Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur la Théorie des lunettes

Joseph-Louis Lagrange

Sur la Théorie des lunettes

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 535-555).

SUR LA
THÉORIE DES LUNETTES.

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1778.)

Deux grands Géomètres, feu M. Cotes et M. Euler, ont entrepris de ramener la Théorie des lunettes à des formules générales. Le premier a donné le beau Théorème qu’on lit dans le Chapitre V du second Livre de l’Optique de Smith, et qui sert à déterminer la route d’un rayon qui traverse autant de lentilles que l’on veut, disposées sur le même axe. M. Cotes mourut peu de temps après avoir fait cette découverte, en sorte qu’il ne put en profiter pour perfectionner la Théorie des lunettes ; et M. Smith rapporte que Newton dit à cette occasion « Si M. Cotes avait vécu, nous saurions quelque chose. »

M. Euler s’est occupé après lui du même objet et a trouvé des formules très-belles et très-générales, qu’on peut voir dans différents Mémoire insérés parmi ceux de cette Académie pour les années 1757 et 1761 et parmi ceux de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1765. Ce grand Géomètre a donné ensuite un Traité complet sur cette matière, lequel contient les mêmes formules exposées avec tout le détail qu’on peut désirer, et appliquées à un grand nombre de cas relatifs aux télescopes et aux microscopes.

Comme les formules de ces deux Auteurs sont présentées sous des formes différentes, j’ai été curieux de les rapprocher et de les comparer ; et cette comparaison a donné lieu à quelques recherches qui m’ont paru pouvoir encore intéresser les Géomètres, et que, par cette raison, je vais présenter aujourd’hui à l’Académie.

1. J’appellerai dans la suite foyer d’une lentille, tout court, le point de l’axe de la lentille où se réunissent les rayons qui tombent sur la lentille parallèlement à l’axe et très-près de l’axe ; et distance focale de la lentille, la distance de son foyer au centre de la lentille.

J’appellerai de plus foyers conjugués d’une lentille, les deux points de l’axe dans l’un desquels concourent les rayons qui partent de l’autre ; et distances des foyers conjugués, les distances de ces points au centre de la lentille.

Enfin j’appellerai foyers conjugués d’une lunette, ou d’un système de plusieurs lentilles parallèles entre elles et placées sur un même axe à des distances quelconques, les deux points de l’axe dans l’un desquels vont se réunir les rayons qui étant partis de l’autre point traversent toutes les lentilles ; et distances des foyers conjugués, les distances de ces points à la première et à la dernière lentille.

Au reste je prendrai toujours les distances des foyers conjugués affirmativement, lorsque ces foyers tombent des deux côtés opposés des lentilles par conséquent, lorsqu’une des distances deviendra négative, ce sera une marque que les deux foyers conjugués tombent du même côté des lentilles.

2. Cela posé, soit d’abord une lentille quelconque pour laquelle la distance focale soit $f,$ et les distances des foyers conjugués $a$ et $b\,;$ on aura, par les Théorèmes connus, l’équation

${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{f}}.$

Et cette équation a lieu aussi lorsqu’au lieu d’une lentille on a un miroir.

3. Supposons maintenant qu’on ait plusieurs lentilles disposées sur le même axe à des distances quelconques, lesquelles forment une lunette ou, en général, un instrument dioptrique quelconque, et considérons la route d’un rayon qui traverserait toutes ces lentilles à peu de distance de l’axe et dans un plan passant par le même axe. Il est clair que si ce rayon n’est pas parallèle à l’axe avant d’entrer dans la première lentille, il doit couper l’axe dans quelque point, et l’on pourra alors regarder ce point comme celui d’où le rayon est censé partir ; ce point sera par conséquent le premier foyer conjugué de la première lentille et de toute la lunette. Ce même rayon ensuite, après avoir été réfracté par la première lentille, coupera de nouveau l’axe, et ira tomber sur la seconde lentille, comme s’il partait de ce second point d’intersection ; ainsi ce même point sera à la fois le second foyer conjugué de la première lentille et le premier foyer conjugué de la seconde lentille ; et ainsi de suite, jusqu’à ce qué le rayon, ayant été réfracté par toutes les lentilles, sorte de la lunette et coupe pour la dernière fois l’axe dans un point qui sera le second foyers conjugué de la dernière lentille et de toute la lunette.

4. Soient donc $f',f'',f''',\ldots$ les distances focales de ces différentes lentilles ; $a',b'$ les distances des deux foyers conjugués de la première lentille ; $a'',b''$ celles des foyers conjugués de la seconde lentille ; $a''',b'''$ les distances des foyers conjugués de la troisième lentille, et ainsi des autres ; $a'$ sera en même temps la distance du premier foyer conjugué de la lunette, et la dernière des quantités $b',b'',b''',\ldots$ que je désignerai, en général, par $b''',\ldots$ sera la distance du second foyer conjugué de la lunette ; enfin soient $h',h'',h''',\ldots$ les distances entre la première lentille et la seconde, entre la seconde et la troisième, etc.

Il est clair qu’on aura d’abord, par l’hypothèse,

(A)

$h'=b'+a'',\quad h''=b''+a''',\quad h'''=b'''+a^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots .$

Ensuite, par le n^o 1, on aura pour chaque lentille

(B)

${\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}={\frac {1}{f'}},\quad {\frac {1}{a''}}+{\frac {1}{b''}}={\frac {1}{f''}},\quad {\frac {1}{a'''}}+{\frac {1}{b'''}}={\frac {1}{f'''}},\ldots .$

Par le moyen de ces équations on pourra donc déterminer les distances de tous les foyers conjugués, et par conséquent la route entière du rayon.

