '=&\left(\mathrm {F'R+G'} {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\right)\Delta _{1}+\mathrm {G'R} {\frac {d\Delta _{1}}{dt}},\\\Delta '_{2}\mathrm {R} '=&\left(\mathrm {F'R+G'} {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\right)\Delta _{2}+\mathrm {G'R} {\frac {d\Delta _{2}}{dt}},\end{aligned}}$

et, changeant $\mathrm {F',G'}$ en $\mathrm {F'',G''} ,$ on aura les valeurs de $\Delta ''\mathrm {R} '',\Delta ''_{1}\mathrm {R} '',\Delta ''_{2}\mathrm {R} ''.$

Si donc on fait ces substitutions dans les expressions de $\rho ,\rho ',\rho ''$ du numéro cité et qu’on suppose, pour abréger,

$m=l-\mathrm {F} 'g''+\mathrm {F} ''g',\quad n=\mathrm {G} ''g'-\mathrm {G} 'g'',$

on aura, en mettant $\mathrm {P}$ à la place de ${\frac {1}{\mathrm {R} }}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},$

${\begin{aligned}\rho \ \ =&\mathrm {R} {\frac {(m+n\mathrm {P} )\Delta +n{\cfrac {d\Delta }{dt}}}{l\delta }},\\\rho '\ =&-\mathrm {R} {\frac {(m+n\mathrm {P} )\Delta _{1}+n{\cfrac {d\Delta _{1}}{dt}}}{g''\delta }},\\\rho ''=&\mathrm {R} {\frac {(m+n\mathrm {P} )\Delta _{2}+n{\cfrac {d\Delta _{2}}{dt}}}{g'\delta }}.\end{aligned}}$

De plus, en faisant

$\Gamma _{1}=\mathrm {A\alpha '+B\beta '+C} \gamma ',\quad \Gamma _{2}=\mathrm {A\alpha ''+B\beta ''+C} \gamma '',$

et supposant aussi que les différentielles de $\Gamma ,\Gamma _{1},\Gamma _{2}$ ne regardent que la variabilité de $\mathrm {A,B,C} ,$ on aura d’après les formules du n^o 13

$\Gamma '\mathrm {R} '=\mathrm {R} \left[\mathrm {\left(F'+G'P\right)} \Gamma _{1}+\mathrm {G} '{\frac {d\Gamma _{1}}{dt}}\right],\ \ \Gamma ''\mathrm {R} ''=\mathrm {R} \left[\mathrm {\left(F''+G''P\right)} \Gamma _{2}+\mathrm {G} ''{\frac {d\Gamma _{2}}{dt}}\right]\,;$

ces valeurs étant substituées dans les trois équations du n^o 28, on aura, pour équations finales, celles-ci

${\begin{aligned}&\left[(m+n\mathrm {P} )\Delta +n{\frac {d\Delta }{dt}}\right]^{2}-2\Gamma \left[(m+n\mathrm {P} )\Delta +n{\frac {d\Delta }{dt}}\right]l\delta +\left(1-{\frac {r^{2}}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)l^{2}\delta ^{2}=0,\\\\&\left[(m+n\mathrm {P} )\Delta _{1}+n{\frac {d\Delta _{1}}{dt}}\right]^{2}\\&\qquad \qquad +2\left[\mathrm {\left(F'+G'P\right)} \Gamma _{1}+\mathrm {G} '{\frac {d\Gamma _{1}}{dt}}\right]\left[(m+n\mathrm {P} )\Delta _{1}+n{\frac {d\Delta _{1}}{dt}}\right]g''\delta \\&\qquad \qquad +\left(\mathrm {H} '-h'{\frac {r^{2}}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)^{2}g''^{2}\delta ^{2}=0,\\\\&\left[(m+n\mathrm {P} )\Delta _{2}+n{\frac {d\Delta _{2}}{dt}}\right]^{2}\\&\qquad \qquad -2\left[\mathrm {\left(F''+G''P\right)} \Gamma _{2}+\mathrm {G} ''{\frac {d\Gamma _{2}}{dt}}\right]\left[(m+n\mathrm {P} )\Delta _{2}+n{\frac {d\Delta _{2}}{dt}}\right]g'\delta \\&\qquad \qquad +\left(\mathrm {H} ''-h''{\frac {r^{2}}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)^{2}g'^{2}\delta ^{2}=0.\end{aligned}}$

