Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.06

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1892 (1, p. 269-334).

CHAPITRE VI.

DÉVELOPPEMENT APPROCHÉ DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

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Énoncé du problème.

90.J’ai dit que M. Flamme avait donné une remarquable expression approchée des termes de rang élevé de la fonction perturbatrice. Il y est parvenu en appliquant à ce problème la méthode de M. Darboux qui permet de trouver les coefficients de rang élevé dans la série de Fourier ou dans celle de Taylor, quand on connaît les propriétés analytiques de la fonction représentée par ces séries.

Mais la méthode de M. Darboux n’est applicable qu’aux fonctions d’une seule variable, tandis que la fonction perturbatrice doit être développée suivant les sinus et cosinus des multiples des deux anomalies moyennes. Voici donc quel est le détour employé par M. Flamme : il obtient d’abord, par les procédés ordinaires, un premier développement de la fonction perturbatrice dont les termes sont de la forme

$\Lambda \rho ^{\alpha }e^{i(\beta v+\gamma u)},\quad {\rho '}^{\alpha '}e^{i(\beta 'v'+\gamma 'u')},$

$\rho$ rayon vecteur de la première planète, $v$ anomalie vraie, $u$ anomalie excentrique ; $\rho ',$ $v'$ et $u'$ quantités analogues pour la seconde planète.

Alors les deux facteurs

$\rho ^{\alpha }e^{i(\beta v+\gamma u)}\quad \mathrm {et} \quad {\rho '}^{\alpha '}e^{i(\beta 'v'+\gamma 'u')}$

ne dépendent plus que d’une seule variable, à savoir : le premier de l’anomalie moyenne $\zeta$ de la première planète, le second de l’autre anomalie moyenne $\zeta '.$ M. Flamme applique à chacun de ces deux facteurs la méthode de M. Darboux.

Cet artifice ne saurait nous suffire pour notre objet ; il nous faut, au contraire, appliquer directement à la fonction perturbatrice la méthode de M. Darboux et pour cela étendre cette méthode au cas des fonctions de deux variables.

91.La fonction qu’il s’agit de développer est celle que nous avons appelée $\mathrm {F} _{1}$ et dont je vais rappeler l’expression en reprenant les notations du n^o 11.

On a alors

$\mathrm {F} ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2\beta }}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2\beta '}}-{\frac {m_{2}m_{3}}{\mu \mathrm {BC} }}-{\frac {m_{3}m_{1}}{\mu \mathrm {AC} }}-{\frac {m_{1}m_{2}}{\mu \mathrm {AB} }}\cdot$

La fonction $\mathrm {F}$ ainsi définie dépend des variables (4) du n^o 11 de $m_{1},$ $m_{2},$ $m_{3}$ et de $\mu .$ Si nous supposons que $m_{1},$ $m_{2}$ et $m_{3}$ soient des fonctions données du paramètre $\mu$ et soient développables suivant les puissances croissantes de ce paramètre, $\mathrm {F}$ ne dépendra plus que des variables (4) et de $\mu ,$ et sera développable suivant les puissances croissantes de $\mu .$

Cela peut se faire d’une infinité de manières ; nous supposerons, par exemple, que $m_{1},$ $\beta$ et $\beta '$ sont des constantes indépendantes de $\mu .$

Les variables (4) sont les variables képlériennes relatives à deux orbites osculatrices définies dans le n^o 11. Le rayon vecteur dans la première orbite osculatrice est AB, dans la seconde orbite le rayon vecteur est CD. L’angle de ces deux rayons vecteurs (qui n’est autre chose que la différence des deux longitudes vraies dans les deux orbites osculatrices, si ces deux orbites sont dans un même plan) est l’angle BDC que j’appellerai simplement D.

Les quantités $(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}),$ $(y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}),$ et AB dépendent seulement des variables (4) et non de $\mu .$ Au contraire, $\alpha _{2},$ $\alpha _{3},$ AC et BC dépendent non seulement des variables (4) mais encore de $\mu .$ Nous pouvons donc nous proposer de développer $\alpha _{2},$ $\alpha _{3},$ ${\frac {1}{\mathrm {AC} }}$ et ${\frac {1}{\mathrm {BC} }}$ suivant les puissances de $\mu .$ Nous trouvons ainsi

${\begin{aligned}&\qquad \alpha _{2}=\beta \,\,+{\frac {\mu \beta ^{2}}{m_{1}}}\,+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\&\qquad \alpha _{3}=\beta '+{\frac {\mu \beta '^{2}}{m_{1}}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\{\frac {1}{\mathrm {BC} }}&={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} \,\cos \mathrm {D} }}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ,\\{\frac {1}{\mathrm {AC} }}&={\frac {1}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta \mu }{m_{1}}}\,{\frac {\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}+{\text{des termes divisibles par }}\mu ^{2}.\end{aligned}}$

Si l’on pose alors

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\ldots ,$

il vient

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}&={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2\beta }}+{\frac {y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{2\beta '}}-{\frac {\beta '_{1}m_{1}}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta _{2}m_{1}}{\mathrm {AB} }},\\\mathrm {F} _{1}&=-{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {AB} }}-{\frac {\beta '^{2}}{\mathrm {CD} }}-{\frac {\beta \beta '}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} .\cos \mathrm {D} }}}+{\frac {\beta \beta '\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot \\\end{aligned}}$

Envisageons successivement les divers termes de la fonction perturbatrice $\mathrm {F} _{1}.$

Tout d’abord Le premier terme

$-{\frac {\beta ^{2}}{\mathrm {AB} }}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}$

ne dépend que de l’anomalie moyenne $l$ et nullement de l’anomalie moyenne $l'\,;$ il ne pourra donc donner dans le développement des termes en

$\sin(ml+nl')\quad \mathrm {ou} \quad \cos(ml+nl'),$

où $n\gtrless 0.$

De même le second terme

$-{\frac {\beta '^{2}}{\mathrm {CD} }}=-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}$

ne pourra donner dans le développement final des termes en

$\sin(ml+nl')\quad \mathrm {ou} \quad \cos(ml+nl'),$

où $m\gtrless 0.$

Nous pourrons donc en général laisser de côté ces deux premiers termes.

Le dernier terme

${\frac {\beta \beta '\,\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}$

peut se mettre sous une autre forme. Si je désigne par $i$ l’inclinaison des orbites et par $v$ et $v'$ les longitudes vraies comptées à partir du nœud, on a

$\cos \mathrm {D} =\cos v\cos v'+\cos i\sin v\sin v',$

d’où

${\frac {\mathrm {AB} \,\cos \mathrm {D} }{\mathrm {CD} ^{2}}}=(\mathrm {AB} \,\cos v){\frac {\cos v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}+\cos i(\mathrm {AB} \,\sin v){\frac {\sin v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot$

La méthode de M. Flamme est directement applicable aux quatre facteurs

$\mathrm {AB} \,\cos v,\quad {\frac {\cos v'}{\mathrm {CD} ^{2}}},\quad \mathrm {AB} \,\sin v,\quad {\frac {\sin v'}{\mathrm {CD} ^{2}}}\cdot$

Il reste donc à développer le troisième terme

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\frac {\beta \beta '}{\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {CD} ^{2}-2\mathrm {AB} .\mathrm {CD} .\cos \mathrm {D} }}},$

qui est connu sous le nom de partie principale de la fonction perturbatrice. C’est du développement de cette partie principale que nous allons maintenant nous occuper.

Digression sur une propriété de la fonction perturbatrice.

92.On pourrait être tenté d’éviter la nécessité de développer la partie principale de la fonction perturbatrice en employant l’artifice suivant :

Nous avons trouvé

$\mathrm {F} _{1}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}+\beta \beta '\mathrm {F} _{1}^{0}+{\frac {\beta \beta 'r\cos \omega }{r'^{2}}},$

en désignant par $r$ et $r'$ les deux rayons vecteurs et par $\omega$ l’angle de ces deux rayons vecteurs.

Pour arriver à ce résultat, nous avons pris, comme dans le n^o 11, pour orbites osculatrices l’orbite de B par rapport à A et celle de C par rapport à D, centre de gravité de A et de B.

Mais il est clair qu’on aurait pu également choisir comme orbites osculatrices celle de C par rapport à A et celle de B par rapport à E, centre de gravité de A et de C.

Cela revient à permuter les deux planètes B et C ; on aurait donc trouvé ainsi, comme nouvelle fonction perturbatrice,

$\mathrm {F} '_{1}=-{\frac {\beta ^{2}}{r}}-{\frac {\beta '^{2}}{r'}}+\beta \beta '\mathrm {F} _{1}^{0}+{\frac {\beta \beta 'r'\cos \omega }{r^{2}}},$

d’où

$\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}=\beta \beta '\left({\frac {r'\,\cos \omega }{r^{2}}}-{\frac {r\,\cos \omega }{r'^{2}}}\right)\cdot$

S’il existe une intégrale

$\Phi =\mathrm {const.} ,$

on pourra l’écrire, en prenant pour variables les éléments osculateurs des deux premières orbites [variables (4) du n^o 11], et l’on aura ainsi

$\Phi _{0}+\mu \Phi _{1}+\ldots =\mathrm {const.}$

On pourra l’écrire également en prenant pour variables les éléments osculateurs des deux nouvelles orbites (orbites de C par rapport à A et de B par rapport à E) ; on aura alors

$\Phi '_{0}+\mu \Phi '_{1}+\ldots =\mathrm {const.}$

$\Phi '_{0}$ sera formé avec les éléments des deux nouvelles orbites comme $\Phi _{0}$ avec les éléments correspondants des deux anciennes, mais $\Phi '_{1}$ ne sera pas formé comme $\Phi _{1}.$

On devra avoir alors, ainsi que nous l’avons vu au n^o 81,

$[\Phi _{0},\,\mathrm {F} _{1}]+[\Phi _{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0,$

et de même

$[\Phi '_{0},\,\mathrm {F} '_{1}]+[\Phi '_{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0\,;$

comme $\Phi '_{0}$ est formée comme $\Phi _{0},$ je puis supprimer l’accent et écrire

$[\Phi _{0},\,\mathrm {F} '_{1}]+[\Phi '_{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0,$

d’où

(1)

$[\Phi _{0},\,\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}]+[\Phi '_{1}-\Phi _{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0.$

Nous avons vu que, s’il existe une intégrale uniforme et si, après avoir développé $\mathrm {F} _{1}$ on forme les expressions (14) du n^o 84, il doit y avoir entre ces expressions un certain nombre de relations.

Mais, en raisonnant sur l’équation (1) comme nous l’avons fait sur l’équation (3) du n^o 81, on arriverait à un résultat analogue. Développons $\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}$ et formons à l’aide de ce développement les expressions (14) ; s’il existe une intégrale uniforme, il devra y avoir entre ces expressions un certain nombre de relations.

Si donc on pouvait établir que ces relations n’existent pas, on aurait démontré qu’il ne peut exister non plus d’intégrale uniforme. Comme le développement de $\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}$ est incomparablement plus facile que celui de $\mathrm {F} _{1},$ il semble que ce procédé doit simplifier beaucoup notre tâche.

Mais il est tellement artificiel, qu’a priori on conçoit des doutes sur son efficacité et qu’on se demande s’il n’est pas illusoire. Il l’est en effet, car les expressions (14) formées à l’aide de $\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}$ sont nulles ou indéterminées.

Supposons que l’on développe $\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}$ sous la forme suivante

$\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}.$

Les coefficients $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ seront fonctions de $\beta \mathrm {L} ,$ $\beta '\mathrm {L'} ,$ et des autres éléments osculateurs ($l$ et $l'$ exceptés). Donnons à $\mathrm {L}$ et à $\mathrm {L} '$ des valeurs telles que

$m_{1}\,n+m_{2}\,n'=0$

(en appelant $n$ et $n'$ les moyens mouvements).

Je dis que, pour ces valeurs de $\mathrm {L}$ et de $\mathrm {L} ',$ le coefficient $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ s’annulera.

Pour cela je vais me servir du lemme suivant.

Soit

(2)

$x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\,;\;\;y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}$

un système de variables conjuguées deux à deux ; soit

(3)

$x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{n}\,;\;\;y'_{1},\,y'_{2},\,\ldots ,\,y'_{n}$

un autre système de variables conjuguées. Supposons que ces deux systèmes soient liés par des relations telles que l’on puisse passer de l’un à l’autre sans altérer la forme canonique des équations. On devra avoir alors, d’après le n^o 5,

(4)

${\textstyle \sum }\left(dx_{i}\,\delta y_{i}-dy_{i}\,\delta x_{i}\right)={\textstyle \sum }\left(dx'_{i}\,\delta y'_{i}-dy'_{i}\,\delta x'_{i}\right).$

Supposons que les $x'_{i}$ et les $y'_{i}$ dépendent d’un certain paramètre $\mu$ et soient développables par rapport aux puissances de $\mu \,;$ que, pour $\mu =0,$ $x'_{i}$ et $y'_{i}$ se réduisent à $x_{i}$ et à $y_{i}.$

On aura alors

(5)

$\left\{{\begin{aligned}x'_{i}&=x_{i}+\mu \xi _{i}+\ldots ,\\y'_{i}&=y_{i}+\mu \eta _{i}+\ldots ,\\\end{aligned}}\right.$

les $\xi _{i}$ et les $\eta _{i}$ étant des fonctions des $x_{i}$ et des $y_{i}.$

Alors l’expression

${\textstyle \sum }(\xi _{i}\,dy_{i}-\eta _{i}\,dx_{i})=d\mathrm {S}$

sera une différentielle exacte. C’est là une conséquence nécessaire de l’identité (4), qui entraîne évidemment la suivante

${\textstyle \sum }(d\xi _{i}\,\delta y_{i}-dy_{i}\,\delta \xi _{i}+dx_{i}\,\delta \eta _{i}-d\eta _{i}\,\delta x_{i})=0.$

Considérons maintenant les équations canoniques

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\quad {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},$

où

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})+\mu \mathrm {F} _{1}(x_{i},\,y_{i})+\ldots .$

Changeons de variables et prenons les variables (3) comme nouvelles variables, il viendra

$\mathrm {F} =\mathrm {F} '_{0}(x'_{i},\,y'_{i})+\mu \mathrm {F} '_{1}(x'_{i},\,y'_{i})+\ldots .$

Si nous remplaçons les $x'_{i}$ et les $y'_{i}$ par leurs valeurs (5), il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {F} '_{0}(x'_{i},\,y'_{i})&=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i})+\mu \,{\textstyle \sum }\left({\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dx_{i}}}\xi _{i}+{\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dy_{i}}}\eta _{i}\right)\\&\;\;+{\text{ des termes divisibles par }}\mu ^{2},\\[1.0ex]\mathrm {F} '_{1}(x'_{i},\,y'_{i})&=\mathrm {F} '_{1}(x_{i},\,y_{i})+{\text{ des termes divisibles par }}\mu ,\\\end{aligned}}$

d’où, en identifiant les deux développements,

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})&=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i}),\\\mathrm {F} _{1}(x_{i},\,y_{i})=\mathrm {F} '_{1}(x_{i},\,y_{i})&+\sum \left({\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{dx_{i}}}\,\xi _{i}+{\frac {d\mathrm {F} '_{0}}{d\mathrm {y_{i}} }}\,\eta _{i}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Si l’on observe que $\mathrm {F} _{0}(x_{i},\,y_{i})=\mathrm {F} '_{0}(x_{i},\,y_{i})$ et que

$\xi _{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},\quad \eta _{i}=-{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},$

on pourra écrire

(6)

$\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}=[\mathrm {F} _{0},\,\mathrm {S} ].$

Supposons que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépende que de deux variables $x_{1}$ et $x_{2}$ et que $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2}$ soient périodiques de période $2\pi$ par rapport à $y_{1}$ et $y_{2}.$ C’est ce qui arrive dans tous les problèmes que nous avons traités jusqu’ici.

