Mécanique analytique/Partie 1/Section 3

Joseph-Louis Lagrange

Mécanique analytique

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome XI, p. 45-76).

SECTION TROISIÈME.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE L’ÉQUILIBRE D’UN SYSTÈME DE CORPS,
DÉDUITES DE LA FORMULE PRÉCÉDENTE.

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1. Considérons un système ou assemblage quelconque de corps ou points qui, étant tirés par des puissances quelconques, se fassent mutuellement équilibre. Si dans un instant l’action de ces puissances cessait d’être détruite, le système commencerait à se mouvoir et, quel que pût être son mouvement, on pourrait toujours le concevoir comme composé 1^o d’un mouvement de translation commun à tous les corps ; 2^o d’un mouvement de rotation autour d’un point quelconque ; 3^o des mouvements relatifs des corps entre eux, par lesquels ils changeraient leur position et leurs distances mutuelles. Il faut donc, pour l’équilibre, que les corps ne puissent prendre aucun de ces différents mouvements. Or il est clair que les mouvements relatifs dépendent de la manière dont les corps sont disposés les uns par rapport aux autres ; par conséquent, les conditions nécessaires pour empêcher ces mouvements doivent être particulières à chaque système. Mais les mouvements de translation et de rotation peuvent être indépendants de la forme du système et s’exécuter sans que la disposition et la liaison mutuelle des corps en soient dérangées.

Ainsi la considération de ces deux espèces de mouvements doit fournir des conditions ou propriétés générales de l’équilibre. C’est ce que nous allons examiner.

§ I. — Propriétés de l’équilibre d’un système libre relatives au mouvement
de translation.

2. Soit un nombre quelconque de corps regardés comme des points et disposés ou liés entre eux comme on voudra, lesquels soient tirés par les puissances $\mathrm {P,P',P} '',\ldots$ suivant les directions des lignes $p,\,p',\,p'',\ldots$ On aura (Section précédente), pour l’équilibre de ces corps, la formule générale

$\mathrm {P} dp+\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {P} ''dp''+\ldots =0.$

${\displaystyle }$

En rapportant à des coordonnées rectangles les différents points tirés par les forces $\mathrm {P,P} ',\ldots$ ainsi que les centres de ces forces, comme dans l’article 6 de la Section précédente, on aura, pour les forces extérieures,

${\begin{aligned}&p\ ={\sqrt {(x\ -a\ )^{2}+(y\,\ -b\ )^{2}+(z\ -c\ )^{2}}},\\&p'={\sqrt {(x'-a')^{2}+(y'-b')^{2}+(z'-c')^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Mais, si les corps qui répondent, par exemple, aux coordonnées $x,\,y,\,z,$ et aux ${\overline {x}},\,{\overline {y}},\,{\overline {z}},$ agissent l’un sur l’autre par une force mutuelle que nous désignerons par ${\overline {\mathrm {P} }},$ en nommant ${\overline {p}},$ la distance rectiligne de ces deux corps, on aurait

${\overline {p}}={\sqrt {(x-{\overline {x}})^{2}+(y-{\overline {y}})^{2}+(z-{\overline {z}})^{2}}},$

et il faudrait ajouter à la formule générale le terme ${\overline {\mathrm {P} }}d{\overline {p}},$ provenant de la force intérieure $\mathrm {\overline {P}} \,;$ et ainsi de suite, si plusieurs forces agissent sur les mêmes corps.

3. Faisons, ce qui est permis,

${\begin{array}{lll}x'\ =x+\xi ,&y'\ =y+\eta ,&z'\ =z+\zeta ,\\x''=x+\xi ,&y''=y+\eta ,&z''=z+\zeta ,\\.\ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots ,\\{\overline {x}}\ \ =x+{\overline {\xi }},&{\overline {y}}\ \ =y+{\overline {\eta }},&{\overline {z}}\ \ =z+{\overline {\zeta }},\\.\ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots ,\end{array}}$

et supposons qu’on ait substitué ces valeurs dans la formule précédente.

Puisque $x,y,z$ sont les coordonnées absolues du corps tiré par la force $\mathrm {P} ,$ il est clair que $\xi ,\eta ,\zeta ,\xi ',\eta ',\zeta ',\ldots$ ne seront autre chose que les coordonnées relatives des autres corps par rapport à celui-ci, pris pour leur origine commune ; de sorte que la position mutuelle des corps ne dépendra que de ces dernières coordonnées, et nullement des premières. Donc, si l’on suppose le système entièrement libre, c’est-à-dire les corps simplement liés entre eux d’une manière quelconque, mais sans qu’ils soient retenus ou empêchés par des appuis fixes, ou des obstacles extérieurs quelconques, il est aisé de concevoir que les conditions résultantes de la nature du système ne pourront regarder que les quantités $\xi ,\eta ,\zeta ,\xi ',\eta ',\zeta ',\ldots$ et nullement les quantités $x,y,z,$ dont les différentielles demeureront, par conséquent, indépendantes et indéterminées.

Ainsi, après les substitutions dont il s’agit, il faudra égaler séparément à zéro chacun des membres affectés de $dx,dy,dz,$ ce qui donnera ces trois équations (art. 2)

${\begin{aligned}\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial x}}+\mathrm {P} '{\frac {\partial p'}{\partial x}}+\mathrm {P} ''{\frac {\partial p''}{\partial x}}+\ldots +{\overline {\mathrm {P} }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x}}+\ldots =0,\\\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial y}}+\mathrm {P} '{\frac {\partial p'}{\partial y}}+\mathrm {P} ''{\frac {\partial p''}{\partial y}}+\ldots +{\overline {\mathrm {P} }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial y}}+\ldots =0,\\\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial z}}+\mathrm {P} '{\frac {\partial p'}{\partial z}}+\mathrm {P} ''{\frac {\partial p''}{\partial z}}+\ldots +{\overline {\mathrm {P} }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial z}}+\ldots =0,\\\end{aligned}}$

On voit d’abord que les variables $x,y,z$ n’entreront point dans l’expression de ${\overline {p}}\,;$ ainsi l’on aura

${\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x}}=0,\qquad {\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial y}}=0,\qquad {\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial z}}=0,\qquad \ldots ,$

ce qui fera disparaître les termes qui contiendront les forces intérieures $\mathrm {P} ,$

On voit ensuite que les valeurs de

${\frac {\partial p'}{\partial x}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial y}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial z}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial x}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial y}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial z}},\quad \ldots$

seront le mêmes que celles de

${\frac {\partial p'}{\partial x'}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial y'}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial z'}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial x''}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial y''}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial z''}},\quad \ldots .$

Or, si l’on nomme $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles que la ligne $p$ fait avec les axes des $x,y,z,$ ou avec des parallèles à ces axes, $\alpha ',\beta ',\gamma '$ les angles que la ligne $p'$ fait avec les mêmes axes, …, on a, comme on l’a vu plus haut (art. 7, Section précédente),

${\frac {\partial p}{\partial x}}=\cos \alpha ,\quad {\frac {\partial p}{\partial y}}=\cos \beta ,\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}=\cos \gamma \,;$

et de même,

${\frac {\partial p'}{\partial x'}}=\cos \alpha ',\quad {\frac {\partial p'}{\partial y'}}=\cos \beta ',\quad {\frac {\partial p'}{\partial z'}}=\cos \gamma ',\quad \ldots .$

Donc les trois équations ci-dessus deviendront

${\begin{aligned}\mathrm {P\cos \alpha +P'\cos \alpha '+P''\cos \alpha ''} +\ldots =&\;0,\\\mathrm {P\cos \beta +P'\cos \beta '\,+P''\cos \beta ''} +\ldots =&\;0,\\\mathrm {P\cos \gamma +P'\cos \gamma '\,+P''\cos \gamma ''} +\ldots =&\;0,\end{aligned}}$

lesquelles devront nécessairement avoir lieu dans l’équilibre d’un système libre. Ce sont les équations nécessaires pour empêcher le mouvement de translation.

4. Si les puissances $\mathrm {P,P',P'',}$ étaient parallèles, on aurait

$\alpha =\alpha '=\alpha '=\ldots ,\quad \beta =\beta '=\beta '=\ldots ,\quad \gamma =\gamma '=\gamma '=\ldots ,$

et les trois équations précédentes se réduiraient à celle-ci

$\mathrm {P+P'+P''} +\ldots =0,$

laquelle montre que la somme des forces parallèles doit être nulle.

En général, il est facile de concevoir que, $\mathrm {P}$ représentant l’action totale de la puissance $\mathrm {P}$ suivant sa propre direction, $\mathrm {P} \cos \alpha$ représentera son action relative, estimée suivant la direction de l’axe des $x,$ lequel fait l’angle $\alpha$ avec la direction de la force $\mathrm {P} \,;$ de même, $\mathrm {P} \cos \beta$ et $\mathrm {P} \cos \gamma$ seront les actions relatives de la même force, estimées suivant la direction des axes des $y$ et des $z,$ et ainsi des autres forces $\mathrm {P',P''} ,\ldots .$

De là résulte ce théorème de Statique, que la somme des puissances estimées suivant la direction de trois axes perpendiculaires entre eux doit être nulle par rapport à chacun de ces axes, dans l’équilibre d’un système libre.

§ II. — Propriétés de l’équilibre relatives au mouvement de rotation.