31. Pour faire usage de ces équations, on calculera d’abord les quantités $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2}$ par les formules du n^o 18, et pour avoir les différentielles de ces quantités, il n’y aura qu’à faire varier le lieu du Soleil, lequel est déterminé par les quantités $\mathrm {A,B,C} .$

Soit donc $\mathrm {S} s$ le petit arc de l’écliptique que le Soleil parcourt pendant le temps $dt\,;$ il est facile de prouver que la variation de l’arc $\mathrm {CS}$ sera

$-\mathrm {S} s\cos \mathrm {CS} s,$

$\mathrm {CS} s$ étant l’angle que l’arc $\mathrm {C} s$ fait avec l’écliptique ; par la même raison les variations des arcs $\mathrm {C'S,C''S}$ seront

$-\mathrm {S} s\cos \mathrm {C'S} s,\quad -\mathrm {S} s\cos \mathrm {C''S} s.$

Mais on a par la Théorie

$dt=\mathrm {R} ^{2}\times \mathrm {S} s,$

à cause que $t$ est le mouvement moyen du Soleil et que la distance moyenne est prise pour l’unité (I) ; donc on aura

$\mathrm {S} s={\frac {dt}{\mathrm {R} ^{2}}}.$

Si donc on emploie pour la valeur de $\Delta$ la première expression de $\mathrm {(SC'C'')} ,$ savoir (18)

$\mathrm {\sqrt {1+2\cos SC'\cos SC''\cos C'C''-\cos ^{2}SC'-\cos ^{2}SC''-\cos ^{2}C'C''}} ,$

et qu’on différentie en faisant varier en même temps les arcs $\mathrm {SC',SC''} ,$ on aura

${\begin{aligned}\Delta {\frac {d\Delta }{dt}}=&{\frac {\mathrm {\left(\cos SC''\cos C'C''-\cos SC'\right)} \sin \mathrm {SC} '\cos \mathrm {C'S} s}{\mathrm {R} ^{2}}}\\+&{\frac {\mathrm {\left(\cos SC'\cos C'C''-\cos SC''\right)} \sin \mathrm {SC} ''\cos \mathrm {C''S} s}{\mathrm {R} ^{2}}}\,;\end{aligned}}$

mais en considérant te triangle $\mathrm {SC'C''} ,$ on a par les formules connues

$\mathrm {\cos SC'=\cos SC''\cos C'C''+\sin SC''\sin C'C''\cos SC''C'} ,$

et de même

$\mathrm {\cos SC''=\cos SC'\cos C'C''+\sin SC'\sin C'C''\cos SC'C''} \,;$

donc, substituant dans l’équation précédente et divisant par $\Delta ,$ on aura

${\frac {d\Delta }{dt}}=-{\frac {\mathrm {\sin SC'\sin SC''\sin C'C''} \left[\mathrm {\cos SC''C'\cos C'S} s+\mathrm {\cos SC'C''\cos C''S} s\right]}{\Delta \mathrm {R} ^{2}}},$

et l’on trouvera de la même manière

${\begin{aligned}{\frac {d\Delta _{1}}{dt}}=&-{\frac {\mathrm {\sin SC\sin SC''\sin CC''} \left[\mathrm {\cos SC''C'\cos CS} s+\mathrm {\cos SCC''\cos C''S} s\right]}{\Delta _{1}\mathrm {R} ^{2}}},\\{\frac {d\Delta _{2}}{dt}}=&-{\frac {\sin \mathrm {SC\sin SC'\sin CC'} \left[\mathrm {\cos SCC'\cos C'S} s+\mathrm {\cos SC'C\cos CS} s\right]}{\Delta _{2}\mathrm {R} ^{2}}}.\end{aligned}}$

On pourrait trouver d’autres expressions de ces différentielles en employant d’autres formules pour les valeurs de $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2}\,;$ mais nous ne nous y arrêterons pas.

