Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Réflexions sur l’échappement

Joseph-Louis Lagrange

Réflexions sur l’échappement

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 421-436).

RÉFLEXIONS SUR L’ÉCHAPPEMENT.

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1777.)

1. Pour peu qu’on ait de connaissances dans l’Horlogerie, on sait que l’échappement est cette mécanique par laquelle l’action du poids ou du ressort moteur est réglée et modérée par celle du pendule ou du balancier, qu’on appelle, à cause de cela, le régulateur de l’horloge ; car comme la force motrice agit continuellement et toujours dans le même sens, elle tend nécessairement à imprimer un mouvement accéléré au rouage ; mais en vertu de l’échappement, la dernière roue, qu’on appelle aussi roue de rencontre ou d’échappement, ne peut continuer son mouvement circulaire qu’en imprimant au régulateur un mouvement d’oscillation et cette combinaison et liaison de deux mouvements, l’un continu, l’autre alternatif, dans laquelle consiste proprement la nature des horloges, sert à entretenir l’uniformité de leur marche par la réaction mutuelle des forces qui résultent de ces différents mouvements.

2. Autrefois on se contentait de prendre pour régulateur un simple balancier, qui n’est autre chose qu’un anneau circulaire dont l’axe est parfaitement mobile sur ses pivots ; cet axe, qu’on appelle aussi la verge du balancier, porte deux ailes ou palettes placées dans des points différents, et faisant entre elles un angle presque droit, lesquelles s’engagent dans les dents de la roue d’échappement, qu’on nomme proprement dans ce cas roue de rencontre, en sorte que cette roue ne peut tourner à moins que ses dents, dont le nombre est toujours impair, n’écartent alternativement l’une des palettes dans un sens, et l’autre dans le sens opposé ; ce qui oblige le balancier à faire des vibrations. Par cette disposition la pointe de la dent, qui appuie sur l’une des palettes et qui la presse avec la force qu’elle reçoit du poids ou du ressort moteur, la fait tourner jusqu’à ce qu’elle la quitte, et imprime ainsi au balancier un mouvement circulaire autour de son axe ; et lorsque cette dent abandonne la palette, la dent diamétralement opposée rencontre précisément la seconde palette et tend de même à la faire tourner en sens contraire ; en sorte que si le balancier était en repos, lorsque la seconde palette vient à recevoir l’action de la roue de rencontre, il obéirait nécessairement à cette action et prendrait un mouvement circulaire opposé au mouvement produit par l’action de la première palette ; mais le balancier conservant par son inertie le premier mouvement, il est clair qu’il doit réagir sur la roue de rencontre et la faire rétrograder, jusqu’à ce que son mouvement soit entièrement détruit par la pression opposée de la roue ; pour lors le balancier cédera à cette pression, laquelle continuera d’agir dans le même sens, jusqu’à ce que la dent qui appuie sur la seconde palette s’échappant, la dent opposée vienne rencontrer de nouveau la première palette ; et ainsi de suite.

3. C’est d’après ces principes qu’ont été construites les premières horloges à roues, dont l’invention ne remonte guère au delà du xiv^e siècle ; et il ne paraît pas qu’on ait fait aucun changement à leur construction jusqu’au temps où Huyghens imagina de substituer le pendule au balancier dans les grandes horloges, et d’appliquer un ressort spiral aux balanciers des montres. Par ce moyen le régulateur se trouvant doué d’une force motrice particulière et capable de lui faire faire des oscillations indépendammentde l’action du rouage, il n’en est que plus propre à modérer l’effet de cette action, et à maintenir l’égalité dans le mouvement de l’horloge. Aussi depuis cette époque, l’Horlogerie a continuellement acquis de nouveaux degrés de perfection, auxquels les nouvelles montres marines exécutées en Angleterre et en France paraissent avoir en quelque façon mis le comble.

4. Huyghens, en appliquant le pendule aux horloges et le ressort spiral aux montres, a conservé l’ancien échappement dont nous venons de donner la description, et dont on ignore l’inventeur ; et cet échappement, qu’on appelle communément à roue de rencontre, est encore celui qui est le plus employé tant dans les pendules que dans les montres ordinaires ; mais après la découverte d’Huyghens on a tâché aussi de perfectionner la construction de l’échappement, et l’on a imaginé un grand nombre d’échappements différents, dont les principaux sont les échappements à double levier, à ancre, à cylindre, etc. Nous n’entrerons pas ici dans le détail de ces différents échappements ; on peut consulter les Ouvrages d’Horlogerie où il en est traité ; comme ceux de Sulli, du P. Alexandre, de MM. Lepaute, Berthoud, etc. ; notre dessein est d’envisager cette matière sous un point de vue moins borné, et de la réduire à des principes clairs et simples qui puissent servir de base à une théorie générale des échappements.