5. Prenons maintenant, ce qui est permis, à la place des coordonnées $x,y,x',y',x'',y'',\ldots {\overline {x}},{\overline {y}},\ldots ,$ les rayons vecteurs $\rho ,\rho ',\rho '',\ldots$ ${\overline {\rho }},\ldots ,$ avec les angles $\varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots {\overline {\varphi }},\ldots ,$ que ces rayons font avec l’axe des $x\,;$ on aura, comme l’on sait,

$x=\rho \cos \varphi ,\quad y=\rho \sin \varphi ,$

et, de même,

$x'=\rho '\cos \varphi ',\quad y'=\rho '\sin \varphi ',\quad \ldots ,{\overline {x}}={\overline {\rho }}\cos {\overline {\varphi }},\quad {\overline {y}}={\overline {\rho }}\sin {\overline {\varphi }},\quad \ldots .$

Faisons ces substitutions dans la formule générale de l’article 2 et supposons

$\varphi '=\varphi +\sigma ,\quad \varphi ''=\varphi +\sigma ',\quad \ldots ,\quad {\overline {\varphi }}=\varphi +{\overline {\sigma }},\quad \ldots \,;$

il est visible que $\sigma ,\sigma ',\ldots ,{\overline {\sigma }},\ldots$ seront les angles que les rayons $\rho ',\rho '',\ldots ,{\overline {\rho }},\ldots$ forment avec le rayon $\rho \,;$ par conséquent, les distances des corps, tant entre eux que par rapport au plan des $xy$ et au point qui est pris pour l’origine des coordonnées, dépendront uniquement des quantités $\rho ,\rho ',\rho '',\ldots ,$${\overline {\rho }},\ldots ,$ $\sigma ,\sigma ',\ldots ,{\overline {\sigma }},\ldots ,$ $z,z',z'',\ldots ,{\overline {z}},\ldots .$

Donc, si le système a la liberté de tourner autour de ce point parallèlement au plan des $xy,$ c’est-à-dire autour de l’axe des $z$ qui est perpendiculaire à ce plan, l’angle $\varphi$ sera indépendant des conditions du système, et sa différence $d\varphi$ demeurera, par conséquent, arbitraire. D’où il suit que les termes affectés de $d\varphi$ dans l’équation générale de l’équilibre devront être ensemble égaux à zéro.

Il est facile de voir que tous ces termes seront représentés par $\mathrm {N} d\varphi ,$ en faisant

$\mathrm {N} =\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \varphi }}+\mathrm {P} '{\frac {\partial p'}{\partial \varphi }}+\mathrm {P} ''{\frac {\partial p''}{\partial \varphi }}+\ldots +{\overline {\mathrm {P} }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial \varphi }}+\ldots ,$

de sorte que l’on aura pour l’équilibre l’équation

$\mathrm {N} =0.$

En substituant les valeurs de $x,y,x',y',\ldots ,{\overline {x}},{\overline {y}},\ldots$ dans les empressions de $p,p',\ldots ,{\overline {p}},\ldots$ (art. 2), et faisant de plus

$a=\mathrm {R\cos A} ,\quad b=\mathrm {R\sin B} ,\quad a'=\mathrm {R'\cos A'} ,\quad b'=\mathrm {R'\sin B'} ,\quad \ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}&p\ ={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho \mathrm {R} \cos(\varphi -\mathrm {A} )+\mathrm {R} ^{2}+(z-c)^{2}}},\\&p'={\sqrt {\rho '^{2}-2\rho '\mathrm {R} '\cos(\varphi '-\mathrm {A} ')+\mathrm {R} '^{2}+(z'-c')^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\overline {p}}\ \,={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho {\overline {\rho }}\cos \left(\varphi -{\overline {\varphi }}\right)+{\overline {\rho }}^{2}+\left(z-{\overline {z}}\right)^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

où il faudra encore mettre $\varphi +\sigma ,\varphi +\sigma ',\ldots ,\varphi +{\overline {\sigma }},\ldots$ à la place de $\varphi ',\varphi '',\ldots ,{\overline {\varphi }},\ldots .$

Par ces dernières substitutions, on voit d’abord que les quantités ${\overline {p}},\ldots$ ne contiendront plus l’angle $\varphi \,;$ ainsi l’on aura ${\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial \varphi }}=0,\ldots \,:$ par conséquent, les forces intérieures ${\overline {\mathrm {P} }},\ldots$ disparaîtront de l’équation, et il n’y restera que les forces extérieures $\mathrm {P,P'} ,\ldots .$

Ensuite on aura

${\frac {\partial p}{\partial \varphi }}={\frac {\mathrm {\rho R\sin(\varphi -A)} }{p}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial \varphi }}={\frac {\mathrm {\rho 'R'\sin(\varphi '-A')} }{p'}},\quad \ldots ,$

et la quantité $\mathrm {N}$ deviendra

$\mathrm {N} ={\frac {\mathrm {PR\rho \sin(\varphi -A)} }{p}}+{\frac {\mathrm {P'R'\rho '\sin(\varphi '-A')} }{p'}}+\ldots .$

Comme on peut prendre les centres des forces $\mathrm {P,P'} ,\ldots$ partout où l’on veut dans la direction de ces forces, on peut supposer que ces forces soient représentées par les lignes mêmes $p,p',\ldots ,$ qui sont les distances rectilignes de leurs points d’application aux centres respectifs. De cette manière, on aura plus simplement

$\mathrm {N=R\rho \sin(\varphi -A)+R'\rho '\sin(\varphi '-A')} +\ldots .$

Dans cette formule, les rayons $\mathrm {R}$ et $\rho ,$ qui partent de l’origine des coordonnées et qui renferment l’angle $\varphi -\mathrm {A} ,$ sont les côtés d’un triangle qui a pour base la projection de la ligne $p$ sur le plan des $xy\,;$ par conséquent, la quantité $\mathrm {R} \rho \sin(\varphi -\mathrm {A} )$ exprime le double de l’aire de ce triangle, et ainsi des autres quantités semblables.

Or, ayant nommé ci-dessus (art. 3) $\gamma ,\gamma ',\ldots$ les angles que les directions des forces $\mathrm {P,P'} ,\ldots$ font avec l’axe des $z$ ou avec des parallèles à cet axe, il est clair que les compléments de ces angles seront les inclinaisons des lignes $p,p',\ldots$ au plan des $xy\,:$ donc $p\sin \gamma ,p'\sin \gamma ',\ldots$ seront les projections de ces lignes ; et, si de l’origine des coordonnées on abaisse sur ces projections des perpendiculaires que nous nommerons $\Pi ,\Pi ',\ldots ,$ on aura

$\mathrm {R\rho \sin(\varphi -A)} =\Pi p\sin \gamma ,\quad \mathrm {R'\rho '\sin(\varphi '-A')} =\Pi 'p'\sin \gamma ',\quad \ldots ,$

et la quantité $\mathrm {N}$ se réduira à la forme

$\mathrm {N=\Pi P\sin \gamma +\Pi 'P'\sin \gamma '+\Pi ''P''} \sin \gamma ''+\ldots ,$

en remettant $\mathrm {P,P',P''} ,\ldots$ à la place de $p,p',p'',\ldots .$

6. L’équation $\mathrm {N} =0$ donnera ainsi le théorème suivant

Dans l’équilibre d’un système qui a la liberté de tourner autour d’un axe et qui est composé de corps qui agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque et sont en mêmes temps tirés par des forces extérieures, la somme de ces forces, estimées parallèlement à un plan perpendiculaire à l’axe et multipliées chacune par la perpendiculaire menée de l’axe à la direction de la force projetée sur le même plan, doit être nulle, en donnant des signes contraires aux forres dont les directions tendent à faire tourner le système dans des sens contraires.

On énonce ordinairement ce théorème d’une manière plus simple, en disant que les moments des forces, par rapport à un axe, doivent se détruire pour qu’il y ait équilibre autour de cet axe. Car on entend aujourd’hui, en Mécanique, par moment d’une force ou puissance par rapport à une ligne, le produit de cette force estimée parallèlement à un plan perpendiculaire à cette ligne, et multipliée par son bras de levier, qui est la perpendiculaire menée de cette ligne sur la direction de la puissance rapportée au même plan. En effet, c’est uniquement de ce moment que dépend l’action de la force pour faire tourner le système autour de l’axe, puisque, si on la décompose en deux, l’une parallèle à l’axe, l’autre dans un plan perpendiculaire à l’axe, il n’y aura évidemment que cette dernière qui puisse produire une rotation. Nous donnerons, en conséquence, à ce moment le nom particulier de moment relatif à un axe de rotation.

7. Le coefficient $\mathrm {N}$ du terme $\mathrm {N} d\varphi$ (art. 5) exprime, comme on le voit, la somme des moments de toutes les forces du système relativement à l’axe de la rotation instantanée $d\varphi .$ Ainsi, pour trouver la somme de ces moments relatifs à un axe quelconque, il n’y aura qu’à transformer la formule générale

$\mathrm {P} dp+\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {P} ''dp''+\ldots ,$

qui exprime la somme des moments virtuels de toutes les forces, en y introduisant, pour une des variables indépendantes, l’angle de rotation autour de l’axe donné ; le coefficient de la différentielle de cet angle sera la somme de tous les moments relatifs à cet axe, ce qui peut être utile dans plusieurs occasions.

8. Lorsque le système peut tourner en tout sens autour du point que nous prenons pour l’origine des coordonnées, il faut considérer à la fois les rotations instantanées autour des trois axes des $x,$ des $y,$ des $z,$ et l’on aura, par rapport à chacun de ces axes, une équation semblable à celle que nous venons de trouver et qui renferme la propriété des moments ; mais il ne sera pas inutile de résoudre le même problème par une analyse plus simple et plus générale.

