Mécanique analytique/Partie 1/Section 7

Joseph-Louis Lagrange

Mécanique analytique

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome XI, p. 197-230).

SECTION SEPTIÈME.

DE L’ÉQUILIBRE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES.

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1. Soit une masse fluide $m,$ dont tous les points soient animés par des pesanteurs ou forces quelconques $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots ,$ dirigées suivant les lignes $p,\,q,\,r,\ldots \,;$ on aura, suivant les dénominations de l’article 12 de la Section IV, pour la somme des moments de toutes ces forces, la formule intégrale

_S$(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )d\mathrm {m} ,$

laquelle devra être nulle en général pour qu’il y ait équilibre dans le fluide.

§ I. De l’équilibre d’un fluide dans un tuyau très étroit.

2. Supposons d’abord le fluide renfermé dans un canal ou tuyau infiniment étroit et de figure donnée et imaginons ce fluide divisé en tranches ou portions infiniment petites, dont la hauteur soit $ds$ et la largeur $\omega \,;$ on pourra prendre $d\mathrm {m} =\omega ds,$ à cause que la largeur $\omega$ du tuyau est supposée infiniment petite, $ds$ étant l’élément de la courbe du tuyau. Or, en imaginant que le fluide reçoive un petit mouvement, et change infiniment peu de place dans le tuyau, soit $\delta s$ le petit espace que la tranche ou particule $d\mathrm {m}$ parcourt dans le tuyau ; il est clair que $\omega \,\delta s$ sera là quantité du fluide qui passera en même temps par chacune des sections $\omega$ du canal. Donc, à cause de l’incompressibilité du fluide, il faudra que cette quantité soit partout la même ; de sorte que, faisant $\omega \,\delta s=\alpha ,$ la quantité $\alpha$ sera constante par rapport à la courbe du tuyau. On aura ainsi $\omega ={\frac {\alpha }{\delta s}}$ et, par conséquent, $dm={\frac {\alpha ds}{\delta s}}\,;$ de sorte que la formule qui exprime la somme des moments des forces deviendra, en faisant sortir hors du signe intégral la quantité constante $\alpha ,$

$\alpha$_S$(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ){\frac {ds}{\delta s}}.$

Maintenant il est visible que, puisque $\delta p,\,\delta q,\,\delta r,\ldots$ sont les variations des lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ résultantes de la variation $\delta s,$ ces variations doivent avoir entre elles les mêmes rapports que les différentielles $dp,\,dq,\,dr,\ldots ,\ ds,$ à cause de la figure du canal donnée ; ainsi l’on aura

${\frac {\delta p}{\delta s}}={\frac {dp}{ds}},\qquad {\frac {\delta q}{\delta s}}={\frac {dq}{ds}},\qquad {\frac {\delta r}{\delta s}}={\frac {dr}{ds}},\qquad \ldots ,$

ce qui réduira la formule précédente à cette forme

$\alpha$_S$(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ),$

où les différentielles $dp,\,dq,\,dr,\ldots$ se rapportent à la courbe du canal, et le signe _S indique une intégrale prise par toute l’étendue du canal.

Faisant donc cette quantité égale à zéro, on aura l’équation

_S$(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )=0,$

laquelle contient la loi générale de l’équilibre d’un fluide renfermé dans un canal de figure quelconque.

3. Si, outre les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ qui animent chaque point du fluide, il y avait de plus à l’une des extrémités, du canal une force extérieure $\Pi '$ qui agît par le moyen d’un piston sur la surface du fluide et perpendiculairement aux parois du canal ; alors, dénotant par $\delta s'$ le petit espace parcouru par la tranche du fluide qu’on suppose pressée par la force $\Pi ',$ tandis que les autres tranches parcourent les différents espaces $\delta s,$ il faudra ajouter à la somme des moments des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ le moment de la force $\Pi ',$ lequel sera représenté par $\Pi '\delta s'.$ Or, si l’on nomme $\omega '$ la section du canal à l’endroit où agit la force $\Pi ',$ on aura $\omega '\delta s'$ pour la quantité de fluide qui passe par la section $\omega ',$ tandis que, par une autre section quelconque $\omega ,$ il passe la quantité de fluide $\omega \delta s.$

Mais l’incompressibilitédu fluide demande que ces quantités soient partout les mêmes ; donc, ayant déjà supposé $\omega \delta s=\alpha ,$ on aura aussi $\omega '\delta s'=\alpha ,$ par conséquent $\delta s'={\frac {\alpha }{\omega '}}.$ Donc la somme totale des moments des forces qui agissent sur le fluide sera représentée par la formule

$\alpha \left[{\frac {\Pi '}{\omega '}}+\right.$_S${\bigg .}(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots ){\bigg ]}\,;$

de sorte que l’équation de l’équilibre sera

${\frac {\Pi '}{\omega '}}+$_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )=0.$

4. Il est évident que, dans l’état d’équilibre, la force $\Pi '$ doit être contre-balancée par la pression du fluide sur le piston dont la largeur est $\omega '\,;$ d’où il s’ensuit que cette pression sera égale à $-\Pi '$ et, par conséquent, égale à

$\omega '$_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots ).$

Donc, en général, la pression du fluide sur chaque point du piston sera exprimée par la formule intégrale

_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots ),$

en prenant cette intégrale par toute la longueur du canal. Et cette pression sera aussi la même si, au lieu d’un piston mobile, on suppose un fond immobile qui ferme le canal d’un côté.

5. Si, à l’autre extrémité du canal, il y avait une autre force $\Pi ''$ agissante de même par le moyen d’un piston, on trouverait pareillement, en nommant $\omega ''$ la section du canal dans cet endroit, l’équation

${\frac {\Pi '}{\omega '}}+{\frac {\Pi ''}{\omega ''}}+$_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )=0$

pour l’équilibre du fluide.

6. Donc, si le fluide n’est pressé que par les deux forces extérieures $\Pi '$ et $\Pi ''$ appliquées aux surfaces $\omega '$ et $\omega '',$ il faudra, pour l’équilibre, que l’on ait ${\frac {\Pi '}{\omega '}}+{\frac {\Pi ''}{\omega ''}}=0\,;$ d’où l’on voit que les deux forces $\Pi '$ et $\Pi ''$ doivent être de directions contraires, et en même temps réciproquement proportionnelles aux surfaces $\omega ',\omega ''$ sur lesquelles ces forces agissent, proposition qu’on regarde communément comme un principe d’expérience, ou du moins comme une suite du principe de l’égalité de pression en tout sens, dans lequel la plupart des auteurs d’Hydrostatique font consister la nature des fluides.

7. La connaissance des lois de l’équilibre d’un fluide renfermé dans un canal très étroit et de figure quelconque peut conduire à celle des lois de l’équilibre d’une masse quelconque de fluide renfermée dans un vase ou non.

Car il est évident que, si une masse fluide est en équilibre et qu’on imagine un canal quelconque qui la traverse, le fluide contenu dans ce canal sera aussi en équilibre de lui-même, c’est-à-dire indépendamment de tout le reste du fluide. On aura donc pour l’équilibre de ce canal, en faisant abstraction des forces extérieures (art. 2),

_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )=0.$

Et, comme la figure du canal doit être indéterminée, l’équation précédente devra être indépendante de cette figure ; d’où l’on pourrait conclure tout de suite, comme Clairaut l’a fait dans sa Théorie de la figure de la Terre, que la quantité $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$ doit être une différentielle exacte. Mais on peut arriver à cette conclusion par l’analyse même et trouver en même temps les relations qui doivent avoir-lieu entre les quantités $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots .$ Pour cela, il n’y a qu’à faire varier l’intégrale

_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )$

par la méthode des variations et supposer sa variation nulle.

8. Dénotons en général par $\Psi$ la valeur de l’intégrale

_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )$

prise par toute la longueur du canal ; il faudra que l’on ait

$\delta \Psi =0.$

Or on a, par la différentiation,

$\delta \Psi =\delta$_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )$

$=$_S$\delta (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )$

$=$_S$(\mathrm {P} \delta \,dp+\mathrm {Q} \delta \,dq+\mathrm {R} \delta \,dr+\ldots +\delta \mathrm {P} dp+\delta \mathrm {Q} dq+\delta \mathrm {R} dr+\ldots ).$

Changeants $\delta d$ en $d\delta$ et faisant ensuite disparaître le double signe $d\delta$ par des intégrations par parties, on aura

$\delta \Psi =\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots$

$+$_S$(\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q+\delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r+\ldots ),$

où les termes qui sont hors du signe _S se rapportent aux extrémités de l’intégrale représentée par ce signe et répondent, par conséquent, aux bouts du canal ; de sorte qu’en supposant ces bouts fixes, les variations $\delta p,\,\delta q,\,\delta r,\ldots$ qui y répondent seront nulles, et les termes dont il s’agit s’évanouiront d’eux-mêmes.