Les lentilles et leur arrangement étant donnés, les distances focales $f',f'',f''',\ldots$ et les distances $h',h'',h''',\ldots$ seront aussi données ; il n’y aura donc d’inconnues que les quantités $a',b',a'',b'',a''',b''',\ldots$ et tout se réduira à déterminer successivement ces différentes inconnues. Cette détermination n’a à proprement parler aucune difficulté ; mais en s’y prenant par les voies ordinaires, on tombe bientôt dans des formules assez compliquées et dans lesquelles il est difficile d’apercevoir la loi de la progression ; il est donc nécessaire d’y employer des méthodes particulières, et c’est en quoi consiste le principal mérite des Théories de Cotes et de M. Euler. Voici ce que j’ai trouvé de plus simple pour cet objet.

5. Je prends une suite de quantités inconnues

$x,x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$

et je suppose

$a'={\frac {x'}{x}},\ \ b'={\frac {x'}{x''}},\ \ a''={\frac {x'''}{x''}},\ \ b''={\frac {x'''}{x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\ \ a'''={\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\ \ b'''={\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}}},\ldots \,;$

je substitue ces quantités dans les équations (A) et (B) du numéro précédent, et, chassant les dénominateurs, j’obtiens celles-ci

(C)

$h'x''=x'+x''',\quad h''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\quad h'''x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+x^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},\ldots ,$

(D)

$x+x''={\frac {x'}{f'}},\quad x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {x'''}{f''}},\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}={\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{f'''}},\ldots .$

Ces équations sont, comme l’on voit, toutes réduites à la même forme, et si pour les simplifier davantage on fait

${\frac {1}{f'}}=m',\ \ h'=m'',\ \ {\frac {1}{f''}}=m''',\ \ h''=m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ \ {\frac {1}{f'''}}=m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ \ h'''=m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},\ldots ,$

on aura celles-ci

(E)

$\left\{{\begin{aligned}x\ \ -m'\,\ x'\ +x''\ &=0,\\x'\ -m''\ x''\,+x'''&=0,\\x''-m'''x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=0,\\x'''-m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots .\end{aligned}}\right.$

D’où l’on voit que les inconnues $x,x',x'',\ldots$ forment une série récurrente du second ordre ; de sorte que la question est réduite à trouver le terme général d’une série de ce genre.

6. Si les coefficients $m',m'',m''',\ldots$ étaient tous égaux, on aurait tout d’un coup le terme général dont il s’agit par les méthodes connues ; mais lorsque ces coefficients sont inégaux, je ne connais point d’autre moyen, pour avoir les valeurs des différents termes de la série récurrente, que de les déterminer successivement l’un après l’autre.

Pour cela on remarquera que, quelque nombre d’équations qu’on prenne à résoudre, il y aura toujours deux inconnues de plus qu’il n’y a d’équations ; ainsi les deux premiers termes $x$ et $x'$ doivent demeurer indéterminés, et comme les équations (E) sont linéaires et ne contiennent aucun terme sans $x,$ il est facile de prévoir que l’expression d’une inconnue quelconque sera composée de deux parties, l’une toute multipliée par $x,$ et l’autre toute multipliée par $x',$ en sorte qu’on pourra chercher séparément chacune de ces parties en faisant, dans les équations (E), $x=0$ ou $x'=0.$

1^o On aura donc

${\begin{aligned}x\ \ \,&=0,\\x'\ \,&=x',\\x''\ &=m'x',\\x'''&=\left(-1+m'm''\right)x',\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\left(-m'-m'''+m'm''m'''\right)x',\\x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=\left(1-m'm''-m'm^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+m'm''m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)x',\\x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&=\left(m'+m'''+m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-m'm''m'''-m'm''m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-m'm^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+m'm''m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)x',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

2^o On aura de même

${\begin{aligned}x\ \ \,&=x,\\x'\ \,&=0,\\x''\ &=-x,\\x'''&=-m''x,\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\left(1-m''m'''\right)x,\\x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=\left(m''+m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-m''m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)x,\\x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&=\left(-1+m''m'''+m''m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-m''m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)x,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et pour avoir la valeur complète d’un $x$ quelconque, il n’y aura qu’à ajouter ensemble les valeurs de la même quantité dans les deux cas.

7. Si dans les expressions précédentes on remet pour $m',m'',m''',\ldots$ leurs valeurs (5), qu’on ordonne ensuite les termes par rapport aux quantités $f',f'',f''',\ldots ,$ et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} \ \ \ \,&=0,\\\mathrm {P} '\ \ \,&=1,\\\mathrm {P} ''\ \,&={\frac {1}{f'}},\\\mathrm {P} '''\ &=-1+{\frac {h'}{f'}},\\\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,&=-{\frac {1}{f'}}-{\frac {1}{f''}}+{\frac {h'}{f'f''}},\\\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \,&=1-{\frac {h'+h''}{f'}}-{\frac {h''}{f''}}+{\frac {h'h''}{f'f''}},\\\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\,&={\frac {1}{f'}}+{\frac {1}{f''}}+{\frac {1}{f'''}}-{\frac {h'}{f'f''}}-{\frac {h'+h''}{f'f'''}}-{\frac {h''}{f''f'''}}+{\frac {h'h''}{f'f''f'''}},\\\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&=-1+{\frac {h'+h''+h'''}{f'}}+{\frac {h''+h'''}{f''}}+{\frac {h'''}{f'''}}-{\frac {h'(h''+h''')}{f'f''}}\\&-{\frac {(h'+h'')h'''}{f'f'''}}-{\frac {h''h'''}{f''f'''}}+{\frac {h'h''h'''}{f'f''f'''}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {Q} \ \ \ \,&=1,\\\mathrm {Q} '\ \ \,&=0,\\\mathrm {Q} ''\ \,&=-1,\\\mathrm {Q} '''\ &=-h',\\\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,&=1-{\frac {h'}{f''}},\\\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \,&=h'+h''-{\frac {h'h''}{f''}},\\\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\,&=-1+{\frac {h'}{f''}}+{\frac {h'+h''}{f'''}}-{\frac {h'h''}{f''f'''}},\\\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&=-h'-h''-h'''+{\frac {h'(h''+h''')}{f''}}+{\frac {(h'+h'')h'''}{f'''}}+{\frac {h'h''h'''}{f''f'''}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}x\ \ \ \ &=\mathrm {P} \ \ x'+\mathrm {Q} x,\\x'\ \ \ &=\mathrm {P} '\ x'+\mathrm {Q} 'x,\\x''\ \ &=\mathrm {P} ''x'+\mathrm {Q} ''x,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\x^{(\mu )}&=\mathrm {P} ^{(\mu )}x'+\mathrm {Q} ^{(\mu )}x.\end{aligned}}$