Pour cela soit, comme dans l’article 5,

$x=\rho \cos \varphi ,\quad y=\rho \sin \varphi ,\quad x'=\rho '\cos \varphi ,\quad y'=\rho '\sin \varphi ',\quad \ldots \,;$

en faisant varier simplement les angles $\varphi ,\varphi ',\ldots ,$ de la même différence $d\varphi ,$ on aura

$dx=-yd\varphi ,\quad dy=xd\varphi ,\quad dx'=-y'd\varphi ,\quad dy'=x'd\varphi ,\quad \ldots .$

Ce sont les variations de $x,y,x',y',\ldots ,$ dues à la rotation élémenfaire $d\varphi$ du système autour de l’axe des $z.$

On aura de même les variations de $y,z,y',z',\ldots$ dues à une rotation élémentaire $d\psi$ autour de l’axe des $x,$ en changeant simplement dans les formules précédentes $x,y,x',y',\ldots$ en $y,z,y',z',\ldots ,$ et $d\varphi$ en $d\psi ,$ ce qui donnera

$dy=-zd\psi ,\quad dz=yd\psi ,\quad dy'=-z'd\psi ,\quad dz'=y'd\psi ,\quad \ldots .$

En changeant, dans ces dernières formules, $y,z,y',z',\ldots$ respectivement en $z,x,z',x',\ldots ,$ et $d\psi$ en $d\omega ,$ on aura les variations provenant de la rotation élémentaire $d\omega$ autour de l’axe des $y,$ lesquelles seront

$dz=-xd\omega ,\quad dx=zd\omega ,\quad dz'=-x'd\omega ,\quad dx'=z'd\omega ,\quad \ldots .$

Si donc on suppose que les trois rotations aient lieu à la fois^[1], les variations totales des coordonnées $x,y,z,x',y',z',\ldots$ seront, d’après les principes du Calcul différentiel, égales aux sommes des variations partielles dues à chacune de ces rotations, de sorte qu’on aura alors ces expressions complètes

${\begin{array}{lll}dx\ =z\ d\omega -y\ d\varphi ,&dy\ =x\ d\varphi -z\ d\psi ,&dz\ =y\ d\psi -x\ d\omega ,\\dx'=z'd\omega -y'd\varphi ,&dy'=x'd\varphi -z'd\psi ,&dz'=y'd\psi -x'd\omega ,\\\end{array}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$

En substituant ces valeurs dans la formule générale de l’équilibre (art. 2), on aura les termes dus seulement aux rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ autour des trois axes des $x,$ des $y,$ des $z,$ lesquels devront être séparément égaux à zéro lorsque le système a la liberté de tourner en tout sens autour du point qui fait l’origine des coordonnées.

Or on a, par la différentiation,

${\begin{aligned}&dp\ ={\frac {(x-a)dx+(y-b)dy+(z-c)dz}{p}},\\&dp'={\frac {(x'-a')dx'+(y'-b')dy'+(z'-c')dz'}{p'}},\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&d{\overline {p}}\,\ ={\frac {\left(x-{\overline {x}}\right)\left(dx-d{\overline {x}}\right)+\left(y-{\overline {y}}\right)\left(dy-d{\overline {y}}\right)+\left(z-{\overline {z}}\right)\left(dz-d{\overline {z}}\right)}{\overline {p}}},\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On aura donc, par les substitutions dont il s’agit,

${\begin{aligned}&dp\ \,={\frac {(ay-bx)d\varphi +(bz-cy)d\psi +(cx-az)d\omega }{p}},\\&dp'\ ={\frac {(a'y'-b'x')d\varphi +(b'z'-c'y')d\psi +(c'x'-a'z')d\omega }{p'}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

Et l’on trouvera $d\,{\overline {p}}=0,\ d\,{\overline {p}}'=0,\ldots ,$ en mettant pour $d\,{\overline {x}},d\,{\overline {y}},d\,{\overline {z}},\ldots$ les valeurs analogues ${\overline {z}}d\omega -{\overline {y}}d\varphi ,\ {\overline {x}}d\varphi -{\overline {z}}d\psi ,\ {\overline {y}}d\varphi -{\overline {x}}d\omega ,\ldots \,;$ d’où l’on peut tout de suite conclure que les termes ${\overline {\mathrm {P} }}d\,{\overline {p}},\ {\overline {\mathrm {P} }}'d\,{\overline {p}}',\ldots$ de la même équation, qui résulteraient des forces intérieures du système, disparaîtront par ces substitutions.

On aura aussi $dp=0$ si l’on fait $a=0,\ b=0,\ c=0,$ c’est-à-dire si le centre des forces $\mathrm {P}$ tombe dans l’origine des coordonnées, ce qui fera aussi disparaître cette force.

9. Faisant donc abstraction des forces intérieures, s’il y en $a,$ ainsi que de toute force qui serait dirigée vers le centre des coordonnées, on aura, en général, pour toutes les forces $\mathrm {P,P'} ,\ldots ,$ dirigées suivant les lignes $p,p',\ldots ,$ l’équation

$\mathrm {L} d\psi +\mathrm {M} d\omega +\mathrm {N} d\varphi =0,$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ =&{\frac {\mathrm {P} (bz-cy)}{p}}+{\frac {\mathrm {P} '(b'z'-c'y')}{p'}}+\ldots ,\\\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {P} (cx-az)}{p}}+{\frac {\mathrm {P} '(c'x'-a'z')}{p'}}+\ldots ,\\\mathrm {N} \ =&{\frac {\mathrm {P} (ay-bx)}{p}}+{\frac {\mathrm {P} '(a'y'-b'x')}{p'}}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

et l’on aura, pour tout système libre de tourner en tout sens autour de l’origine des coordonnées, les trois équations

$\mathrm {L=0,\quad M=0,\quad N} =0,$

lesquelles répondent à celle de l’article 5, rapportée aux trois axes des coordonnées.

Car, en employant, à la place des coordonnées $a,b,c,,a',\ldots$ des centres de forces, les angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\ldots$ que les directions de ces forces font avec les trois axes des coordonnées, et faisant par conséquent, comme dans l’article 7 de la Section précédente,

$a=x-p\cos \alpha ,\quad b=y-p\cos \beta ,\quad c=z-p\cos \gamma ,$

et ainsi des autres quantités semblables, on a

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ =&\mathrm {P} (y\cos \gamma -z\,\cos \beta )+\mathrm {P} '(y'\cos \gamma '-z'\cos \beta ')+\ldots ,\\\mathrm {M} =&\mathrm {P} (z\cos \alpha -x\cos \gamma )+\mathrm {P} '(z'\cos \alpha '-x'\cos \gamma ')+\ldots ,\\\mathrm {N} \,=&\mathrm {P} (x\cos \beta -y\cos \alpha )+\mathrm {P} '(x'\cos \beta '-y'\cos \alpha ')+\ldots .\end{aligned}}$

Or, $\mathrm {P\cos \alpha ,\ P\cos \beta ,\ P\cos \gamma }$ étant les valeurs de la force $\mathrm {P} ,$ estimée suivant les directions des trois axes des $x,y,z,$ on voit tout de suite que $x\mathrm {P} \cos \beta -y\mathrm {P} \cos \alpha ,\ \ldots$ est le moment relatif à l’axe des $z,$ le terme $y\mathrm {P} \cos \alpha$ ayant le signe négatif à cause que la force $\mathrm {P} \cos \alpha$ tend à faire tourner le système en sens contraire de la force $\mathrm {P} \cos \beta .$ De même, $z\mathrm {P} \cos \alpha -x\mathrm {P} \cos \gamma ,\ \ldots$ sera le moment relatif à l’axe des $y,$ et $y\mathrm {P} \cos \gamma -z\mathrm {P} \cos \beta ,\ \ldots$ le moment relatif à l’axe des $x\,;$ et ainsi des autres expressions semblables. De sorte que les trois équations $\mathrm {L} =0,$ $\mathrm {M=0,\ N} =0$ expriment que la somme de ces moments est nulle par rapport à chacun des trois axes.

On voit aussi que les coefficients $\mathrm {L,M,N}$ des rotations instantanées $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ ne sont autre chose que les sommes des moments relatifs aux axes des rotations instantanées $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ (art. 7).

10. On pourrait douter si les rotations autour des trois axes des coordonnées suffisent pour représenter tous les petits mouvements qu’un système de points peut avoir autour d’un point fixe, sans que leur disposition mutuelle en soit altérée. Pour lever ce doute, nous allons chercher tous ces mouvements d’une manière plus directe.

Par le point donné, qui sert d’origine aux coordonnées $x,y,z,$ et par un autre point du système, imaginons une ligne droite, et par cette ligne et par un troisième point du système, un plan ; rapportons à cette ligne et à ce plan les autres points du système, par de nouvelles coordonnées rectangles $x',y',z'$ ayant la même origine que les premières $x,y,z.$ Il est clair que ces nouvelles coordonnées ne dépendront que de la situation mutuelle des points du système, et seront, par conséquent, constantes lorsque le système change de place, tandis que les premières varient seules par ce changement.

La théorie connue de la transformation des coordonnées-donne d’abord ces relations, entre les trois premières et les trois dernières,

${\begin{aligned}x=&\alpha \ \ x'+\beta \ \ y'+\gamma \ \ z',\\y=&\alpha '\ x'+\beta '\,y'+\gamma '\ z',\\z=&\alpha ''x'+\beta ''y'+\gamma ''z'.\end{aligned}}$

Les neuf coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\ldots$ ne dépendent que de la position respective des axes des deux systèmes de coordonnées et doivent être tels que les coordonnées $x,y,z$ se rapportent aux mêmes points que les coordonnées $x',y',z'$ et que, par conséquent, les deux expressions

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\quad {\text{et}}\quad x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}$

soient identiques ; ce qui donne ces six équations de condition,

${\begin{alignedat}{2}\alpha ^{2}+\alpha '^{2}+\alpha ''^{2}=&\;1,\qquad &\alpha \beta +\alpha '\beta '+\alpha ''\beta ''=&\;0,\\\beta ^{2}+\beta '^{2}+\beta ''^{2}=&\;1,&\alpha \gamma +\alpha '\gamma '+\alpha ''\gamma ''=&\;0,\\\gamma ^{2}+\gamma '^{2}+\gamma ''^{2}=&\;1,&\beta \gamma +\beta '\gamma '+\beta ''\gamma ''=&\;0\,;\end{alignedat}}$

de sorte que, parmi les neuf quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\ldots ,$ il en restera trois d’indéterminées.