Maintenant, comme les quantités $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ qui représentent les forces sont ou peuvent toujours être supposées des fonctions de $p,\,q,\,r,\ldots ,$ il est clair que la partie de $\delta \Psi$ qui est affectée du signe _S n’est plus susceptible de réduction ; donc, pour que l’on ait en général $\delta \Psi =0,$ il faudra que cette partie soit nulle d’elle-même et que, par conséquent, on ait pour chaque point de la masse fluide l’équation identique

$\delta \mathrm {P} \,dp-d\mathrm {P} \,\delta p+\delta \mathrm {Q} \,dq-d\mathrm {Q} \,\delta q+\delta \mathrm {R} \,dr-d\mathrm {R} \,\delta r+\ldots =0.$

En regardant les expressions des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ comme des fonctions quelconques de $p,\,q,\,r,\ldots ,$ on aura, suivant la notation reçue,

$d\mathrm {P} ={\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial p}}dp+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}dq+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}dr+\ldots \,;$

de même

$\delta \mathrm {P} ={\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial p}}\delta p+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}\delta r+\ldots ,$

et ainsi des autres différences. Substituant ces valeurs dans l’équation précédente et ordonnant les termes, elle deviendra de cette forme

${\begin{aligned}0=&+\left({\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial p}}\right)(\delta q\,dp-dq\,\delta p)\\&+\left({\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}\right)(\delta r\,dp-dr\,\delta p)\\&+\left({\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}\right)(\delta r\,dq-dr\,\delta q)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

et devra avoir lieu indépendamment des différences $dp,\,dq,\,dr,\ldots \,;$ $\delta p,\,\delta q,\,\delta r,\ldots .$

Donc, s’il n’y a aucune relation donnée entre les variables $p,\,q,\,r,\ldots ,$ il faudra faire séparément

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial p}}=0,\\&{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}=0,\\&{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Ce sont les équations de condition connues pour l’intégrabilité de la formule

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .$

9. Lorsque les lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ se rapportent à un point dans l’espace, comme dans le cas présent, elles ne peuvent dépendre que des trois coordonnées de ce point et les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ peuvent toujours se réduire à trois, suivant ces coordonnées (sect. V, art. 7). Ainsi, en prenant $p,\,q,\,r$ pour ces coordonnées, soit rectangles ou non^[1], et $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ pour les forces qui agissent sur chaque particule du fluide, dans la direction des mêmes coordonnées, il faudra que les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,$ regardées comme des fonctions de $p,q,r,$ satisfassent à ces trois équations

${\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial p}}=0,\qquad {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}=0,\qquad {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}=0.$

Ce sont les conditions nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre, en vertu des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R}$ qui agissent sur tous ses points.

Au reste, on a fait abstraction jusqu’ici de la densité du fluide, ou plutôt on l’a regardée comme constante et égale à l’unité ; mais, si l’on voulait la supposer variable, alors, en nommant $\Gamma$ la densité d’une particule quelconque $d\mathrm {m} ,$ on aurait (art. 2)

$d\mathrm {m} =\Gamma \omega \,ds\,;$

et les quantités $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ se trouveraient toutes multipliées par $\Gamma .$ Ainsi, l’on aura pour l’équilibre des fluides de densité variable les mêmes lois que pour l’équilibre des fluides de densité uniforme, en multipliant seulement les différentes forces par la densité du point sur lequel elles agissent, c’est-à-dire en écrivant simplement $\mathrm {\Gamma P,\,\Gamma Q,\,\Gamma R} ,\ldots$ à la place de $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots .$

§ II. — Où l’on déduit les lois générales de l’équilibre des fluides
incompressibles de la nature des particules qui les composent.

10. Nous allons maintenant chercher les lors de l’équilibre des fluides incompressibles, directement par notre formule générale, en regardant ces sortes de fluides comme formés d’un amas de particules mobiles en tout sens, et qui peuvent changer de figure, mais sans changer de volume.

Supposons, pour plus de simplicité, que toutes les forces qui agissent sur les particules du fluide soient réduites à trois, représentées par $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ et dirigées suivant les coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ c’est-à-dire tendantes à diminuer ces coordonnées. Nous avons donné, dans le Chapitre I de la Section V, les formules générales de cette réduction.

Nommant $d\mathrm {m}$ la masse d’une particule quelconque, on aura, pour la somme des moments des forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ la formule intégrale

_S$(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)d\mathrm {m} \,;$

or le volume de la particule $d\mathrm {m}$ peut être représenté par $dx\,\,dy\,\,dz\,;$ ainsi, en exprimant par $\Gamma$ la densité, il est clair qu’on aura

$dm=\Gamma dx\,dy\,dz\,;$

et le signe d’intégration _S appartiendra à la fois aux trois variables $x,\,y,\,z.$

Il faudra, de plus, avoir égard à l’équation de condition résultante de l’incompressibilité du fluide, laquelle, étant supposée représentée par

$\mathrm {L} =0,$

donnera, en différentiant selon $\delta ,$ multipliant par un coefficient indéterminé $\lambda$ et intégrant, la formule _S$\lambda \,\delta \mathrm {L}$ à ajouter à la précédente.

S’il n’y a point de forces extérieures qui agissent sur la surface du fluide, ni de conditions particulières à cette surface, on aura simplement, pour l’équation générale de l’équilibre (sect. IV, art. 13),

_S$(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)d\mathrm {m} +$_S$\lambda \,\delta \mathrm {L} =0,$

dans laquelle il faudra prendre les intégrales relativement à toute la masse du fluide.

11. La condition de l’incompressibilité consiste en ce que le volume de chaque particule soit invariable ; ainsi, ayant exprimé ce volume par $dx\,dy\,dz,$ on aura $dx\,dy\,dz=\mathrm {const.}$ pour l’équation de condition ; par conséquent, on aura

$\mathrm {L} =dx\,dy\,dz-\mathrm {const} .,\qquad \delta \mathrm {L} =\delta (dx\,dy\,dz).$

Pour avoir la variation $\delta (dx\,dy\,dz),$ il semble qu’il n’y aurait qu’a différentier simplement $dx\,dy\,dz$ selon $\delta \,;$ mais il y a ici une considération particulière à faire, et sans laquelle le calcul ne serait pas rigoureux. La quantité $dx\,dy\,dz$ n’exprime le volume d’une particule qu’autant qu’on suppose la figure de cette particule un parallélépipède rectangulaire dont les côtés sont parallèles aux axes des $x,\,y,\,z\,;$ cette supposition est très permise, puisqu’on peut imaginer le fluide partagé en éléments infiniment petits d’une figure quelconque. Or $\delta (dx\,dy\,dz)$ doit exprimer la variation que souffre ce volume lorsque la particule change infiniment peu de situation, ses coordonnées $x,\,y,\,z$ devenant $x+\delta x,$ $y+\delta y,$ $z+\delta z\,;$ et il est clair que si, dans ce changement, la particule conservait la figure d’un parallélépipède rectangle, on aurait

$\delta (dx\,dy\,dz)=dy\,dz\,\delta \,dx+dx\,dz\,\delta \,dy+dx\,dy\,\delta \,dz.$

Par les principes du calcul des variations, on peut changer les $\delta \,dx,\,\delta \,dy,\,\delta \,dz$ en $d\,\delta x,\,d\,\delta y,\,d\,\delta z\,;$ mais il est nécessaire de remarquer que les variations $\delta x,\delta y,\delta z$ pouvant être regardées comme des fonctions indéterminées et infiniment petites de $x,\,y,\,z,$ pour que $d\,\delta x$ représente la variation du côté $dx$ de la particule rectangulaire $dx\,dy\,dz,$ lequel est formé par l’accroissement $dx$ que la coordonnée $x$ reçoit tandis que les deux autres, $y$ et $z,$ ne varient pas, il faut que, dans la différentiation de $\delta x,$ la seule $x$ soit censée variable ainsi, suivant la notation des différences partielles, au lieu d’écrire simplement $d\,\delta x,$ il faudra écrire ${\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx\,;$ de même, et par un raisonnement semblable, on écrira ${\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}dy$ et ${\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}dz$ au lieu de $d\,\delta y$ et $d\,\delta z.$ De cette manière, dans l’hypothèse que la particule $dx\,dy\,dz$ demeure rectangulaire après la variation, on aura

$\delta (dx\,dy\,dz)=dx\,dy\,dz\left({\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right).$

Il en serait encore de même si l’on supposait que la particule $dx\,dy\,dz$ devînt, par la variation, un parallélépipède dont les angles différassent infiniment peu de l’angle droit ; car on sait, par la Géométrie, que, si $a,\,b,\,c$ sont les trois côtés d’un parallélépipède qui forment un angle solide, et $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ les trois angles que ces côtés forment entre eux, la solidité, ou le contenu du parallélépipède, est exprimée par la formule

$abc{\sqrt {\left(1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \right)}}.$

Or les côtés deviennent, par la variation,

$dx\left(1+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}\right),\qquad dy\left(1+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}\right),\qquad dz\left(1+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right),$

et les cosinus de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ deviennent infiniment petits ; ainsi, en substituant ces valeurs au lieu de $a,\,b,\,c,$ et négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs au premier, on aura, pour la variation de $dx\,dy\,dz,$ la même expression qu’on vient de trouver.