5. Comme la nature de l’échappement consiste dans la combinaison d’un mouvement circulaire avec un mouvement de vibration, on peut réduire, en général, tout échappement de quelque espèce qu’il soit à deux seules pièces, savoir à la roue d’échappement qui est entretenue dans un mouvement circulaire par la force motrice de l’horloge, et à la pièce d’échappement sur laquelle cette roue agit alternativement en sens contraire, et par laquelle son action se tran\sinet au régulateur qui y est joint.

Et pour simplifier et généraliser davantage la question, on pourra encore faire abstraction de ces deux pièces et ne considérer que le mouvement oscillatoire du régulateur, en tant qu’il est altéré par l’impulsion qu’il reçoit de la roue d’échappement ; ou plutôt il suflira de considérer simplement le mouvement oscillatoire d’un corps qui serait sollicité par des forces analogues à celles qui doivent agir sur le régulateur, tant en vertu de l’action de la gravité ou du ressort dont il est animé, qu’en vertu de l’action de la force motrice qui lui est transinnise par le moyen de l’échappement.

6. Soit donc un corps qui fasse des oscillations autour du point $\mathrm {A}$ dans la ligne droite $\mathrm {CAB} ,$ et dont les excursions latérales $\mathrm {AM}$ soient proportionnelles aux arcs décrits par le régulateur autour de son point de repos. Imaginons d’abord que ce corps soit sollicité par une force constamment dirigée vers le point $\mathrm {A}$ et proportionnelle à une fonction donnée de la distance du corps à ce point. On pourra représenter cette force par les ordonnées d’une ligne courbe $\mathrm {HAN}$ (fig. 1) qui traverse l’axe

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en $\mathrm {A} ,$ en supposant que les ordonnées positives $\mathrm {MN}$ expriment des forces dont la direction soit $\mathrm {BAC} ,$ et que les ordonnées négatives expriment des forces de direction contraire. Cette force exprimera donc celle dont le régulateur est animé par l’action de la gravité où du ressort ; et lorsque le régulateur, est un pendule ordinaire, il est clair que la courbe $\mathrm {HAN}$ sera la ligne des sinus, laquelle pourra être prise sensiblement pour une ligne droite quand les oscillations du pendule seront fort petites ; mais à l’égard des balanciers mus par un ressort spiral, comme on le pratique dans les montres, la loi de la courbe $\mathrm {HAN}$ n’est pas facile à déterminer ; on sait seulement qu’elle doit couper l’axe au point $\mathrm {A}$ et que ses deux branches $\mathrm {AN}$ et $\mathrm {AH}$ doivent aller en s’éloignant continuellementde l’axe.

7. Outre la force dont nous venons de parler, le corps qui oscille autour de $\mathrm {A}$ doit encore être supposé animé par une force qui réponde à celle qui agit sur le régulateur en vertu de l’échappement ; or pour peu qu’on considère la manière d’agir de cette force, on verra qu’elle doit être représentée par les deux branches $\mathrm {TV}$ et $\mathrm {SR} ,$ l’une au-dessus de l’axe, et dont les ordonnées expriment des forces agissant dans la direction $\mathrm {BAC} ,$ l’autre au-dessous de l’axe, et dont les ordonnées expriment des forces dirigées suivant $\mathrm {CAB} \,;$ et voici comment on doit envisager l’action de cette force.