Nous remarquerons seulement que, si l’on voulait faire usage des formules du n^o  20, il suffirait d’y faire varier l’arc $\Sigma$ de

$d\Sigma ={\frac {dt}{\mathrm {R} ^{2}}}$

dans le cas où $\Sigma$ est la longitude du Soleil ; mais lorsque $\Sigma$ représente l’ascension droite du Soleil et $\Pi$ sa déclinaison, il faudra faire varier en même temps $\Sigma$ et $\Pi ,$ en faisant

$d\Sigma ={\frac {\cos \eta dt}{\mathrm {R} ^{2}\cos ^{2}\Pi }},\quad d\Pi ={\frac {\sin \eta \cos \Sigma dt}{\mathrm {R} ^{2}}},$

$\eta$ étant l’obliquité de l’écliptique ; ce qui est facile à démontrer par les analogies différentielles connues.

32. À l’égard des quantités $\Gamma ,\Gamma _{1},\Gamma _{2},$ il est facile de voir que ce sont les mêmes que les quantités $\Gamma ,\Gamma ',\Gamma '',$ des n^os 17 et suivants, mais en supposant que dans les dernières $\Gamma '$ et $\Gamma ''$ le lieu du Soleil soit le même que dans la première $\Gamma .$

Ainsi l’on aura (18)

$\Gamma =\cos \mathrm {SC} ,\quad \Gamma _{1}=\cos \mathrm {SC} ',\quad \Gamma _{2}=\cos \mathrm {SC} '',$

et différentiant, comme nous l’avons pratiqué dans le numéro précédent, on aura sur-le-champ

${\frac {d\Gamma }{dt}}={\frac {\sin \mathrm {SC} \cos \mathrm {CS} s}{R^{2}}},\ \ {\frac {d\Gamma _{1}}{dt}}={\frac {\sin \mathrm {SC'} \cos \mathrm {C'S} s}{R^{2}}},\ \ {\frac {d\Gamma _{2}}{dt}}={\frac {\sin \mathrm {SC''} \cos \mathrm {C''S} s}{R^{2}}}.$

Et si l’on veut employer les formules du n^o 20, il n’y aura qu’à faire

$\Pi '=\Pi ''=\Pi ,\quad \Sigma '=\Sigma ''=\Sigma ,$

et ensuite différentier comme dans le numéro précédent.

33. Enfin, pour ne rien laisser à désirer sur la manière de se servir des équations du n^o 30, nous remarquerons encore que, puisque la moyenne distance du Soleil est prise pour l’unité, on aura dans les formules du n^o 9, en changeant $r$ en $\mathrm {R} ,$

$a=1,\quad b=1-\mathrm {E} ^{2},$

$\mathrm {E}$ étant l’excentricité de l’orbite du Soleil $=0{,}0168\,;$ donc

${\frac {d(\mathrm {R} d\mathrm {R} )}{dt^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {R} }}-1,\quad \mathrm {R} ^{2}{\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {E^{2}-(R-1)^{2}} \,;$

par conséquent (28)

$\mathrm {Q={\frac {1-R}{R^{3}}},\quad P^{2}={\frac {E^{2}-(R-1)^{2}}{R^{4}}}} .$

34. Les équations du n^o 30 ont sur celles du n^o 14 l’avantage de ne demander que le calcul d’un seul lieu du Soleil ; de sorte qu’à cet égard elles fournissent, analytiquement parlant, une solution plus simple du Problème proposé ; mais, d’un autre côté, elles paraissent moins commodes pour la pratique què ces dernières.