Mais, quoique cette dernière hypothèse soit légitime, nous ne voulons pas l’adopter sans démonstration, pour ne rien laisser à désirer sur l’exactitude de nos formules. Nous allons donc chercher, d’une manière rigoureuse, la variation de $dx\,dy\,dz,$ en ayant égard à la fois au changement de position et de longueur de chacun des côtés d’un parallélépipède rectangulaire, et en supposant seulement, ce qui est exact dans l’infiniment petit, que ces côtés demeurent rectilignes.

12. Pour simplifier cette recherche, nous commencerons par ne considérer qu’une des faces du parallélépipède $dx\,dy\,dz,$ par exemple la face $dx\,dy,$ dont les quatre angles répondent à ces quatre systèmes de coordonnées,

(1)

$x,\quad y,\quad z,$

(2)

$x+dx,\quad y,\quad z,$

(3)

$x,\quad y+dy,\quad z,$

(4)

$x+dx,\quad y+dy,\quad z,$

Supposons que les coordonnées $x,\,y,\,z$ du premier système deviennent $x+\delta x,\,y+\delta y,\,z+\delta z,$ et regardons les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ comme des fonctions infiniment petites de $x,\,y,\,z\,;$ en faisant croître successivement les $x,\,y$ de leurs différentielles $dx,\,dy,$ on trouvera ce que doivent devenir simultanément les coordonnées des trois autres systèmes. Ainsi, en marquant par les mêmes numéros les systèmes variés, on aura

(1)

$x+\delta x,\quad y+\delta y,\quad z+\delta z,$

(2)

$x+dx+\delta x+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx,\quad y+\delta y+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial x}}dx,\quad z+\delta z+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial x}}dx,$

(3)

$x+\delta x+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial y}}dy,\quad y+dy+\delta y+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}dy,\quad z+\delta z+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial y}}dy,$

(4)

$\left\{{\begin{aligned}x+&dx+\delta x+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial y}}dy,\\y+&dy+\delta y\ +{\frac {\partial \,\delta y}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}dy,\\z+&\delta z+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial y}}dy.\end{aligned}}\right.$

Comme ces quatre systèmes de coordonnées répondent aux quatre angles du nouveau quadrilatère dans lequel s’est changé le rectangle $dx\,\,dy,$ il est clair qu’on aura les côtés de ce quadrilatère en prenant la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées pour les deux angles adjacents à chaque côté. Ainsi, en marquant la droite qui joint deux angles par la réunion des deux numéros qui répondent à ces angles, on aura

${\begin{aligned}(1,2)=&dx{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta y}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial x}}\right)^{2}}},\\(1,3)=&dy{\sqrt {\left({\frac {\partial \delta x}{\partial y}}\right)^{2}+\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial y}}\right)^{2}}},\\(3,4)=&dx{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta y}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial x}}\right)^{2}}},\\(2,4)=&dy{\sqrt {\left({\frac {\partial \delta x}{\partial y}}\right)^{2}+\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on voit que les côtés opposés $(1,2),\,(3,4)$ sont égaux entre eux, ainsi que les côtés opposés $(1,3),\,(2,4),$ et que, par conséquent, le quadrilatère est un parallélogramme dont les deux côtés contigus $(1,2),\,(1,3)$ seront, en négligeant sous le signe les quantités du second ordre vis-à-vis de celles du premier,

$(1,2)=dx\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right),\qquad (1,3)=dy\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right).$

13. À l’égard de l’angle compris par ces deux côtés, on le trouvera par le moyen de la diagonale $(2,3),$ laquelle, en prenant de même la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées respectives des systèmes $(2)$ et $(3),$ devient

$(2,3)={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}dx-{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}dy\right)^{2}+\left(dy+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}dy-{\frac {\partial \delta y}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial x}}dx-{\frac {\partial \delta z}{\partial y}}dy\right)^{2}}}.$

Or, en nommant $\alpha$ l’angle dont il s’agit, le triangle formé par les trois côtés $(1,2),(1,3),(2,3)$ donne

$\cos \alpha ={\frac {(1,2)^{2}+(1,3)^{2}-(2,3)^{2}}{2(1,2)\times (1,3)}}.$

Substituant dans cette expression les valeurs trouvées de $(1,2),\,(1,3),\,(2,3),$ effaçant les termes qui se détruisent et négligeant les infiniment petits du second ordre et des ordres supérieurs, on aura

$\cos \alpha ={\frac {\partial \delta x}{\partial y}}+{\frac {\partial \delta y}{\partial x}},$

où l’on voit que l’angle $\alpha$ ne diffère d’un angle droit que par des quantités infiniment petites, puisque son cosinus est infiniment petit.

14. Si l’on applique la même analyse aux deux autres faces $dx\,dz,$ $dy\,dz$ du rectangle $dx\,dy\,dz,$ on trouvera que ces faces se changent aussi en parallélogrammes ; de sorte que les trois faces opposées seront aussi des parallélogrammes, comme on peut le démontrer facilement par la Géométrie. Par conséquent, le nouveau solide sera un parallélépipède dont les côtés qui forment un angle solide seront

$dx\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right),\qquad dy\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right),\qquad dz\left(1+{\frac {\partial \delta z}{\partial z}}\right),$

et nommant $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ les angles compris entre ces côtés, on aura

${\begin{aligned}\cos \alpha =&{\frac {\partial \delta x}{\partial y}}+{\frac {\partial \delta y}{\partial x}},\\\cos \beta =&{\frac {\partial \delta x}{\partial z}}+{\frac {\partial \delta z}{\partial x}},\\\cos \gamma =&{\frac {\partial \delta y}{\partial z}}+{\frac {\partial \delta z}{\partial y}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on peut conclure que la variation du parallélépipède rectangulaire $dx\,dy\,dz$ est rigoureusement exprimée par la formule donnée plus haut (art. 11).

15. On voit aussi par là que, si les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ n’étaient fonctions respectivement que de $x,\,y,\,z,$ on aurait rigoureusement

$\cos \alpha =0,\qquad \cos \beta =0,\qquad \cos \gamma =0\,;$

de sorte que le parallélépipède rectangle $dx\,dy\,dz$ demeurerait rectangle après la variation. Or, comme le changement de forme de ce parallélépipède n’est qu’infiniment petit et n’influe point dans la valeur de sa solidité, il s’ensuit que, sans rien ôter à la généralité du résultat, on peut supposer que les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ soient simplement fonctions de $x,$ de $y$ et de $z,$ comme nous l’avons fait dans l’article 31 de la Section IV.

16. Ayant ainsi la vraie valeur de $(dx\,dy\,dz),$ on la prendra pour celle de $\delta \mathrm {L}$ et l’on aura

$\delta \mathrm {L} =dx\,dy\,dz\left({\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right).$

On substituera donc cette valeur dans l’équation générale de l’article 10, et mettant en même temps pour $d\mathrm {m}$ sa valeur $\Gamma dx\,dy\,dz,$ on aura l’équation

_S$\left[\Gamma (\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)+\lambda \left({\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right)\right]dx\,dy\,dz=0,$

et il ne s’agira plus que d’y faire disparaître les doubles signes $d\delta$ par la méthode exposée dans le § II de la Section IV.

17. Considérons d’abord la quantité

_S$\lambda {\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx\,dy\,dz,$

où le signe _S dénote une triple intégrale relative à $x,\,y,\,z\,;$ il est clair que, comme la différence de $\delta x$ n’est relative qu’à la variation de $x,$ il ne faudra aussi pour la faire disparaître qu’avoir égard à l’intégration relative à $x\,;$ c’est pourquoi on donnera d’abord à cette quantité la forme

_S$dy\,dz$_S$\lambda {\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx,$

ensuite on transformera l’intégrale simple

_S$\lambda {\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx\qquad$en$\qquad \lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x'-$ _S ${\frac {\partial \,\lambda }{\partial x}}\delta x\,dx\,;$

les quantités marquées d’un trait se rapportent au commencementde l’intégration, et celles qui en ont deux se rapportent aux points où elle finit, suivant la notation adoptée dans l’endroit cité. Ainsi la quantité dont il s’agit se trouvera changée en celle-ci

_S$dy\,dz(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')-$_S$dy\,dz$_S${\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta x\,dx,$

ou, ce qui est la même chose,

_S$(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')dy\,dz-$_S${\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta x\,dx\,dy\,dz.$

De la même manière et par un raisonnement semblable, on changera les quantités

_S$\lambda {\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}dx\,dy\,dz,\quad {\text{et}}\quad$_S$\lambda {\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}dx\,dy\,dz,$

en celles-ci

_S$(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')dx\,dz-$_S${\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\delta y\,dx\,dy\,dz$

et

_S$(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')dx\,dy-$_S${\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\delta z\,dx\,dy\,dz.$

Faisant ces substitutions, on aura donc, pour l’équilibre de la masse fluide, cette équation générale

_S$\left[\left(\Gamma \mathrm {X} -{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\right)\delta x+\left(\Gamma \mathrm {Y} -{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\right)\delta y+\left(\Gamma \mathrm {Z} -{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\right)\delta z\right]dx\,dy\,dz$

$+$_S$(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')dy\,dz$

$+$_S$(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')dx\,dz+$_S$(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')dx\,dy=0,$

dans laquelle il n’y aura plus qu’à égaler séparément à zéro les coefficients des variations indéterminées $\delta x,\delta y,\delta z$ (sect. IV, art. 16).