Imaginons que le mobile qui oscille entre $\mathrm {C}$ et $\mathrm {B}$ aille de $\mathrm {C}$ en $\mathrm {B} \,;$ à chaque point $\mathrm {M}$ de l’espace qu’il parcourt dans cette direction, il doit être censé sollicité par une force $\mathrm {MX}$ agissant dans la même direction, et cela jusqu’à ce qu’il soit arrivé au point $\mathrm {P}$ où la branche $\mathrm {GR}$ est terminée. Ce point $\mathrm {P}$ répond à celui où la dent de la roue d’échappement, qui a agi sur le régulateur pendant que celui-ci a décrit l’angle $\mathrm {CP} ,$ quitte la pièce d’échappement et cesse ainsi d’agir sur le régulateur ; c’est pourquoi la branche $\mathrm {GR}$ doit finir à ce même point \mathrm P. Mais comme alors une autre dent de la roue d’échappement commence aussitôt à agir en sens contraire sur un autre côté de la pièce d’échappement, et imprime au régulateur une force de direction contraire à la précédente, il faut imaginer qu’au point $\mathrm {P}$ la force $\mathrm {PR}$ devient $\mathrm {PV,}$ et qu’ensuite le mobile, tant en allant vers $\mathrm {B}$ qu’en revenant vers $\mathrm {C} ,$ est continuellement sollicité dans la direction $\mathrm {BC}$ par des forces représentées par les ordonnées de la branche supérieure $\mathrm {TV} .$ Cette branche doit être terminée de même au point $\mathrm {Q} ,$ qui répond à celui où la dent quitte de nouveau la pièce d’échappement, pour faire place à une autre dent qui doit recommencer à agir en sens contraire, c’est-à-dire dans la direction $\mathrm {CB} ,$ de la même manière qu’auparavant c’est pourquoi au point $\mathrm {Q}$ il faut concevoir de nouveau que la force $\mathrm {TQ}$ se change en $\mathrm {QS} ,$ et qu’ensuite le mobile soit soumis, tant en allant vers $\mathrm {C}$ qu’en revenant vers $\mathrm {B} ,$ à l’action continue d’une force représentée par les ordonnées de la branche inférieure $\mathrm {SR} ,$ et agissant dans la direction $\mathrm {CB}$ jusqu’à ce qu’au point $\mathrm {P}$ cette force se change derechef en $\mathrm {PV} \,;$ et ainsi de suite.

8. Telle est donc la manière dont on doit représenter l’action de la force qui est transmise au régulateur par le moyen de l’échappement ; par où l’on voit que la loi de continuité est nécessairement interrompue aux deux points $\mathrm {P}$ est $\mathrm {Q} ,$ où la force change brusquement de direction.

Il est vrai que dans la pratique les forces $\mathrm {PV,QS}$ ne succèdent pas immédiatement aux forces $\mathrm {PR,QT} ,$ comme nous l’avons supposé ; car il y a ordinairement, surtout dans l’échappement à roue de rencontre, un petit intervalle de temps entre l’instant où une dent quitte la pièce d’échappement et celui où une autre dent commence à la presser ; pendant cet intervalle où l’action de l’échappement est suspendue, le régulateur se meut librement par sa propre force, et la roue d’échappement acquiert par l’impression continue de la force motrice un petit mouvement accéléré en vertu duquel la dent qui va rencontrer la pièce d’échappement la choque, et produit un petit bruit qui sert à marquer chaque vibration du régulateur ; mais d’un côté on a soin de diminuer le plus qu’il est possible cette chute de la roue sur la pièce d’échappement, laquelle tend à déranger la justesse de l’horloge ; de l’autre côté il est visible que comme le régulateur reçoit ensuite, par le choc de la roue contre la pièce d’échappement, l’action réunie de toutes les forces instantanées qui ont agi sur la roue pendant que l’action de l’échappement a été suspendue, on peut supposer sans erreur sensible que l’effet en est à peu près le même que si la roue avait continué d’agir sur le régulateur sans interruption. Ainsi l’on ne s’écartera pas beaucoup de la vérité en supposant, comme nous l’avons fait, que les forces $\mathrm {PR,TQ} ,$ se changent subitement en $\mathrm {PV,QS} ,$ en sorte que leur action sur le mobile soit continue.

9. Il suffira donc de connaître pour chaque échappement donné la nature des courbes $\mathrm {TLV,RXS} ,$ pour être en état de déterminer les effets de cet échappementsans en connaître d’ailleurs le mécani\sine particulier ; de sorte que par ce moyen la théorie de l’échappement est réduite à la considération purement géométrique des courbes dont il s’agit ; examinons donc les différents cas qui peuvent arriver suivant la différente forme de ces courbes.

Et d’abord nous remarquerons que l’arc qui est proportionnel à la partie de l’arc $\mathrm {PQ}$ est celui qui en termes d’Horlogerie s’appelle l’arc de levée de l’échappement, tandis que l’arc proportionnel à la partie $\mathrm {BC} .$s’appelle l’arc de vibration. Le premier est constant et sa grandeur ne dépend que de la disposition de l’échappement, puisque c’est l’arc que les dents de la roue d’échappement peuvent faire décrire au régulateur pour ne faire qu’échapper des extrémités de la pièce d’écliappement ; le second au contraire est variable et dépend du plus ou moins de force du moteur de l’horloge, et du plus ou moins de résistance du régulateur.