Quoi qu’il en soit, lorsqu’on voudra faire usage des formules de ce Mémoire, il sera peut-être à propos de prendre négativement l’intervalle $\theta '$ entre les deux premières observations, en sorte que les trois observations répondent aux temps $t-\theta ',t,t+\theta '',$ et que les quantités sans traits se rapportent à l’observation du milieu, celles avec un trait à la première observation, et celles avec deux traits à la troisième. Par ce moyen les intervalles $\theta '$ et $\theta ''$ pourront être pris peu différents l’un de l’autre ; de sorte que les séries qui expriment les quantités $g',h'$ en puissances de $\theta '$ et celles qui expriment les quantités $g'',h''$ en puissances de $\theta ''$ seront à peu près également convergentes. À l’égard de la série qui exprime la quantité $l$ (21), elle deviendra un peu moins convergente dans le cas de $\theta '$ négatif mais elle aura l’avantage que son troisième terme deviendra nul ou presque nul, lorsque les intervalles entre les trois observations seront égaux ou presque égaux, à cause que $\theta '+\theta ''$ sera zéro ou à peu près.

35. Nous avons déjà vu dans les n^os 23 et suivants qu’en s’arrêtant aux troisièmes puissances de $\theta '$ et $\theta '',$ la première équation ne contient que l’inconnue $r,$ et que les deux autres contiennent les inconnues $p$ et $q$ sous une forme linéaire. Si l’on poussait la précision jusqu’aux quatrièmes dimensions de $\theta '$ et $\theta '',$ la première équation contiendrait de plus l’inconnue $p$ sous la forme linéaire, et les deux autres contiendraient $p,q$ et $p^{2}\,;$ de sorte qu’en éliminant $p$ de la première, on aurait une équation en $r$ qui monterait à un degré plus haut que le huitième, et ainsi de suite ; mais il suffira de résoudre cette équation par approximation, et, en général, ayant trouvé les premières valeurs de $r,p,q,$ on pourra s’en servir pour en trouver d’autres de plus en plus exactes, sans résoudre des équations plus hautes que le premier degré.

Les quantités $r,p,q$ donneront immédiatement le grand axe, le paramètre et le lieu du périhélie par les formules du n^o  21 ; et le signe de $p,$ selon qu’il sera positif ou négatif, fera connaître si la Comète a déjà passé le périhélie, ou non.

Il ne restera donc qu’à déterminer la position du plan de l’orbite ; ce qu’on pourra faire par les méthodes trigonométriques connues, en employant les valeurs des distances $\rho$ et $\rho '$ de la Comète à la Terre dans deux observations. Mais, si l’on voulait déterminer analytiquement l’inclinaison et le lieu du nœud, il n’y aurait qu’à faire usage des formules données dans le n^o  9, lesquelles, en y substituant pour $x,y,z$ et ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}$ leurs valeurs déduites des six premières équations du n^o 11, se réduisent à celles-ci

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \varpi \sin \psi =&\mathrm {\frac {(\beta \rho -BR)(\gamma '\rho '-C'R')-(\gamma \rho -CR)(\beta '\rho '-B'R')}{(\alpha \rho -AR)(\beta '\rho '-B'R')-(\beta \rho -BR)(\alpha '\rho '-A'R')}} ,\\\operatorname {tang} \varpi \cos \psi =&\mathrm {\frac {(\alpha \rho -AR)(\gamma '\rho '-C'R')-(\gamma \rho -CR)(\alpha '\rho '-A'R')}{(\alpha \rho -AR)(\beta '\rho '-B'R')-(\beta \rho -BR)(\alpha '\rho '-A'R')}} \,;\end{aligned}}$

dans lesquelles les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\beta ',\ldots$ sont données par les observations ou par la Théorie du Soleil (20).

Si l’on emploie dans ces formules les longitudes et les latitudes géocentriques de la Comète, alors $\varpi$ sera l’inclinaison du plan de l’orbite sur l’écliptique, et $\psi$ la longitude de la ligne des nœuds ; mais si l’on y emploie les ascensions droites et les déclinaisons observées de la Comète, dans ce cas la quantité $\varpi$ deviendra égale à l’inclinaison de l’orbite de la Comète par rapport à l’équateur, et $\psi$ sera l’ascension droite des nœuds de cette orbite avec l’équateur.

Au reste, pour faciliter autant qu’il est possible l’usage de cette méthode à ceux qui voudront s’en servir dans la détermination des orbites des Comètes, je vais mettre ici sous les yeux les équations de ce Problème réduites à la forme la plus générale et la plus simple.