Supposons de même que $\mathrm {S}$ soit périodique en $y_{1}$ et $y_{2}$ et soit

$\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2})},$

$\mathrm {A}$ dépendant de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\,;\;\;y_{3},\,y_{4},\,\ldots ,\,y_{n}.$

Supposons qu’on veuille développer $\mathrm {F} '_{1},$ et $\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}$ sous la même forme, et soit

$\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} '_{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2})}.$

L’équation (6) montre que

$\mathrm {B} ={\sqrt {-1}}\,\mathrm {A} \left(m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}\right).$

Si donc on donne à $x_{1}$ et à $x_{2}$ des valeurs telles que

$m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0,$

on aura également

$\mathrm {B=0.}$

Appliquons ce résultat au cas qui nous occupe.

Soient

(7)

$\left\{{\begin{array}{cccccc}\beta \mathrm {L} ,&\beta \mathrm {G} ,&\beta \Theta ,&\beta '\mathrm {L} ',&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta '\,;\\l,&g,&\theta ,&l',&g',&\theta '\\\end{array}}\right.$

les variables (4) du n^o 11 relatives aux deux orbites osculatrices anciennes B, par rapport à A, C par rapport à D.

Soient

(8)

$\left\{{\begin{array}{cccccc}\beta _{1}\mathrm {L} _{1},&\beta _{1}\mathrm {G} _{1},&\beta _{1}\Theta _{1},&\beta '_{1}\mathrm {L} '_{1},&\beta '_{1}\mathrm {G} '_{1},&\beta '_{1}\Theta '_{1}\,;\\l_{1},&g_{1},&\theta _{1},&l'_{1},&g'_{1},&\theta '_{1}\\\end{array}}\right.$

les variables (4) du n^o 11 relatives aux deux nouvelles orbites (B par rapport à E, C par rapport à A).

Ces variables (8) pourront remplacer les variables (7) sans que la forme canonique des équations soit altérée ; elles dépendront des variables (7) et de $\mu \,;$ elles seront développables suivant les puissances de $\mu \,;$ elles se réduiront aux variables (7) pour $\mu =0.$

Nous nous trouverons donc dans les conditions où le résultat précédent est applicable et nous devons conclure que, si l’on pose

$\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\,e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m'_{1}l')},$

$\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ s’annule pour

$m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0.$

Ce résultat peut se vérifier directement sans difficulté. Reportons-nous en effet aux expressions données par M. Tisserand dans sa Mécanique céleste (t. I, p. 312).

Le résultat qu’il s’agit de vérifier, traduit dans les notations de M. Tisserand, peut s’énoncer ainsi (je rappelle que M. Tisserand désigne par $\sigma$ le cosinus de l’angle des deux rayons vecteurs).

Si l’on pose

$\sigma \left({\frac {r}{r'^{2}}}-{\frac {r'}{r^{2}}}\right)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n,n'}e^{{\sqrt {-1}}(n\zeta +n'\zeta ')},$

$\mathrm {B} _{n,n'}$ s’annule pour

${\frac {n}{a^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {n'}{a'^{\frac {3}{2}}}}=0\,;$

et, en effet, en se reportant aux expressions de la page que je viens de citer, on trouve

$\mathrm {B} _{n,n'}=\left({\frac {n'a}{n\,a'^{2}}}-{\frac {n\,a'}{n'a^{2}}}\right)\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ dépendant seulement des excentricités, des inclinaisons, des longitudes des périhélies et des nœuds ; cette expression s’annulera donc pour

${\frac {n^{2}}{a^{3}}}={\frac {n'^{2}}{a'^{3}}},$

et par conséquent pour

${\frac {n}{a^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {n'}{a'^{\frac {3}{2}}}}=0.$
C.Q.F.D.

J’ai cru néanmoins devoir rattacher ce théorème à une théorie plus générale qui permettra peut-être de découvrir d’autres propositions analogues.

Principes de la méthode de M. Darboux.

93.Après cette digression, je reviens à mon sujet principal. Il convient d’abord de rappeler les résultats de M. Darboux, qui doivent nous servir de point de départ.

1^o Soit une série

$\varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},$

admettant pour rayon de convergence $r.$

On aura, quand $n$ croîtra indéfiniment

${\begin{array}{ll}\lim a_{n}\rho ^{n}=0&\;\mathrm {si} \;\rho <r,\\\lim a_{n}\rho ^{n}=\infty &\;\mathrm {si} \;\rho >r.\\\end{array}}$

2^o Imaginons maintenant que la fonction

$\varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},$

demeure finie sur la circonférence de rayon $r$ ainsi que ses $p$ premières dérivées ; le produit $n^{p+1}a_{n}r^{n}$ ne croîtra pas au delà de toute limite quand $n$ augmente.

3^o Si l’on a

$\varphi (x)=(1-\alpha x)^{k}={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},$

on aura approximativement

(1)

$a_{n}={\frac {n^{1-k}\alpha ^{n}}{\Gamma (-k)}}\,;$

je veux dire que le rapport des deux membres de l’égalité (1) tendra vers 1, quand $n$ croîtra indéfiniment.

4^o Supposons maintenant que la fonction $\varphi (x)$ ait sur la circonférence de rayon $r$ deux points singuliers $x=\alpha$ et $x=\beta \,;$ que dans le voisinage du point $x=\alpha$ nous ayons

$\varphi (x)=\mathrm {A} _{1}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{1}}+\mathrm {A} _{2}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{2}}+\ldots +\mathrm {A} _{h}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{h}}+\psi (x)$

et dans le voisinage du point $\beta$

$\varphi (x)=\mathrm {B} _{1}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{1}}+\mathrm {B} _{2}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{2}}+\ldots +\mathrm {B} _{k}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{k}}+\psi _{1}(x)$

$\psi (x)$ et $\psi _{1}(x)$ restant finis ainsi que leurs $p$ premières dérivées. Il viendra alors, pour $n=\infty ,$

$\lim n^{p+1}r^{n}\left[a_{n}-\sum \mathrm {A} _{i}{\frac {n^{1-\gamma _{i}}}{\alpha ^{\gamma _{i}}}}{\frac {1}{\Gamma (-\gamma _{i})}}-\sum \mathrm {B} _{i}{\frac {n^{1-\delta _{i}}}{\alpha ^{\delta _{i}}}}{\frac {1}{\Gamma (-\delta _{i})}}\right]=0,$

d’où l’on déduit la valeur approximative de $a_{n}.$

5^o Si l’on a

$\varphi (x)=\log(1-x),$

on aura

$a_{n}=-{\frac {1}{n}}\,;$

si

$\varphi (x)=\log(1-x)(1-x)^{k},$

nous aurons approximativement

$a_{n}={\frac {-n^{1-k}\log {n}}{\Gamma (-k)}}\cdot$

Cette dernière formule n’est applicable que si $k$ n’est pas entier positif ; dans ce cas, on aurait

$a_{n}={\frac {(-1)^{k+1}\,k!}{n(n-1)-(n-k)}}\cdot$

6^o Soit

$\varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}x^{-n}\,;$

une série contenant des puissances positives et négatives est convergente pourvu que

$|x|<\mathrm {R} \quad |x|>r$

Soient $\alpha$ et $\beta ,$ deux points singuliers de la fonction $\varphi (x)$ situés sur la circonférence $|x|=\mathrm {R} \,;$ soient $\gamma$ et $\delta$ deux points singuliers de $\varphi (x)$ sur la circonférence $|x|=r.$ Supposons que $\varphi (x)$ n’ait pas d’autre point singulier sur ces deux circonférences.

Soient

$\psi (x)={\textstyle \sum }b_{n}x^{n},\quad \psi _{1}(x)={\textstyle \sum }c_{n}x^{n}$

deux séries convergentes pour

$|x|<\mathrm {R} .$

Soient

${\begin{aligned}\psi _{2}(x)&={\textstyle \sum }b_{-n}x^{-n},&\psi _{3}(x)&={\textstyle \sum }c_{-n}x^{-n}\end{aligned}}$

deux séries convergentes pour

$|x|>{r}.$

Si les différences $\varphi -\psi ,$ $\varphi -\psi _{1},$ $\varphi -\psi _{2},$ $\varphi -\psi _{3}$ sont finies ainsi que leurs $p$ premières dérivées, la première dans le voisinage du point $x=\alpha ,$ la seconde dans le domaine du point $x=\beta ,$ la troisième dans celui du point $x=\gamma ,$ la quatrième quand $x$ est voisin de $\delta ,$ on aura

$\left.{\begin{aligned}\lim n^{p+1}\mathrm {R} ^{n}(a_{n}-b_{n}-c_{n})&=0\\\lim n^{p+1}{r}^{n}(a_{-n}-b_{-n}-c_{-n})&=0\\\end{aligned}}\right\}\;(\mathrm {pour} \;n=\infty ).$

Les valeurs approximatives des coefficients $a_{n}$ dépendent donc uniquement des singularités que présente la fonction $\varphi (x)$ sur les circonférences qui limitent la convergence.

Extension aux fonctions de plusieurs variables.

94.Appliquons ces principes au cas qui nous occupe.

Il s’agit de développer une certaine fonction $\mathrm {F} _{1}^{0}$ des deux anomalies moyennes $l$ et $l'$ sous la forme suivante

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}\,;$

On a donc

$4\pi ^{2}\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}^{0}e^{-{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}\,dl\,dl'.$

Il s’agit de trouver une valeur approchée du coefficient $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ quand, le rapport ${\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}$ étant donné et fini, les deux nombres $m_{1}$ et $m_{2}$ sont très grands ou plus généralement quand on a

$m_{1}=an+b,\quad m_{2}=cn+d,$

$a,\,b,\,c,\,d$ étant des entiers finis et $n$ un entier très grand ; $a$ et $c$ sont premiers entre eux.

Si je dis alors qu’on a approximativement

$\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}=\varphi (n),\quad (m_{1}=an+b,\;m_{2}=cn+d),$

cette égalité signifiera que le rapport

${\frac {\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}}{\varphi (n)}}$

tend vers l’unité quand $n$ croît indéfiniment et que $a,$ $b,$ $c,$ $d$ restent finis.

Le problème à résoudre étant ainsi défini, j’emploierai les notations suivantes.

Posons

${\begin{aligned}e^{{\sqrt {-1}}l}&=t^{c},&e^{{\sqrt {-1}}l'}&=t^{-a}z^{\frac {1}{c}},\end{aligned}}$

il viendra

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}t^{m_{1}c-m_{2}a}z^{\frac {m_{2}}{c}}.$

Si nous posons alors, pour abréger,

$\mathrm {F} (z,\,t)=\mathrm {F} _{1}^{0}t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}},$

il viendra

$\mathrm {F} (z,\,t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}t^{\alpha }z^{\frac {m_{2}-d}{c}},$

en faisant, pour abréger,

$\alpha =m_{1}c-m_{2}a+ad-bc-1.$

Soit maintenant

$\Phi (z)={\frac {1}{2i\pi }}\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt,$

l’intégrale étant prise par rapport à $t$ le long de la circonférence $|t|=1$ Nous aurons

$\Phi (z)=\sum {\frac {\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}}{2i\pi }}z^{\frac {m_{2}-d}{c}}\int t^{\alpha }\,dt.$

Toutes les intégrales sont nulles, sauf celles pour lesquelles $\alpha =-1$ et qui sont égales à $2i\pi .$

Si $\alpha =-1,$ on aura

${\begin{aligned}m_{1}&=an+b,&m_{2}&=cn+d,&{\frac {m_{2}-d}{c}}&=n.\end{aligned}}$

Il vient alors

$\Phi (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}z^{n}.$

Si donc on développe $\Phi (z)$ sous la forme

$\Phi (z)={\textstyle \sum }\,a_{n}z^{n}+{\textstyle \sum }\,a_{-n}z^{-n},$

le coefficient $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ ne sera autre chose que $a_{n}$ si $m_{1}=an+b,$ $m_{2}=cn+d.$

Nous sommes donc conduit à chercher l’expression approchée de $a_{n}$ pour $n$ très grand et par conséquent à étudier les singularités de la fonction $\Phi (z).$

95.La fonction $\Phi (z)$ est définie comme une intégrale prise par rapport à $t$ le long de la circonférence $|t|=1.$ On peut remplacer cette circonférence par un contour $\mathrm {C}$ quelconque, à une condition toutefois.

Regardons un instant $z$ comme une constante et $\mathrm {F} (z,t)$ comme une fonction de $t.$ Cette fonction admettra un certain nombre de points singuliers.

Il faut qu’entre la circonférence $|t|=1$ et le contour $\mathrm {C}$ il n’y ait aucun de ces points singuliers.

Faisons maintenant varier $z$ d’une manière continue ; ces points singuliers se déplaceront d’une manière continue. Si, en même temps, on déforme le contour $\mathrm {C}$ d’une façon continue, et de telle sorte qu’il ne passe jamais par aucun point singulier, la fonction $\Phi (z)$ restera holomorphe.