10. On remarquera de plus que, comme $\mathrm {MX}$ est la force qui agit sur le régulateur en vertu de la force motrice agissante sur la roue d’échappement, cette force-là sera à celle-ci, par le principe des vitesses virtuelles, en raison réciproque de la vitesse même du, régulateur à celle de la roue d’échappement ; de sorte que, comme la force motrice est constante au moins pendant une oscillation du régulateur, la vitesse de la roue d’échappement sera proportionnelle à celle du régulateur multipliée par la force $\mathrm {MX}$ qui agit sur lui. De là il s’ensuit que pendant que le mobile qui oscille entre les points $\mathrm {C}$ et $\mathrm {B} ,$ et dont le mouvement est semblable à celui du régulateur, va de $\mathrm {C}$ en $\mathrm {P} ,$ la roue se mouvra toujours dans le même sens ; mais depuis le point $\mathrm {P}$ jusqu’au point $\mathrm {B}$ où la force change de direction, la vitesse de la roue deviendra négative, c’est-à-dire que la roue se mouvra en sens contraire ; c’est ce qu’on appelle en termes d’Horlogerie le recul ; parce qu’en effet tout le rouage et les aiguilles mêmes, au lieu d’avancer, reculent un peu. Comme au point $\mathrm {B}$ la vitesse du mobile est nulle, celle de la roue le sera aussi ; ensuite le mobile rebroussant chemin de $\mathrm {B}$ vers $\mathrm {C} ,$ sa vitesse changera de signe ; par conséquent le mouvement de la roue changera de nouveau de direction et redeviendra direct de rétrograde qu’il était. Ce mouvement direct continuera donc tant que le mobile ira de $\mathrm {B}$ vers $\mathrm {Q} \,;$ au point $\mathrm {Q}$ il redeviendra rétrograde, en sorte qu’il y aura un nouveau recul entre $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {C} \,;$ ensuite le mobile revenant de $\mathrm {C}$ vers $\mathrm {B} ,$ le mouvement de la roue redeviendra direct comme auparavant ; et ainsi de suite.

11. On voit donc que tout échappement doit causer un recul dans le rouage au bout de chaque vibration du régulateur, à moins que les deux parties $\mathrm {VY}$ et $\mathrm {SZ}$ des courbes $\mathrm {TV,RS}$ ne soient nulles, ou qu’elles ne coïncident avec l’axe, auquel cas leurs ordonnées seraient nulles. Le premier cas ne peut avoir lieu en général, parce que les points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ne sont point fixes, mais dépendent du plus ou moins de force motrice de l’horloge, comme nous l’avons, fait remarquer ci-dessus. Il ne reste donc que le second moyen de détruire le recul, lequel consiste à construire l’échappement de manière que les courbes des forces $\mathrm {TL,RX}$ s’approchent de l’axe et y coïncident aux points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ ou en deçà de ces points, comme en $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G} ,$ ainsi qu’on le voit dans la fig. 2.

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Car comme de cette manière les ordonnées de la courbe $\mathrm {TL}$ sont nulles depuis $\mathrm {F}$ jusqu’en $\mathrm {B} ,$ ainsi que celles de la courbe $\mathrm {RX}$ depuis $\mathrm {G}$ jusqu’en $\mathrm {C} ,$ et que par conséquent les forces représentées par ces courbes sont nulles aussi, il s’ensuit que la vitesse de la roue d’échappement, laquelle à chaque point $\mathrm {M}$ est toujours proportionnelle à celle du mobile multipliée par la force correspondante $\mathrm {MX} ,$ sera nulle pendant le temps que le mobile emploie à aller depuis $\mathrm {P}$ jusqu’en $\mathrm {B}$ et à revenir de là jusqu’en $\mathrm {F} ,$ et ensuite à aller depuis $\mathrm {Q}$ jusqu’en $\mathrm {C}$ et à revenir jusqu’en $\mathrm {G} .$ En sorte que cette roue, ainsi que tout le rouage de l’horloge, sera en repos pendant que le régulateur décrit les extrémités des arcs de vibration $\mathrm {CB} .$

12. De là naît une différence très-essentielle entre les échappements ; ceux qui à chaque vibration produisent un recul dans le rouage se nomment échappements à recul ; et ceux qui y produisent une espèce de repos se nomment échappementsà repos.