Lorsque les axes des $x',y',z'$ coïncident avec ceux des $x,y,z,$ on

$x=x',\qquad y=y',\qquad z=z',$

et, par conséquent,

$\alpha =1,\ \beta =0,\ \gamma =0,\ \quad \alpha '=0,\ \beta '=1,\ \gamma '=0,\quad \alpha ''=0,\ \beta ''=0,\ \gamma ''=1.$

Ainsi, en différentiant les formules précédentes et y faisant ensuite ces substitutions, on aura le résultat d’un déplacement quelconque infiniment petit du système dans l’espace autour du point donné.

On aura d’abord, en différentiant les expressions de $x,y,z$ dans l’hypothèse de $x',y',z'$ constantes et substituant, après la différentiation, $x,y,z$ à la place de ces quantités,

${\begin{aligned}dx=&xd\alpha \ \ +yd\beta \ \ +zd\gamma ,\\dy=&xd\alpha '\ +yd\beta '\ +zd\gamma ',\\dz=&xd\alpha ''+yd\beta ''+zd\gamma ''.\end{aligned}}$

Mais les six équations de condition étant différentiées donnent, par la substitution des valeurs $\alpha =1,\ \beta =0,\ \gamma =0,\ldots$ trouvées ci-dessus,

${\begin{alignedat}{2}d\alpha \ \ =&\;0,&d\beta \ +d\alpha '\ =&\;0,\\d\beta '\ =&\;0,&d\gamma \ +d\alpha ''=&\;0,\\d\gamma ''=&\;0,\qquad &d\gamma '+d\beta ''=&\;0,\end{alignedat}}$

d’où

${\begin{aligned}d\alpha '=&-d\beta ,\\d\alpha ''=&-d\gamma ,\\d\beta ''=&-d\gamma '.\end{aligned}}$

Ces valeurs étant substituées dans les expressions de $dx,dy,dz,$ on aura celles-ci

${\begin{aligned}dx=&-yd\alpha '+zd\gamma ,\\dy=&\quad \ xd\alpha '-zd\beta '',\\dz=&-xd\gamma \ \ +yd\beta '',\end{aligned}}$

qui coïncident avec celles de l’article 8, en faisant

$d\alpha '=d\varphi ,\quad d\gamma =d\omega ,\quad d\beta ''=d\psi .$

Ces formules des variations de $x,y,z$ ont donc toute la généralité que l’état de la question peut comporter ; et les trois équations $\mathrm {L=0,\ M=0,}$ $\mathrm {N} =0,$ qui résultent de l’évanouissement des termes affectés de $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ dans l’équation générale de l’équilibre, sont, par conséquent, les seules nécessaires pour maintenir le système en équilibre autour du point donné, abstraction faite de ce qui dépend de la disposition mutuelle des points entre eux ; de sorte que, lorsque cette disposition est invariable, l’équilibre du système ne dépendra que des trois équations dont il s’agit.

D’Alembert est le premier qui ait trouvé les lois de l’équilibre de plusieurs forces appliquées à un système de points de forme invariable, dans ses Recherches sur la précession des équinoxes. Il y est parvenu d’une manière très compliquée par la composition et la décomposition des forces. Depuis, elles ont été démontrées plus simplement par divers auteurs ; mais nos formules ont l’avantage d’y conduire directement.

§ III. De la composition des mouvements de rotation autour de différents
axes, et des moments relatifs à ces axes.

11. Si l’on prend dans le système un point pour lequel les coordonnées $x,y,z$ soient proportionnelles à $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ les différentielles correspondantes $dx,dy,dz$ seront nulles, comme on le voit par les formules de l’article 8. Ce point, et tous ceux qui auront la même propriété, seront donc immobiles pendant l’instant que le système décrit les trois angles $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ en tournant à la fois autour des axes des $x,y,z.$ Et il est facile de voir que tous ces points seront dans une ligne droite passant par l’origine des coordonnées^[2] et faisant avec les axes des $x,y,z$ des angles $\lambda ,\mu ,\nu ,$ tels que

${\begin{aligned}\cos \lambda =&{\frac {d\psi }{\sqrt {d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}}}},\\\cos \mu =&{\frac {d\omega }{\sqrt {d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}}}},\\\cos \nu =&{\frac {d\varphi }{\sqrt {d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}}}}.\end{aligned}}$

Cette droite sera l’axe instantané de la rotation composée.

En employant les angles $\lambda ,\mu ,\nu$ et faisant, pour abréger,

$d\theta ={\sqrt {d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}}},$

on aura

$d\psi =d\theta \cos \lambda ,\quad d\omega =d\theta \cos \mu ,\quad d\varphi =d\theta \cos \nu ,$

et les expressions générales de $dy,dy,dz$ (art. 8) deviendront

${\begin{aligned}dx=&(z\cos \mu -y\cos \nu )d\theta ,\\dy=&(x\cos \nu -z\cos \lambda )d\theta ,\\dz=&(y\cos \lambda -x\cos \mu )d\theta .\end{aligned}}$

Le carré du petit espace parcouru par un point quelconque étant

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

il sera exprimé par

${\begin{aligned}&\left[(z\cos \mu -y\cos \nu )^{2}+(x\cos \nu -z\cos \lambda )^{2}+(y\cos \lambda -x\cos \mu )^{2}\right]d\theta ^{2}\\&\quad =\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x\cos \lambda +y\cos \mu +z\cos \nu )^{2}\right]d\theta ^{2},\end{aligned}}$

à cause de

$\cos ^{2}\lambda +\cos ^{2}\mu +\cos ^{2}\nu =1.$

Or il est facile de prouver que

$x\cos \lambda +y\cos \mu +z\cos \nu =0$

est l’équation d’un plan passant par l’origine des coordonnées et perpendiculaire à la droite qui fait les angles $\lambda ,\mu ,\nu$ avec les axes des $x,y,z\,;$ donc le petit espace décrit par un point quelconque de ce plan sera

$d\theta {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

et, comme l’axe instantané de rotation est perpendiculaire à ce même plan, il s’ensuit que $d\theta$ sera l’angle de la rotation autour de cet axe, composée des trois rotations partielles $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ autour des trois axes des coordonnées.

12. Il suit de là que des rotations quelconques instantanées $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ autour de trois axes qui se coupent à angles droits dans un même point, se composent en une seule $d\theta ={\sqrt {d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}}},$ autour d’un axe passant par le même point d’intersection et faisant avec ceux-là des angles $\lambda ,\mu ,\nu ,$ tels que

$\cos \lambda ={\frac {d\psi }{d\theta }},\quad \cos \mu ={\frac {d\omega }{d\theta }},\quad \cos \nu ={\frac {d\varphi }{d\theta }}\,;$

et, réciproquement, qu’une rotation quelconque $d\theta$ autour d’un axe donné peut se décomposer en trois rotations partielles, exprimées par $\cos \lambda d\theta ,$ $\cos \mu d\theta ,$ $\cos \nu d\theta ,$ autour de trois axes qui se coupent perpendiculairement dans un point de l’axe donné et qui fassent avec cet axe les angles $\lambda ,\mu ,\nu \,;$ ce qui fournit un moyen bien simple de composer et de décomposer les mouvements instantanés ou les vitesses de rotation.

Ainsi, si l’on prend trois autres axes rectangulaires entre eux, qui fassent, avec l’axe de la rotation $d\psi$ les angles $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',$ avec l’axe de la rotation $d\omega$ les angles $\mu ',\mu '',\mu ''',$ et avec l’axe de la rotation $d\varphi$ les angles $\nu ',\nu '',\nu ''',$ la rotation $d\psi$ pourra se résoudre en trois rotations $\cos \lambda 'd\psi ,$ $\cos \lambda ''d\psi ,$ $\cos \lambda '''d\psi$ autour de ces nouveaux axes ; la rotation $d\omega$ se résoudra de même en trois rotations $\cos \mu 'd\omega ,\cos \mu ''d\omega ,\cos \mu '''d\omega ,$ et la rotation $d\varphi$ en trois rotations $\cos \nu 'd\varphi ,\cos \nu ''d\varphi ,\cos \nu '''d\varphi$ autour des mêmes axes ; de sorte qu’en ajoutant ensemble les rotations autour d’un même axe, si l’on nomme $d\theta ',d\theta '',d\theta '''$ les rotations totales autour des trois nouveaux axes, on aura

${\begin{alignedat}{5}&d\theta '&=&\cos \lambda '&d\psi +&\cos \mu '&d\omega +&\cos \nu '&d\varphi ,\\&d\theta ''&=&\cos \lambda ''&d\psi +&\cos \mu ''&d\omega +&\cos \nu ''&d\varphi ,\\&d\theta '''&=&\cos \lambda '''&d\psi +&\cos \mu '''&d\omega +&\cos \nu '''&d\varphi .\end{alignedat}}$

13. Les rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ sont donc réduites de cette manière à trois rotations $d\theta ',d\theta '',d\theta '''$ autour de trois autres axes rectangulaires, lesquelles doivent par conséquent donner, par la composition, la même rotation $d\theta$ qui résulte des rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ de sorte qu’on aura (art. 11)

$d\theta ^{2}=d\theta '^{2}+d\theta ''^{2}+d\theta '''^{2}=d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}\,;$

et, comme cette dernière équation doit être identique, il s’ensuit qu’on aura ces relations :

${\begin{alignedat}{3}&\cos ^{2}\lambda '+&\cos ^{2}\lambda ''+&\cos ^{2}\lambda '''=&1,\\&\cos ^{2}\mu '+&\cos ^{2}\mu ''+&\cos ^{2}\mu '''=&1,\\&\cos ^{2}\nu '+&\cos ^{2}\nu ''+&\cos ^{2}\nu '''=&1\,;\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{4}&\cos \lambda '\cos \mu '+&\cos \lambda ''\cos \mu ''+&\cos \lambda '''\cos \mu '''=&0,\\&\cos \lambda '\cos \nu '+&\cos \lambda ''\cos \nu ''+&\cos \lambda '''\cos \nu '''=&0,\\&\cos \mu '\cos \nu '+&\cos \mu ''\cos \nu ''+&\cos \mu '''\cos \nu '''=&0,\end{alignedat}}$

qu’on peut aussi trouver par la Géométrie.