Équations pour déterminerles éléments de l’orbite d’une Comète ou d’une
Planète, par trois observations peu distantes entre elles.

36. Supposons que la Comète dont il s’agit de déterminer l’orbite ait été observée trois fois dans un espace de temps peu considérable. Soient $\mathrm {C,D,E}$ (fig. 3) les trois lieux apparents de la Comète marqués sur la surface de la sphère dont on suppose le rayon $=1,$ et soient de même $\mathrm {S,T,V}$ les trois lieux correspondants du Soleil ; en sorte que dans la première observation la Comète ait paru en $\mathrm {C}$ et le Soleil en $\mathrm {S} ,$ que dans la seconde observation la Comète ait paru en $\mathrm {D}$ et le Soleil en $\mathrm {T} ,$ et que dans la troisième la Comète ait été en $\mathrm {E}$ et le Soleil en $\mathrm {V} .$

Qu’on joigne ces six points par les arcs de grands cercles $\mathrm {CD,CE} ,$ $\mathrm {CS} ,\ldots$ on aura différents triangles sphériques $\mathrm {CDE,CDS,CDT} ,\ldots$ dont on pourra déterminer les côtés et les angles par le calcul, ou même mécaniquement par le moyen d’un bon globe céleste.

trois observations rapprochées d’une comète

Soit maintenant $\theta$ le temps écoulé entre la première et la troisième observation ; ce temps doit être représenté par le mouvement moyen du Soleil, c’est-à-dire par la différence entre les longitudes moyennes du Soleil en $\mathrm {V}$ et en $\mathrm {S} ,$ réduite en parties du rayon, c’est-à-dire divisée par l’arc $57^{\circ }17'45''\,;$ de sorte que si le temps $\theta$ est de $i$ jours, on aura

$\theta ={\frac {i}{58{,}1324}}.$

Soit de plus l’intervalle entre la première et la seconde observation, à l’intervalle entre la seconde et la troisième, comme $1$ à $n\,;$ en sorte que ${\frac {\theta }{n+1}}$ soit le premier de ces intervalles, et ${\frac {n\theta }{n+1}}$ le second.

Enfin soit la distance moyenne du Soleil à la Terre prise pour l’unité, et soient ${\text{ϐ}},\delta ,\lambda$ les véritables distances du Soleil à la Terre aux temps des trois observations, c’est-à-dire lorsque le Soleil était respectivement en $\mathrm {S,T,V} .$ Ces distances sont données par les Éphémérides, et, à cause de la petitesse de l’excentricité du Soleil, on pourra le plus souvent supposer ${\text{ϐ}}=\delta =\lambda =1.$

37. Cela posé, soit

${\begin{aligned}t=&1-{\frac {\theta ^{2}}{6r^{3}}}+{\frac {(n-1)\theta ^{3}}{4(n+1)r^{3}}}p+{\frac {\left(3n^{2}-4n+3\right)\theta ^{4}}{8(n+1)^{2}r^{3}}}\left({\frac {q}{5}}-p^{2}\right)+{\frac {\theta ^{4}}{3.5.8.r^{3}}}+\ldots ,\\s=&1-{\frac {n^{2}\theta ^{2}}{6(n+1)^{2}r^{3}}}+{\frac {n^{3}\theta ^{3}}{4(n+1)^{3}r^{3}}}p+{\frac {n^{4}\theta ^{4}}{8(n+1)^{4}r^{3}}}\left({\frac {3q}{5}}-3p^{2}+{\frac {1}{15r^{3}}}\right)-\ldots ,\\u=&1-{\frac {\theta ^{2}}{6(n+1)^{2}r^{3}}}-{\frac {\theta ^{3}}{4(n+1)^{3}r^{3}}}p+{\frac {\theta ^{4}}{8(n+1)^{4}r^{3}}}\left({\frac {3q}{5}}-3p^{2}+{\frac {1}{15r^{3}}}\right)-\ldots .\end{aligned}}$