On regarde communément ces derniers comme les meilleurs ; cependant d’habiles artistes ont remarqué qu’ils sont sujets à différents inconvénients, et qu’ils ne méritent pas à beaucoup près toute la préférence qu’on a voulu leur donner sur les échappements à recul ; c’est un point que nous discuterons ailleurs.

13. On voit donc clairement, par les fig. 1 et 2 (pages 424, 428), en quoi consiste la différence des échappements à recul et de ceux à repos ; elle ne dépend que de la différente forme des courbes $\mathrm {TL,RX} \,;$ de sorte que, ces courbes étant tracées pour un échappementquelconque donné, on reconnaîtra d’abord de quelle espèce est l’échappement proposé. Lorsque l’échappement est à recul, le mobile est continuellementsollicité par l’action de deux forces, l’une représentée par la courbe $\mathrm {HAN} ,$ et l’autre par les deux courbes $\mathrm {RS,TL} \,;$ mais quand l’échappement est à repos, alors l’action de la seconde de ces deux forces cesse dès que le mobile en allant de $\mathrm {C}$ vers $\mathrm {B}$ parvient au point $\mathrm {P}$ qui répond à l’une des extrémités de l’arc de levée, et ne recommence que lorsque le mobile en revenant de $\mathrm {B}$ vers $\mathrm {C}$ atteint le point $\mathrm {F} \,;$ et de même cette action cesse au point $\mathrm {Q}$ qui répond à l’autre extrémité de l’arc de levée, et ne recommence qu’au point $\mathrm {G}$ lorsque le mobile ayant achevé son oscillation revient vers $\mathrm {B} .$

14. Pour donner une idée encore plus nette de la nature des courbes $\mathrm {TL,RX}$ auxquelles nous avons ramené la Théorie des échappements, il est bon d’examiner, en particulier, quelques-unes des espèces les plus connues d’échappements, et de chercher l’équation des courbes qui leur appartiennent.

Prenons pour premier Exemple l’échappement ordinaire à roue de rencontre, et supposons que la roue de rencontre avec la verge du balancier garnie de ses deux palettes soit projetée sur un plan perpendiculaire à cette verge ; soit donc (fig. 3, page 430) $\mathrm {C}$ la projection de la verge, et $\mathrm {CA,CB}$ celle des deux palettes, vues de profil, lesquelles sont attachées à la verge à la distance du diamètre de la roue, l’une de l’autre, et qui forment entre elles un angle donné $\mathrm {ACB} .$ Soit aussi $\mathrm {PS}$ la projection d’une partie de la circonférence de la roue, et $\mathrm {PXQ,QYR}$ deux dents consécutives de cette roue, laquelle est supposée tourner de gauche à droite, en sorte que la dent $\mathrm {PXQ}$ avance dans le sens $\mathrm {PS}$ et pousse par sa pointe $\mathrm {X}$ la palette $\mathrm {CB} ,$ ce qui l’oblige à tourner autour de $\mathrm {C}$ dans le sens $\mathrm {ZX} \,;$ en même temps la dent $\mathrm {SV}$ qui doit être imaginée de l’autre côté de la circonférence

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de la roue avancera dans le sens opposé $\mathrm {SP} ,$ et ira à la rencontre de l’autre palette $\mathrm {CA} ,$ mais ne pourra l’atteindre qu’après que la dent $\mathrm {PX}$ aura échappé au point $\mathrm {B} \,;$ alors la dent $\mathrm {SV}$ agira sur la palette $\mathrm {CA} ,$ et tendra à la faire tourner en sens contraire jusqu’à ce qu’elle échappe au point $\mathrm {A} \,;$ après quoi la dent qui suit $\mathrm {PX}$ se trouvera à portée d’agir de nouveau sur la première palette $\mathrm {CB} \,;$ et ainsi de suite.