Par ces relations on peut avoir tout de suite les valeurs de $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ en $d\theta ',d\theta '',d\theta ''',$ en ajoutant ensemble les valeurs de $d\theta ',d\theta '',d\theta ''',$ multipliées successivement par $\cos \lambda ',\cos \lambda '',\cos \lambda '''\,;$ $\cos \mu ',\cos \mu '',\ldots \,;$ on trouvera de cette manière

${\begin{alignedat}{3}&d\psi =&\cos \lambda 'd\theta '+&\cos \lambda ''d\theta ''+&\cos \lambda '''d\theta ''',\\&d\omega =&\cos \mu 'd\theta '+&\cos \mu ''d\theta ''+&\cos \mu '''d\theta ''',\\&d\varphi =&\cos \nu 'd\theta '+&\cos \nu ''d\theta ''+&\cos \nu '''d\theta '''.\end{alignedat}}$

14. Si l’on nomme, de plus, $\varpi ',\varpi '',\varpi '''$ les angles que l’axe de la rotation composée $d\theta$ fait avec les axes des trois rotations partielles $d\theta ',d\theta '',d\theta ''',$ on aura, comme dans l’article 11,

$d\theta '=\cos \varpi 'd\theta ,\quad d\theta ''=\cos \varpi ''d\theta ,\quad d\theta '''=\cos \varpi '''d\theta \,;$

et si, dans les expressions données ci-dessus (art. 12) de $d\theta ',d\theta '',d\theta ''',$ on met pour $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ leurs valeurs en $d\theta$ de l’article 11, $\cos \lambda d\theta ,$ $\cos \mu d\theta ,\cos \nu d\theta ,$ la comparaison de ces différentes expressions de $d\theta ',d\theta '',d\theta '''$ donnera, en divisant par $d\theta$ ces nouvelles relations,

${\begin{alignedat}{4}&\cos \varpi '&=&\cos \lambda \cos \lambda '&+&\cos \mu \cos \mu '&+&\cos \nu \cos \nu ',\\&\cos \varpi ''&=&\cos \lambda \cos \lambda ''&+&\cos \mu \cos \mu ''&+&\cos \nu \cos \nu '',\\&\cos \varpi '''&=&\cos \lambda \cos \lambda '''&+&\cos \mu \cos \mu '''&+&\cos \nu \cos \nu ''',\end{alignedat}}$

qu’on peut aussi vérifier par la Géométrie.

15. On voit par là que ces compositions et décompositions des mouvements de rotation sont entièrement analogues à celles des mouvements rectilignes.

En effet si, sur les trois axes des rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ on prend, depuis leur point d’intersection, des lignes proportionnelles respectivement à $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ et que l’on construise sur ces trois lignes un parallélépipède rectangle, il est facile de voir que la diagonale de ce parallélépipède sera l’axe de la rotation composée $d\theta$ et sera en même temps proportionnelle à cette rotation $d\theta .$ De là, et de ce que les rotations autour d’un même axe s’ajoutent ou se retranchent suivant qu’elles sont dans le même sens ou dans des sens opposés, comme les mouvements qui ont la même direction ou des directions opposées, on doit conclure en général que la composition et la décomposition des mouvements de rotation se fait de la même manière et suit les mêmes lois que la composition ou décomposition des mouvements rectilignes, en substituant aux mouvements de rotation des mouvements rectilignes, suivant la direction des axes de rotation.

16. Maintenant, si dans la formule de l’article 9,

$\mathrm {L} d\psi +\mathrm {M} d\omega +\mathrm {N} d\varphi ,$

laquelle contient les termes dus aux rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ dans la formule générale $\mathrm {P} dp+\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {P} ''dp''+\ldots ,$ on substitue pour $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ les expressions trouvées dans l’article 13, elle devient

${\begin{alignedat}{2}&(\mathrm {L} \cos \lambda '&+&\mathrm {M} \cos \mu '&+&\mathrm {N} \cos \nu '\ \,)d\theta '\\+&(\mathrm {L} \cos \lambda ''&+&\mathrm {M} \cos \mu ''&+&\mathrm {N} \cos \nu ''\ )d\theta ''\\+&(\mathrm {L} \cos \lambda '''&+&\mathrm {M} \cos \mu '''&+&\mathrm {N} \cos \nu ''')d\theta '''.\end{alignedat}}$

Donc, par l’article 7, les coefficients des angles élémentaires $d\theta ',d\theta '',d\theta '''$ exprimeront les sommes des moments relatifs aux axes des rotations $d\theta ',d\theta '',d\theta '''.$ Ainsi, des moments égaux à $\mathrm {L,M,N} ,$ et relatifs à trois axes rectangulaires, donnent les moments

${\begin{alignedat}{2}&\mathrm {L} \cos \lambda '&+&\mathrm {M} \cos \mu '&+&\mathrm {N} \cos \nu ',\\&\mathrm {L} \cos \lambda ''&+&\mathrm {M} \cos \mu ''&+&\mathrm {N} \cos \nu '',\\&\mathrm {L} \cos \lambda '''&+&\mathrm {M} \cos \mu '''&+&\mathrm {N} \cos \nu ''',\end{alignedat}}$

relatifs à trois autres axes rectangulaires qui font respectivement avec ceux-là les angles $\lambda ',\mu ',\nu '\,;\lambda '',\mu '',\nu ''\,;\lambda ''',\mu ''',\nu '''.$

On trouve une démonstration géométrique de ce théorème dans le Tome VII des Nova Acta de l’Académie de Pétersbourg^[3].

17. Si l’on suppose les rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ proportionnelles à $\mathrm {L,M,N} ,$ et qu’on fasse

$\mathrm {H={\sqrt {L^{2}+M^{2}+N^{2}}}} ,$

on aura, par l’article 11,

$\mathrm {L=H\cos \lambda ,\quad M=H\cos \mu ,\quad N=H\cos \nu } ,$

et les trois moments qu’on vient de trouver se réduiront, par les relations de l’article 14, à cette forme simple

$\mathrm {H\cos \varpi ',\quad H\cos \varpi '',\quad H\cos \varpi '''} .$

Or $\varpi ',\varpi '',\varpi '''$ sont les angles que les axes des rotations $d\theta ',d\theta '',d\theta '''$ font avec l’axe de la rotation composée $d\theta .$ Donc ; si l’on fait coïncider l’axe de la rotation $d\theta '$ avec l’axe de la rotation $d\theta ,$ on a $\varpi '=0$ et $\varpi '',\varpi '''$ chacun égal à un angle droit ; par conséquent, le moment autour de cet axe sera simplement $\mathrm {H} ,$ et les deux autres moments autour des axes perpendiculaires à celui-ci deviendront nuls.

D’où l’on conclut que des moments égaux à $\mathrm {L,M,N} ,$ et relatifs à trois axes rectangulaires, se composent en un moment unique $\mathrm {H}$ égal à $\mathrm {\sqrt {L^{2}+M^{2}+N^{2}}} ,$ et relatif à un axe qui fait avec ceux-là les angles $\lambda ,\mu ,\nu ,$ tels que

$\mathrm {\cos \lambda ={\frac {L}{H}},\quad \cos \mu ={\frac {M}{H}},\quad \cos \nu ={\frac {N}{H}}} ,$

Ce sont les théorèmes connus sur la composition des moments ; et il est évident que cette composition suit aussi les mêmes règles que celle des mouvements rectilignes. On aurait pu la déduire immédiatement de la composition des rotations instantanées, en substituant les moments aux rotations qu’ils produisent, comme Varignon a substitué les forces aux mouvements rectilignes^[4].

§ IV. — Propriétés de l’équilibre, relatives au centre de gravité.