8. Comme $a'={\frac {x'}{x}}$ (5), si l’on change $a'$ en $h$ pour mieux conserver l’analogie, en sorte que $h$ représente la distance du premier foyer conjugué de la lunette à la première lentille, et qu’on substitue dans les formules précédentes $hx$ à la place de $x',$ on aura

$x^{(\mu )}=\left[h\mathrm {P} ^{(\mu )}+\mathrm {Q} ^{(\mu )}\right]x\,;$

et faisant, pour abréger,

$h\mathrm {P^{(\mu )}+Q^{(\mu )}=R^{(\mu )}} ,$

on aura, en général,

$x^{(\mu )}=\mathrm {R} ^{(\mu )}x.$

Et, développant les expressions des quantités $\mathrm {R,R',R''} ,\ldots ,$ on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {R} \ \ \ \,&=1,\\\mathrm {R} '\ \ \,&=h,\\\mathrm {R} ''\ \,&=-1+{\frac {h}{f'}},\\\mathrm {R} '''\ &=-h-h'+{\frac {hh'}{f'}},\\\mathrm {R} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,&=1-{\frac {h}{f'}}-{\frac {h+h'}{f''}}+{\frac {hh'}{f'f''}},\\\mathrm {R} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \,&=h+h'+h''-{\frac {h(h'+h'')}{f'}}-{\frac {(h+h')h''}{f''}}+{\frac {hh'h''}{f'f''}},\\\mathrm {R} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\,&=-1+{\frac {h}{f'}}+{\frac {h+h'}{f''}}+{\frac {h+h'+h''}{f'''}}-{\frac {hh'}{f'f''}}-{\frac {h(h'+h'')}{f'f'''}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {(h+h')h''}{f''f'''}}+{\frac {hh'h''}{f'f''f'''}},\\\mathrm {R} ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&=-h-h'-h''-h'''+{\frac {h(h'+h''+h''')}{f'}}+{\frac {(h+h')(h''+h''')}{f''}}\\&+{\frac {(h+h'+h'')h'''}{f'''}}-{\frac {hh'(h''+h''')}{f'f''}}-{\frac {h(h'+h'')h'''}{f'f'''}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {(h+h')h''h'''}{f''f'''}}+{\frac {hh'h''h'''}{f'f''f'''}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Il est facile d’apercevoir la loi de ces termes, si l’on considère séparément les termes qui occupent les places paires, et ceux qui occupent les places impaires.

9. Nous n’avons considéré jusqu’à présent que les points où le rayon qui passe au travers de toutes les lentilles coupe successivement l’axe de ces lentilles ; considérons maintenant les angles sous lesquels ce rayon coupe l’axe, ainsi que les distances de l’axe aux différents points dans lesquels le rayon traverse les lentilles, distances qu’on nomme communément demi-diamètres des ouvertures des lentilles.

Il est facile de concevoir, même sans figures, que si l’on nomme $\theta ',$$\theta '',\theta ''',\ldots$ les demi-diamètres des ouvertures de la première lentilles, de la seconde, de la troisième, etc., et qu’on appelle $\varphi ',\varphi '',\varphi ''',\ldots$ les angles sous lesquels le rayon coupe l’axe aux premiers foyers conjugués de la première lentille, de la seconde, de la troisième, etc. ; il est aisé de concevoir, dis-je, qu’on aura

$\theta '=a'\operatorname {tang} \varphi ',\quad \theta ''=a''\operatorname {tang} \varphi '',\quad \theta '''=a'''\operatorname {tang} \varphi ''',\ldots \,;$

et comme le second foyer conjugué de la première lentille coïncide avec le premier foyer conjugué de la seconde lentille, et ainsi de suite, et que le rayon, en coupant l’axe dans ces foyers conjugués communs, fait avec lui des angles égaux de part et d’autre, il s’ensuit qu’on aura aussi

$\theta '=b'\operatorname {tang} \varphi '',\quad \theta ''=b''\operatorname {tang} \varphi ''',\ldots .$

Donc on aura

$a'={\frac {\theta '}{\operatorname {tang} \varphi '}},\ \ b'={\frac {\theta '}{\operatorname {tang} \varphi ''}},\ \ a''={\frac {\theta ''}{\operatorname {tang} \varphi ''}},\ \ b''={\frac {\theta ''}{\operatorname {tang} \varphi '''}},$

$a'''={\frac {\theta '''}{\operatorname {tang} \varphi '''}},\ldots .$

Si l’on compare ces expressions avec celles du n^o 5, on verra que les quantités $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ sont proportionnelles aux quantités $x',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots ,$ et que les quantités $\operatorname {tang} \varphi ',\operatorname {tang} \varphi '',\operatorname {tang} \varphi ''',\ldots$ sont en même temps proportionnelles aux quantités $x,x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots \,;$ et comme les équations (E), qui doivent avoir lieu entre ces dernières quantités, ne déterminent pas leurs valeurs absolües, mais seulement leurs proportions mutuelles, il s’ensuit qu’on peut supposer