Soit ensuite

${\begin{aligned}x=&\ \ n{\text{ϐ}}s\mathrm {\left({\frac {\sin CS}{\sin CD}}\right)} \mathrm {\left(-{\frac {\sin ECS}{\sin ECD}}\right)} -(n+1)\delta t\mathrm {\left({\frac {\sin CT}{\sin CD}}\right)} \mathrm {\left(-{\frac {\sin ECT}{\sin ECD}}\right)} \\&+\lambda u\mathrm {\left({\frac {\sin CV}{\sin CD}}\right)} \mathrm {\left(-{\frac {\sin ECV}{\sin ECD}}\right)} ,\\\\y=&\ \ n{\text{ϐ}}s\mathrm {\left({\frac {\sin DS}{\sin DC}}\right)} \mathrm {\left({\frac {\sin EDS}{\sin EDC}}\right)} -(n+1)\delta t\mathrm {\left({\frac {\sin DT}{\sin DC}}\right)} \mathrm {\left({\frac {\sin EDT}{\sin EDC}}\right)} \\&+\lambda u\mathrm {\left({\frac {\sin DV}{\sin DC}}\right)} \mathrm {\left({\frac {\sin EDV}{\sin EDC}}\right)} ,\\\\z=&\ \ \,n{\text{ϐ}}s\mathrm {\left({\frac {\sin DS}{\sin DE}}\right)} \mathrm {\left({\frac {\sin CDS}{\sin CDE}}\right)} -(n+1)\delta t\mathrm {\left({\frac {\sin DT}{\sin DE}}\right)} \mathrm {\left({\frac {\sin CDT}{\sin CDE}}\right)} \\&+\lambda u\mathrm {\left({\frac {\sin DV}{\sin DE}}\right)} \mathrm {\left({\frac {\sin CDV}{\sin CDE}}\right)} .\end{aligned}}$

Enfin soit

${\begin{aligned}\sigma ^{2}=r^{2}&-{\frac {2r^{2}\theta }{n+1}}p+{\frac {r^{2}\theta ^{2}}{(n+1)^{2}}}q+{\frac {\theta ^{3}}{3(n+1)^{3}r}}p-{\frac {\theta ^{4}}{4(n+1)^{4}r}}\left({\frac {q}{3}}-p^{2}\right)\\&-{\frac {\theta ^{5}}{4(n+1)^{5}r}}\left({\frac {3pq}{5}}+{\frac {p}{15r^{3}}}-p^{3}\right)+\ldots ,\\\\\upsilon ^{2}=r^{2}&+{\frac {2nr^{2}\theta }{n+1}}p+{\frac {n^{2}r^{2}\theta ^{2}}{(n+1)^{2}}}q-{\frac {n^{3}\theta ^{3}}{3(n+1)^{3}r}}p-{\frac {n^{4}\theta ^{4}}{4(n+1)^{4}r}}\left({\frac {q}{3}}-p^{2}\right)\\&+{\frac {n^{5}\theta ^{5}}{4(n+1)^{5}r}}\left({\frac {3pq}{5}}+{\frac {p}{15r^{3}}}-p^{3}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

38. On aura ces trois équations

${\begin{aligned}&x^{2}+2(n+1)\delta tx\cos \mathrm {DT} +(n+1)^{2}\left(\delta ^{2}-r^{2}\right)t^{2}=0,\\&y^{2}-2n{\text{ϐ}}sy\cos \mathrm {CS} +n^{2}\left({\text{ϐ}}^{2}-\sigma ^{2}\right)s^{2}=0,\\&z^{2}-2\lambda uz\cos \mathrm {EV} +\left(\lambda ^{2}-\upsilon ^{2}\right)u^{2}=0,\end{aligned}}$

par lesquelles il faudra déterminer les trois inconnues $r,p,q.$

De ces inconnues, la première $r$ est le rayon vecteur de la Comète ou sa distance au Soleil au temps de la seconde observation, et les deux autres $p$ et $q$ servent à déterminer le grand axe $2a$ de l’orbite de la Comète et le paramètre $2b$ de cette orbite au moyen des formules

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{r}}-r^{2}q,\quad b=r+r^{4}\left(q-p^{2}\right).$

Ces quantités étant connues, on aura sur-le-champ la position du périhélie sur l’orbite par l’équation

$\cos \varphi ={\frac {r^{3}\left(q-p^{2}\right)}{\sqrt {1-{\cfrac {b}{a}}}}},$

en nommant $\varphi$ l’angle du rayon $r$ avec la ligne du périhélie.