Cela posé, menons du point $\mathrm {C}$ la perpendiculaire $\mathrm {CT}$ sur $\mathrm {PS}$ et la perpendiculaire $\mathrm {ZX}$ sur $\mathrm {CT} ,$ et nommons la ligne $\mathrm {CZ}$ qui est constante $a,$ l’angle $\mathrm {ZCX}$ qui est variable $\varphi ,$ et la ligne $\mathrm {ZX}$ qui est variable aussi $\xi \,;$ il est clair qu’on aura ${\frac {\xi }{a}}=\operatorname {tang} \varphi ,$ et par conséquent

$\xi =a\operatorname {tang} \varphi .$

Maintenant imaginons que la palette $\mathrm {CB}$ tourne en décrivant autour de $\mathrm {C}$ un angle infiniment petit $d\varphi \,;$ la ligne $\xi$ croîtra en même temps de l’élément $d\xi ,$ et il est visible que le rapport ${\frac {d\xi }{d\varphi }}$ sera celui de la vitesse de la dent $\mathrm {PX}$ à la vitesse angulaire de la palette ; donc ce rapport sera proportionnel à celui de la vitesse de la roue à la vitesse du régulateur, et par conséquent, par le n^o 10, proportionnel à celui de la force $\mathrm {MX}$ qui agit sur le régulateur à la force motrice de la roue ; de sorte que, en désignant la première de ces forces par $y,$ et la seconde par $p,$ on aura

${\frac {y}{p}}=\mu {\frac {d\xi }{d\varphi }},$

$\mu$ étant un coefficient constant. Or, ayant

$\xi =a\operatorname {tang} \varphi ,$

on aura par la différentiation

$d\xi ={\frac {ad\varphi }{\cos ^{2}\varphi }}\,;$

donc

$y={\frac {\mu ap}{\cos ^{2}\varphi }}.$

Soit la longueur de la palette $\mathrm {CB} =l,$ il est clair que la dent $\mathrm {PX}$ échappera lorsque $\mathrm {CX} ={\frac {a}{\cos \varphi }}$ sera $=l\,;$ de sorte que, nommant $\alpha$ la valeur correspondante de $\varphi ,$ on aura $\cos \alpha ={\frac {a}{l}}.$ Soit de plus $\omega$ l’angle constant $\mathrm {ACB}$ que font les deux palettes entre elles, il est clair que lorsque la palette $\mathrm {CB}$ fait avec la verticale l’angle $\mathrm {ZCB} =\alpha ,$ la palette $\mathrm {CA}$ fera avec la même verticale l’angle $\mathrm {ACZ} =\omega -\alpha \,;$ mais, cette palette étant supposée de même longueur $l,$ il est visible que la dent échappera lorsqu’elle formera avec la verticale le même angle $\alpha$ que la palette $\mathrm {CB} \,;$ donc l’angle total parcouru par la palette $\mathrm {CA} ,$ depuis l’échappement d’une dent en $\mathrm {B}$ jusqu’à l’échappement d’une autre dent en $\mathrm {A} ,$ sera égal à la différence des angles $\alpha$ et $\omega -\alpha ,$ c’est-à-dire égal à $2\alpha -\omega \,;$ et cet angle sera l’arc de levée de l’échappement (9).

Ainsi dans la fig. 1, page 424, on aura $\mathrm {PQ} =2\alpha -\omega ,$ et par conséquent

$\mathrm {AP} =\alpha -{\frac {\omega }{2}}\,;$

de plus, comme l’angle $\alpha$ répond au point $\mathrm {<} math>\mathrm {P} ,$</math> il est clair qu’on aura

$\mathrm {MP} =\alpha -\varphi \,;$

et de là

$\mathrm {AM=AP-MP} =\alpha -{\frac {\omega }{2}}-\alpha +\varphi =\varphi -{\frac {\omega }{2}},$

de sorte que, nommant $x$ l’abscisse $\mathrm {AM} ,$ on aura

$x=\varphi -{\frac {\omega }{2}}\,;\quad {\text{donc}}\quad \varphi =x+{\frac {\omega }{2}},$

et de là on aura, pour l’équation de la courbe $\mathrm {RX} ,$

$y={\frac {\mu ap}{\cos ^{2}\left(x+{\cfrac {\omega }{2}}\right)}}\,;$

et l’on trouvera que la courbe $\mathrm {TL}$ sera la même que la courbe $\mathrm {RX} ,$ mais dans une position renversée ; de sorte que, nommant de même $x$ l’abscisse $\mathrm {AM} ',$ et $y$ l’ordonnée $\mathrm {M'X'} ,$ on aura entre $x$ et $y$ la même équation que nous venons de donner.

15. Il sera donc facile de décrire les deux courbes dont il s’agit, à l’aide de l’équation trouvée, et l’on connaîtra par leur moyen la nature de l’échappement proposé. Et d’abord il est clair que, comme $cos^{2}\left(x+{\frac {\omega }{2}}\right)$ ne peut pas augmenter au delà de $1,$ la plus petite ordonnée $y$ sera égale à $\mu ap,$ laquelle répondra à $x=-{\frac {\omega }{2}}$ ou $=180^{\circ }-{\frac {\omega }{2}}\,;$ de sorte que la courbe n’atteindra jamais l’axe, et par conséquent l’échappement ne pourra jamais être à repos, mais sera toujours nécessairement à recul (13).