18. On aura donc d’abord ces trois équations

$\Gamma \mathrm {X} -{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}=0,\qquad \Gamma \mathrm {Y} -{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}=0,\qquad \Gamma \mathrm {Z} -{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=0,$

lesquelles doivent avoir lieu pour tous les points de la masse fluide.

Ensuite, si le fluide est libre de tous côtés, les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z',$ $\delta x'',\,\delta y'',\,\delta z'',$ qui se rapportent aux points de la surface du fluide, seront aussi indéterminées, et, par conséquent, il faudra encore égaler séparément à zéro leurs coefficients, ce qui donnera $\lambda '=0,$ $\lambda ''=0,$ c’est-à-dire en général $\lambda =0,$ pour tous les points de la surface du fluide, et cette équation servira à déterminer la figure de cette surface.

Il en sera de même lorsque le fluide est renfermé dans un vase, pour la partie de la surface où le vase est ouvert ; mais, à l’égard de la partie qui est appuyée contre les parois, les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z',\,\delta x'',\,\delta y'',\,\delta z'',$ doivent avoir entre elles des rapports donnés par la figure de ces parois, puisque le fluide ne peut que couler le long des parois ; et nous démontrerons plus bas que, quelle que puisse être leur figure, les termes qui renferment les variations en question seront toujours nuls d’eux-mêmes ; de sorte qu’il n’y aura aucune condition relativement à cette partie de la surface du fluide.

19. Les trois équations qu’on vient de trouver pour les conditions de l’équilibre du fluide donnent

${\frac {\partial \lambda }{\partial x}}=\Gamma \mathrm {X} ,\qquad {\frac {\partial \lambda }{\partial y}}=\Gamma \mathrm {Y} ,\qquad {\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=\Gamma \mathrm {Z} ,$

donc, puisque

$d\lambda ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}dz,$

on aura

$d\lambda =\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)\,;$

par conséquent, il faudra que la quantité

$\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)$

soit une différentielle complète en $x,\,y,\,z,$ et cette condition renferme seule les lois de l’équilibre des fluides.

Si l’on élimine la quantité $\lambda$ des mêmes équations, on aura les suivantes :

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma \mathrm {X} }{\partial y}}=&{\frac {\partial \Gamma \mathrm {Y} }{\partial x}},\\\\{\frac {\partial \Gamma \mathrm {X} }{\partial z}}=&{\frac {\partial \Gamma \mathrm {Z} }{\partial x}},\\\\{\frac {\partial \Gamma \mathrm {X} }{\partial z}}=&{\frac {\partial \Gamma \mathrm {Z} }{\partial y}},\end{aligned}}$

équations qui s’accordent avec celles de l’article 9.

Ces conditions sont donc nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre en vertu des forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z} .$ Lorsqu’elles ont lieu par la nature de ces forces, on est assuré que l’équilibre est possible, et il ne reste plus qu’à trouver la figure que la masse fluide doit prendre, pour être en équilibre, c’est-à-dire l’équation de la surface extérieure du fluide.

Nous avons vu, dans l’article précédent, qu’on doit avoir dans chaque point de cette surface $\lambda =0.$ Donc, puisque $d\lambda =\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz),$ on aura, en intégrant,

$\lambda =\int \Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)+\mathrm {const.} \,;$

par conséquent, l’équation de la surface extérieure sera

$\int \Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)=\mathrm {K} ,$

$\mathrm {K}$ étant une constante quelconque ; et cette équation sera toujours en termes finis, puisque la quantité $\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)$ est supposée une différentielle exacte.

20. La quantité $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz$ est toujours d’elle-même une différentielle exacte lorsque les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ sont le résultat d’une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances aux centres, puisqu’on a en général, par l’article 1 de la Section V,

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .$

Nommant cette quantité $d\Pi ,$ on aura alors $d\lambda =\Gamma d\Pi \,;$ donc, pour que $d\lambda$ soit une différentielle complète, il faudra que $\Gamma$ soit une fonction de $\Pi .$ Par conséquent, $\lambda =\int \Gamma d\Pi$ sera aussi nécessairement une fonction de $\Pi .$

On aura donc dans ce cas, qui est celui de la nature, pour la figure de la surface, l’équation

fonction de $\Pi =\mathrm {K} ,$

savoir $\Pi$ égal à une constante, de même que si la densité du fluide était uniforme. De plus, puisque $\Pi$ est constante à la surface et que $\Gamma$ est fonction de $\Pi ,$ il s’ensuit que la densité $\Gamma$ doit être la même dans tous les points de la surface extérieure d’une masse fluide en équilibre.

Dans l’intérieur du fluide, la densité peut varier $d$’une manière quelconque, pourvu qu’elle soit toujours une fonction de $\Pi \,:$ elle devra donc être constante partout où la valeur de $\Pi$ sera constante ; de sorte que $\Pi =h$ sera en général l’équation des couches de même densité, $h$ étant une constante. Donc, différentiant, on aura

$d\Pi =0\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=0$

pour l’équation générale de ces couches ; et il est visible que cette équation est celle des surfaces auxquelles la résultante des forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ est perpendiculaire et que Clairaut appelle surfaces de niveau. D’où il s’ensuit que la densité doit être uniforme dans chaque couche de niveau formée par deux surfaces de niveau infiniment voisines.

Cette loi doit donc avoir lieu dans la Terre et dans les planètes, supposé que ces corps aient été originairement fluides et qu’ils aient conservé, en se durcissant, la forme qu’ils avaient prise en vertu de l’attraction de leurs parties, combinée avec la force centrifuge.

21. À l’égard de la quantité $\lambda$ dont nous venons de déterminer la valeur, il est bon de remarquer que le terme _S$\lambda \,\delta \mathrm {L}$ de l’équation générale de l’article 10 représente la somme des moments d’autant de forces qui tendent à diminuer la valeur de la fonction $\mathrm {L}$ (sect. IV, art. 7) ; de sorte que, comme on a fait $\delta \mathrm {L} =\delta (dx\,dy\,dz)$ (art. 11), on peut dire que la force $\lambda$^[2] tend à comprimer chaque particule $dx\,dy\,dz$ du fluide ; par conséquent, cette force n’est autre chose que la pression que cette particule du fluide souffre également de tous côtés et à laquelle elle résiste par son incompressibilité.

On a donc, en général, pour la pression dans chaque point de la masse fluide, l’expression

_S$\Gamma (\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz)\,;$

et, comme la quantité sous le signe doit toujours être intégrable pour que le fluide soit en équilibre, il s’ensuit que la pression pourra toujours être exprimée par une fonction finie des coordonnées relatives à la particule qui éprouve cette pression ; proposition fondamentale de la théorie des fluides donnée par Euler^[3].

22. Pour donner une application de l’équation $\Pi =\mathrm {const.} ,$ que nous avons trouvée pour représenter la surface d’une masse fluide en équilibre (art. 20), nous allons considérer l’équilibre de la mer, en supposant qu’elle recouvre la terre regardée comme un solide de figure elliptique et peu différent de la sphère, et que chacune de ses particules soit attirée à la fois par toutes les particules de la terre et de la mer, et soit animée en même temps de la force centrifuge provenant de la rotation uniforme de la Terre autour de son axe.

C’est ici le lieu d’employer les formules que nous avons données dans l’article 10 de la Section V. Nous avons désigné par $\Sigma$ la valeur de la fonction $\Pi ,$ lorsque les forces sont le résultat des attractions de toutes les particules d’un corps de figure donnée, et nous avons donné l’expression de $\Sigma$ pour le cas où l’attraction est en raison inverse du carré des distances et où le corps attirant est un sphéroïde elliptique peu différent de la sphère. En conservant les dénominations employées dans cet article et en s’arrêtant aux termes qui contiennent les secondes dimensions des excentricités $e$ et $i,$ on a trouvé

$\Sigma =-\mathrm {m} \left({\frac {1}{r}}-{\frac {e^{2}+i^{2}}{2.5r^{3}}}+3{\frac {e^{2}y^{2}+i^{2}z^{2}}{2.5r^{5}}}\right),$

où $x,\,y,\,z$ sont les coordonnées rectangles du point attiré ; $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ est la distance de ce point au centre du sphéroïde, et $\mathrm {m}$ est la masse du sphéroïde égale à ${\frac {4\pi }{3}}\mathrm {ABC} ,$ $\mathrm {A,\,B,\,C}$ étant les demi-axes du sphéroïde.