La fonction $\Phi (z)$ ne peut donc cesser d’être continue que s’il devient impossible de déformer le contour $\mathrm {C}$ de façon qu’il ne passe pas par un point singulier. Voici comment cela peut arriver ; imaginons que, pour une certaine valeur de $z,$ nous ayons deux points singuliers $\alpha$ et $\beta ,$ l’un extérieur, l’autre intérieur au contour $\mathrm {C.}$ Si, en faisant varier $z$ d’une manière continue, l’un d’eux, $\alpha$ par exemple, vient sur le contour $\mathrm {C} ,$ nous pourrons déformer $\mathrm {C} ,$ en le faisant fuir pour ainsi dire devant ce point singulier mobile, de façon que ce point $\alpha$ ne puisse jamais atteindre ce contour. Ainsi $\alpha$ restera toujours extérieur à $\mathrm {C}$ et $\beta$ intérieur à $\mathrm {C} .$ Mais supposons maintenant que $\alpha$ et $\beta$ se rapprochent indéfiniment l’un de l’autre ; le contour $\mathrm {C} ,$ pris pour ainsi dire entre deux feux, ne pourra plus fuir devant ces deux points mobiles et la fonction $\Phi (z)$ ne sera plus holomorphe.

Par conséquent, pour obtenir tous les points singuliers de $\Phi (z),$ il suffit d’exprimer que deux des points singuliers de $\mathrm {F} (z,t)$ considérés comme fonction de $t$ se confondent en un seul.

La série

$\Phi (z)={\textstyle \sum }a_{n}z^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}z^{-n}$

sera convergente dans une région limitée par deux circonférences

$|z|=\mathrm {R} ,\qquad |z|=r,$

ces deux circonférences iront passer par un ou plusieurs des points singuliers que je viens de définir.

Mais, si l’on veut savoir quels sont ceux de ces points singuliers qui sont sur ces circonférences et qui définissent par conséquent les limites de convergence de notre série, une discussion plus approfondie est nécessaire.

Tous les points singuliers ne conviennent pas, en effet, à la question, et cela pour plusieurs raisons.

En premier lieu, la fonction $\mathrm {F} (z,t)$ n’est pas uniforme ; si deux points singuliers $\alpha$ et $\beta$ de cette fonction $\mathrm {F}$ considérée comme fonction de $t$ viennent à se confondre pour une certaine valeur de $z,$ il faut, pour que cette valeur soit un véritable point singulier de $\Phi (z)$ que $\alpha$ et $\beta$ appartiennent à une même détermination de $\mathrm {F}$ et de plus que cette détermination soit encore la même que celle qui figure dans l’intégrale

${\frac {1}{2i\pi }}\int \mathrm {F} \,dt,$

laquelle prise le long de $\mathrm {C}$ définit la fonction $\Phi .$

Il faut, en outre, qu’avant de se confondre en un seul, ces deux points $\alpha$ et $\beta$ ne soient pas d’un même côté du contour $\mathrm {C} .$

Soit $\mathrm {H}$ un chemin tracé dans le plan des $z$ et allant d’un point $z_{0}$ de module 1 à des points singuliers $z_{1}$ définis plus haut. Supposons qu’on suive ce chemin de $z_{0}$ en $z_{1}$ et qu’on étudie les variations de $\Phi (z)$ en prenant pour valeur initiale

$\Phi (z_{0})={\textstyle \sum }a_{n}z_{0}^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}z_{0}^{-n}$

Bien que la fonction $\Phi (z)$ puisse ne pas être et ne soit pas en général uniforme, la détermination particulière de $\Phi (z)$ que nous avons en vue est ainsi entièrement définie, puisque nous nous donnons la valeur initiale et le chemin parcouru.

Il s’agit alors de savoir si le point $z_{1}$ est bien un point singulier pour cette détermination particulière de $\Phi (z).$

La fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ n’étant pas uniforme, il faut faire varier $t$ non pas sur un plan, mais sur une surface de Riemann $\mathrm {S}$ possédant autant de feuillets que la fonction $\mathrm {F}$ possède de déterminations (ce nombre peut être infini).

Quand $z$ variera en suivant le chemin $\mathrm {H} ,$ les points singuliers se déplaceront et la surface de Riemann $\mathrm {S}$ se déformera.

C’est sur cette surface de Riemann qu’il faut supposer le contour $\mathrm {C}$ tracé.

Ce contour se réduira pour $z=z_{0}$ au cercle $|t|=1$ tracé sur un des feuillets de $\mathrm {S} \,;$ quand la surface $\mathrm {S}$ se déformera, on devra déformer également le contour $\mathrm {C} ,$ de telle sorte qu’il ne s’y trouve jamais de point singulier. Une discussion spéciale, souvent délicate, fera voir alors si, pour une valeur de $z$ très voisine de $z_{1},$ les deux points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ qui se confondent pour $z=z_{1}$ sont de part et d’autre du contour $\mathrm {C} ,$ ce qui est la condition nécessaire et suffisante pour que le point $z=z_{1}$ soit un point singulier pour la détermination particulière de $\Phi (z)$ que nous envisageons.

Comment reconnaître maintenant si le point $z_{1}$ se trouve sur une des circonférences

$|z|=\mathrm {R} ,\qquad |z|=r$

qui limitent la convergence de la série,

${\textstyle \sum }a_{n}z_{0}^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}z^{-n},$

et si, par conséquent, il est un de ceux dont dépend la valeur approchée que nous cherchons ?

Traçons le chemin $\mathrm {H}$ allant du point $z_{0}$ de module 1 au point $z_{1}$ de façon que le module de $z$ varie constamment dans le même sens. Si le point $z_{1}$ appartient à l’une de nos deux circonférences, il devra être un point singulier pour la détermination de $\Phi (z)$ définie par le chemin $\mathrm {H}$ et on le reconnaîtra par le moyen que je viens d’expliquer.

Si un point $z_{1}$ satisfait à cette condition, je dirai que ce point singulier est admissible.

Cela posé, parmi tous les points singuliers admissibles de module plus grand que 1, ceux-là seront sur la circonférence $|z|=\mathrm {R}$ dont le module sera le plus petit.

De même, parmi tous les points singuliers admissibles de module plus petit que 1, ceux-là seront sur la circonférence $|z|=r$ dont le module sera le plus grand.

J’ajouterai, en terminant, que la fonction $\Phi (z)$ possède plusieurs déterminations qui s’échangent entre elles, soit quand deux des déterminations de $\mathrm {F} (z,\,t)$ s’échangent entre elles, soit quand deux des points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ tournent autour l’un de l’autre.

Je vais d’abord chercher à déterminer les points singuliers de $\Phi (z)\,;$ je déterminerai ensuite par une discussion spéciale quels sont ceux qui conviennent à la question.

Recherche des points singuliers.

96.Bornons-nous au cas où le mouvement se passe dans un plan.

Soient $u$ et $u'$ les anomalies excentriques, $\sin \varphi$ et $\sin \varphi '$ les excentricités, $\mathrm {L} ^{2}$ et $\mathrm {L'} ^{2}$ les grands axes, $\varpi$ et $\varpi '$ les longitudes des périhélies.

On aura

${\begin{aligned}l&=u-\sin \varphi \sin u,&l'&=u'-\sin \varphi '\sin u'.\end{aligned}}$

Les coordonnées de la première planète, par rapport au grand axe de son ellipse et à une perpendiculaire menée par le foyer, seront

$\mathrm {L} ^{2}(\cos u-\sin \varphi )\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {L} ^{2}\cos \varphi \sin u\,;$

ce seront donc les parties réelle et imaginaire de $\xi \mathrm {L} ^{2}.$ Si l’on pose

$\xi =\cos u-\sin \varphi +{\sqrt {-1}}\cos \varphi \sin u.$

Si l’on pose de même

$\eta =\cos u'-\sin \varphi '+{\sqrt {-1}}\cos \varphi '\sin u',$

les coordonnées de la deuxième planète, rapportée aux mêmes axes que la première, seront les parties réelle et imaginaire de

$\eta \mathrm {L'} ^{2}e^{{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )}.$

Soit

$\beta =\mathrm {L'} ^{2}\mathrm {L} ^{-2}e^{{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )},$

soit

${\begin{aligned}\xi _{0}&=\cos u\,-\,\sin \varphi \,-\,{\sqrt {-1}}\cos \varphi \,\sin u,\\\eta _{0}&=\cos u'-\sin \varphi '-{\sqrt {-1}}\cos \varphi '\sin u',\\\beta _{0}&=\mathrm {L'} ^{2}\mathrm {L} ^{-2}e^{-{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )},\end{aligned}}$

il viendra

$\mathrm {L} ^{2}\mathrm {F} _{1}^{0}={\frac {1}{\sqrt {(\xi -\beta \eta )(\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0})}}}\cdot$

Les points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ sont les mêmes que ceux de $\mathrm {F} _{1}^{0}\,;$ car $\mathrm {F} (z,\,t)$ ne diffère de $\mathrm {F} _{1}^{0}$ que par une puissance de $t$ et le point $l=0,$ qui, d’ailleurs, n’interviendra pas dans la discussion, est déjà un point singulier de $\mathrm {F} _{1}^{0}.$

Les points singuliers de $\mathrm {F} _{1}^{0}$ seront ceux pour lesquels $u$ et $u',$ et par conséquent $\xi ,$ $\eta ,$ $\xi _{0},$ $\eta _{0},$ cesseront d’être fonctions uniformes de $l$ et de $l'$ et, par conséquent, de $z$ et de $t\,;$ et, en outre, ceux pour lesquels

$\xi =\beta \eta \quad \mathrm {ou} \quad \xi _{0}=\beta _{0}\eta _{0}.$

Je vais poser

${\begin{aligned}x&=e^{iu},&y&=e^{iu'}\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\cos u&={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right),&\cos u'&={\frac {1}{2}}\left(y+{\frac {1}{y}}\right),\\i\sin u&={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),&i\sin u'&={\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\cdot \end{aligned}}$

Nous en déduirons

${\begin{aligned}l&=u-{\frac {\sin \varphi }{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),&l'&=u'-{\frac {\sin \varphi '}{2i}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}e^{il}&=x\,e^{{\frac {\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)},&e^{il'}&=y\,e^{{\frac {\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}.\end{aligned}}$

Nous aurons ensuite

${\begin{aligned}t&=e^{\frac {il}{c}}=x^{\frac {1}{c}}e^{{\frac {\sin \varphi }{2c}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)},&z&=e^{icl'}t^{ca}=y^{c}x^{a}e^{\omega },\end{aligned}}$

en posant, pour abréger,

$\omega ={\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)+{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)\cdot$

Nous aurons, d’autre part,

${\begin{aligned}\xi &={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\sin \varphi +{\frac {\cos \varphi }{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),\\\eta &={\frac {1}{2}}\left(y+{\frac {1}{y}}\right)-\sin \varphi '+{\frac {\cos \varphi '}{2}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\cdot \end{aligned}}$

Les points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ nous sont donnés par

${\begin{aligned}{\frac {dl}{du}}&=1-\sin \varphi \,\cos u\,\,=0,\\{\frac {dl'}{du'}}&=1-\sin \varphi '\cos u'=0\,;\\\mathrm {H} \;\,&=\xi \;\,-\beta \;\,\eta \;\,=0,\\\mathrm {H} _{0}&=\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0}=0.\end{aligned}}$

Nous pouvons transcrire ces équations en nous servant des variables $x$ et $y\,;$ elles deviennent alors algébriques ; les deux premières s’écrivent, en effet,

(1)

$2x-\sin \varphi (x^{2}+1)=0,$

(2)

$2y-\sin \varphi '(y^{2}+1)=0,$

et les deux dernières, en chassant les dénominateurs,

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}y[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi -\cos \varphi (x^{2}-1)]\\\quad =\beta \;x[(y^{2}+1)-2y\sin \varphi '+\cos \varphi '(y^{2}-1)],\\\end{array}}\right.$

(4)

$\left\{{\begin{array}{l}y[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)]\\\quad =\beta _{0}x[(y^{2}+1)-2y\sin \varphi '-\cos \varphi '(y^{2}-1)].\\\end{array}}\right.$

Pour trouver les points singuliers de $\Phi (z),$ il suffit d’exprimer que deux des points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ se confondent. Mais cela peut arriver de deux manières :

Ou bien un point singulier défini par l’une des quatre équations ${\frac {dl}{du}}=0,$ ${\frac {dl'}{du'}}=0,$ $\mathrm {H} =0,$ $\mathrm {H} _{0}=0$ va se confondre avec un point singulier défini par une autre de ces quatre équations : nous obtiendrons ainsi les points singuliers de première espèce de $\Phi (z)\,;$

Ou bien deux des points singuliers définis par une de ces quatre équations se confondront en un seul : nous obtiendrons ainsi les points singuliers de deuxième espèce de $\Phi (z).$

Pour avoir les points de première espèce, il suffit de combiner deux à deux les quatre équations (1), (2), (3), (4). On voit que ces points ne dépendent en aucune façon des entiers $a$ et $c.$

Pour avoir les points de deuxième espèce, voici comment il faut faite :

Soit $f(z,\,t)=0$ une des quatre équations (1), (2), (3), (4) ; pour exprimer que deux des points singuliers définis par cette équation se confondent, il me suffit d’écrire

${\begin{aligned}f&=0,&{\frac {df}{dt}}&=0\end{aligned}}$

Si nous changeons de variables en exprimant $z$ et $t$ et, par conséquent, $f$ en fonctions de $l$ et de $l',$ il vient

${\frac {df}{dt}}={\frac {-i}{t}}\left(c\,{\frac {df}{dl}}-a\,{\frac {df}{dl'}}\right),$

de sorte que l’équation ${\frac {df}{dt}}=0$ peut être remplacée par

$c\,{\frac {df}{dl}}-a\,{\frac {df}{dl'}}=0$

ou bien encore

${\frac {c}{1-\sin \varphi \cos u}}\,{\frac {df}{du}}-{\frac {q}{1-\sin \varphi '\cos u'}}\,{\frac {df}{du'}}=0.$

Les premiers membres des équations (1) et (2) ne dépendent que de $u$ ou bien que de $u'\,:$ nous pouvons les laisser de côté ; mais nous avons des points singuliers qui nous seront donnés par les deux équations

$\mathrm {H} =0,\qquad {\frac {d\mathrm {H} }{dt}}=0$

ou encore par les deux équations

$\mathrm {H} _{0}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {H} _{0}}{dt}}=0.$

Nous avons

$\mathrm {H} =\cos u-\sin \varphi +i\cos \varphi \sin u-\beta (\cos u'-\sin \varphi '+i\cos \varphi '\sin u').$

L’équation ${\frac {d\mathrm {H} }{dt}}=0$ peut donc être remplacée par la suivante :

${\frac {c(-\sin u+i\cos \varphi \sin u)}{1-\sin \varphi \cos u}}+{\frac {a\beta (-\sin u'+i\cos \varphi '\sin u')}{1-\sin \varphi '\cos u'}}=0$

ou

(5)

$\quad {\frac {c[\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}+{\frac {a\beta [\cos \varphi '(y^{2}+1)+(y^{2}-1)]}{2y-\sin \varphi '(y^{2}+1)}}=0.$

De même l’équation ${\frac {d\mathrm {H} _{0}}{dt}}=0$ peut être remplacée par la suivante

(6)

$\;{\frac {c[-\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}+{\frac {a\beta _{0}[-\cos \varphi '(y^{2}+1)+(y^{2}-1)]}{2y-\sin \varphi '(y^{2}+1)}}=0.$

Les points singuliers de deuxième espèce sont donc donnés par les équations (3) et (5) ou bien par les équations (4) et (6) ; à l’inverse de ceux de première espèce, ils dépendent donc du rapport des entiers $a$ et $c.$

Tous les points singuliers de $\Phi (z)$ sont donc donnés par des équations algébriques.