18. Si, dans les formules de l’article 9, on suppose que toutes les forces $\mathrm {P,P',P''} ,\ldots$ agissent dans des directions parallèles entre elles, on aura

$\alpha =\alpha '=\alpha ''=\ldots ,\quad \beta =\beta '=\beta ''=\ldots ,\quad \gamma =\gamma '=\gamma ''=\ldots \,;$

par conséquent, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}&\mathrm {X} &=&\mathrm {P} x+&\mathrm {P} 'x'+&\mathrm {P} ''x''+\ldots ,\\&\mathrm {Y} &=&\mathrm {P} y+&\mathrm {P} 'y'+&\mathrm {P} ''y''+\ldots ,\\&\mathrm {Z} &=&\mathrm {P} z+&\mathrm {P} 'z'+&\mathrm {P} ''z''+\ldots ,\end{alignedat}}$

les quantités $\mathrm {L,M,N}$ deviendront

${\begin{alignedat}{3}&\mathrm {L} &=&\mathrm {Y} \cos \gamma -&\mathrm {Z} \cos \beta ,\\&\mathrm {M} &=&\mathrm {Z} \cos \alpha -&\mathrm {X} \cos \gamma ,\\&\mathrm {N} &=&\mathrm {X} \cos \beta -&\mathrm {Y} \cos \alpha ,\end{alignedat}}$

et les équations de l’équilibre seront

$\mathrm {L=0,\quad M=0,\quad N=0} ,$

dont la troisième est ici une suite des deux premières. Mais, comme on a d’ailleurs (Sect. II, art. 7) l’équation

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,$

on pourra déterminer par ces équations les angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ et l’on trouvera

${\begin{aligned}\cos \alpha =&\mathrm {\frac {X}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}} ,\\\cos \beta =&\mathrm {\frac {Y}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}} ,\\\cos \gamma =&\mathrm {\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}} .\end{aligned}}$

Donc, la position des corps étant donnée par rapport à trois axes, il faudra, pour que tout mouvement de rotation du système soit détruit, que le système soit placé, relativement à la direction des forces, de manière que cette direction fasse avec les mêmes axes les angles $\alpha ,\beta ,\gamma$ qu’on vient de déterminer.

19. Si les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ étaient nulles, les angles \alpha,\beta,\gamma demeureraient indéterminés, et la position du système, relativement à la direction des forces, pourrait être quelconque ; d’où résulte ce théorème : Si la somme des produits des forces parallèles par leurs distances à trois plans perpendiculaires entre eux est nulle par rapport à chacun de ces trois plans, l’effet des forces pour faire tourner le système autour du point commun d’intersection des mêmes plans se trouvera détruit.

On sait que la gravité agit verticalement et proportionnellement à la masse ; ainsi, dans un système de corps pesants, si l’on cherche un point tel, que la somme des masses multipliées par leurs distances à un plan passant par ce point soit nulle relativement à trois plans perpendiculaires, ce point aura la propriété que la gravité ne pourra imprimer au système aucun mouvement de rotation autour du même point. C’est ce point qu’on appelle centre de gravité, et qui est d’un usage si étendu dans toute la Mécanique.

Pour le déterminer, il n’y a qu’à chercher sa distance à trois plans perpendiculaires donnés. Or, puisque la somme des produits des masses par leurs distances à un plan passant par le centre de gravité est nulle, la somme des produits des mêmes masses par leurs distances à un autre plan parallèle à celui-ci sera nécessairement égale au produit de toutes les masses par la distance du centre de gravité au même plan, de sorte qu’on aura cette distance en divisant la somme des produits des masses et de leurs distances par la somme même des masses ; et de là résultent les formules connues pour les centres de gravité des lignes, des surfaces et des solides.

20. Mais il y a une propriété du centre de gravité qui est moins connue et qui peut être utile dans quelques occasions, parce qu’elle est indépendante de la considération étrangère des plans auxquels on rapporte les différents corps du système, et qu’elle sert à déterminer leur centre de gravité par la simple position respective des corps. Voici en quoi elle consiste.

Soit $\mathrm {A}$ la somme des produits des masses prises deux à deux et multipliées de plus par le carré de leur distance respective, cette somme étant en même temps divisée par le carré de la somme des masses.

Soit $\mathrm {B}$ la somme des produits de chaque masse par le carré de sa distance à un point quelconque donné, cette somme étant divisée par la somme des masses.

On aura $\mathrm {\sqrt {B-A}}$ pour la distance du centre de gravité de toutes les masses au point donné. Ainsi, comme la quantité $\mathrm {A}$ est indépendante de ce point, si l’on détermine les valeurs de $\mathrm {B}$ par rapport à trois points différents pris dans le système ou hors du système, à volonté, on aura les distances du centre de gravité à ces trois points et, par conséquent, sa position par rapport à ces points. Si les corps étaient tous dans le même plan, il suffirait de considérer deux points, et il n’en faudrait qu’un seul si tous les corps étaient sur une ligne droite donnée.

En prenant les points donnés dans les corps mêmes du système, la position de son centre de gravité sera donnée uniquement par les masses et par leurs distances respectives. C’est en quoi consiste le principal avantage de cette manière de déterminer le centre de gravité.

Pour la démontrer, je reprends les expressions de $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ de l’article 18, et, prenant de plus trois quantités arbitraires $f,\,g,\,h,$ je forme ces trois équations identiques, faciles à vérifier :

${\begin{aligned}&\left[\mathrm {X-(P+P'+P''+\ldots )} f\right]^{2}\\&\quad =(\mathrm {P+P'+P''} +\ldots )\left[\mathrm {P} (x-f)^{2}+\mathrm {P} '(x'-f)^{2}+\mathrm {P} ''(x''-f)^{2}+\ldots \right]\\&\qquad -\mathrm {PP} '(x-x')^{2}-\mathrm {PP} ''(x-x'')^{2}-\mathrm {P'P} ''(x'-x'')^{2}-\ldots ,\\&\left[\mathrm {Y-(P+P'+P''+\ldots )} g\right]^{2}\\&\quad =(\mathrm {P+P'+P''} +\ldots )\left[\mathrm {P} (y-g)^{2}+\mathrm {P} '(y'-g)^{2}+\mathrm {P} ''(y''-g)^{2}+\ldots \right]\\&\qquad -\mathrm {PP} '(y-y')^{2}-\mathrm {PP} ''(y-y'')^{2}-\mathrm {P'P''} (y'-y'')^{2}-\ldots ,\\&\left[\mathrm {Z-(P+P'+P''+\ldots )} h\right]^{2}\\&\quad =(\mathrm {P+P'+P''} +\ldots )\left[\mathrm {P} (z-h)^{2}+\mathrm {P} '(z'-h)^{2}+\mathrm {P} ''(z''-h)^{2}+\ldots \right]\\&\qquad -\mathrm {PP} '(z-z')^{2}-\mathrm {PP} ''(z-z'')^{2}-\mathrm {P'P''} (z'-z'')^{2}-\ldots .\end{aligned}}$

Les quantités $\mathrm {P,\,P',\,P''} ,\ldots$ représentent les poids ou les masses des corps qui leur sont proportionnels, et les quantités $x,\,y,\,z,$ $x',\,y',\,z',\,x'',\ldots$ sont les coordonnées rectangles de ces corps. Or nous avons vu (art. 19) que, lorsque l’origine des coordonnées est dans le centre de gravité, les trois quantités $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ sont nulles. Si donc on fait dans les trois équations précédentes $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0,$ $\mathrm {Z} =0,$ qu’on les ajoute ensemble, et qu’on suppose, pour abréger,

$f^{2}+g^{2}+h^{2}=r^{2},$

${\begin{alignedat}{4}&(x&-f)^{2}+&(y&-g)^{2}+&(z&-h)^{2}=&(0)^{2},\\&(x'&-f)^{2}+&(y'&-g)^{2}+&(z'&-h)^{2}=&(1)^{2},\\&(x''&-f)^{2}+&(y''&-g)^{2}+&(z''&-h)^{2}=&(1)^{2},\end{alignedat}}$

 

${\begin{alignedat}{7}&(x&-&x')^{2}&+&(y&-&y')^{2}&+&(z&-&z')^{2}&=&(0,1)^{2},\\&(x&-&x'')^{2}&+&(y&-&y'')^{2}&+&(z&-&z'')^{2}&=&(0,2)^{2},\\&(x'&-&x'')^{2}&+&(y'&-&y'')^{2}&+&(z'&-&z'')^{2}&=&(1,2)^{2},\end{alignedat}}$

 

on aura, après avoir divisé par $(\mathrm {P+P'+P''} +\ldots )^{2},$

$r^{2}=\mathrm {\frac {P(0)^{2}+P'(1)^{2}+P''(2)^{2}+\ldots }{P+P'+P''+\ldots }} \,\mathrm {-\,{\frac {PP'(0,1)^{2}+PP''(0,2)^{2}+P'P''(1,2)^{2}+\ldots }{(\mathrm {P+P'+P''} +\ldots )^{2}}}} .$

Si l’on prend maintenant les trois quantités $f,\,g,\,h$ pour les coordonnées rectangles d’un point donné, il est visible que $r$ sera la distance de ce point au centre de gravité qui est supposé dans l’origine des coordonnées, que $(0),\,(1),\,(2),\ldots$ seront les distances des poids $\mathrm {P,\,P',\,P''} ,\ldots$ à ce même point, et que $(0,1),\,(0,2),\,(1,2),\ldots$ seront les distances entre les corps ou poids $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} ',$ $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '',$ $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {P} '',\ldots$ Donc l’équation ci-dessus deviendra

$r^{2}=\mathrm {B-A} ,$

d’où l’on tire^[5]

$r=\mathrm {\sqrt {B-A}} .$

§ V. — Propriétés de l’équilibre, relatives aux maxima et minima.

21. Nous allons considérer maintenant les maxima et minima qui peuvent avoir lieu dans l’équilibre ; et, pour cela, nous reprendrons la formule générale

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots =0$

de l’équilibre entre les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ dirigées suivant les lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ qui aboutissent aux centres de ces forces (sect. II, art. 4).

On peut supposer^[6] que ces forces soient exprimées de manière que la quantité $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$ soit une différentielle exacte d’une fonction de $p,\,q,\,r,\ldots ,$ laquelle soit représentée par $\Pi ,$ en sorte que l’on ait

$d\Pi =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .$

Alors on aura pour l’équilibre cette équation $d\Pi =0,$ laquelle fait voir que le système doit être disposé de manière que la fonction $\Pi$ y soit, généralement parlant, un maximum ou un minimum.

Je dis généralement parlant, car on sait que l’égalité d’une différentielle à zéro n’indique pas toujours un maximum ou un minimum, comme on le voit par la théorie des courbes.