Si l’on dénote par $\Gamma$ la densité du sphéroïde supposé homogène, il faudra multiplier cette expression de par $\Sigma$ par $\Gamma \,;$ et si l’on suppose que le sphéroïde ait un autre sphéroïde pour noyau, dont la densité soit différente, il n’y aura qu’à y ajouter la valeur de $\Sigma$ relative à ce nouveau sphéroïde, multipliée par la différence des densités. Ainsi, en marquant par un trait les quantités relatives au sphéroïde intérieur et supposant que sa densité soit $\Gamma +\Gamma ',$ on aura, pour la valeur totale de $\Sigma ,$

${\begin{aligned}\Sigma =&-{\frac {\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} '}{r}}+{\frac {\Gamma \mathrm {m} \left(e^{2}+i^{2}\right)+\Gamma '\mathrm {m} '\left(e'^{2}+i'^{2}\right)}{2.5r^{3}}}\\&-3{\frac {\Gamma \mathrm {m} e^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'e'^{2}}{2.5r^{5}}}y^{2}-3{\frac {\Gamma \mathrm {m} i^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'i'^{2}}{2.5r^{5}}}z^{2}.\end{aligned}}$

23. Supposons que le point attiré par le sphéroïde soit en même temps sollicité par trois forces représentées par $fx,\,gy$ et $hz$ dirigées suivant les coordonnées $x,\,y$ et $z,$ et tendantes à les augmenter, on aura $-fx\,dx,\,-gy\,dy$ et $-hz\,dz$ pour leurs moments, et il en résultera les termes $-{\frac {fx^{2}}{2}}-{\frac {gy^{2}}{2}}-{\frac {hz^{2}}{2}}$ à ajouter à la quantité $\Sigma$ pour avoir la valeur de $\Pi$ due à toutes les forces qui agissent sur le même point. Ainsi l’équation de l’équilibre sera

$\Sigma -{\frac {fx^{2}+gy^{2}+hz^{2}}{2}}=\mathrm {const.}$

24. Pour appliquer maintenant ces formules à la question dont il s’agit, on supposera que le sphéroïde extérieur est la mer, dont la densité est $\Gamma ,$ et que le noyau intérieur est la terre, ayant la densité $\Gamma +\Gamma ',$ et l’on placera le point attiré à la surface de la mer, en faisant coïncider les coordonnées $x,y,z$ de ce point avec les coordonnées $a,b,c$ de la surface du sphéroïde extérieur. On aura alors, pour que cette surface soit en équilibre, l’équation

${\begin{aligned}&{\frac {\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} '}{r}}-{\frac {\Gamma \mathrm {m} \left(e^{2}+i^{2}\right)+\Gamma '\mathrm {m} '\left(e'^{2}+i'^{2}\right)}{2.5r^{3}}}+{\frac {fx^{2}}{2}}\\&\qquad +\left(3{\frac {\Gamma \mathrm {m} e^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'e'^{2}}{2.5r^{5}}}+{\frac {g}{2}}\right)y^{2}\\&\qquad +\left(3{\frac {\Gamma \mathrm {m} i^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'i'^{2}}{2.5r^{5}}}+{\frac {h}{2}}\right)z^{2}\\&\quad =\mathrm {const} .\end{aligned}}$

Cette équation, dans laquelle $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$ donne la figure de la surface mais nous avons supposé dans les formules de l’article 10 de la Section V que cette surface est représentée par l’équation

${\frac {x^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mathrm {B} ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mathrm {C} ^{2}}}=1,$

en prenant ici $x,y,z$ au lieu de $a,b,c\,;$ donc il faudra que ces deux équations coïncident.

Tirons de celle-ci la valeur de $r$ en $y$ et $z,$ et, pour cela, substituons dans $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ pour $x^{2}$ sa valeur $\mathrm {A} ^{2}-{\frac {\mathrm {A} ^{2}y^{2}}{\mathrm {B} ^{2}}}-{\frac {\mathrm {A} ^{2}z^{2}}{\mathrm {C} ^{2}}}\,;$ on aura, en mettant pour $\mathrm {B} ^{2}$ et $\mathrm {C} ^{2}$ les valeurs $\mathrm {A} ^{2}+e^{2},\ \mathrm {A} ^{2}+i^{2}$ (article cité),

$r^{2}=\mathrm {A} ^{2}+{\frac {e^{2}y^{2}}{\mathrm {A} ^{2}+e^{2}}}+{\frac {i^{2}z^{2}}{\mathrm {A} ^{2}+i^{2}}}\,;$

d’où l’on tire, en rejetant les puissances de $e$ et $i$ supérieures à $e^{2}$ et $i^{2},$ auxquelles nous n’avons point égard ici,

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {e^{2}y^{2}+i^{2}z^{2}}{2\mathrm {A} ^{5}}}.$

On substituera donc cette valeur de ${\frac {1}{r}},$ ainsi que celle de $x^{2},$ dans la première équation, et rejetant toujours les termes qui contiendraient $e^{4},\,i^{4},\,e^{2}i^{2},\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}&{\frac {\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} '}{\mathrm {A} }}-{\frac {\Gamma \mathrm {m} \left(e^{2}+i^{2}\right)+\Gamma '\mathrm {m} '\left(e'^{2}+i'^{2}\right)}{2.5\mathrm {A} ^{3}}}+{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2}}\\&\qquad +\left[3{\frac {\Gamma \mathrm {m} e^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'e'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}+{\frac {g}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {B} ^{2}}}-{\frac {(\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} ')e^{2}}{2\mathrm {A} ^{5}}}\right]y^{2}\\&\qquad +\left[3{\frac {\Gamma \mathrm {m} i^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'i'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}\ +{\frac {h}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {C} ^{2}}}-{\frac {(\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} ')i^{2}}{2\mathrm {A} ^{5}}}\right]z^{2}=\mathrm {const} .\end{aligned}}$

Cette équation devant être identique, il faudra que les coefficients des quantités variables $y^{2}$ et $z^{2}$ soient nuls, ce qui donnera les deux équations

${\begin{aligned}{\frac {3\Gamma '\mathrm {m} 'e'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}-{\frac {2\Gamma \mathrm {m} +5\Gamma '\mathrm {m} '}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}+\ {\frac {g}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {B} ^{2}}}=&0,\\{\frac {3\Gamma '\mathrm {m} 'i'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}-{\frac {2\Gamma \mathrm {m} +5\Gamma '\mathrm {m} '}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}+{\frac {h}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {C} ^{2}}}=&0,\end{aligned}}$

qui serviront à déterminer les deux excentricités $e$ et $i$ de la surface elliptique de la mer.,

25. On sait que la force centrifuge est proportionnelle à sa distance de l’axe de rotation et au carré de la vitesse angulaire de rotation. Donc, si l’on prend l’axe $2\mathrm {A} ,$ qui est aussi l’axe des coordonnées $x,$ pour l’axe de rotation, et que $\mathrm {f}$ soit la force centrifuge à la distance $\mathrm {A}$ de l’axe, on aura ${\frac {\mathrm {f} u}{\mathrm {A} }}$ pour la force centrifuge d’un point quelconque du sphéroïde, en faisant $u={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\,;$ cette force, étant dirigée suivant la ligne $u$ et tendant à l’augmenter, donnera le moment $-{\frac {\mathrm {f} u\,du}{\mathrm {A} }},$ dont l’intégrale $-{\frac {\mathrm {f} u^{2}}{2\mathrm {A} }},$ savoir $-{\frac {\mathrm {f} (y^{2}+z^{2})}{2\mathrm {A} }},$ devra être ajoutée à la quantité $\Sigma ,$ pour avoir égard à l’effet de la force centrifuge. Ainsi on aura les conditions de l’équilibre de la mer, en vertu de l’attraction réciproque de toutes les particules de la mer et de la Terre, et de la force centrifuge due à la rotation de la Terre, en faisant dans les deux équations précédentes $f=0,$ $g=\mathrm {\frac {f}{A}} ,$ $h=\mathrm {\frac {f}{A}} .$

Puisque les deux constantes $g$ et $h$ sont égales, on voit, par ces équations, que, si les excentricités $e'$ et $i'$ de la Terre sont égales, on aura aussi les deux excentricités $e$ et $i$ de la figure de la mer égales entre elles ; de sorte que, si la Terre est un sphéroïde de révolution, la mer né le sera pas non plus, et les deux équations dont il s’agit donneront les valeurs de ses deux excentricités $e,i,$ qui seront différentes des excentricités $e'$ et $i'$ de la Terre.