Ces équations algébriques se simplifient quand on suppose $\varphi '=0.$ Il est permis alors de supposer $\varpi '=\varpi$ et par conséquent $\beta _{0}=\beta .$

L’équation (1) ne change pas, l’équation (2) se réduit à $y=0$ et il n’y a plus à en tenir compte, les équations (3) et (4) deviennent

(3)

$\;(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)\;=2\beta xy,$

(4)

$y[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)]=2\beta x.\;\;\;$

Les équations (5) et (6) deviennent

(5)

${\frac {c[\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}+{a\beta }y=0,$

(6)

${\frac {c[-\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}-{\frac {a\beta }{y}}=0.$

La combinaison des équations (3) et (5) donne

(7)

$\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {2c[\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}\\\quad +{\dfrac {a[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi +\cos \varphi (x^{2}-1)]}{x}}=0,\end{array}}\right.$

et celle des équations (4) et (6) donne

(8)

$\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {2c[-\cos \varphi (x^{2}+1)+(x^{2}-1)]}{2x-\sin \varphi (x^{2}+1)}}\\\quad -{\dfrac {a[(x^{2}+1)-2x\sin \varphi -\cos \varphi (x^{2}-1)]}{x}}=0.\end{array}}\right.$

Les équations (7) et (8) nous donnent les valeurs de $x$ correspondant aux points de la deuxième espèce ; l’équation (1) nous donne les valeurs de $x$ correspondant à certains points de première espèce. Il nous reste à parler des points de première espèce définis par les équations (3) et (4), puisque l’équation (2) devient illusoire.

Les équations (3) et (4) s’écrivent

$\xi -\beta \eta =\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0}=0.$

Si elles sont satisfaites à la fois, on aura

$\xi \xi _{0}=\beta \beta _{0}\eta \eta _{0}=\beta ^{2}.$

Or

$\xi \xi _{0}=(1-\sin \varphi \cos u)^{2}.$

Il reste donc

$1-\sin \varphi \cos u=\pm \beta ,$

de sorte que les valeurs de $x$ correspondant à cette sorte de points singuliers seront données par les deux équations

(9)

$2x-\sin \varphi (x^{2}+1)=\;\;\;2\beta x,$

(10)

$2x-\sin \varphi (x^{2}-1)=-2\beta x.$

Les valeurs de $x$ qui correspondent aux points singuliers nous seront données par les cinq équations (1), (7), (8), (9) et (10). Observons que les équations (1), (9) et (10) sont réciproques et que les équations (7) et (8) se changent l’une dans l’autre quand on change $x$ en ${\frac {1}{x}}\cdot$ Si $x$ est un point singulier, il en sera donc de même de ${\frac {1}{x}}\cdot$ C’est ce qu’il était aisé de prévoir.

Si l’on fait $\varphi =0,$ nos équations se réduisent à $x=0\,;$ donc, quand $\varphi$ tend vers 0, les racines des équations (1), (7) et (8) tendent vers 0 ou vers l’infini.

Si l’on pose

$\mathrm {tang} {\frac {\varphi }{2}}=\tau ,$

les équations (3), (4), (5), (6), (7) et (8) deviennent

(3)

$y={\frac {(x-\tau )^{2}}{\beta (1+\tau ^{2})x}},$

(4)

$y={\frac {\beta (1+\tau ^{2})x}{(1-x\tau )^{2}}},$

(5)

${\frac {c(x+\tau )}{1-\tau x}}+a\beta y=0,$

(6)

${\frac {c(1+x\tau )}{x-\tau }}+{\frac {a\beta }{y}}=0,$

(7)

${\frac {c(x+\tau )}{1-\tau x}}+{\frac {a(x-\tau )^{2}}{(1+\tau ^{2})x}}=0,$

(8)

${\frac {c(1+\tau x)}{x-\tau }}+{\frac {a(1-\tau x)^{2}}{(1+\tau ^{2})x}}=0.$

L’équation (1) nous donne d’autre part comme solution

$x=\tau ,\quad x={\frac {1}{\tau }}\cdot$

Lorsque $\varphi$ et $\tau$ sont très petits, nous avons vu que les valeurs de $x$ sont très petites, ou très grandes, et, comme les équations ne changent pas quand on change $x$ en ${\frac {1}{x}},$ nous devons conclure qu’il y en a précisément autant de très petites que de très grandes.

Nos équations et les valeurs correspondantes de $x$ se simplifient un peu quand, supposant $\varphi$ très petit, on néglige le carré de cette quantité.

Les équations (1), (9) et (10) nous donnent alors respectivement pour $x$ trois valeurs très petites, qui sont approximativement

(11)

${\begin{aligned}x&={\frac {\varphi }{2}},&x&={\frac {\varphi }{2}}\,{\frac {1}{1-\beta }},&x&={\frac {\varphi }{2}}\,{\frac {1}{1+\beta }},\end{aligned}}$

et trois valeurs très grandes, qui sont approximativement

(11 bis)

${\begin{aligned}x&={\frac {2}{\varphi }},&x&={\frac {2(1-\beta )}{\varphi }},&x&={\frac {2(1+\beta )}{\varphi }}\cdot \end{aligned}}$

L’équation (7) nous donne deux valeurs très petites, définies approximativement par l’équation

(12)

$4x^{2}(a+c)+2x\varphi (c-2a)+a\varphi ^{2}=0,$

et une valeur très grande ; qui est approximativement

(13 bis)

$x={\frac {2}{\varphi }}\,{\frac {a+c}{a}}\cdot$

L’équation (8) nous donne deux valeurs très grandes, définies par

(12 bis)

$4(a+c)+2x\varphi (c-2a)+ax^{2}\varphi ^{2}=0,$

et une très petite, qui s’écrit

(13)

$x={\frac {\varphi }{2}}\,{\frac {a}{a+c}}\cdot$

Il est aisé de vérifier que les équations (12) et (12 bis) ont leurs racines réelles quand ${\frac {c}{a}}<0.$ Si donc $c$ et $a$ sont de signe contraire et que $\varphi$ soit assez petit, les équations (7) et (8) auront leurs racines réelles.

Les valeurs de $x$ correspondant aux divers points singuliers étant ainsi définies, il reste à déterminer les valeurs de $y$ et de $z.$

J’observe d’abord que, si l’on a un point singulier correspondant à certaines valeurs de $x,$ de $y$ et de $z,$ les valeurs inverses ${\frac {1}{x}},$ ${\frac {1}{y}},$ ${\frac {1}{z}}$ correspondront à un autre point singulier, que j’appellerai le réciproque du premier. On constate, en effet, que notre système d’équations ne change pas quand on change $x,$ $y,$ $z$ en ${\frac {1}{x}},$ ${\frac {1}{y}}$ et ${\frac {1}{z}},$ et cela était d’ailleurs aisé à prévoir.

Les valeurs de $x$ et de $y$ seront définies par les couples d’équations suivants :

(1),(3); (1),(4); (7),(3); (8),(4); (9),(3) ou (4); (10), (3) ou (4).

Ces équations nous montrent que, si $\varphi$ est très petit et peut être regardé comme un infiniment petit du premier ordre, $y$ est très petit si $x$ est très petit et très grand si $x$ est très grand.

Nous avons, d’autre part,

$z=y^{c}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}.$

Si $\varphi$ est infiniment petit du premier ordre, $x$ est infiniment petit (ou infiniment grand) du même ordre ; il en est de même de $y\,;$ l’exposant ${\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)$ est alors fini ; par conséquent $z$ est un infiniment petit (ou infiniment grand) d’ordre $a+c.$

Je distinguerai parmi les points singuliers celui qui est défini par $x=\tau$ [solution de l’équation (1)] et par l’équation (3).

Pour ce point, en effet, $y$ et $z$ sont nuls.

De même, pour le point défini par $x={\frac {1}{\tau }}$ [autre solution de (1)] et par l’équation (4), et qui est le réciproque du premier, les valeurs de $y$ et de $z$ sont infinies.

Nous n’aurons donc pas à nous occuper de ces deux points singuliers dans la discussion qui va suivre.

Discussion.

97.Voici la question qu’il me reste à résoudre.

J’ai en tout 14 points singuliers, 7 qui correspondent à des valeurs très petites de $x$ et de $y,$ 7 qui correspondent à des valeurs très grandes de $x$ et de $y.$

À un autre point de vue, 7 de ces points correspondent à des valeurs très petites de $z,$ et 7 à des valeurs très grandes de $z.$ Il s’agit de savoir quel est, parmi les 7 premiers, celui pour lequel le module de $z$ est le plus grand (cela nous apprendra en même temps, puisque les valeurs de $z$ sont réciproques deux à deux comme le sont celles de $x$ et de $y,$ quel est, parmi les 7 derniers, celui pour lequel le module de $z$ est le plus petit).

Si les points singuliers correspondants sont admissibles, ce seront eux qui définiront les circonférences

$|z|=\mathrm {R} ,\quad |z|=r\qquad \left(\mathrm {nous\;avons\;ici\,} \;\mathrm {R} ={\frac {1}{r}}\right)\cdot$

Pour ne pas prolonger la discussion par l’examen d’un trop grand nombre de cas différents, je vais faire quelques hypothèses particulières. Je supposerai

$\beta >1.$

Je supposerai également que le rapport ${\frac {c}{a}}$ est voisin du rapport des moyens mouvements changé de signe, c’est-à-dire que l’on a à peu près (en désignant par $n$ et $n'$ ces moyens mouvements)

$an+cn'=0.$

Les termes les plus intéressants sont, en effet, ceux qui correspondent à de petits diviseurs.

On a alors à peu près

${\frac {c}{a}}=-(\beta )^{\frac {3}{2}},$

ce qui montre que $c$ et $a$ sont de signe contraire ; je supposerai par exemple $c$ positif et $a$ négatif ; comme $\beta$ est plus grand que 1, $c+a$ sera positif.

Grâce à ces hypothèses, toutes les valeurs de $x$ sont réelles. Cela rend possible une représentation géométrique simple qui permettra de suivre plus facilement la discussion.

Dans la figure ci-contre, nous représentons chaque point singulier par un point du plan dont les coordonnées rectangulaires sont $x$ et $y.$

J’ai fait deux figures (fig. 1 et fig. 2), la première représentant le quadrant du plan compris entre l’axe des $x$ positifs et celui des $y$ positifs ; et la seconde représentant le quadrant compris entre l’axe des $x$ négatifs et l’axe des $y$ négatifs.

Fig. 1.

Fig. 2.

Les droites AS et A′S′ ont respectivement pour équation

$x=\tau ,\quad x={\frac {1}{\tau }}\cdot$

Les deux branches de courbe C′B′DBP et QFAE′R′ ont pour équation

$y={\frac {(x-\tau )^{2}}{\beta (1+\tau ^{2})x}},$

c’est-à-dire l’équation (3) ; les deux branches de courbe

B′D′BCOREL  et  R′F′Q′

ont pour équation

(4)

$y={\frac {\beta (1+\tau ^{2})x}{(1-\tau x)^{2}}}\cdot$

Les divers points singuliers sont représentés sur la figure par les points suivants

A....................	Équations (1) et (3) $(x=\tau ),$
B....................	(9), (3) et (4) [2e éq. (11)],
C....................	(8) et (4) [(13)],
D....................	(7) et (3) [(12) racine négative],
E....................	(1) et (4) $(x=\tau ),$
F....................	(7) et (3) [(12) racine positive],
R....................	(10), (3) et (4) [3e éq. (11)] ;

et par les points A′, B′, C′, D′, E′, F′ et R′, respectivement réciproques des premiers.

Il est aisé de vérifier que, si $\varphi$ est assez petit, ces points sont bien disposés dans l’ordre de la figure, c’est-à-dire que les abscisses des points

C′B′D′DBCFREE′R′F′

vont en croissant.

Comparons les valeurs de $z$ correspondant à ces divers points. On voit d’abord que, pour les points de la fig. (1) (où $x>0,$ $y>0),$ $z$ est réel positif et que, pour les points de fig. (2) (où $x<0,$ $y<0$), l’argument de $z$ est égal à $(c+a)\pi ,$ celui de $z^{\frac {1}{c}}$ égal à $\left(1+{\frac {a}{c}}\right)\pi .$ Reste à voir comment varie le module de $z.$ Si l’on suit l’une des courbes (3) ou (4), les maxima et minima de $|z|$ correspondent aux points de contact de ces courbes (3) et (4) avec les courbes

$z=y^{c}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}=\mathrm {const.} ,$

c’est-à-dire aux points C′, D, F, A pour la courbe (3), et aux points D′, C, F′ pour la courbe (4).