$x=\operatorname {tang} \varphi ',$

et alors on aura

${\begin{alignedat}{2}x'\ \,&=\theta ',&x''\,&=\operatorname {tang} \varphi '',\\x'''&=\theta '',&x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\operatorname {tang} \varphi ''',\\x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ &=\theta ''',\qquad &x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&=\operatorname {tang} \varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

10. Ainsi les quantités $x,x',x'',\ldots ,$ dont les valeurs ont été déterminées ci-dessus, ne servent pas seulement à déterminer les distances des foyers $a',a'',a''',\ldots ,b',b'',b''',\ldots ,$ mais elles représentent elles-mêmes les tangentes des angles aux foyers et les demi-diamètres des ouvertures ; les quantités $x,x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ qui occupent les places paires, sont les tangentes des angles aux différents foyers conjugués, et les quantités $x',x''',$$x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots$ sont les demi-diamètres des ouvertures des lentilles. D’où l’on voit que les quantités dont il s’agit donnent en même temps tous les éléments de la Théorie des lunettes, puisqu’elles déterminent toutes les circonstances de la route d’un rayon qui traverse autant de lentilles qu’on veut, dont on connaît les distances focales $f',f'',f''',\ldots$ et les distances respectives de l’une à l’autre $h',h'',h''',\ldots .$

Il faut seulement remarquer que, suivant les dénominations et les hypothèses précédentes, le rayon devant traverser l’axe dans tous les foyers, les angles aux foyers et les demi-diamètres des ouvertures doivent être alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe, c’est-à-dire alternativement positifs et négatifs ; donc, en général, on aura pour les tangentes des angles aux foyers les quantités $x,-x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},-x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},\ldots ,$ et pour les demi-diamètres des ouvertures $x',-x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},-x^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},\ldots .$

11. Comme il est indifférent dans quel sens on suppose que le rayon traverse les lentilles, on peut imaginer que l’œil soit placé au point de l’axe que nous avons nommé le premier foyer conjugué de la lunette, et qu’il reçoive le rayon qui concourt dans ce point après avoir traversé toutes les lentilles. Dans cette hypothèse la quantité $a'$ ou $h$ sera la distance de l’œil au premier oculaire, et $\varphi '$ sera l’angle sous lequel le rayon entre dans l’œil. De plus on peut regarder le demi-diamètre de l’ouverture $\theta ^{'''\ldots }$ de la dernière lentille comme un objet de l’extrémité duquel part le rayon dont il s’agit. Ainsi cet objet sera vu à travers les autres lentilles sous un angle égal à $\varphi '\,;$ mais si cet objet était vu avec l’œil nu, il est clair qu’il faudrait qu’il fût placé à la distance ${\frac {\theta ^{'''\ldots }}{\operatorname {tang} \varphi '}}$ de l’œil pour qu’il fût vu sous le même angle $\varphi '\,;$ donc ${\frac {\theta ^{'''\ldots }}{\operatorname {tang} \varphi '}}$ sera la distance apparente de l’objet vu à travers toutes les lentilles.

Or $\operatorname {tang} \varphi '$ est égal à $x$ et $\theta ^{'''\ldots }$ est égal au dernier terme de la série $x',-x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},-x^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},\ldots ,$ dont le quantième doit être égal au nombre des lentilles augmenté de l’unité, à cause que la dernière lentille n’entre plus ici en considération.

Donc, si un objet est vu par un nombre $\mu$ de lentilles, sa distance apparente sera (8)

${\frac {\pm x^{(2\mu +1)}}{x}}=\pm \mathrm {R} ^{(2\mu +1)},$

le signe supérieur étant pour le cas où $\mu$ est pair, et l’inférieur pour celui où $\mu$ est impair.

Le Théorème de Cotes, dont on a parlé au commencement de ce Mémoire, donne précisément la distance apparente d’un objet vu à travers un nombre quelconque de lentilles, et la valeur de cette distance, suivant ce Théorème, s’accorde parfaitement avec l’expression précédente.

12. Reprenons les équations (E), ou plutôt les équations (C) et (D) du n^o 5, et, éliminant premièrement les quantités $x',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots ,$ on aura celles-ci entre les quantités $x,x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots .$

$-x'+f'x+f'x''=0,$

${\begin{aligned}&f'\ \ x\ \ \,+(f'\ \,+f''\,-h'\ \ )x''\,+f''\ x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\ =0,\\&f''\ x''\,+(f''\ +f'''-h''\ )x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\ \,=0,\\&f'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(f'''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,-h''')x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}+f^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Mais, si l’on élimine les quantités $x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},\ldots ,$ on aura ces autres-ci entre les quantités $x,x',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots .$

${\begin{aligned}&x\quad \,+\left({\frac {1}{h'}}\ \,-{\frac {1}{f'}}\right)x'+{\frac {x'''}{h'}}=0,\\&{\frac {x'}{h'}}\,\ +\left({\frac {1}{h'}}\ \ +{\frac {1}{h''}}-{\frac {1}{f''}}\ \right)x'''\,+{\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{h''}}\ \,=0,\\&{\frac {x'''}{h''}}+\left({\frac {1}{h''}}\ +{\frac {1}{h'''}}-{\frac {1}{f'''}}\right)x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \,+{\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}}{h'''}}=0,\\&{\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{h'''}}\,+\left({\frac {1}{h'''}}+{\frac {1}{h^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}-{\frac {1}{f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\right)x^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}+{\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}}}{h^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\,=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

par lesquelles on pourra déterminer séparément les quantités qui oc-

cupent les places paires et celles qui occupent les places impaires dans la série $x,x',x'',x''',\ldots .$