26. Au reste, cette solution n’est exacte qu’aux quantités $e^{2},\,i^{2},\,e'^{2},\,i'^{2}$ près ; et si l’on voulait avoir égard, dans les valeurs de $\Sigma$ et de $r,$ aux termes qui contiendraient des puissances supérieures de ces quantités, il ne serait plus possible de vérifier en général l’équation

$\Sigma -{\frac {\mathrm {f} \left(y^{2}+z^{2}\right)}{2\mathrm {A} }}=\mathrm {const} .$

pour la surface d’équilibre ; d’où il faudrait conclure que cette surface n’a point rigoureusement la figure d’un sphéroïde elliptique.

Je dis en général, parce que, dans le cas où le sphéroïde est homogène et sans noyau intérieur d’une densité différente, on a trouvé que les attractions sur un point quelconque de la surface, suivant les trois coordonnées $x,y,z,$ sont représentées exactement par les formules

$\mathrm {mL} x,\qquad \mathrm {mM} y,\qquad \mathrm {mN} z,$

où $\mathrm {L,\,M,\,N}$ sont des fonctions de $\mathrm {A,\,B,\,C}$ données par des intégrales définies ; d’où l’on déduit pour $\Sigma$ cette expression rigoureuse

$\Sigma ={\frac {\mathrm {m} }{2}}\left(\mathrm {L} x^{2}+\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {N} z^{2}\right).$

Ainsi, l’équation de l’équilibre $\Sigma -{\frac {\mathrm {f} \left(y^{2}+z^{2}\right)}{2\mathrm {A} }}=\mathrm {const} .$ étant de la même forme que l’équation du sphéroïde ${\frac {x^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mathrm {B} ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mathrm {C} ^{2}}}=1,$ on peut, cause de la constante arbitraire, les rendre identiques par ces deux conditions

$\mathrm {{\frac {mM-f}{mL}}={\frac {A^{2}}{B^{2}}},\qquad {\frac {mN-f}{mL}}={\frac {A^{2}}{C^{2}}}} ,$

lesquelles donnent $\mathrm {B=C} ,$ parce que les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont^[4] des fonctions semblables de $\mathrm {B,\,C}$ et de $\mathrm {C,\,B} \,;$ elles se réduisent ainsi à une seule, qui sert à déterminer le rapport de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B} .$

Ce cas est, jusqu’à présent, le seul pour lequel on ait trouvé une solution rigoureuse qu’on doit à Maclaurin ; de sorte que le problème de la figure de la Terre, envisagé physiquement, n’est résolu exactement qu’en supposant le sphéroïde fluide et homogène. Dans ce cas, les deux équations approchées, trouvées plus haut (art. 24), donnent, en faisant

$\Gamma =1,\qquad \Gamma '=0,\qquad g=h=\mathrm {\frac {f}{A}} \qquad {\text{et}}\qquad e=i,$

celle-ci :

${\frac {2\mathrm {m} e^{2}}{5\mathrm {A} ^{4}}}-\mathrm {f} =0.$

Si l’on compare la force centrifuge à la gravité prise pour l’unité, laquelle est, aux quantités $e^{2}$ près, $\mathrm {\frac {m}{A^{2}}} ,$ il n’y aura qu’à faire $\mathrm {\frac {m}{A^{2}}} =1,$ et l’on aura

${\frac {2e^{2}}{5\mathrm {A} ^{2}}}=\mathrm {f} =2\mathrm {\frac {B^{2}-A^{2}}{5A^{2}}} \,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {\frac {B}{A}} ={\sqrt {1+{\frac {5\mathrm {f} }{2}}}}.$

Or on a $f={\frac {1}{288}}\,;$ donc $\mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {231}{230}}$ à très-peu près, comme on le sait depuis longtemps.

§ III. — De l’équilibre d’une masse fluide avec un solide qu’elle recouvre.

27. Les lois particulières de l’équilibre d’un fluide avec un solide qui y est plongé, ou dans lequel il est renfermé, lorsque tous les points du fluide et du solide sont sollicités par des forces quelconques, dépendent des termes de l’équation générale (art. 17) qui se rapportent aux limites, et qui ne contiennent que des intégrations doubles.

Ces termes donnent cette équation aux limites

_S$\lambda ''(\delta x''dy\,dz+\delta y''dx\,dz+\delta z''dx\,dy)$

$-$_S$\lambda '\ (\delta x'\ dy\,dz+\delta y'\ dx\,dz+\delta z'\ dx\,dy)=0,$

laquelle doit se vérifier dans tous les points où le fluide est contigu au solide.

28. Considérons d’abord le cas d’une masse fluide dont la surface extérieure est libre, et qui environne un noyau solide fixe de figure quelconque.

En prenant l’origine des coordonnées dans un point de l’intérieur du noyau, les quantités marquées d’un trait se rapporteront à la surface du noyau, et les quantités marquées de deux traits se rapporteront à la surface extérieure du fluide. Ainsi l’on aura d’abord, pour tous les points de cette surface, l’équation $\lambda ''=0,$ laquelle donne, comme on l’a déjà vu plus haut (art. 19),

_S$\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)=\mathrm {K} ,$

pour la figure de cette surface.

Il ne restera donc à vérifier que l’équation

_S$\lambda '(\delta x'dy\,dz+\delta y'dx\,dz+\delta z'dx\,dy)=0,$

dont tous les termes se rapportent à la surface du noyau.

29. Comme l’intégration de ces termes est relative aux coordonnées dont les différentielles entrent dans l’expression des éléments superficiels $dx\,dy,$ $dx\,dy,$ $dy\,dz,$ il faut commencer par réduire ces éléments à une même forme ; ce qu’on peut obtenir en les rapportant à l’élément de la surface auquel ils répondent.

Désignons par $ds^{2}$ l’élément de la surface qui répond à l’élément $dx\,dy$ du plan des $xy$ et nommons $\gamma '$ l’angle que le plan tangent fait avec le même plan des $xy\,;$ on aura, par la propriété connue des plans, $dx\,dy=ds^{2}cos\gamma ',$ et l’intégrale _S$\lambda '\delta z'dx\,dy$ deviendra _S$\lambda '\cos \gamma 'dz\,ds^{2},$ laquelle devra s’étendre à tous les points de la surface du fluide.

De même, si $d\sigma ^{2}$ est l’élément de la surface qui répond à l’élément $dx\,dz$ du plan des $xz,$ et qu’on nomme $\beta '$ l’angle que le plan tangent fait avec ce même plan des $xz,$ on aura $dx\,dz=d\sigma ^{2}\cos \beta ',$ et l’intégrale _S$\lambda '\delta y'dx\,dz$ deviendra _S$\lambda '\cos \beta '\delta y'\,d\sigma ^{2},$ laquelle devra s’étendre également pour toute la surface du fluide.

30. Je remarque maintenant que, quoique les deux éléments $ds^{2}$ et $d\sigma ^{2}$ de la surface puissent n’être pas égaux entre eux, néanmoins, comme les deux intégrales qui renferment ces éléments se rapportent à la même surface, rien n’empêche d’employer le même élément dans ces deux intégrales, puisque, par la nature du Calcul différentiel, la valeur absolue des éléments est arbitraire et n’influe point sur celle de l’intégrale. Ainsi l’on pourra changer l’intégrale _S$\lambda '\cos \beta '\delta y'\,d\sigma ^{2},$ en _S$\lambda '\cos \beta '\delta y'\,ds^{2}.$

Par le même raisonnement, l’intégrale _S$\lambda '\delta x'dy\,dz$ pourra se mettre sous la forme _S$\lambda '\cos \alpha '\delta x'ds^{2},$ en nommant $\alpha '$ l’angle que le plan tangent fait avec le plan des $xy.$

D’ailleurs, il est évident qu’on peut toujours prendre les éléments $dx,\,dy,\,dz$ tels qu’ils satisfassent aux conditions

$dx\,dy=\cos \gamma 'ds^{2},\qquad dx\,dz=\cos \beta 'ds^{2},\qquad dy\,dz=\cos \alpha 'ds^{2},$

lesquelles donnent

${\begin{aligned}dx=&ds{\sqrt {\frac {\cos \beta '\cos \gamma '}{\cos \alpha '}}},\\dy=&ds{\sqrt {\frac {\cos \alpha '\cos \gamma '}{\cos \beta '}}},\\dz=&ds{\sqrt {\frac {\cos \alpha '\cos \beta '}{\cos \gamma '}}}.\end{aligned}}$

Par ces transformations l’équation aux limites deviendra enfin

_S$\lambda '(\cos \alpha '\delta x'+\cos \beta '\delta y'+\cos \gamma '\delta z')ds^{2}=0,$

l’intégrale devant s’étendre sur toute la surface du fluide contigu au noyau.