Voici comment varie $|z|$ :

1^o Quand on suit la courbe (3)

En O′................	$|z|=0$		En Q ................	$|z|=0$
De O′ en C′ ..........	croît		De Q en F ............	croît
En C′................	max.		En F ................	max.
De C′ en D ...........	décroît		De F en A ............	décroît
En D ................	min.		En A ................	$|z|=0$
De D en P ...........	croît		De A en O′...........	croît
En P ................	$|z|=\infty$		En O′................	$|z|=\infty$

2^o Quand on suit la courbe (4)

En P′................	$|z|=0$		En O ................	$|z|=0$
De P′ en D′ ..........	croît		De O en L ou en A′ ....	croît
En D′................	max.		En A′................	$|z|=\infty$
De D′ en C ..........	décroît		De A′ en F′ ..........	décroît
En C ................	min.		En F′ ................	$|z|=0$
De C en O′ ..........	croît		De F′ en Q′ ..........	croît
En O ................	$|z|=\infty$		En Q′ ................	$|z|=\infty$

On en conclut que le $z$ du point B est plus grand que celui du point C, et celui du point E que celui du point R.

De même, le $z$ du point D est plus petit que celui du point B, et le $z$ de R est plus petit que celui de F.

Nous avons vu que, la fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ n’étant pas uniforme, il fallait tracer les contours d’intégration sur la surface de Riemann correspondante dont le nombre des feuillets est infini. Pour éviter la considération de cette surface de Riemann, on peut changer de variables. Observons, en effet, que le carré de $\mathrm {F} _{1}^{0}$ est fonction uniforme de $x$ et de $y$ et, par conséquent, que le carré de $\mathrm {F} (z,\,t)$ est fonction uniforme de $x^{\frac {1}{c}}$ et de $z^{\frac {1}{c}}.$

Si donc nous convenons de donner à $z^{\frac {1}{c}}$ une valeur déterminée et que nous considérions momentanément comme constante, à un point du plan des $x^{\frac {1}{c}}$ correspondront seulement deux valeurs de $\mathrm {F} (z,\,t)$ égales et de signe contraire. Nous pourrons alors avec avantage tracer nos contours d’intégration sur le plan des $x^{\frac {1}{c}}.$

Donnons d’abord à $z^{\frac {1}{c}}$ une valeur initiale $\zeta _{0}$ dont le module soit égal à 1. Nous sommes convenus, en définissant $\Phi (z),$ que le contour d’intégration le long duquel doit être prise l’intégrale

$\Phi (z)=\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt$

doit se réduire au cercle $|t|=1$ pour les valeurs de $z$ de module 1.

Pour $z^{\frac {1}{c}}=\zeta _{0},$ nous devrons donc prendre pour contour dans le plan des $t$ le cercle $|t|=1$ et dans le plan des $x^{\frac {1}{c}}$ le cercle $\left|x^{\frac {1}{c}}\right|=1.$

Voici donc la règle pour reconnaître si un point singulier de $\Phi (z)$ est admissible. Soit $\alpha _{i}$ la valeur de $x^{\frac {1}{c}}$ et $\zeta _{i}$ la valeur de $z^{\frac {1}{c}}$ qui correspondent à ce point singulier. Nous supposerons, par exemple, que le module de $\zeta _{i}$ est plus petit que 1 ; aussi bien savons-nous que, parmi les points singuliers de $\Phi (z),$ la moitié ont leur module plus petit que 1. Nous allons faire varier $z^{\frac {1}{c}}$ de la manière suivante : son argument devra rester constant et constamment égal à celui de $\zeta _{i}$ et son module ira en croissant de $|\zeta _{i}|$ à 1. En d’autres termes, le point $z^{\frac {1}{c}}=\zeta _{i}$ décrira un segment de droite $\Delta$ limité aux points $\zeta _{i}$ et ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}}\cdot$

Pour chacune des valeurs de $z^{\frac {1}{c}},$ $\mathrm {F} (z,\,t),$ considérée comme fonction de $x^{\frac {1}{c}},$ présente un certain nombre de points singuliers ; pour $z^{\frac {1}{c}}=\zeta _{i},$ deux de ces points singuliers se confondent en un seul et avec $\alpha _{i}.$ Quand $z^{\frac {1}{c}}$ décrit la droite $\Delta ,$ ces deux points singuliers varient d’une manière continue et parfaitement définie. Quand $z^{\frac {1}{c}}$ atteint la valeur finale ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}},$ il peut arriver ou bien que les positions finales de ces deux points singuliers sont toutes deux intérieures, ou toutes deux extérieures au cercle $\left|x^{\frac {1}{c}}\right|=1,$ et alors le point considéré est inadmissible, ou bien que ces positions finales sont l’une extérieure et l’autre intérieure à ce cercle et alors le point considéré est admissible.

La fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ est multipliée par une racine $c$^ième de l’unité quand $x^{\frac {1}{c}}$ est multiplié par une racine $c$^ième de l’unité. Supposons donc que, pour une valeur donnée de $z^{\frac {1}{c}},$ le point le point

$x^{\frac {1}{c}}=\gamma$

soit un point singulier de $\mathrm {F} (z,\,t)$ considérée comme fonction de $x^{\frac {1}{c}}.$ Il en sera de même des points

$x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {2i\pi }{c}},\quad x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {4i\pi }{c}},\quad \ldots ,\quad x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {2(c-1)i\pi }{c}}.$

Nous avons vu que les valeurs de $x$ qui correspondent aux points singuliers de $\Phi (z)$ sont toutes réelles, et ont par conséquent pour argument 0 ou $\pi .$ Les valeurs correspondantes de $x^{\frac {1}{c}}$ auront donc pour argument ${\frac {k\pi }{c}},$ $k$ étant entier. Soit donc $\alpha _{i}$ une de ces valeurs, je pourrai écrire

$\alpha _{i}=\alpha '_{i}e^{\frac {2ki\pi }{c}},$

$\alpha '_{i}$ ayant pour argument 0 ou ${\frac {\pi }{c}}$ et $k$ étant entier.

Si $\alpha _{i}$ correspond à un point singulier de $\Phi (z)$ [c’est-à-dire à deux points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ confondus], il en sera de même de $\alpha '_{i}.$

Je dis que la condition nécessaire et suffisante pour que le point $\alpha _{i}$ soit admissible, c’est que le point $\alpha '_{i}.$ le soit.

En effet, appliquons la règle : quand le point $z^{\frac {1}{c}}$ décrira la droite $\Delta ,$ les deux points singuliers, primitivement confondus en $\alpha _{i},$ auront pour positions finales $\gamma$ et $\gamma '\,;$ de même les deux points singuliers primitivement confondus en $\alpha '_{i}$ auront pour positions finales

$\gamma \,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\quad \mathrm {et} \quad \gamma '\,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}.$

Il suffit évidemment, pour démontrer le théorème énoncé, d’observer que

$|\gamma |=\left|\gamma \,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\right|,\quad |\gamma '|=\left|\gamma '\,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\right|.$

Il suffira donc d’examiner les points singuliers qui correspondent à des valeurs réelles et positives de $x^{\frac {1}{c}},$ c’est-à-dire aux points F, E, R et A de la figure, et les points singuliers qui correspondent à la valeur ${\frac {\pi }{c}}$ de l’argument de $x^{\frac {1}{c}},$ c’est-à-dire aux points D, B et C de la figure.

Le point E est inadmissible ; en effet, la valeur correspondante de $\alpha _{i}$ est

$\alpha _{i}=\tau ^{\frac {1}{c}},$

quand le point $z^{\frac {1}{c}}$ décrira la droite $\Delta ,$ les deux points singuliers primitivement confondus en $\alpha _{i}$ resteront réels. À chacun d’eux correspondra une valeur de $x$ et une de $y,$ et par conséquent un point représentatif sur notre figure.

L’un de ces points représentatifs décrira alors la droite ES et l’autre la courbe EL.

L’un des points singuliers restera donc fixe et égal à $\tau ^{\frac {1}{c}}$ et aura par conséquent son module toujours plus petit que 1.

La valeur initiale $\zeta _{i}$ de $z^{\frac {1}{c}}$ est réelle et positive : la droite $\Delta$ sera donc une portion de l’axe des quantités réelles et la valeur finale ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}}$ sera égale à 1.

Le second point singulier (qui correspond au point représentatif qui a suivi la courbe EL) a une valeur réelle et positive que j’appelle $\gamma \,;$ il s’agit de savoir si $\gamma$ est plus petit ou plus grand que 1.

Lorsque ce point représentatif décrira la courbe EL depuis E jusqu’en L, le module de $z$ ira en croissant depuis une certaine valeur très petite jusqu’à l’infini ; il passera donc une fois et une seule par la valeur 1. Il s’agit de montrer que la valeur correspondante $\gamma ^{2}$ de $x$ est plus petite que 1. Pour cela, il suffit de faire voir que, quand l’abscisse $x$ de ce point représentatif atteint la valeur 1, $|z|$ est plus grand que 1.

Or on trouve que, pour $x=1,$

$z=y^{c}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}=y^{c}.$

Il reste donc à démontrer que $y>1.$

Or il est clair que

$y={\frac {\beta (1+\tau ^{2})}{(1-\tau ^{2})}}>1.$

Donc $\gamma <1.$

Donc le point E est inadmissible. C.Q.F.D.

Le point F est inadmissible ; ici encore la droite $\Delta$ sera une portion de l’axe des quantités réelles puisque $\zeta _{i}$ sera réel. Les points singuliers primitivement confondus en $\alpha _{i}$ ne resteront pas réels, mais ils resteront imaginaires conjugués ; ils ont donc même module ; il est donc impossible que quand $z^{\frac {1}{c}}$ atteindra sa valeur finale ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}}=1,$ l’un de ces points soit plus grand que 1 et l’autre plus petit que 1 en valeur absolue.

C.Q.F.D.

Il nous sera cependant utile de savoir si, quand $z^{\frac {1}{c}}$ atteint sa valeur finale 1, le module commun de ces deux points singuliers est plus grand ou plus petit que 1. Comme il est primitivement plus petit que 1, il ne pourrait cesser de l’être qu’en passant par la valeur 1. Il faudrait donc que, pour une valeur de $x$ imaginaire et de module 1, $z^{\frac {1}{c}}$ eût une valeur réelle et positive.

Construisons donc dans le plan des $x$ les lignes d’égal argument de la fonction

$z={\frac {(x-\tau )^{2c}}{[\beta (1+\tau ^{2})x]^{c}}}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}.$

Ces lignes sont représentées sur fig. 3 au moins dans la partie du plan qui seule nous intéresse et qui avoisine le point O.

Les points remarquables sont le point $x=0,$ correspondant au point O de la fig. 1, le point $x=\tau$ correspondant au point A et deux points qui correspondent aux points D et F. Ces points sont d’ailleurs désignés sur la fig. 3 par les mêmes lettres.

Parmi les lignes d’égal argument, les unes regardées comme remarquables sont représentées en trait plein. Ce sont l’axe des quantités réelles d’une part et, d’autre part, des lignes allant du point O au point F et du point A au point D.

Les autres lignes d’égal argument aboutissant soit au point A, soit au point O, soit à l’un et à l’autre, sont représentées en trait pointillé.

Quand le point $z^{\frac {1}{c}}$ décrira la droite $\Delta ,$ le point $x$ décrira la courbe en trait plein FO de notre fig. 3.

Fig. 3.

On voit donc que le module de $x$ restera toujours très petit et que l’on aura

$\gamma <1.$

Le point R est inadmissible ; en effet, quand le point $z^{\frac {1}{c}}$ décrira la droite $\Delta ,$ les deux points singuliers primitivement confondus resteront d’abord réels ; les deux points représentatifs décriront les deux branches de courbe RE et RF ; quand le premier de ces points atteindra le point E, le point singulier correspondant se confondra avec un autre ; les deux points ainsi confondus se sépareront ensuite et les points représentatifs correspondants décriront les courbes EL et ES ; nous avons vu, en parlant du point E, que les valeurs finales de $x^{\frac {1}{c}}$ sont réelles et plus petites que 1.

De même, quand le second point représentatif atteindra F, le point singulier correspondant se confondra avec un autre, s’en séparera ensuite ; les valeurs finales, comme nous l’avons vu en parlant du point F, sont imaginaires conjuguées et de module plus petit que 1.

Nous avons donc ici non plus 2, mais 4 valeurs finales ; et elles sont toutes quatre plus petites que 1 en valeur absolue.

C.Q.F.D.

Le point B est inadmissible. Les deux points singuliers primitivement confondus se séparent, mais les valeurs correspondantes de $x$ restent réelles. Les deux points représentatifs décrivent les branches de courbe BP et BD′. Pour le premier, qui décrit BP, la valeur absolue de $x$ va en diminuant ; elle reste donc plus petite que 1 ; considérons le second qui décrit BD′, il me reste à démontrer que, bien que la valeur absolue de $x$ aille en augmentant, elle reste plus petite que 1, tant que le module de $z$ est lui-même inférieur à 1.

Pour cela, il faut faire voir que, pour $x=-1,$ $z>1\,;$ or, pour $x=-1,$

$|z|=|y|^{c}$

Or

$|y|={\frac {\beta (1+\tau ^{2})}{(1+\tau )^{2}}}>1\quad \mathrm {(si} \;\tau \;\mathrm {est} \;\mathrm {assez} \;\mathrm {petit).}$
C.Q.F.D.

Le point C est inadmissible. Les deux points singuliers primitivement confondus se séparent, $x$ demeurant réel ; le premier point représentatif décrit CO, le second CB. Pour le premier, $|x|$ va constamment en diminuant : sa valeur finale est donc plus petite que 1. Examinons le second point singulier qui correspond au point représentatif qui décrit GB. Quand il est arrivé en B, il se confond avec un autre point singulier, et s’en sépare de nouveau ; les deux points représentatifs décriront les deux courbes BP et BD′ ; d’après ce que nous venons de voir, les valeurs finales de $|x|$ sont plus petites que 1. Ainsi nous avons, non pas deux, mais trois valeurs finales, toutes trois plus petites que 1.

C.Q.F.D.

Le point D est admissible. Les deux valeurs de $x$ demeurent réelles, le premier point représentatif décrit DB ; arrivée en B, la courbe représentative se bifurque en BP et en BD′, et les valeurs finales de $x$ sont plus petites que 1, ainsi que nous venons de le voir.