13. Soit

$x''=\alpha 'x,\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\alpha ''x'',\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=\alpha '''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$

et par conséquent

$x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\alpha '\alpha ''x,\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=\alpha '\alpha ''\alpha '''x,\ldots \,;$

substituantces valeurs dans la première suite d’équations, on aura celles-ci

$-x'+(1+\alpha ')f'x=0,$

${\begin{aligned}&f'\ \ +(f'\ \,+f''\,-h'\ \ )\alpha '\ +f''\ \alpha '\ \ \alpha ''\,=0,\\&f''\ +(f''\ +f'''-h''\ )\alpha ''\,+f'''\alpha ''\ \alpha '''=0,\\&f'''+(f'''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,-h''')\alpha '''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\alpha '''\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$x'=(1+\alpha ')f'x,$

ensuite

${\begin{aligned}h'\ \ &={\frac {\alpha '+1}{\alpha '}}\ \ f'\ \ +(\alpha ''+1)f'',\\h''\ &={\frac {\alpha ''+1}{\alpha ''}}\ f''\ +(\alpha '''+1)f''',\\h'''&={\frac {\alpha '''+1}{\alpha '''}}f'''+\left(\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,+1\right)f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, à cause de $a'={\frac {x'}{x}}$ (5), si l’on change $a'$ en $h,$ comme dans le n^o 8, la première équation deviendra

$h=(\alpha '+1)f'.$

Ensuite, si l’on fait

$x'=f'\varpi ',\quad x'''=f''\varpi '',\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=f'''\varpi ''',\ldots ,$

et qu’on substitue ces valeurs dans la seconde série d’équations du numéro précédent, on aura, en ordonnant les termes par rapport aux lettres $h',h'',\ldots ,$

${\begin{aligned}&{\frac {f'\ \varpi '\,+f''\ \varpi ''\,}{h'}}=\varpi '-x,\\&{\frac {f'\ \varpi '\,+f''\ \varpi ''\,}{h'}}+{\frac {f''\,\varpi ''\,+f'''\varpi '''}{h''}}=\varpi '',\\&{\frac {f''\varpi ''+f'''\varpi '''}{h''}}+{\frac {f'''\varpi '''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\varpi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{h'''}}=\varpi ''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, soustrayant ces équations successivement les unes des autres,

${\begin{aligned}&{\frac {f'\ \ \varpi '\ +f''\ \varpi ''\ }{h'}}=\varpi '\ \ -x,\\&{\frac {f''\ \varpi ''\,+f'''\varpi '''}{h''}}=\varpi ''\ -\varpi '\ +x,\\&{\frac {f'''\varpi '''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\varpi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,}{h'''}}=\varpi '''-\varpi ''+\varpi '-x,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

Donc, substituant ici les valeurs trouvées ci-dessus de $h',h'',h''',\ldots ,$ on en tirera les valeurs de $f'',f''',\ldots .$

On aura ainsi

${\begin{aligned}{\frac {f''}{f'}}&=-{\frac {\varpi '\ \ -(\varpi '-x)\left(1+{\cfrac {1}{\alpha '}}\right)}{\varpi ''-(\varpi '-x)(1+\alpha '')}},\\{\frac {f'''}{f''}}&=-{\frac {\varpi ''\ -(\varpi ''-\varpi '+x)\left(1+{\cfrac {1}{\alpha ''}}\right)}{\varpi ''-(\varpi ''-\varpi '+x)(1+\alpha ''')}},\\{\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{f'''}}&=-{\frac {\varpi '''-(\varpi '''-\varpi ''+\varpi '-x)\left(1+{\cfrac {1}{\alpha '''}}\right)}{\varpi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-(\varpi '''-\varpi ''+\varpi '-x)\left(1+\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en réduisant,

${\begin{aligned}{\frac {f''}{f'}}&={\frac {1}{\alpha '}}{\frac {\varpi '-x(1+\alpha ')}{\varpi ''-(\varpi '-x)(1+\alpha '')}},\\{\frac {f'''}{f''}}&={\frac {1}{\alpha ''}}{\frac {\varpi ''-(\varpi '-x)(1+\alpha '')}{\varpi ''-(\varpi ''-\varpi '+x)(1+\alpha ''')}},\\{\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{f'''}}&={\frac {1}{\alpha '''}}{\frac {\varpi '''-(\varpi '''-\varpi ''+x)(1+\alpha ''')}{\varpi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-(\varpi '''-\varpi ''+\varpi '-x)\left(1+\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

Donc, à cause de $f'={\frac {h}{1+\alpha '}},$ on aura, en substituant successivement les valeurs de $f',f'',\ldots ,$

${\begin{aligned}f'\ \ &={\frac {h}{1}}+{\alpha '}{\frac {\varpi '-x(1+\alpha ')}{\varpi '-x(1+\alpha ')}},\\f''\ &={\frac {h}{\alpha '(1+\alpha ')}}{\frac {\varpi '-x(1+\alpha ')}{\varpi ''-(\varpi '-x)(1+\alpha '')}},\\f'''&={\frac {h}{\alpha '\alpha ''(1+\alpha ')}}{\frac {\varpi '-x(1+\alpha ')}{\varpi '''-(\varpi ''-\varpi '+x)\left(1+\alpha '''\right)}},\\f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&={\frac {h}{\alpha '\alpha ''\alpha '''(1+\alpha ')}}{\frac {\varpi '-x(1+\alpha ')}{\varpi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-(\varpi '''-\varpi ''+\varpi '-x)\left(1+\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Substituant enfin ces valeurs dans les expressions de $h',h'',\ldots$ et réduisant, on aura