31. Supposons que la figure de cette surface soit représentée par l’équation différentielle

$\mathrm {A} dx'+\mathrm {B} dy'+\mathrm {C} dz'=0.$

En nommant $\alpha ',\beta ',\gamma '$ les angles que le plan tangent fait avec les plans des $xy,$ des $xz$ et des $yz,$ on a, par la théorie des surfaces,

${\begin{aligned}\cos \alpha '=&\mathrm {\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\\\cos \beta '=&\mathrm {\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\\\cos \gamma '=&\mathrm {\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} .\end{aligned}}$

Donc l’équation de l’article précédent, relative à la surface, deviendra

_S$\left[\lambda '{\frac {\mathrm {A} \delta x'+\mathrm {B} \delta y'+\mathrm {C} \delta z'}{\mathrm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}} }}\right]ds^{2}=0.$

Comme cette surface est donnée de figure et de position, les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z'$ des coordonnées des particules qui y sont contiguës doivent avoir entre elles une relation dépendante de l’équation de la même surface ; ainsi, ayant supposé cette équation

$\mathrm {A} dx'+\mathrm {B} dy'+\mathrm {C} dz'=0,$

on aura aussi nécessairement

$\mathrm {A} \delta x'+\mathrm {B} \delta y'+\mathrm {C} \delta z'=0,$

ce qui satisfait à l’équation aux limites de l’article précédent, sans qu’il en résulte aucune nouvelle équation.

32. Soit $p'$ une ligne perpendiculaire à la surface dans le point auquel répondent les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z',$ et terminée à un point fixe. Puisque $\alpha '$ est l’angle que le plan tangent fait avec le plan des $yz,$ ce sera aussi l’angle que la perpendiculaire $p'$ à ce plan fait avec l’axe des $x,$ qui est perpendiculaire au même plan des $yz.$ De même, $\beta '$ sera l’angle de cette perpendiculaire avec l’axe des $y$ et $\gamma '$ sera l’angle de la même perpendiculaire avec l’axe des $z.$ Donc, quelles que soient les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z',$ on aura, en général, par l’article 7 de la Section II, en changeant $d$ en $\delta ,$

$\delta p'=\cos \alpha '\delta x'+\cos \beta '\delta y'+\cos \gamma '\delta z'\,;$

et l’équation de l’article 30, relative à la surface du fluide, pourra se mettre sous la forme

_S$\lambda '\delta p'ds^{2}=0,$

où l’on voit que chaque élément $\lambda 'ds^{2}\delta p'$ de cette intégrale représente le moment d’une force $\lambda 'ds^{2}$ appliquée à l’élément $ds^{2}$ de la surface et dirigée suivant la perpendiculaire $p'$ à cette surface, de sorte que l’intégrale _S$\lambda '\delta p'ds^{2}$ représentera la somme des moments de toutes les forces $\lambda '$ appliquées à chaque point de la surface et agissant perpendiculairement à cette surface.

Cette force égale à $\lambda '$ est évidemment la pression exercée par le fluide sur la surface du noyau, et qui est détruite par la résistance du noyau. Mais on peut, en général, réduire à la forme _S$\lambda \delta pds^{2}$ tous les termes de l’équation aux limites qui se rapportent à la surface du fluide, soit que cette surface soit libre ou non ; et il est évident que la pression $\lambda$ doit être nulle dans tous les points où la surface est libre ; ce que nous avons déjà trouvé d’une autre manière (art. 18).

33. Si le noyau recouvert par le fluide était mobile, alors il faudrait augmenter les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ des variations dépendantes du changement de position du noyau.

Pour distinguer ces différentes variations, nous désignerons par $\mathrm {\delta x,\,\delta y,\,\delta z}$ les variations dues simplement au déplacement des particules du fluide, relativement au noyau regardé comme fixe, et nous dénoterons par $\delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta ,$ les variations qui dépendent du déplacement du noyau. Celles-ci sont exprimées par les formules suivantes, que nous avons trouvées dans l’article 60 de la Section V :

${\begin{alignedat}{3}\delta \xi =&\delta l&+&z\delta \mathrm {M} &-&y\delta \mathrm {N} ,\\\delta \eta =&\delta m&-&z\delta \mathrm {L} &+&x\delta \mathrm {N} ,\\\delta \zeta =&\delta n&+&y\delta \mathrm {L} &-&x\delta \mathrm {M} .\end{alignedat}}$

Ainsi, dans l’équation générale de l’article 17, il faudra mettre $\delta \mathrm {x} +\delta \xi ,$ $\delta \mathrm {y} +\delta \eta ,$ $\delta \mathrm {z} +\delta \zeta$ à la place de $\delta x,\delta y,\delta z,$ et ensuite égaler à zéro les termes affectés des variations $\delta \mathrm {x} ,\,\delta \mathrm {y} ,\,\delta \mathrm {z} ,$ ainsi que ceux qui se trouveront affectés des nouvelles variations $\delta l,\,\delta m,\,\delta n,$ $\mathrm {\delta L,\,\delta M,\,\delta N} ,$ après les avoir fait sortir hors des signes _S, puisque ces variations sont les mêmes pour toutes les particules du fluide.

On voit d’abord que l’introduction des variations $\delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta$ n’apporte aucun changement aux équations qui doivent avoir lieu pour tous les points du fluide, et qui résultent des termes affectés d’une triple intégration, parce qu’en égalant à zéro les coefficients de $\delta \mathrm {x} ,\delta \mathrm {y} ,\delta \mathrm {z}$ dans ces termes, les variations $\delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta$ disparaissent en même temps. D’où il suit que les lois générales de l’équilibre contenues dans les formules de l’article 19 sont indépendantes de l’état comme de la figure du noyau.

34. Il n’y a donc à considérer que l’équation aux limites, que nous avons réduite, dans l’article 30, à la forme

_S$\lambda '(\cos \alpha '\delta x'+\cos \beta '\delta y'+\cos \gamma '\delta z')ds^{2}=0.$

En y substituant pour $\delta x',\,\delta y',\,\delta z'$ les valeurs $\delta \mathrm {x} '+\delta \xi ',$ $\delta \mathrm {y} '+\delta \eta ',$ $\delta \mathrm {z} '+\delta \zeta '$ marquées d’un trait, pour les rapporter à la surface du fluide contiguë au noyau, elle devient

_S$\lambda '(\cos \alpha \,\delta \mathrm {x} '+\cos \beta \,\delta \mathrm {y} '+\cos \gamma \,\delta \mathrm {z} ')ds^{2}$

$+$_S$\lambda '(\cos \alpha \,\delta \xi '+\cos \beta \,\delta \eta '+\cos \gamma \,\delta \zeta ')ds^{2}=0.$

La partie qui contient les variations $\delta \mathrm {x',\,\delta y',\,\delta z'}$ est nulle d’elle-même, comme nous l’avons démontré dans l’article 31. L’autre partie du premier membre de l’équation devra donc aussi être nulle. On y substituera les valeurs de $\delta \xi ',\,\delta \eta ',\,\delta \zeta ',$ et l’on égalera ensuite séparément à zéro les quantités multipliées par $\delta l,\,\delta m,\,\delta n,$ $\mathrm {\delta L,\,\delta M,\,\delta N} \,;$ on aura ces six équations

_S$\lambda '\cos \alpha ds^{2}=0,\quad$_S$\lambda '\cos \beta ds^{2}=0,\quad$_S$\lambda '\cos \gamma ds^{2}=0,$

_S$\lambda '(y'\cos \gamma -z'\cos \beta )ds^{2}=0,$

_S$\lambda '(z'\cos \alpha -x'\cos \gamma )ds^{2}=0,$

_S$\lambda '(x'\cos \beta -y'\cos \alpha )ds^{2}=0,$

qui seront nécessaires pour l’équilibre complet du fluide et du solide.

Ces équations répondent à celles de l’article 62 de la Section V, en substituant $ds^{2}$ pour $d\mathrm {m}$ et $\lambda '\cos \alpha ,$ $\lambda '\cos \beta ,$ $\lambda '\cos \gamma$ pour $\mathrm {X,\,Y,\,Z} .$ En effet, $\lambda '$ étant la force de pression qui agit perpendiculairement sur la surface du noyau solide, $\lambda '\cos \alpha ,$ $\lambda '\cos \beta ,$ $\lambda '\cos \gamma$ seront les forces qui en résultent, suivant les directions des coordonnées $x,\,y,\,z,$ et il faudra que le solide soit en équilibre, chacun des points de sa surface étant sollicité par ces mêmes forces.

35. Mais, lorsqu’un fluide est supporté par un solide de figure donnée, et que l’un et l’autre sont sollicités par des forces quelconques, il est plus simple de tirer directement la solution du problème de l’équation fondamentale de l’article 16, en y substituant immédiatement, pour $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ leurs valeurs complètes $\delta \mathrm {x} +\delta \xi ,$ $\delta \mathrm {y} +\delta \eta ,\,\delta \mathrm {z} +\delta \zeta$ (art. 33).

Les variations $\delta \mathrm {x} ,\,\delta \mathrm {y} ,\,\delta \mathrm {z} ,$ étant indépendantes des autres variations $\delta l,\delta m,\ldots ,$ donneront une équation semblable à celle de l’article 17 et fourniront les mêmes résultats pour l’équilibre du fluide que dans le cas où le solide est supposé fixe.