La supposition précédente a lieu, en général, lorsque les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ tendent réellement ou à des points fixes, ou à des corps du même système, et sont proportionnelles à des fonctions quelconques des distances, ce qui est proprement le cas de la nature.

Ainsi, dans cette hypothèse de forces, le système sera en équilibre lorsque la fonction $n$ sera un maximum ou un minimum ; c’est en quoi consiste le principe que Maupertuis avait proposé sous le nom de loi de repos.

Dans un système de corps pesants en équilibre, les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots ,$ provenant de la gravité, sont, comme l’on sait, proportionnelles aux masses des corps et, par conséquent, constantes ; et les distances $p,\,q,\,r,\ldots$ concourent au centre de la Terre. On aura donc, dans ce cas,

$\Pi =\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q+\mathrm {R} r+\ldots \,;$

par conséquent, puisque les lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ sont censées parallèles, la quantité ${\frac {\Pi }{\mathrm {P+Q+R+\ldots } }}$ exprimera la distance du centre de gravité de tout le système au centre de la Terre, laquelle sera donc un minimum ou un maximum, lorsque le système sera en équilibre ; elle sera, par exemple, un minimum dans le cas de la chaînette, et un maximum dans le cas de plusieurs globules qui se soutiendraient en forme de voûte. Ce principe est connu depuis longtemps.

22. Si, maintenant, on considère le même système en mouvement, et que $u',\,u'',\,u''',\ldots$ soient les vitesses, et $m',\,m'',\,m''',\ldots$ les masses respectives des différents corps qui le composent, le principe si connu de la conservation des forces vives, dont nous donnerons une démonstration directe et générale dans la seconde Partie, fournira cette équation

$m'u'^{2}+m''u''^{2}+m'''u'''^{2}+\ldots =\mathrm {const} .-2\Pi .$

Donc, puisque, dans l’état d’équilibre, la quantité est un minimum ou un maximum, il s’ensuit que la quantité $m'u'^{2}+m''u''^{2}+m'''u'''^{2}+\ldots$ qui exprime la force vive de tout le système, sera en même temps un maximum ou un minimum ; ce qui donne cet autre principe de Statique, que, de toutes les situations que prend successivement le système, celle où il a la plus grande ou la plus petite force vive est aussi celle où il le faudrait placer d’abord pour qu’il restât en équilibre. [Voir les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1748 et 1749^[7].]

23. On vient de voir que la fonction $\Pi$ est un minimum ou un maximum, lorsque la position du système est celle de l’équilibre ; nous allons maintenant démontrer que, si cette fonction est un minimum, l’équilibre aura de la stabilité, en sorte que, le système étant d’abord supposé dans l’état d’équilibre et venant ensuite à être tant soit peu déplacé de cet état, il tendra de lui-même à s’y remettre en faisant des oscillations infiniment petites qu’au contraire, dans le cas où la même fonction sera un maximum, l’équilibre n’aura pas de stabilité, et qu’étant une fois troublé, le système pourra faire des oscillations qui ne seront pas très petites, et qui pourront l’écarter de plus en plus de son premier état.

Pour démontrer cette proposition d’une manière générale, je considère que, quelle que puisse être la forme du système, sa position, c’est-à-dire celle des différents corps qui le composent, sera toujours déterminée par un certain nombre de variables, et que la quantité $\Pi$ sera une fonction donnée de ces mêmes variables. Supposons que, dans la situation d’équilibre, les variables dont il s’agit soient égales à $a,\,b,\,c,\ldots ,$ et que, dans une situation très proche de celle-ci, elles soient $a+x,\,b+y,\,c+z,\ldots ,$ les quantités $x,\,y,\,z,\ldots$ étant très petites ; substituant ces dernières valeurs dans la fonction $\Pi$ et réduisant en série suivant les dimensions des quantités très petites $x,\,y,\,z,\ldots ,$ la fonction $\Pi$^[8] deviendra de cette forme

${\begin{aligned}\Pi =&\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} y+\mathrm {D} z+\ldots \\&+\mathrm {F} x^{2}+\mathrm {G} xy+\mathrm {H} y^{2}+\mathrm {K} xz+\mathrm {L} yz+\mathrm {M} z^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

les quantités $\mathrm {A,\,B,\,C} ,\ldots$ étant données en $a,\,b,\,c,\ldots .$ Mais, dans l’état d’équilibre, la valeur de $d\Pi$ doit être nulle, de quelque manière qu’on fasse varier la position du système ; donc il faudra que la différentielle de $\Pi$ soit nulle en général, lorsque $x,\,y,\,z,\ldots$ sont égales à zéro ; donc

$\mathrm {B} =0,\qquad \mathrm {C} =0,\qquad \mathrm {D} =0,\quad \ldots .$

On aura donc, pour une situation quelconque très proche de celle de l’équilibre, cette expression de $\Pi$

$\Pi =\mathrm {A} +\mathrm {F} x^{2}+\mathrm {G} xy+\mathrm {H} y^{2}+\mathrm {K} xz+\mathrm {L} yz+\mathrm {M} z^{2}+\ldots ,$

dans laquelle, tant que les variables $x,\,y,\,z,\ldots$ sont très petites, il suffira de tenir compte des secondes dimensions de ces variables.

24. Maintenant il est clair que, pour que la quantité $\Pi$ soit un minimum, lorsque $x,\,y,\,z,\ldots$ sont nulles, il faut que la fonction

$\mathrm {F} x^{2}+\mathrm {G} xy+\mathrm {H} y^{2}+\mathrm {K} xz+\mathrm {L} yz+\mathrm {M} z^{2}+\ldots ,$

que je nommerai $\mathrm {X} ,$ soit constamment positive, quelles que soient les valeurs des variables $x,\,y,\,z,\ldots .$

Or cette fonction est réductible à la forme

$\mathrm {X} =f\xi ^{2}+g\eta ^{2}+h\zeta ^{2}+\ldots ,$

en faisant

${\begin{aligned}f=&\mathrm {F} ,\\\xi =&x+{\frac {\mathrm {G} y}{2f}}+{\frac {\mathrm {K} z}{2f}}+\ldots ,\\g=&\mathrm {H} -{\frac {\mathrm {G} ^{2}}{4f}},\\\eta =&y+\left(\mathrm {L} -{\frac {\mathrm {GK} }{2f}}\right){\frac {z}{2g}}+\ldots ,\\h=&\mathrm {M} -{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{4f}}-{\frac {\mathrm {L} ^{2}}{4g}},\\\zeta =&z+\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots ..\end{aligned}}$

Donc, pour qu’elle soit toujours positive, il faudra que les coefficients $f,\,g,\,h,\ldots$ soient positifs ; et l’on voit en même temps que, si ces coefficients sont positifs, la valeur de $\mathrm {X}$ sera nécessairement positive, puisque les quantités $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,\ldots$ sont réelles lorsque les variables $x,\,y,\,z,\ldots$ le sont.

Si, au contraire, la quantité $\Pi$ devait être un maximum lorsque $x,\,y,\,z,\ldots$ sont nuls, il faudrait que la fonction $\mathrm {X}$ fût constamment négative, et, par conséquent, que les coefficients $f,\,g,\,h,\ldots$ fussent négatifs et réciproquement, si ces coefficients sont négatifs, il s’ensuivra que la valeur de $\mathrm {X}$ sera nécessairement négative.

25. On aura donc, en ne tenant compte que des secondes dimensions des quantités très petites $x,\,y,\,z,\ldots ,$

$\Pi =\mathrm {A} +f\xi ^{2}+g\eta ^{2}+h\zeta ^{2}+\ldots ,$

et l’équation de la conservation des forces vives (art. 22) deviendra

$\mathrm {M} 'u'^{2}+\mathrm {M} ''u''^{2}+\mathrm {M} '''u'''^{2}+\ldots =\mathrm {const} .\,-2\mathrm {A} -2f\xi ^{2}-2g\eta ^{2}-2h\zeta ^{2}-\ldots .$

Or, dans l’état d’équilibre, on a, par hypothèse,

$x=0,\qquad y=0,\qquad z=0,\qquad \ldots \,;$

donc aussi (art. 19)

$\xi =0,\qquad \eta =0,\qquad \zeta =0,\qquad \ldots \,;$

donc, si l’on suppose qu’on dérange le système de cet état, en imprimant aux corps $\mathrm {M',\,M'',\,M'''} ,\ldots$ les vitesses très petites $\mathrm {V',\,V'',\,V'''} ,\ldots ,$ il faudra que l’on ait $u'=\mathrm {V} ',\ u''=\mathrm {V} '',\ u'''=\mathrm {V} ''',\ldots$ lorsque $\xi =0,\,\eta =0,\,\zeta =0.$ On aura donc

$\mathrm {M'V'^{2}+M''V''^{2}+M'''V'''^{2}} +\ldots =\mathrm {const} .-2\mathrm {A} \,;$

ce qui servira à déterminer la constante arbitraire.