${\begin{aligned}h'\ \ &={\frac {h}{\alpha '(1+\alpha ')}}{\frac {\left[\varpi '-x(1+\alpha ')\right]\left[(1+\alpha ')\varpi ''-\alpha '(1+\alpha '')\varpi '\right]}{\left[\varpi '-x(1+\alpha ')\right]\left[\varpi ''-(\varpi '-x)(1+\alpha '')\right]}},\\h''\ &={\frac {h}{\alpha '\alpha ''(1+\alpha ')}}\\&\qquad \times {\frac {\left[\varpi '-x(1+\alpha ')\right]\left[(1+\alpha '')\varpi '''-\alpha ''(1+\alpha ''')\varpi ''\right]}{\left[\varpi ''-(\varpi '-x)(1+\alpha '')\right]\left[\varpi '''-(\varpi ''-\varpi '+x)(1+\alpha ''')\right]}},\\h'''&={\frac {h}{\alpha '\alpha ''\alpha '''(1+\alpha ')}}\\&\qquad \times {\frac {\left[\varpi '-x(1+\alpha ')\right]\left[(1+\alpha ''')\varpi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\alpha '''(1+\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\varpi '''\right]}{\left({\begin{aligned}&\left[\varpi '''-(\varpi ''-\varpi '+x)(1+\alpha ''')\right]\\&\qquad \qquad \times \left[\varpi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-(\varpi '''-(\varpi '''-\varpi ''+\varpi '-x)(1+\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\right]\end{aligned}}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi les distances focales $f',f'',\ldots$ et les intervalles entre les lentilles $h',h'',\ldots$ sont exprimés par les quantités $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots ,\varpi ',\varpi '',$$\varpi ''',\ldots ,$ et comme on a supposé

$x'=f'\varpi ',\quad x''=\alpha 'x,\quad x'''=f''\varpi '',\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\alpha '\alpha ''x,\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=f'''\varpi ''',$

$x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=\alpha '\alpha ''\alpha '''x,\ldots ,$

on aura aussi les quantités $x',x'',x''',\ldots$ exprimées par les mêmes quantités $\alpha ',\alpha '',\ldots ,\varpi ',\varpi '',\ldots .$

14. Les quantités $\varpi ',\varpi '',\ldots$ sont égales aux demi-diamètres des ouvertures des lentilles divisés par les distances focales des mêmes lentilles ce sont par conséquent les mêmes quantités que M. Euler nomme raisons des ouvertures, et qui dans ses formules sont désignées aussi par ces mêmes lettres.

À l’égard des quantités $\alpha ',\alpha '',\ldots ,$ elles sont égales à ${\frac {x''}{x}},{\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{x''}},\ldots ,$ et par conséquent à ${\frac {a'}{b'}},{\frac {a''}{b''}},\ldots$ (5) ; or M. Euler désigne par les lettres majuscules $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ les quantités ${\frac {b'}{a'}},{\frac {b''}{a''}},\ldots \,;$ ainsi l’on aura

$\alpha '={\frac {1}{\mathrm {A} }},\quad \alpha ''={\frac {1}{\mathrm {B} }},\quad \alpha '''={\frac {1}{\mathrm {C} }},\ldots .$

Enfin M. Euler suppose que l’ouverture de la première lentille est nulle, pour ne considérer que la route du rayon qui passe par le centre de cette lentille ; ainsi, suivant lui, $\varpi '$ doit être nul.

Si l’on fait ces différentes substitutions dans les formules trouvées ci-dessus, on en verra naître celles de M. Euler, dont on a parlé au commencement de ce Mémoire.

15. Après avoir fait voir comment le Théorème de Cotes et les formules de M. Euler se déduisent directement de nos formules primitives, nous allons revenir sur celles-ci et les considérer plus particulièrement.

Et d’abord, puisque nous avons déjà vu que les équations récurrentes (E) donnent, en général (7),

$x^{(\mu )}=\mathrm {P} ^{(\mu )}x'+\mathrm {Q} ^{(\mu )}x,$

il est bon d’examiner de plus près la loi qu’observent les quantités $\mathrm {P',P''} ,$$\mathrm {P''',\ldots ,Q',Q'',Q''',\ldots } .$

Par la formation de ces quantités il est visible qu’il y a entre elles les mêmes rapports qu’entre les quantités correspondantes $x,x',x'',\ldots ,$ de sorte qu’on aura aussi, en général, en vertu des équations (E),

${\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(\lambda +1)}-m^{(\lambda )}\mathrm {P} ^{(\lambda )}+\,\mathrm {P} ^{(\lambda -1)}=&0,\\\mathrm {Q} ^{(\lambda +1)}-m^{(\lambda )}\mathrm {Q} ^{(\lambda )}+\mathrm {Q} ^{(\lambda -1)}=&0\,;\end{aligned}}$

donc, on aura

$\mathrm {P^{(\lambda +1)}Q^{(\lambda )}-Q^{(\lambda +1)}P^{(\lambda )}=Q^{(\lambda )}P^{(\lambda -1)}-P^{(\lambda )}Q^{(\lambda -1)}} \,;$

mais, lorsque $\lambda =1,$ on a

$\mathrm {P'Q-Q'P} =1\,;$

donc

$\mathrm {P''Q'-Q''P'=-1,\quad P'''Q''-Q'''P''} =1,\ldots \,;$

donc, en général,

$\mathrm {P^{(\lambda +1)}Q^{(\lambda )}-Q^{(\lambda +1)}P^{(\lambda )}} =\pm 1,$

le signe supérieur étant pour le cas où $\lambda$ est pair, et l’inférieur pour celui où $\lambda$ est impair.