Le second point représentatif décrit DB′ ; je dis que la valeur finale de $|x|$ est plus grande que 1. Pour cela, il faut faire voir que, pour $x=-1,$ on a $|z|<1\,;$ or, pour $x=-1$

$|z|=|y|^{c};\quad |y|={\frac {(1+\tau )^{2}}{\beta (1+\tau ^{2})}}<1\quad \mathrm {(si} \;\tau \;\mathrm {est} \;\mathrm {assez} \;\mathrm {petit).}$

De nos trois valeurs absolues finales, deux sont plus petites, une plus grande que 1. Donc le point est admissible. C.Q.F.D.

En résumé, des six points BCDEFR, le point D est seul admissible.

De même des six points réciproques B′C′D′E′F′R′, le point D′ est seul admissible.

Si donc l’une des excentricités est assez petite, l’autre nulle, l’inclinaison des orbites nulle, le grand axe de l’orbite circulaire plus grand que celui de l’orbite elliptique ; si le rapport $-{\frac {c}{a}}$ diffère peu de celui des moyens mouvements, ce sont les points D et D′ qui déterminent les rayons de convergence $r$ et $\mathrm {R} ={\frac {1}{r}}\cdot$

Pour faciliter l’intelligence de cette discussion, j’ai construit une quatrième figure où j’ai représenté la variation des points singuliers en prenant pour abscisse $x,$ si $x$ est réel, et $|x|,$ si $x$ est imaginaire, et pour ordonnée $|z|.$ Je n’ai représenté toutefois que ceux des points singuliers qui jouent un rôle dans la discussion. Les droites tracées en trait mixte $-\cdot -\cdot -$ sont les deux axes de coordonnées $x=0$ et $|z|=0,$ et les droites $x=+1,$ $|z|=1.$

Les courbes en trait plein représentent la variation des points singuliers réels, et les courbes en trait pointillé celle des points singuliers imaginaires. D’après les conventions faites plus haut, chacun des points de ces courbes pointillées représentent deux points singuliers imaginaires conjugués.

Les divers points remarquables sont désignés par les mêmes lettres que les points correspondants des autres figures. Pour trouver les diverses valeurs finales obtenues en partant d’un point singulier donné, il faut suivre les courbes pleines ou pointillées, en allant toujours en descendant (puisque sur la figure l’axe des $|z|$ positifs est dirigé vers le bas) jusqu’à la droite $|z|=1.$

Fig. 4.

On trouve ainsi que

Pour le point	D	les valeurs finales sont	$\gamma _{1},\;\gamma _{2}\;\mathrm {et} \;\gamma _{3},$
»	B	»	$\gamma _{2}\;\mathrm {et} \;\gamma _{3},$
»	C	»	$\gamma _{2},\;\gamma _{3}\;\mathrm {et} \;\gamma _{4},$
»	F	»	$\gamma _{5},$
»	R	»	$\gamma _{5},\;\gamma _{6}\;\mathrm {et} \;\gamma _{7},$
»	E	»	$\gamma _{6}\;\mathrm {et} \;\gamma _{7}.$

Je rappelle que $\gamma _{5}$ représente deux valeurs finales imaginaires conjuguées. On voit que, de toutes ces valeurs finales, toutes, sauf $\gamma _{1},$ sont plus petites que 1 en valeurs absolues.

Discussion dans le cas général.

98.Les limites qui me sont imposées ici ne me permettent pas de répéter cette discussion dans le cas le plus général ; mais je puis indiquer en quelques mots de quelle manière elle doit être conduite.

Quand on fera varier les éléments des orbites, d’une manière continue, les points singuliers de $\Phi (z)$ varieront aussi d’une façon continue. Supposons que l’on fasse varier ces éléments de telle sorte que les orbites restent réelles et qu’à aucun moment elles ne se coupent en un point réel, de telle sorte aussi qu’à aucun moment deux points singuliers de $\Phi (z)$ ne viennent à se confondre. Considérons un point singulier de $\Phi (z)\,;$ il va varier d’une façon continue et, comme nous supposons qu’il ne se confond jamais avec aucun autre, on pourra le suivre dans ses variations sans avoir à craindre aucune ambiguïté.

Cela posé, je dis que, si ce point est admissible à un certain moment, il restera toujours admissible et inversement, sauf dans un cas sur lequel nous reviendrons.

En effet, dire que le point singulier est admissible, c’est dire que, parmi les valeurs finales de $x$ correspondant à ce point, il y en a dont le module est plus grand que 1 et d’autres dont le module est plus petit que 1. Mais il importe de préciser davantage. En effet, dans le cas particulier traité dans le numéro précédent, $\mathrm {F(z,\,t)}$ était fonction uniforme de $z^{\frac {1}{c}}$ et de $x^{\frac {1}{c}},$ ce qui nous a permis de représenter les points singuliers de $\mathrm {F(z,\,t)}$ sur le plan des $x^{\frac {1}{c}}.$

Dans le cas général il n’en est plus de même et une représentation aussi simple n’est plus possible. Il faut représenter les points singuliers de $\mathrm {F(z,\,t)}$ (considérée comme fonction de $t$) sur une surface de Riemann particulière que j’ai appelée plus haut $\mathrm {S} \,;$ cette surface peut être définie comme il suit : nous avons

(1)

$z=x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}y^{c}\,e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}.$

Si nous regardons $z$ comme donné, cette équation définit une relation entre $x$ et $y$ à laquelle satisfont une infinité de systèmes de valeurs de $x$ et de $y,$ ou bien encore de $x^{\frac {1}{c}}$ et de $y^{\frac {1}{a}}\,;$ chacun de ces systèmes de valeurs représente ce qu’on peut appeler un point analytique. À chacun des points de la surface de Riemann correspondra un de ces points analytiques et un seul, et réciproquement.

Quand on fera varier $z,$ cette surface de Riemann $\mathrm {S}$ va varier aussi, puisque alors les points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ se déplacent. Soit $\mathrm {S} _{0}$ ce que devient $\mathrm {S}$ quand z atteint une valeur de module 1. Sur la surface $\mathrm {S} _{0}$ nous pourrons tracer un cercle que j’appellerai $\mathrm {C} _{0}$ et dont l’équation sera

$|x|=|y|=1.$

(En effet, si l’on donne à $x$ une valeur quelconque de module 1, on peut toujours choisir une valeur de $y$ ayant également pour module 1, de manière que $z$ ait telle valeur que l’on veut de module 1.)

Ce cercle $\mathrm {C} _{0}$ partage en deux régions la surface de Riemann $\mathrm {S} _{0}.$

J’appellerai $\mathrm {R} _{0}$ celle de ces deux régions qui contient les points voisins de $\mathrm {C} _{0}$ et pour lesquels $|x|<1$ et $\mathrm {R} '_{0}$ l’autre région.

Supposons donc que l’on fasse suivre au point $z^{\frac {1}{c}}$ la droite $\Delta$ du numéro précédent et que l’on étudie les variations des points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)\,;$ quand on fait varier $z,$ ces points se déplacent sur la surface $\mathrm {S}$ en même temps que cette surface $\mathrm {S}$ varie elle-même. Deux de ces points d’abord confondus en un seul [qui est un point singulier de $\Phi (z)$] se séparent ; quand le module de $z$ atteint la valeur 1 et que $\mathrm {S}$ s’est réduite à $\mathrm {S} _{0},$ ils atteignent sur cette surface $\mathrm {S} _{0}$ deux positions finales. (La discussion du numéro précédent nous a fait voir des cas où l’un de ces points singuliers se séparait lui-même en deux autres ; il y a alors plus de deux positions finales, mais ce que je vais dire reste applicable.) Si toutes ces positions finales appartiennent à la même des deux régions déterminées sur la surface $\mathrm {S} _{0}$ par le cercle $\mathrm {C} _{0},$ le point singulier correspondant de $\Phi (z)$ est inadmissible ; dans le cas contraire, il est admissible.

On voit la nuance qui sépare cet énoncé de celui que j’avais d’abord donné et qui convenait dans le cas particulier du numéro précédent. Les affixes de deux points peuvent être, l’un plus grand, l’autre plus petit que 1 en valeur absolue, et ces deux points peuvent appartenir néanmoins à la même des deux régions définies plus haut, s’ils ne font pas partie du même feuillet de la surface de Riemann.

Cela posé, je dis que, quand on fait varier les éléments des deux orbites, un point singulier d’abord admissible ne peut, en général, devenir inadmissible ou inversement. En effet, considérons les variations de la surface $\mathrm {S} _{0}$ et de ce que nous avons appelé les valeurs finales. Pour qu’un point singulier cessât en effet d’être admissible ou le devînt, il faudrait que la valeur finale correspondante franchît le cercle $\mathrm {C} _{0},$ pour passer d’une des deux régions dans l’autre. Or quelle est la signification des équations de ce cercle $\mathrm {C} _{0}$

$|x|=|y|=1.$

Elles signifient que les deux anomalies excentriques sont réelles. À chaque point M de la surface de Riemann $\mathrm {S} ,$ et en particulier de la surface $\mathrm {S} _{0},$ correspond sur les deux orbites un couple de points P et P′ définis par les valeurs des anomalies excentriques, ou ce qui revient au même de $x$ et de $y.$ Si le point M est sur le cercle $\mathrm {C} _{0},$ les points P et P′ sont réels. Le point M ne peut être singulier que si la distance PP′ est nulle, ou si l’un des points P et P′ sont à une distance nulle du Soleil. Cette seconde circonstance ne peut pas se présenter si les points P et P′ sont réels ; ni la première non plus si, comme nous l’avons supposé, les deux orbites ne se coupent en aucun point réel.

Il est donc impossible qu’un point du cercle $\mathrm {C} _{0}$ soit singulier ; c’est-à-dire qu’une des valeurs finales franchisse ce cercle ; c’est-à-dire enfin qu’un point singulier de $\Phi (z)$ perde ou acquière le caractère d’admissibilité.

Il est cependant un cas dont il me reste à parler et où ce raisonnement se trouverait en défaut. Je suppose que l’on fasse suivre au point $z^{\frac {1}{c}}$ la droite $\Delta$ et que l’on étudie les variations correspondantes des points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t).$ Au commencement, deux de ces points sont confondus entre eux et se confondent par conséquent avec un point singulier A de $\Phi (z)\,;$ ils se séparent ensuite : soit $\alpha$ l’un d’eux-, il peut arriver (et nous en avons vu des exemples au numéro précédent) que, pour une certaine valeur de $z,$ le point $\alpha$ vienne à se confondre avec un autre point singulier de $\mathrm {F} (z,\,t)$ (généralement différent de celui avec lequel il se confondait d’abord) et, par conséquent, avec un point singulier B de $\Phi (z).$ Il s’en sépare ensuite, de sorte que le point singulier A admet non pas deux, mais trois valeurs finales.

Je dirai dans ce cas, pour abréger le langage, que le point B est subordonné au point A ; il faut, pour qu’il en soit ainsi, que le $z$ du point B ait même argument et module plus rapproché de 1 que le $z$ du point A.

Soient alors A et B deux points singuliers de $\Phi (z)$ et supposons que leurs $z$ aient d’abord des arguments différents. Faisons varier d’une manière continue les éléments des deux orbites et, par conséquent, les points A et B ; si, à un certain moment le point B devient subordonné au point A, il peut arriver qu’à ce moment, par exception à la règle générale formulée plus haut, le point A devienne admissible ou cesse de l’être.

Voyons comment cette circonstance pourra se présenter. Observons d’abord que les valeurs de $x$ qui correspondent aux points singuliers de $\Phi (z)$ nous sont fournies par un certain nombre d’équations algébriques. Si les deux points A et B sont ainsi définis par une seule et même équation irréductible, je dirai qu’ils sont de même nature, et, dans le cas contraire, qu’ils sont de nature différente. On verrait sans peine que, si les points A et B sont de nature différente, le point B peut devenir subordonné à A, sans que ce point A puisse perdre ou acquérir le caractère d’admissibilité.

Je suppose maintenant que les points A et B soient de même nature. Si le point B est inadmissible, il peut encore devenir subordonné à A sans que ce dernier point devienne admissible ou cesse de l’être. Si, au contraire, le point B est admissible, il arrivera en général, au moment où B deviendra subordonné à A, que A cessera d’être admissible s’il l’était, et le deviendra s’il ne l’était pas. Le point B conserve d’ailleurs toujours son caractère d’admissibilité ou d’inadmissibilité.

Les considérations qui précèdent nous fournissent donc le moyen, en faisant varier les éléments des orbites d’une manière continue, et en suivant les variations des points singuliers, de reconnaître quels sont ceux qui sont admissibles, soit que l’on s’astreigne à faire varier les éléments de façon que deux points singuliers n’aient à aucun moment un $z$ de même argument, afin d’éviter la discussion nécessaire pour savoir s’ils sont réellement subordonnés l’un à l’autre, soit que l’on ne s’y astreigne pas en se résignant à faire cette discussion.

On peut faire varier, non seulement les éléments des orbites, mais le rapport ${\frac {c}{a}}$ en oubliant un instant qu’il doit être commensurable, ce que nous n’avons supposé que dans un but très particulier qui ne se rattache en aucune façon à la discussion de l’admissibilité des points singuliers. Ce rapport ${\frac {c}{a}}$ doit toutefois, pour que ce que nous venons de dire reste applicable, rester réel et ne passer ni par 0 ni par l’infini.

Il suffit donc, pour pouvoir appliquer les considérations précédentes, de connaître quels sont les points admissibles pour certaines valeurs des éléments. Ce que j’ai dit dans le numéro précédent sur un cas particulier semble donc pouvoir nous suffire ; mais, dans ce cas particulier, certains points singuliers se réduisent à 0 ou à l’infini et je les ai laissés de côté dans la discussion.

C’est pour cette raison que j’ai encore quelques mots à ajouter.