16. Mais si au lieu de faire les palettes droites on les faisait courbes, on pourrait peut-être obtenir un échappement à repos ; c’est ce qu’il est bon d’examiner.

Soient donc (fig. 4) $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {CB}$ les palettes courbes et $\mathrm {PQX}$ la dent qui

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appuie sur le point $\mathrm {X}$ pour faire tourner la palette $\mathrm {CB}$ dans le sens $\mathrm {ZX} ,$ comme ci-dessus ; en conservant les mêmes dénominations on aura aussi l’équation $\xi =a\operatorname {tang} \varphi \,;$ maintenant soit $\mathrm {C} t$ la tangente à la courbe $\mathrm {CX}$

au point $\mathrm {C} ,$ et nommons $z$ l’angle $t\mathrm {CX} ,$ $\psi$ l’angle $t\mathrm {CZ} \,;$ on aura

$\varphi =\psi -z\,;$

donc

$\xi =a\operatorname {tang} (\psi -z).$

Soit de plus la corde $\mathrm {CX} =r,$ on aura

$r={\frac {a}{\cos \varphi }}={\frac {a}{\cos(\psi -z)}},$

et comme par la nature de la courbe $\mathrm {CXB} ,$ qui est supposée donnée, on doit avoir une équation entre $r$ et $z,$ par laquelle $r$ sera donné en $z,$ il s’ensuit qu’on aura une équation entre $\psi$ et $z$ par laquelle on connaitra $z$ en $\psi \,;$ et l’on pourra supposer que cette équation soit représentée par

$dz=\Sigma d\psi ,$

$\Sigma$ étant une fonction connue de $\psi .$

Or il est facile de comprendre que dans l’hypothèse présente l’angle élémentaire décrit par la palette autour de $\mathrm {C}$ n’est pas, comme dans le cas précédent, égal à $d\varphi ,$ mais égal à $d\psi \,;$ de sorte qu’on aura ici l’équation

${\frac {y}{p}}=\mu {\frac {d\xi }{d\psi }}\,;$

mais en différentiant la valeur de $\xi$ on a

$d\xi ={\frac {a(d\psi -dz)}{\cos ^{2}(\psi -z)}}={\frac {a(1-\Sigma )d\psi }{\cos ^{2}(\psi -z)}}$

en mettant $\Sigma d\psi$ à la place de $dz\,;$ donc on aura l’équation

$y={\frac {\mu ap(1-\Sigma )}{\cos ^{2}(\psi -z)}},$

où l’on remarquera que l’angle $\psi$ doit être égal (fig. 1, page 424) à l’abscisse $\mathrm {AM} =x,$ plus une constante qui sera la valeur de $\psi$ au point $\mathrm {A} \,;$ en sorte que, nommant en général $\varepsilon$ cette constante, on aura $\psi =x+\varepsilon \,;$ ainsi l’on aura l’équation de la courbe $\mathrm {RX}$ entre les coordonnées $x$ et $y.$

17. Réciproquementdonc, si l’on voulait regarder cette courbe comme donnée, on pourrait trouver l’équation de la courbe $\mathrm {CB} \,;$ d’où l’on voit que l’on peut toujours donner aux palettes une figure telle que les forces $\mathrm {MX}$ suivent une loi quelconque.

On voit aussi que dans ce cas l’échappement pourrait être à repos ; car il est clair que l’ordonnée $y$ sera nulle tant que $\Sigma$ sera $=1,$ ce qui donne $dz=d\psi ,$ et par conséquent $dr=0,$ c’est-à-dire le rayon $\mathrm {CX}$ constant ; ainsi il n’y aura qu’à donner aux palettes la figure d’une courbe telle que $\mathrm {BD}$ (fig. 5) qui dégénère en un arc de cercle $\mathrm {XD} ,$ dont le centre

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soit $\mathrm {C} \,;$ mais je ne sache pas qu’on ait jamais construit des échappements à repos de cette manière, peut-être à cause de quelques inconvénients qu’il pourrait y avoir dans la disposition des dents $\mathrm {PQX}$ de la roue de rencontre et des palettes $\mathrm {BD,EA} \,;$ c’est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas davantage.