16. Or on voit par les formules du n^o 7 que les expressions des quantités $\mathrm {Q,Q',Q''} ,\ldots$ ne contiennent point la quantité $f'\,;$ donc, si dans l’équation précédente on fait varier $f',$ les quantités $\mathrm {Q} ^{(\lambda )}$ et $\mathrm {Q} ^{(\lambda +1)}$ doivent demeurer constantes ; et l’on aura en divisant par $df'$

$\mathrm {Q} ^{(\lambda )}{\frac {d\mathrm {P} ^{(\lambda +1)}}{df'}}-\mathrm {Q} ^{(\lambda +1)}{\frac {d\mathrm {P} ^{(\lambda )}}{df'}}=0\,;$

d’où il s’ensuit que les quantités $\mathrm {Q} ^{(\lambda )}$ sont proportionnelles aux quantités ${\frac {d\mathrm {P} ^{(\lambda )}}{df'}}\,;$ de sorte qu’on aura, en général,

$\mathrm {Q} ^{(\lambda )}=k{\frac {d\mathrm {P} ^{(\lambda )}}{df'}},$

$k$ étant un coefficient constant. Pour le déterminer, on fera, par exemple,

$\lambda =2,$ auquel cas on a (7)

$\mathrm {Q} ''=-1,\quad \mathrm {P} ''={\frac {1}{f'}}\,;$

donc

${\frac {d\mathrm {P} ''}{df'}}=-{\frac {1}{f'^{2}}}\,;$

par conséquent $k=f'^{2}.$

Donc enfin on aura, en général,

$\mathrm {Q} ^{(\lambda )}=f'^{2}{\frac {d\mathrm {P} ^{(\lambda )}}{df'}}.$

Ainsi, dès qu’on connaîtra les quantités $\mathrm {P,P',P''} ,\ldots$ on en pourra déduire immédiatement par une simple différentiation les quantités correspondantes $\mathrm {Q,Q',Q''} ,\ldots .$

17. Maintenant, si l’on considère les expressionsdes quantités $\mathrm {P,P',}$$\mathrm {P''} ,\ldots ,$ du n^o 7, on voit d’abord que les termes $\mathrm {P',P''} ,\ldots ,$ qui occupent les places paires, forment une série dont la loi est assez claire et dont le terme général peut être représenté de cette manière

${\begin{aligned}\pm \mathrm {P} ^{(2\nu +1)}=1&-{\frac {h'+h''+h'''+\ldots +h^{(\nu )}}{f'}}-{\frac {h''+h'''+\ldots +h^{(\nu )}}{f''}}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {h'''+\ldots +h^{(\nu )}}{f'''}}-\ldots \\&+{\frac {h'\left[h''+h'''+\ldots +h^{(\nu )}\right]}{f'f''}}+{\frac {(h'+h'')\left[h'''+\ldots +h^{(\nu )}\right]}{f'f'''}}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {h''\left[h'''+\ldots +h^{(\nu )}\right]}{f''f'''}}+\ldots \\&-{\frac {h'h''\left[h'''+\ldots +h^{(\nu )}\right]}{f'f''f'''}}-{\frac {(h'+h'')h'''\left[h^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +h^{(\nu )}\right]}{f'f'''f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}-\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

le signe supérieur de $\mathrm {P} ^{(2\nu +1)}$ étant pour le cas où $\nu$ est un nombre pair, et l’inférieur pour celui où $\nu$ est un nombre impair.

Il ne reste donc plus qu’à trouver les termes intermédiaires $\mathrm {P} '',\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots \,;$ or la formule générale donne, en mettant $h^{(\nu )}$ à la place de $m^{(2\nu )},$

$\mathrm {P} ^{(2\nu )}={\frac {\mathrm {P} ^{(2\nu +1)}+\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}}{h^{(\nu )}}}.$

On peut encore simplifier cette expression en faisant attention que les valeurs de $\mathrm {P} ^{(2\nu )}$ et de $\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}$ ne dépendent point de la quantité $h^{(\nu )},$ ainsi qu’on le voit par les formules du n^o 7 ; d’où il s’ensuit que l’équation précédente étant multipliée par $h^{(\nu )},$ et ensuite différentiée en regardant $h^{(\nu )}$ comme la seule variable, on aura

$\mathrm {P} ^{(2\nu )}dh^{(\nu )}=d\mathrm {P} ^{(2\nu +1)}.$

Donc

$\mathrm {P} ^{(2\nu )}={\frac {d\mathrm {P} ^{(2\nu +1)}.}{dh^{(\nu )}}}.$

18. Soit maintenant une lunette composée d’un nombre quelconque $\nu$ de lentilles ; un rayon, qui coupant l’axe sous l’angle $x$ entrera dans la première lentille à la distance $x'$ de l’axe, coupera successivement l’axe sous les angles $x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,x^{(2\nu )},$ et traversera les autres lentilles aux distances $-x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots ,\pm x^{(2\nu -1)}$ de l’axe ; le signe supérieur étant pour le cas où $\nu$ est impair, et l’inférieur pour celui où $\nu$ est pair.

L’angle $x$ est donc changé par l’effet des lentilles dans l’angle $x^{(2\nu )},$ et la distance ou ouverture $x'$ est changée en $\pm x^{(2\nu -1)}\,;$ du premier changement dépend l’amplification ou la force de la lunette, laquelle est par conséquent exprimée par ${\frac {x^{(2\nu )}}{x}}\,;$ et du second dépend la clarté apparente qui étant en raison inverse de la densité des rayons sera exprimée par ${\frac {x'}{\pm x^{(2\nu -1)}}},$ pourvu qu’on suppose $x=0$ dans l’expression de $x^{(2\nu -1)},$ pour que les rayons entrent parallèles à l’axe dans la lunette ; car alors il est visible que tous les rayons, qui tombent sur l’ouverture $x',$ doivent sortir par l’ouverture $x^{(2\nu -1)}\,;$ par conséquent leurs densités en entrant et en sortant de la lunette seront en raison réciproque de ces ouvertures.

De plus, le signe de la quantité ${\frac {x'}{\pm x^{(2\nu -1)}}}$ indiquera la situation apparente de l’objet ; si cette quantité est positive, l’objet paraîtra droit, et si elle est négative, l’objet paraîtra renversé.