À l’égard des quantités $s,t,u,x,y,z,\sigma ,\upsilon ,$ elles serviront, aussi à déterminer les distances de la Comète à la Terre et au Soleil ; et l’on aura ${\frac {x}{(n+1)t}}$ pour la distance de la Comète à la Terre dans la seconde observation, ${\frac {y}{ns}}$ pour sa distance dans la première observation, et ${\frac {z}{u}}$ pour la distance dans la troisième observation, abstraction faite des signes de ces quantités ; enfin $\sigma$ sera la distance de la Comète au Soleil dans la première observation, et $\upsilon$ sa distance dans la troisième observation. Au moyen de ces distances on pourra déterminer facilement les autres éléments de l’orbite.

39. Pour ce qui est de la résolution des trois équations ci-dessus, elle n’aura point de difficulté, en donnant à $\theta$ une valeur moindre, ou du moins peu différente de l’unité, ce qui revient à supposer que l’intervalle de temps entre la première et la troisième observation n’aille guère au delà de deux mois ; dans ce cas les séries qui expriment les quantités $t,s,u,\sigma ^{2},\upsilon ^{2}$ seront convergentes, et d’autant plus convergentes que $\theta$ sera une fraction plus petite. En négligeant les termes affectés de $\theta ^{4}$ et des puissances supérieures de $\theta ,$ les trois équations dont il s’agit ne renfermeront les inconnues $p$ et $q$ que sous une forme linéaire ; de sorte qu’il sera très-facile d’éliminer ces inconnues, et l’on aura une équation en $r$ seul, laquelle pourra monter à la vérité à un degré assez haut, mais qu’on pourra dans une première approximation réduire au huitième degré, en ne retenant d’abord que les termes affectés de $\theta ^{2},$ comme on l’a vu (22). En général, il faudra appliquer de nouveau à ces équations les mêmes remarques que nous avons déjà faites dans ce numéro et dans les suivants.

40. Au reste je ne dois pas manquer de faire observer relativement aux expressions des quantités $x,y,z$ du n^o 37, que les rapports des sinus des angles $\mathrm {ECS,ECT,ECV}$ au sinus $\mathrm {ECD}$ y ont le signe parce que dans la figure les trois premiers angles se trouvent placés d’un côté et l’angle $\mathrm {ECD}$ se trouve de l’autre côté de l’arc adjacent commun $\mathrm {CE} \,;$ au contraire, les rapports des sinus de $\mathrm {EDS,EDT,EDV}$ au sinus de $\mathrm {EDC} ,$ ainsi que ceux des sinus $\mathrm {CDS,CDT,CDV}$ au sinus de $\mathrm {CDE} ,$ sont pris positivement, parce que les quatre premiers angles sont tous du même côté de l’arc $\mathrm {ED} ,$ et que les quatre derniers sont aussi tous du même côté de l’arc $\mathrm {CD} .$ La raison en est que ces rapports doivent devenir égaux à l’unité, lorsqu’on fait tomber successivement les points $\mathrm {D,C,E}$ en $\mathrm {S,T,V} \,;$ parce qu’alors les quantités $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2},$$\Delta ',\Delta '_{1},\ldots$ deviennent égales à $\delta$ par la nature des expressions de ces quantités (17). En observant ces conditions, on n’aura jamais à craindre de se tromper dans les signes.

1. Les Recherches de Lagrange Sur le Problème de la détermination des Orbites des Comètes forment trois Mémoires. Les deux premiers ont été insérés dans le volume de 1778 des Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin, le troisième dans le volume de 1783. Nous avons pensé qu’il convenait de ne pas scinder ces Recherches, et nous avons réuni le troisième Mémoire aux deux premiers.$\qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)
2. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 53.