Supposons d’abord que, les deux excentricités étant finies, l’inclinaison reste nulle. Soit

${\begin{aligned}\mathrm {tang} {\frac {\varphi }{2}}&=\tau ,&\mathrm {tang} {\frac {\varphi '}{2}}&=\tau '.\end{aligned}}$

Les points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ seront alors définis par les équations suivantes

${\begin{aligned}x&=\tau ,&x&={\frac {1}{\tau }},&y&=\tau ',&y&={\frac {1}{\tau '}}\cdot \end{aligned}}$

(3)

${\frac {y(x-\tau )^{2}}{1+\tau ^{2}}}=\beta \,x\,{\frac {(y-\tau ')^{2}}{1+\tau '^{2}}},$

(4)

$y\,{\frac {(1-\tau x)^{2}}{1+\tau ^{2}}}=\beta _{0}\,x\,{\frac {(1-\tau 'y)^{2}}{1+\tau '^{2}}}\cdot$

Les courbes (3) et (4) sont du troisième ordre ; pour qu’elles soient réelles, il faut et il suffit que les grands axes des deux orbites coïncident, c’est-à-dire que la différence $\varpi -\varpi '$ soit égale à 0 ou à $\pi .$

Supposons $\varpi =\varpi ',$ la courbe (3) présentera un point double

$x=\tau ,\qquad y=\tau '$

Si $\tau '$ est très petit, la courbe présentera trois branches : la première que j’appellerai $\gamma _{1}$ et qui différera peu de la branche B’DBP de la fig. 1 ; la seconde que j’appellerai $\gamma _{2}$ ira passer par l’origine et par le point double. Elle sera d’abord asymptote à l’axe des $x$ négatifs, s’écartera très peu de cet axe ; après avoir passé par le point double, elle différera peu de la branche AO′ de la fig. 1 ; la troisième que j’appellerai $\gamma _{3}$ est asymptote à l’axe des $y$ et diffère d’abord très peu de la branche CRA de la fig. 1 ; elle va ensuite passer par le point double et s’écarte ensuite très peu de l’axe des $x$ auquel elle est asymptote. Je dirai désormais que deux points sont réciproques, quand on passe de l’un à l’autre en changeant $x$ en ${\frac {1}{x}},$ $y$ en ${\frac {1}{y}},$ $z$ en ${\frac {1}{z}}$ et ${\sqrt {-1}}$ en $-{\sqrt {-1}}.$ Les deux courbes (3) et (4) sont alors réciproques l’une de l’autre. Si $\varpi =\varpi '$ et par conséquent que nos courbes soient réelles, cette définition ne différera pas de celle du numéro précédent.

Nous avons comme points singuliers :

1^o Les intersections des courbes (3) et (4) différant très peu des points B, B′, R, R′ de la fig. 1 et que je puis toujours désigner par les mêmes lettres. Nous avons vu qu’ils sont inadmissibles.

2^o Les intersections de $x=\tau$ et de la courbe (4), de $x={\frac {1}{\tau }}$ et de la courbe (3) différant très peu des points E et E′ de la fig. 1 ; ils sont aussi inadmissibles.

3^o Trois points situés sur la courbe (3) et différant très peu des points D, F et C′ de la fig. 1 ; le premier seul est admissible.

4^o Trois points réciproques des premiers situés sur la courbe (4) ; celui qui diffère peu de D′ est seul admissible.

5^o Un point défini par les équations (3) et (5) situé sur la branches $\gamma _{2}$ et se réduisant à $y=0,$ $x=-\tau ,$ pour $\tau '=0.$ Ce point, dont il n’a pas été question dans le numéro précédent, exige une discussion spéciale. Cette discussion prouverait que ce point que j’appellerai T est admissible ; les deux points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t),$ d’abord confondus avec lui, se séparent quand $z^{\frac {1}{c}}$ décrit la droite $\Delta$ et sont d’abord imaginaires conjugués, puis ils se réunissent de nouveau en un seul point qui correspond au point D et se séparent encore pour redevenir réels. On voit que les valeurs finales de T sont les mêmes que celles de D ; donc T est admissible comme D.

6^o Un point T′, réciproque de T, et par conséquent admissible comme lui.

7^o Le point double $x=\tau ,\,y=\tau '$ que j’appellerai U ; par ce point passent deux des branches de la courbe (3) et les deux droites $x=\tau ,$ $y=\tau '.$ À ce point correspondent quatre valeurs finales ; car, quand $z^{\frac {1}{c}}$ décrit la droite $\Delta ,$ quatre points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t),$ d’abord confondus en un seul, se séparent de façon que les quatre points représentatifs décrivent respectivement les deux branches de (3) et les deux droites $x=\tau ,$ $y=\tau '\,;$ parmi ces valeurs finales, trois sont plus petites que 1 en valeur absolue ou plus exactement appartiennent à la région $\mathrm {R} _{0}$ de la surface de Riemann $\mathrm {S} _{0}.$ La quatrième valeur finale, celle qui correspond à la branche de courbe $\gamma _{2}$ appartient à l’autre région. Le point est donc admissible.

8^o Le point U′ réciproque de U, c’est-à-dire le point double de (4), sera admissible pour la même raison.

9^o Il reste encore les points d’intersection de la droite, $y=\tau '$ avec la courbe (4) que j’appelle V et W′ et ceux de la droite $y={\frac {1}{\tau }}$ avec la courbe (3) que j’appelle V′ et W, auxquels j’adjoindrai les deux points réciproques l’un de l’autre

$\left(x={\tau },\quad y={\frac {1}{\tau '}}\right)\quad \mathrm {et} \quad \left(x={\frac {1}{\tau }},\quad y={\tau '}\right),$

que j’appellerai X et X′. Le point X est inadmissible et les deux valeurs finales correspondant respectivement aux deux droites $x=\tau$ et $y={\frac {1}{\tau }}$ appartiennent à la région $\mathrm {R} _{0}.$

Passons au point V [c’est celle des intersections de $y=\tau '$ avec (4) qui est très près de l’origine] : quand le point $z^{\frac {1}{c}}$ décrit $\Delta ,$ les deux points représentatifs correspondant aux deux points singuliers qui se séparent suivent : le premier la courbe (4) jusqu’au point R et le second la droite $y=\tau '$ jusqu’en U. Les points R et U sont donc subordonnés à V et V admet, comme valeurs finales, l’ensemble des valeurs finales de R et de U. Toutes celles de R appartiennent à $\mathrm {R} _{0}\,;$ celles de U qui est admissible appartiennent aux deux régions. Donc le point V est admissible ; mais il cesse de l’être dès que la différence $\varpi -\varpi ',$ au lieu d’être nulle, devient très petite. Dans ce cas, en effet, R et U cessent d’être subordonnés à V, et les seules valeurs finales que conserve V sont, d’une part, une valeur finale peu différente d’une de celles de R, et une autre peu différente d’une de celles de U (celle qui correspond à $y=\tau '$) et qui, toutes deux, appartiennent à $\mathrm {R} _{0}.$

Enfin W est inadmissible [c’est celle des intersections de (3) avec $y={\frac {1}{\tau }},$ qui est voisine de l’axe des $y$]. En effet, à ce point sont subordonnées F et X dont les valeurs finales appartiennent à $\mathrm {R} _{0}.$

En résumé, si l’inclinaison est nulle, la différence $\varpi -\varpi '$ très petite, l’excentricité $\varphi$ petite, l’excentricité $\varphi '$ très petite par rapport à $\varphi ,$ les seuls points admissibles seront D, T, U et leurs réciproques.

Supposons maintenant que l’inclinaison n’est plus nulle, mais très petite.

Si nous écrivons que la distance des deux planètes est nulle, nous n’obtiendrons plus, comme dans le cas précédent, deux équations distinctes (3) et (4), mais une équation unique

$\Theta (x,\,y)=0$

qui, si l’on considère (comme dans la fig. 1) $x$ et $y$ comme les coordonnées d’un point dans un plan, représentera une courbe du sixième ordre.

Cette courbe se décompose en deux courbes du troisième ordre (3) et (4) quand l’inclinaison est nulle ; pour qu’elle soit réelle, il faut et il suffit que les grands axes des orbites soient perpendiculaires à la ligne des nœuds.

Si l’inclinaison est très petite, les points singuliers seront :

1^o Des points très peu différents de E, D, F, C, T, V, W, X et de leurs réciproques ; je les désignerai par les mêmes lettres ; il est clair que D et T sont seuls admissibles avec leurs réciproques.

2^o Deux points B₁ et B₂ très peu différents de B ; deux points R₁ et R₂ très peu différents de R et leurs réciproques. Tous inadmissibles.

3^o Neuf points peu différents de U, à savoir $x=\tau ,$ $y=\tau '\,;$ deux intersections de $x=\tau$ avec $\Theta =0,$ deux de $y=\tau '$ avec $\Theta =0,$ quatre points de $\Theta =0.$ Une discussion spéciale serait nécessaire.

Avant ainsi reconnu quels sont les points admissibles, il resterait, pour voir celui qu’il convient de conserver, à voir quel est celui qui correspond à la valeur de $|z|$ la plus voisine de 1.

Si l’excentricité qui correspond au plus grand des deux grands axes et l’inclinaison sont petites par rapport à l’autre excentricité, si la différence $\varpi -\varpi '$ est petite, le point qui nous convient est le point D.

Forcé de me borner, j’arrête là cette discussion que je n’ai fait qu’ébaucher. Mais il me semble que l’importance du sujet peut tenter plus d’un chercheur ; il devrait donner, outre cette discussion, une méthode pratique et rapide de résolution des équations algébriques auxquelles on est conduit en tenant compte de la petitesse de certaines quantités, et de ce fait qu’on peut se contenter le plus souvent d’une médiocre approximation. Sa tâche serait d’ailleurs grandement facilitée par une étude analytique complète de la fonction $\Phi (z)$ et de ses différentes déterminations.

Application de la méthode de M. Darboux.

99.Supposons maintenant que l’on ait déterminé par la discussion qui précède le point singulier de $\Phi (z)$ qui convient à la question, que l’on sache, par conséquent, quelles sont les deux circonférences

${\begin{aligned}|z|=&r,&|z|=&\mathrm {R} ={\frac {1}{r}}\end{aligned}}$

qui limitent le domaine où $\Phi (z)$ est développable par la série de Laurent et quels sont les points singuliers situés sur cette circonférence. En général, il n’y en aura qu’un seul sur chacune d’elles.

Soit donc $z_{0}$ le point singulier qui se trouve sur la circonférence $|z|=r.$

Soient $x_{0},\,y_{0}$ et $t_{0}$ les valeurs correspondantes de $x,$ $y$ et $t.$ On voit aisément que $x_{0}$ et $y_{0}$ sont parfaitement déterminés par les équations algébriques que nous avons discutées plus haut ; au contraire,

$t_{0}=x_{0}^{\frac {1}{c}}\,e^{{\frac {\sin \varphi }{2c}}\left({\frac {1}{x_{0}}}-x_{0}\right)}$

n’est pas entièrement déterminé, mais est susceptible de $c$ valeurs que j’appellerai

$t_{0},\;\;jt_{0},\;\;j^{2}t_{0},\;\;\ldots ,\;\;j^{c-1}t_{0},$

$j$ étant une racine $c$^ième primitive de l’unité.

Appliquons au développement de $\Phi (z)$ la méthode de M. Darboux. Pour cela, il nous est nécessaire de savoir comment cette fonction se comporte dans le voisinage du point singulier $z=z_{0}.$

Lorsque $z$ est très voisin de $z_{0},$ la fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ admet deux points singuliers $t_{1}$ et $t_{2}$ très voisins de $t_{0},$ elle admettra également $c-1$ autres couples de points singuliers

$jt_{1},\;\mathrm {et} \;jt_{2},\quad j^{2}t_{1},\;\mathrm {et} \;j^{2}t_{2},\quad \ldots ,\quad j^{c-1}t_{1}\;\mathrm {et} \;j^{c-1}t_{2},$

très voisins respectivement de

$jt_{0},\quad j^{2}t_{0},\quad \ldots ,\quad j^{c-1}t_{0}.$

Le contour d’intégration $\mathrm {C}$ le long duquel devra se calculer

$\Phi (z)={\frac {1}{2\,i\,\pi }}\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt$

devra passer entre les points $t_{1}$ et $t_{2}$ et de même entre les points $jt_{1}$ et $jt_{2},\,\ldots .$ On pourra, d’ailleurs, supposer que ce contour présente la symétrie suivante : il sera formé de $c$ arcs $\mathrm {C} _{0},$ $\mathrm {C} _{1},$ $\ldots ,$ $\mathrm {C} _{c-1},$ et l’on passera de l’arc $\mathrm {C} _{0}$ à l’arc $\mathrm {C} _{k}$ en changeant $t$ en $tj^{k},$ comme

$\mathrm {F} (z,\,tj^{k})=j^{-k}\mathrm {F} (z,\,t)\,;$

l’intégrale prise le long des $c$ arcs $\mathrm {C} _{0},$ $\mathrm {C} _{1},$ $\ldots ,$ $\mathrm {C} _{c-1}$ sera la même, et l’on aura

$\Phi (z)={\frac {c}{2\,i\,\pi }}\int _{\mathrm {C} _{0}}\mathrm {F} (z,\,t)\,dt.$

L’arc $\mathrm {C} _{0}$ qui est notre nouveau chemin d’intégration passera alors seulement entre les points singuliers $t_{0}$ et $t_{1}\,;$ d’ailleurs, décomposons l’arc $\mathrm {C} _{0}$ en trois arcs partiels $\mathrm {C} '_{0},$ $\mathrm {C} ''_{0}$ et $\mathrm {C} '''_{0}\,;$ j’appellerai $\alpha$ et $\beta$ les extrémités de l’arc $\mathrm {C} '_{0},$ $\beta$ et $\gamma$ celles de $\mathrm {C} ''_{0},$ $\gamma$ et $\delta$ celles de $\mathrm {C} '''_{0}.$ Je supposerai que c’est $\mathrm {C} ''_{0}$ qui passe entre $t_{1}$ et $t_{2}$ et que, quand $z$ tend vers $z_{0};$ aucun des quatre points $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ ne tende vers $t_{0},$ de telle sorte que ces quatre points soient à une distance finie de $t_{1}$ et de $t_{2}.$

Notre intégrale prise le long de $\mathrm {C} _{0}$ est la somme de trois autres, prises respectivement le long de $\mathrm {C} '_{0},$ de $\mathrm {C} ''_{0},$ et de $\mathrm {C} '''_{0}.$ La première et la troisième restent des fonctions holomorphes de $z$ dans le voisinage du point $z=z_{0},$ puisque les points $t_{1}$ et $t_{2}$ sont à une distance finie des arcs $\mathrm {C} '_{0}$ et $\mathrm {C} '''_{0}.$ C’est donc la seconde intégrale seulement, prise le long de $\mathrm {C} ''_{0},$ qui admet $z_{0}$ comme point singulier ; c’est donc l’étude de cette seconde intégrale qui nous fera connaître l’allure de la fonction $\Phi (z)$ dans le voisinage de $z=z_{0}.$

Voyons donc comment se comporte la fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ dans le voisinage de $z=z_{0},$ $t=t_{0}.$ Cela dépend, bien entendu, de la nature du point singulier considéré. J’examinerai d’abord l’hypothèse où ce point est l’un de ceux que nous avons désignés par D, F, T, C et par les mêmes lettres accentuées, ou bien encore, dans le cas où l’inclinaison n’est pas nulle, l’un de ceux que nous avons désignés par B₁, B₂, R₁, R₂ ou de leurs réciproques. C’est là l’hypothèse la plus importante, car nous avons vu que, si l’inclinaison et l’une des excentricités sont très petites, c’est le point D qui nous convient.