19. Comme dans les lunettes il faut que les rayons qui entrent parallèles en sortent aussi parallèles, la valeur de $x^{(2\nu )}$ doit demeurer la même tant que $x$ demeure le même, quelque variation que $x''$ subisse. Or

$x^{(2\nu )}=\mathrm {P} ^{(2\nu )}x'+\mathrm {Q} ^{(2\nu )}x\,;$

donc il faudra que $\mathrm {P} ^{(2\nu )}=0\,;$ c’est la condition fondamentale de toute lunette.

On aura donc simplement

$x^{(2\nu )}=\mathrm {Q} ^{(2\nu )}x\,;$

donc l’amplification sera représentée par $\mathrm {Q} ^{(2\nu )}.$

De plus on a

$x^{(2\nu -1)}=\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}x'+\mathrm {Q} ^{(2\nu -1)}x\,;$

donc, dans le cas de $x=0,$ on aura simplement

$x^{(2\nu -1)}=\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}x'\,;$

par conséquent la clarté apparente sera représentée par ${\frac {1}{\pm \mathrm {P} ^{(2\nu -1)}}}.$

Je remarque maintenant qu’on a, en général (15), l’équation

$\mathrm {P^{(2\nu )}Q^{(2\nu -1)}-Q^{(2\nu )}P^{(2\nu -1)}} =-1\,;$

donc, à cause de $\mathrm {P} ^{(2\nu )}=0,$ on aura

${\frac {1}{\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}}}=\mathrm {Q} ^{(2\nu )}.$

Donc la clarté apparente est proportionnelle à l’amplification ; d’où il résulte que, si tous les rayons qui entrent dans l’objectif sont transmis à l’œil, l’objet paraîtra à travers les verres aussi brillant qu’à l’œil nu, mais jamais plus brillant, de quelque largeur que soit l’objectif.

Enfin on jugera de la situation apparente de l’objet par le signe de la quantité $\pm \mathrm {Q} ^{(2\nu )},$ en y prenant le signe supérieur lorsque $\nu$ est impair, et l’inférieur lorsque $\nu$ est pair.

20. Le champ apparent est évidemment égal à l’angle $x,$ pourvu que l’œil soit placé dans le second foyer conjugué de la lunette lequel tombe dans l’axe à la distance

$b^{(2\nu )}={\frac {x^{(2\nu -1)}}{x^{(2\nu )}}}$

de l’oculaire (4 et 5). Cette distance est donc exprimée [à cause de $\mathrm {P} ^{(2\nu )}=0$ ] par

${\frac {\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}{\cfrac {x'}{x}}+\mathrm {Q} ^{(2\nu -1)}}{\mathrm {Q} ^{(2\nu )}}}\,;$

et elle détermine le lieu de l’œil pour qu’il puisse découvrir par la lunette le champ apparent $x.$ Il faut donc que cette distance soit positive, pour qu’elle tombe hors de la lunette ; car si elle devient négative, alors le lieu de l’œil tombant dans la lunette même, il sera impossible d’y placer l’œil, et par conséquent aussi d’embrasser le champ $x$.

Si l’on fait $x'=0,$ alors la distance de l’œil est exprimée simplement par $\mathrm {\frac {Q^{(2\nu -1)}}{Q^{(2\nu )}}} \,;$ donc, si cette quantité est positive, l’œil placé à cette distance de la lunette embrassera le champ apparent $x,$ en supposant même l’ouverture de l’objectif réduite à un point ; par conséquent dans ce cas l’ouverture de l’objecti\int n’influera point sur la grandeur du champ ; c’est le cas des lunettes à verres convexes.

Mais si la quantité $\mathrm {\frac {Q^{(2\nu -1)}}{Q^{(2\nu )}}}$ est négative, alors on ne pourra supposer $x'=0,$ mais il faudra prendre $x'$ tel que

${\frac {\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}{\cfrac {x'}{x}}+\mathrm {Q} ^{(2\nu -1)}}{\mathrm {Q} ^{(2\nu )}}}>0\ \ {\text{ou}}\ \ =0.$

Dans ce cas donc, quelque part que l’on place l’œil, le champ apparent $x$ dépendra de l’ouverture de l’objectif $x'.$

Si la quantité $\mathrm {\frac {P^{(2\nu -1)}}{Q^{(2\nu )}}}$ est en même temps négative, alors la distance de l’oeil serait toujours négative ; par conséquent on ne pourrait découvrir par la lunette aucun champ apparent, parce qu’aucun des rayons qui entreraient par l’objecti\int ne ressortirait par l’oculaire.

Ainsi c’est aussi une condition essentielle des lunettes que $\mathrm {\frac {P^{(2\nu -1)}}{Q^{(2\nu )}}}$ soit $>0,$ lorsque $\mathrm {\frac {Q^{(2\nu -1)}}{Q^{(2\nu )}}} <0.$ Or en supposant la première de ces quantités $\mathrm {A}$ et la seconde $-\mathrm {B} ,$ on aura $\mathrm {A} {\frac {x'}{x}}-\mathrm {B}$ pour la distance de l’œil à la lunette, nécessaire pour embrasser le champ apparent $x\,;$ et l’on voit que cette distance diminue à mesure que $x$ augmente ; de sorte que pour embrasser le plus grand champ apparent, il faudra faire la distance dont il s’agit nulle, et par conséquent appliquer l’œil tout contre l’oculaire. On aura donc dans ce cas

$\mathrm {A} {\frac {x'}{x}}-\mathrm {B} =0,$

d’où l’on tire

$x={\frac {\mathrm {A} x'}{\mathrm {B} }}\,;$

ce qui montre que le champ apparent est proportionnel à l’ouverture de l’objectif. C’est le cas des lunettes de Galilée à deux lentilles, l’une convexe, l’autre concave.