À l’égard des autres variations, $\delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta ,$ il est d’abord aisé de voir qu’elles ne donnent rien dans les valeurs des différences partielles ${\frac {d\,\delta x}{dx}},{\frac {d\,\delta y}{dy}},$ ${\frac {d\,\delta z}{dz}},$ puisque les variations $\delta l,\,\delta m,\,\delta n,$ $\mathrm {\delta L,\,\delta M,\,\delta N}$ sont censées indépendantes de $x,y,z.$

Ainsi il suffira de substituer $\delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta$ à la place de $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ dans la formule

_S$(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)\Gamma dx\,dy\,dz$

et d’égaler séparément à zéro les quantités multipliées par chacune des six variations $\delta l,\,\delta m,\delta n,$ $\mathrm {\delta L,\,\delta M,\,\delta N}$ après les avoir fait sortir hors du signe _S. Il est visible qu’on aura de cette manière les mêmes équations qu’on a trouvées dans la Section V (Chap. IV), pour l’équilibre d’un corps solide dont chaque particule $d\mathrm {m} ,$ qui est ici $\Gamma dx\,dy\,dy,$ est animée par des forces quelconques $\mathrm {X,\,Y,\,Z} \,;$ de sorte que l’on a, pour l’équilibre d’un fluide sur un noyau mobile, les mêmes équations que si le fluide devenait solide.

36. Il résulte de ces deux manières d’envisager les variations que la pression du fluide sur la surface du noyau équivaut à l’action de toutes les forces qui sollicitent chaque particule du fluide, en supposant que le fluide soit considéré comme solide et que le noyau soit augmenté de toute la masse du fluide devenu solide.

Comme ce théorème de Statique est important, nous croyons devoir montrer d’une manière plus directe comment il se déduit de nos formules.

Tout se réduit à démontrer que l’équation

_S$(\mathrm {X} d\xi +\mathrm {Y} d\eta +\mathrm {Z} d\zeta )\Gamma dx\,dy\,dy=0$

donne les mêmes résultats que l’équation aux limites

_S$\lambda '(\delta \xi 'dy\,dz+\delta \eta 'dx\,dz+\delta \zeta 'dx\,dy)=0.$

Par les conditions de l’équilibre du fluide, on a (art. 19)

$\Gamma \mathrm {X} ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\qquad \Gamma \mathrm {Y} ={\frac {\partial \lambda }{\partial y}},\qquad \Gamma \mathrm {Z} ={\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\,;$

et, comme les valeurs de $\delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta$ (art. 33) sont respectivement indépendantes de $x,\,y,\,z,$ on aura aussi

$\Gamma \mathrm {X} \delta \xi ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta \xi ,\quad \Gamma \mathrm {Y} \delta \eta ={\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\delta \eta ,\quad \Gamma \mathrm {Z} \delta \zeta ={\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\delta \zeta \,;$

ainsi la première équation deviendra

_S$\left({\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta \xi +{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\delta \eta +{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\delta \zeta \right)dx\,dy\,dz=0.$

Le premier terme sous le signe est intégrable par rapport à $x,$ le deuxième par rapport à $y,$ le troisième par rapport à $z\,;$ donc, si l’on exécute ces intégrations partielles, comme on l’a fait dans l’article 17, il en résulte l’équation aux limites

_S$\lambda ''(\delta \xi ''dy\,dz+\delta \eta ''dx\,dz+\delta \zeta ''dx\,dy)$

$-$_S$\lambda '\ (\delta \xi '\ dy\,dz+\delta \eta '\ dx\,dz+\delta \zeta '\ dx\,dy)=0.$

Mais on a (art. 23)

$\lambda ''=0$

à cause que la surface extérieure du fluide est supposée libre ; donc il ne restera que l’équation

_S$\lambda '(\delta \xi 'dy\,dz+\delta \eta 'dx\,dz+\delta \zeta 'dx\,dy)=0.$

Ainsi les deux équations reviennent exactement au même.

37. Puisque, relativement aux variations dépendantes du déplacement du noyau, on peut regarder le fluide qui le recouvre comme s’il ne faisait qu’une masse solide avec lui, lorsque tous les points du noyau seront aussi sollicités par des forces quelconques, il n’y aura qu’à tenir compte de ces forces, comme de celles qui sollicitent les particules du fluide, et appliquer à l’équilibre de la masse composée du fluide et du solide, comme si elle ne formait qu’un solide continu, les solutions données dans le Chapitre IV de la Section V.

§ IV. — De L’équilibre des fluides incompressibles contenus
dans des vases.

38. L’équation générale aux limites de l’article 27 doit se vérifier pour tous les points des parois du vase dans lequel le fluide est renfermé.

Mettons cette équation sous la forme

_S$(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')dy\,dz$

$+$_S$(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')dx\,dz$

$+$_S$(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')dx\,dy=0,$

et considérons d’abord les termes _S$(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')dx\,dy,$ dans lesquels $\delta z''$ et $\delta z'$ sont les variations de l’ordonnée $z,$ en tant qu’elle se rapporte aux deux points de la surface du fluide qui répondent aux mêmes coordonnées $x$ et $y.$

Il est évident que les variations $\delta z''$ tendent à faire sortir les particules de la surface hors de la masse fluide, et que les variations $\delta z',$ en les supposant toutes deux positives, tendent à faire rentrer dans cette masse les particules de la surface opposée ; de sorte qu’en donnant à celle-ci le signe négatif, les variations $\delta z''$ et $-\delta z'$ tendront également à faire sortir hors de la masse fluide les particules de la surface ; et la double intégrale

_S$(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')dx\,dy$

représentera la somme de toutes les quantités $\lambda \,\delta z\,dx\,dy$ qui répondent à tous les points de la surface du fluide et dans lesquelles les variations $\delta z$ seront censées avoir la même tendance du dedans de la masse fluide au dehors ainsi, avec cette condition, nous pouvons donner à cette intégrale cette forme plus simple _S$\lambda \,\delta z\,dx\,dy.$

De la même manière et avec les mêmes conditions, on pourra ramener les deux autres intégrales doubles

_S$(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')dx\,dz\quad {\text{et}}\quad$_S$(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')dy\,dz$

à la forme _S$\lambda \delta y\,dx\,dz,$ _S$\lambda \delta x\,dy\,dz.$

Ainsi l’équation aux limites dont il s’agit pourra se mettre sous cette forme

_S$\lambda \,\delta z\,dx\,dy+$_S$\lambda \,\delta y\,dx\,dz+$_S$\lambda \,\delta z\,dy\,dx,$

qu’on peut encore réduire, par l’analyse de l’article 33, à celle-ci

_S$\lambda (\cos \alpha \,\delta x+\cos \beta \,\delta y+\cos \gamma \,\delta z)ds^{2}=0,$

dans laquelle $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sont les angles que le plan tangent à la surface, dans le point qui répond aux coordonnées $x,y\,,\,z,$ fait avec les trois plans des $yz,$ des $xz$ et des $xy.$ L’intégration de cette équation devra s’étendre à toute la surface du fluide ; et les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ seront censées toutes dirigées du dedans de la masse fluide au dehors.

39. Dans les points où la surface est libre, les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ demeurant indéterminées, on ne peut satisfaire à l’équation qu’en faisant $\lambda =0,$ ce qui donnera la figure de cette surface, comme nous l’avons vu dans l’article 18.

Pour tous les autres points de la surface où le fluide est contigu aux parois du vase, si l’on marque d’un trait les quantités qui s’y rapportent, on aura, relativement à ces parois, la même équation qu’on a trouvée par rapport à la surface du noyau recouvert d’un fluide (art. 30). Ainsi, toutes les conclusions qu’on a tirées de cette équation, depuis l’article qu’on vient de citer jusqu’à la fin du paragraphe précédent, peuvent s’appliquer aux parois du vase dans lequel le fluide est renfermé, quelle que soit sa figure, et soit qu’il demeure fixe, ou qu’il doive être en équilibre par la pression du fluide et par l’action des forces étrangères qui le tirent dans des directions quelconques.

1. Cette assertion n’est pas exacte. Si $\mathrm {P,\,Q,\,R}$ désignaient les composantes parallèles à trois axes obliques et $p,\,q,\,r$ les coordonnées relatives à ces axes, la somme des moments virtuels ne serait pas $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr$ et les raisonnements qui précèdent ne pourraient pas s’appliquer. (J. Bertrand.)
   
2. La conclusion est exacte, quoique la démonstration ne soit pas suffisante. Nous avons déjà remarqué plusieurs fois qu’on ne peut considérer $\lambda$ comme une force que si l’on consent à étendre la signification habituelle du mot force. (J. Bertrand.)
   
3. Mémoires de l’Académie de Berlin ; 1755. (J. Bertrand.)
   
4. En examinant ces équations de plus près, on voit qu’elles admettent une autre solution, et qu’un ellipsoïde à trois axes inégaux peut y satisfaire. Cette remarque est de Jacobi ; elle a été développée par M. Liouville (Journal de l’École Polytechnique, t. XIII). Voir une Note à la fin du volume. (J. Bertrand.)