18. Si l’on imagine que les palettes $\mathrm {CDB}$ et $\mathrm {CEA}$ de la fig. 5 soient dans un même plan passant par le centre $\mathrm {C}$ et ne forment qu’une seule pièce, et que la roue soit aussi placée dans ce même plan, comme on le voit dans la fig. 6, page 435, alors on aura l’échappement qu’on nomme à ancre, et qui est un des plus usités dans les pendules ; la roue $\mathrm {PQK}$ en tournant dans le sens $\mathrm {PQ}$ pousse avec la dent $\mathrm {PQX}$ la face intérieure $\mathrm {DB}$ de l’échappement et l’oblige à s’écarter pour lui donner passage, ce qui fait tourner l’ancre $\mathrm {ACB}$ autour de $\mathrm {C}$ dans le sens $\mathrm {XD} \,;$ dès que la dent $\mathrm {PQX}$ a échappé au point $\mathrm {B} ,$ l’autre face $\mathrm {AE} ,$ qui s’est approchée de la roue en même temps que la première s’en éloignait, sera poussée intérieurement par la dent $\mathrm {SV}$ et sera obligée par là de s’éloigner de la roue à son tour, ce qui fera tourner l’ancre en sens contraire et rapprochera la face $\mathrm {DB}$ de la roue ; et ainsi de suite.

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19. Ayant joint les deux centres $\mathrm {C,K}$ par la ligne $\mathrm {CK} ,$ et abaissé du point $\mathrm {X}$ la perpendiculaire $\mathrm {ZX}$ sur $\mathrm {CK} ,$ nommons $a$ la distance $\mathrm {CK} ,$ $\psi$ l’angle $\mathrm {KCD} ,$ $z$ l’angle $\mathrm {XCD} ,$ $r$ le rayon vecteur $\mathrm {CX} ,$ $b$ le rayon $\mathrm {KX}$ de la circonférence extérieure de la roue, et $\xi$ l’angle $\mathrm {CKX} \,;$ il est clair (10) que le rapport des forces ${\frac {y}{p}}$ sera proportionnel à celui des vitesses ou des angles simultanés ${\frac {d\xi }{d\psi }}$ parcourus par la roue et par l’ancre ; en sorte qu’on aura

$y=\mu p{\frac {d\xi }{d\psi }}.$

Or, pour trouver la valeur finie de ${\frac {d\xi }{d\psi }},$ il n’y a qu’à considérer que l’on a

$\mathrm {ZX} =b\sin \xi ,\quad \mathrm {KZ} =b\cos \xi ,\quad \mathrm {CZ} =a-b\cos \xi \,;$

donc

$r=\mathrm {CX} ={\sqrt {a^{2}-2ab\cos \xi +b^{2}}}\,;$

de sorte que, comme par la nature de la courbe $\mathrm {DB} ,$ qui est supposée connue, on doit avoir une équation entre $r$ et $z,$ on en aura une entre $z$ et $\xi .$

De plus on a

$\mathrm {\frac {XZ}{CZ}} ={\frac {b\sin \xi }{a-b\cos \xi }}=\operatorname {tang} \mathrm {ZCX} =\operatorname {tang} (\psi -z)\,;$

donc, substituant dans cette équation au lieu de $z$ sa valeur en $\xi ,$ on aura une équation entre $\xi$ et $\psi$ dont la différentielle pourra être représentée par

$d\xi =\Psi d\psi ,$

$\Psi$ étant une fonction de $\psi \,;$ ainsi l’on aura

$y=\mu p\Psi ,$

et, substituant ensuite $x+\varepsilon$ à la place de $\psi ,$ on aura l’équation de la courbe $\mathrm {RX}$ entre les coordonnées $x$ et $y.$

On trouvera de même l’équation de l’autre branche $\mathrm {TL}$ en prenant la courbe $\mathrm {AE}$ à la place de la courbe $\mathrm {DX} .$

20. Il est facile de voir par la seule inspection de la figure que cette espèce d’échappement peut être également à repos ou à recul ; pour qu’il soit à repos, il suffira que les courbes $\mathrm {EA,DB}$ dégénèrent en haut en des arcs de cercles dont le centre soit $\mathrm {C} \,;$ et que ces courbures circulaires commencent aux endroits où les dents rencontrent d’abord les faces de l’échappement, ou même plus bas, mais non pas plus haut ; dans tout autre cas l’échappement sera à recul.