Ainsi l’équation précédente deviendra

${\begin{aligned}\mathrm {M} '&u'^{2}+\mathrm {M} ''u''^{2}+\mathrm {M} '''u'''^{2}+\ldots \\&=\mathrm {M'V'^{2}+M''V''^{2}+M'''V'''^{2}} +\ldots -2f\xi ^{2}-2g\eta ^{2}-2h\zeta ^{2}-\ldots \,;\end{aligned}}$

d’où il est aisé de tirer ces deux conclusions :

1^o Que, dans le cas du minimum de $\Pi ,$ dans lequel les coefficients $f,\,g,\,h,\ldots$ sont tous positifs, la quantité toujours positive

$2f\xi ^{2}+2g\eta ^{2}+2h\zeta ^{2}+\ldots$

devra nécessairement être moindre, ou du moins ne pourra pas être plus grande que la quantité donnée $\mathrm {M'V'^{2}+M''V''^{2}+M'''V'''^{2}} +\ldots ,$ qui est elle-même très petite ; par conséquent, si l’on nomme cette quantité $\mathrm {T} ,$ on aura, pour chacune des variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,\ldots ,$ ces limites

$\pm {\sqrt {\frac {\mathrm {T} }{2f}}},\quad \pm {\sqrt {\frac {\mathrm {T} }{2g}}},\quad \pm {\sqrt {\frac {\mathrm {T} }{2h}}},\quad \ldots ,$

entre lesquelles elles seront nécessairement renfermées ; d’où il suit que, dans ce cas, le système ne pourra que s’écarter très peu de son état d’équilibre et ne pourra faire que des oscillations très petites et d’une étendue déterminée ;

2^o Que dans le cas du maximum de $\Pi ,$ dans lequel les coefficients $f,\,g,\,h,\ldots$ sont tous négatifs, la quantité toujours positive

$-2f\xi ^{2}-2g\eta ^{2}-2h\zeta ^{2}-\ldots$

pourra croître à l’infini, et qu’ainsi le système pourra s’écarter de plus en plus de son état d’équilibre. Du moins l’équation ci-dessus fait voir que, dans ce cas, rien n’empêche que les variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,\ldots$ n’aillent toujours en augmentant, mais il ne s’ensuit pas encore qu’elles doivent, en effet, aller en augmentant ; nous démontrerons cette dernière proposition dans la sixième Section de la Dynamique.

Si tous les coefficients $f,\,g,\,h,\ldots$ étaient nuls, on sait, par les méthodes de maximis et minimis, qu’il faudrait, pour l’existence d’un minimum ou d’un maximum, que les termes de trois dimensions disparussent et que ceux de quatre dimensions fussent constamment positifs ou négatifs ; et c’est aussi de cette manière qu’on pourra juger de la stabilité de l’équilibre donné par l’évanouissement des termes de la première dimension, lorsque ceux de deux dimensions s’évanouissent en même temps.

26. Au reste, ces propriétés des maxima et minima, qui ont lieu dans l’équilibre d’un système quelconque de forces, ne sont qu’une conséquence immédiate de la démonstration que nous avons donnée du principe des vitesses virtuelles a la fin de la première Section.

En effet, soit $p$ la distance entre les deux premières moufles, l’une fixe, l’autre mobile, jointes par $\mathrm {P}$ cordons qui produisent une force proportionnelle à $\mathrm {P} ,$ et qu’on peut représenter simplement par $\mathrm {P} ,$ en prenant le poids qui tend la corde pour l’unité ; soient de même $q$ la distance entre les deux moufles qui produisent la force $\mathrm {Q} ,$ $r$ la distance entre les moufles qui produisent la force $\mathrm {R} ,\ldots .$ Il est évident que $\mathrm {P} p$ sera la longueur de la portion de la corde qui embrasse les deux premières moufles ; pareillement, $\mathrm {Q} q,\,\mathrm {R} r,\ldots$ seront les longueurs des portions de la corde qui embrasse les autres moufles, de sorte que la longueur totale de la corde embrassée par les moufles fixes et mobiles sera $\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q+\mathrm {R} r+\ldots .$

Ajoutons à cette longueur celle des différentes portions de la corde qui se trouveront entre des poulies fixes pour faire les renvois nécessaires au changement de direction, et que nous désignerons par $a\,;$ ajoutons-y encore la portion de la corde qui se trouvera entre la dernière poulie de renvoi et le poids attaché à l’extrémité de la corde, et que nous désignerons par $u\,;$ enfin soit $l$ la longueur totale de la corde, dont la première extrémité est fixement attachée à un point immobile dans l’espace, et dont l’autre extrémité porte le poids ; on aura évidemment l’équation

$l=\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q+\mathrm {R} r+\ldots +a+u,$

d’où l’on tire

$u=l-a-\mathrm {P} p-\mathrm {Q} q-\mathrm {R} r-\ldots .$

Or, en supposant les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ constantes, c’est-à-dire indépendantes de $p,\,q,\,r,\ldots ,$ ce qui est toujours permis dans l’équilibre où l’on ne considère que des déplacements infiniment petits, il est visible^[9] que la quantité $\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q+\mathrm {R} r+\ldots$ sera la même que nous

avons désignée par $\Pi$ dans l’article 21 ainsi l’on aura, en général,

$u=l-a-\Pi ,$

où $l$ et $a$ sont des quantités constantes.

27. Maintenant il est clair que, comme le poids tend à descendre le plus qu’il est possible, l’équilibre n’aura lieu, en général, que lorsque la valeur de $u$ qui exprime la descente du poids depuis la poulie fixe sera un maximum et que, par conséquent, celle de $\Pi$ sera un minimum et l’on voit en même temps que, dans ce cas, l’équilibre sera stable, parce qu’un petit changement quelconque dans la position du système ne pourra que faire remonter le poids, lequel tendra à redescendre et à remettre le système dans l’état d’équilibre.

Mais nous avons vu que, pour l’équilibre, il suffit que l’on ait $d\Pi =0$ et, par conséquent, $du=0,$ ce qui a lieu aussi lorsque la valeur de ${\displaystyle }$ est un minimum, auquel cas le poids, au lieu d’être le plus bas, sera, au contraire, le plus haut. Dans ce cas, il est visible qu’un petit changement dans la position du système ne pourra que faire descendre le poids, qui alors ne tendra plus à remonter, mais à descendre davantage et à éloigner de plus en plus le système du premier état d’équilibre d’où il suit que cet équilibre n’aura point de stabilité et qu’étant une fois troublé, il ne tendra pas à se rétablir.

1. En réalité, les trois rotations ne peuvent avoir lieu à la fois, mais successivement. Il n’y a cependant aucun inconvénient à les considérer, dans le calcul, comme simultanées, car chacune d’elles, changeant infiniment peu la position du corps, ne peut exercer, sur les déplacements que les autres produisent, qu’une influence infiniment petite, et ne modifie le mouvementdû à ces autres rotations que d’une quantité infiniment petite par rapport à sa propre valeur. (J. Bertrand.)
   
2. En rapprochant ces résultats de ceux qui ont été obtenus dans le paragraphe précédent, on voit qu’un mouvement quelconque infiniment petit d’un corps solide qui a un point fixe peut être considéré comme une rotation autour d’un axe. Ce beau théorème est dû à Euler, qui en a donné une démonstration géométrique très simple. Euler avait aussi traité la question analytiquement. (Voir les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1750.) Vingt-cinq ans plus tard, Euler reprend ce théorème dans les Commentaires de Saint-Pétersbourg pour 1775, et, après en avoir donné une démonstration géométrique qui s’applique aux mouvements finis, il avoue que la preuve analytique exige des calculs si prolixes, qu’il a renoncé à les exécuter. Son Mémoire se termine ainsi : « Nemo vero stupendum hunc laborem in se suscipere volet…… quamobrem egregia ista proprietas geometris pulcherrimam occasionem præbere potest vires suas in ista proprietate penitus enucleanda exercendi. » (Novi Commentarii, p. 207 ; 1775.) Dans le Journal de Liouville (I^re série, t. V, p. 406), Olinde Rodrigues a donné, d’une manière très élégante, cette démonstration désirée par Euler.(J. Bertrand.)
   
3. Cette démonstration est d’Euler. (J. Bertrand.)
   
4. Cette assimilation n’est pas permise. Une force qui agit sur un corps solide mobile autour d’un axe donné produit une rotation proportionnelle à son moment ; mais, pour deux axes différents, les moments d’inertie jouent un rôle, et l’on n’a pas le droit de substituer les moments aux rotations qu’ils produisent. (Voir, à ce sujet, un Mémoire de Poinsot, Mémoires de l’Institut, t. VII, p. 564.) (J. Bertrand.)
   
5. On pourra consulter au sujet de ce théorème le Mémoire de Lagrange Sur une nouvelle propriété du centre de gravité, inséré au tome V des Œuvres de Lagrange, p. 535, le Chapitre III de la Statique de Poinsot, la quatrième Leçon des Vorlesungen über Dynamik de Jacobi et enfin divers Mémoires insérés aux tomes VI et VII du Bulletin de la société mathématique de France. (G. D.)
   
6. Lagrange ne veut pas dire qu’il en soit toujours ainsi ; il prévient seulement que les développements qui suivent se rapportent au cas où cela a lieu. (J. Bertrand.)
   
7. Ce principe y est énoncé, sans démonstration suffisante, par un géomètre peu connu, de Courtivron. Lagrange le citait dans la première édition de son Ouvrage ; dans la seconde, il a fait disparaître son nom pour y substituer la date du Mémoire. (J. Bertrand.)
   
8. M. Lejeune-Dirichlet a simplifié cette démonstration en la rendant plus rigoureuse. (Voir Journal de Crelle, t. 32, et Journal de Liouville, I^re série, t. XII, p. 474.) (J. Bertrand.)
   
9. Cette substitution de forces constantes à des forces variables changerait, au contraire, complètement la nature de la fonction $\Pi .$ Si l’on considère, par exemple, une attraction inversement proportionnelle à la distance et égale à ${\frac {\mu }{p}},$ on aura
   $\int \mathrm {P} dp=\int {\frac {\mu }{p}}dp=\mu \log p\,;$

   en remplaçant, au contraire, $\mathrm {P}$ par une constante, on aurait pour intégrale $\mathrm {P} p,$ ce qui diffère beaucoup du résultat précédent. On peut dire seulement que, pour la valeur des variables qui correspond à l’équilibre, les deux fonctions, quoique très différentes, ont la même variation. (J. Bertrand.)