Dans cette hypothèse $[\mathrm {F} (z)]^{-2}$ est développable suivant les puissances croissantes de $z-z_{0}$ et de $t-t_{0}.$

J’ai donc

$\mathrm {F} (z,\,t)={\frac {1}{\sqrt {\psi (z,\,t)}}},$

en désignant par $\psi (z,\,t)$ une série développée suivant les puissances croissantes de $z$ et de $t.$

Je supposerai que $z$ est assez voisin de $z_{0},$ et que les points que je viens d’appeler $\beta$ et $\gamma$ (extrémités de $\mathrm {C} ''_{0}$) sont assez voisins de $t_{0}$ (bien que leur distance à ce point $t_{0}$ ait été supposée finie) pour que la série $\psi$ converge pour $t=\beta$ et pour $t=\gamma .$

Quelle sera maintenant la forme de cette série $\psi .$ En premier lieu, pour

$t=t_{0},\quad z=z_{0}$

on devra avoir

$\psi =0,\quad {\frac {d\psi }{dt}}=0\cdot$

Si donc, dans $\psi ,$ on fait $z=z_{0},$ le premier terme du développement de $\psi$ sera un terme en $(t-t_{0})^{2}.$ Il suit de là et d’un théorème de M. Weierstrass, que l’on a identiquement

$\psi =[(t-h)^{2}+k]\psi _{1},$

où $\psi _{1}$ est une série développée suivant les puissances de $z-z_{0},$ et $t-t_{0}$ et ne s’annulant pas pour $z=z_{0},$ $t=t_{0}\,;$ où $h$ et $k$ sont deux séries ordonnées suivant les puissances de $z-z_{0}$ et se déduisant respectivement à $t_{0}$ et à 0 pour $z=z_{0}$ (Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre, Berlin, Springer, 1886, p. 107 et suiv. ; voir aussi Poincaré, Thèse inaugurale, Paris, Gauthier-Villars, 1879).

Nous pouvons poser alors

${\frac {1}{\sqrt {\psi _{1}}}}=0,\quad$ d’où $\quad \mathrm {F} (z,\,t)={\frac {\theta }{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}\cdot$

$\theta$ étant développable suivant les puissances croissantes de $z-z_{0}$ et $t-t_{0}.$

Passons à une seconde hypothèse qui sera celle où, l’inclinaison étant nulle, le point singulier $z=z_{0}$ sera l’un des points B, R, B′ ou R′. On verrait alors que $\mathrm {F} (z,\,t)$ est encore de la même forme ; il y a cependant une différence. Dans la première hypothèse, $k$ est divisible par $(z-z_{0}),$ mais non par $(z-z_{0})^{2}\,;$ dans la seconde, $k$ est divisible par $(z-z_{0}).$

Les dernières hypothèses qu’il nous reste à examiner sont celles où l’on a soit $x_{0}=\tau$ ou ${\frac {1}{\tau }},$ soit $y_{0}=\tau '$ ou ${\frac {1}{\tau '}}\cdot$ Dans ce cas, il peut être utile de faire un changement de variable.

Supposons d’abord

$x_{0}=\tau \;\;\;\mathrm {ou} \;\;\;{\frac {1}{\tau }},\quad \;\;y_{0}\gtrless \tau ',\;\;\;y_{0}\gtrless {\frac {1}{\tau '}}\cdot$

Nous prendrons alors pour variables nouvelles, non plus $t$ et $z,$ mais $x$ et $z\,;$ dans le voisinage du point singulier considéré, $y$ est développable suivant les puissances croissantes de $t-t_{0}$ et $z-z_{0}$ et, par conséquent, suivant celles de $x-x_{0}$ et $z-z_{0}$ et, par conséquent, suivant celles de $x-x_{0}$ et $z-z_{0}.$ $\left[\mathrm {F} _{1}^{0}\right]^{-2}$ est également développable suivant les puissances de $z-z_{0}$ et de $x-x_{0}.$

Si donc nous posons

(1)

$\psi =\left[t\,\mathrm {F} (z,\,t)\right]^{-2},$

$\psi$ sera développable suivant les puissances de $x-x_{0}$ et $z-z_{0},$ et nous aurons

$2i\pi \Phi (z)=\int {\frac {dx}{c\,x^{2}{\sqrt {\psi }}}}\,{\frac {(x-\tau )(1-\tau x)}{1+\tau ^{2}}}=\int \mathrm {H} (z,\,x)\,dx.$

La fonction $\mathrm {H} (z,\,x)$ sous le signe $\textstyle \int$ ne présente de point singulier que si $\psi =0.$

Pour que $\Phi (z)$ présente un point singulier, il faut que deux des points singuliers de $\mathrm {H} (z,\,x)$ viennent à se confondre. Or cela n’aura lieu que si l’on a à la fois

$\psi ={\frac {d\psi }{dx}}=0.$

L’équation $\psi =0$ correspond aux courbes (3) et (4) du numéro précédent (ou à la courbe du sixième degré qui les remplace quand l’inclinaison n’est pas nulle). Les équations $\psi ={\frac {d\psi }{dx}}=0$ correspondent aux points singuliers étudiés dans les deux premières hypothèses.

D’où cette conséquence, le point E et son réciproque ne sont pour la fonction $\Phi (z)$ que des points singuliers apparents, et l’on n’aura jamais à s’en occuper.

Supposons maintenant

$x_{0}\gtrless \tau ,\quad x_{0}\gtrless {\frac {1}{\tau }},\qquad y_{0}={\frac {1}{\tau '}}\quad$ ou $\quad \tau '.$

Nous prendrons alors pour variables nouvelles $y$ et $z\,;$ nous trouverons, en conservant à $\psi$ la signification que lui donne l’équation (1),

$2i\pi \Phi (z)=\int {\frac {-dy}{a\,y^{2}\,{\sqrt {\psi }}}}\,{\frac {(y-\tau ')(1-\tau 'y)}{1+\tau '^{2}}}\cdot$

Nous en conclurions que les points définis par les équations

$y_{0}={\frac {1}{\tau '}}\quad$ ou $\quad \tau ',\qquad \psi =0$

(et pour lesquels on n’a pas en même temps ${\frac {d\psi }{dy}}=0$), c’est-à-dire les points V, W et leurs réciproques, ne sont pour la fonction $\Phi (z)$ que des points singuliers apparents.

Dans le cas où l’on a à la fois

${\begin{aligned}x_{0}&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y_{0}&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\end{aligned}}$

le choix du changement de variables, qui peut d’ailleurs se faire d’une infinité de manières, est plus délicat. Voici comment on peut faire ce choix.

Nous avons

${\begin{aligned}z&=x^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}\;\;\;\,y^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)},\\z_{0}&=x_{0}^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x_{0}}}-x_{0}\right)}\,y_{0}^{c}\,e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y_{0}}}-y_{0}\right)}.\\\end{aligned}}$

Posons

${\begin{aligned}x^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}&=x_{0}^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x_{0}}}-x_{0}\right)}(1+\xi ^{2}),\\y^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}&=y_{0}^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y_{0}}}-y_{0}\right)}(1+\eta ^{2}).\\\end{aligned}}$

Alors $x$ sera développable suivant les puissances de $\xi ,$ et $y$ suivant celles de $\eta \,;$ on aura $x=x_{0}$ pour $\xi =0,$ et $y=y_{0}$ pour $\eta =0.$ D’autre part, il viendra

${\frac {z}{z_{0}}}-1=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\xi ^{2}\eta ^{2},$

d’où

$\eta ={\sqrt {\frac {z-z_{0}-\xi ^{2}}{z_{0}(1+\xi ^{2})}}}\cdot$

En général, $\mathrm {F} (z,\,t)$ et $t$ seront des fonctions développables suivant les puissances de $\xi$ et de $\eta$ [il y aurait exception toutefois dans le cas où l’inclinaison serait nulle et où l’on aurait

$x_{0}=\tau ,\quad y_{0}=\tau '$

ou bien

$x_{0}={\frac {1}{\tau }},\quad y_{0}={\frac {1}{\tau '}}\,;$

ce point $x=\tau ,\,y=\tau ',$ que nous avons appelé U, appartient en effet comme point double à la courbe (3) ; ce cas mériterait une

discussion spéciale].

On a donc, en prenant pour variables indépendantes $z$ et $\xi ,$

$\Phi (z)=\int \varphi (z,\,\xi )\,d\xi ,$

$\varphi (z,\,\xi )$ étant développable suivant les puissances de $\xi ,$ de $z-z_{0}$ et de ${\sqrt {z-z_{0}-\xi ^{2}}},$ ce qui nous permet d’écrire

$\Phi (z)=\int \varphi _{1}\,d\xi +\int {\frac {\varphi _{2}\,d\xi }{\sqrt {z-z_{0}-\xi ^{2}}}},$

$\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ étant développables suivant les puissances de $\xi$ et de $z-z_{0}.$

La première intégrale est une fonction holomorphe de $z$ dans le voisinage du point $z=z_{0}\,;$ quant à la seconde, elle est tout à fait de la même forme que l’intégrale

$\int {\frac {\theta \,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}},$

que nous avons été conduits à envisager dans les deux premières hypothèses. Nous devons donc conclure que les points

${\begin{aligned}x_{0}&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y_{0}&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\end{aligned}}$

sont pour la fonction $\Phi (z)$ des points singuliers véritables et non pas seulement apparents.

On peut être étonné, au premier abord, de la différence entre les points singuliers tels que E, V, W, etc., qui ne sont qu’apparents, et les points tels que $x=\tau ,$ $y=\tau ',$ ou tels que D, etc., qui sont de véritables points singuliers.

L’origine en semble pourtant tout à fait la même ; on obtient ces points en écrivant que deux des points singuliers $t_{1}$ et $t_{2}$ de la fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ viennent à se confondre. Mais examinons la chose d’un peu plus près. Donnons à $z$ une valeur très voisine de $z_{0},$ de façon que les deux points $t_{1}$ et $t_{2}$ soient très peu différents l’un de l’autre, et étudions l’allure de la fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ dans le voisinage de ces deux points. La différence entre les deux cas est alors très grande.

Premier cas. — Le point $z_{0}$ est un point tel que D ou que $x=\tau ,$ $y=\tau '\,;$ c’est-à-dire un point singulier véritable de $\Phi (z).$

Alors deux valeurs de $\mathrm {F} (z,\,t)$ s’échangent entre elles quand on tourne autour du point $t_{1},$ et ces deux mêmes valeurs s’échangent encore entre elles quand on tourne autour du point $t_{2}.$ Si l’on construit une courbe en prenant $t$ pour abscisse et $\mathrm {F} (z,\,t)$ pour ordonnée, cette courbe variera naturellement quand on fera varier $z,$ et pour $z=z_{0}$ elle aura un point double.

Second cas. — Le point $z_{0}$ est un point tel que E, c’est-à-dire un point singulier apparent de $\Phi (z).$

Alors quatre valeurs de $\mathrm {F} (z,\,t)$ s’échangent quand on tourne autour de $t_{1}$ et $t_{2},$ à savoir la première avec la deuxième, la troisième avec la quatrième quand on tourne autour de $t_{1}$ la deuxième avec la troisième quand on tourne autour de $t_{2}.$

Construisons donc la surface de Riemann relative à la fonction $\mathrm {F} (z,\,t),$ c’est-à-dire une surface de Riemann ayant autant de feuillets que cette fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ a de déterminations. Dans le premier cas, l’ordre de connexion de cette surface s’abaissera de deux unités quand $z$ deviendra égal à $z_{0}\,;$ dans le second cas, il demeurera le même. C’est là la véritable raison de la différence entre les deux cas.

Cette circonstance que certains points singuliers ne sont qu’apparents est susceptible, si on l’applique convenablement, de simplifier considérablement la discussion des deux numéros précédents.

100.Rien n’est plus aisé maintenant que de connaître l’allure de la fonction $\Phi (z)$ dans le voisinage du point $z=z_{0}.$

Nous avons en effet

$\Phi (z)=\Phi _{1}(z)+{\frac {1}{2i\pi }}\int {\frac {\theta \,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}},$

$\Phi _{1}(z)$ restant holomorphe pour $z=z_{0}$ et l’intégrale étant prise le long de $\mathrm {C} ''_{0}.$

Comme $\theta$ est développable suivant les puissances de $t-t_{0}$ et $z-z_{0},$ et $h$ suivant celles de $z-z_{0},$ nous pouvons écrire

$\theta =\theta _{0}+\theta _{1}(t-h)+\theta _{2}(t-h)^{2}+\ldots +\theta _{n}(t-h)^{n}+\ldots ,$

de sorte qu’en posant

$2i\pi \mathrm {J} _{n}=\int {\frac {(t-h)^{n}\,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}},$

il vient

$\Phi (z)=\Phi _{1}(z)+{\textstyle \sum }\theta _{n}\mathrm {J} _{n}.$

D’autre part,

$2i\pi \mathrm {J} _{0}=\int _{\beta }^{\gamma }{\frac {dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}=\log {\frac {\gamma -h+{\sqrt {(\gamma -h)^{2}+k}}}{\beta -h+{\sqrt {(\beta -h)^{2}+k}}}}\cdot$

Nous en conclurons (en observant que le chemin d’intégration passe entre $t_{1}=h+{\sqrt {k}}$ et $t_{2}=h-{\sqrt {k}}$) que

$2i\pi \mathrm {J} _{0}=\lambda _{0}(z)+\log(z-z_{0}),$

$\lambda _{0}(z)$ étant holomorphe pour $z=z_{0}.$

Dans le cas où $k$ serait divisible par $(z-z_{0})^{2},$ il faudrait dire $2\log(z-z_{0})$ (deuxième hypothèse du numéro précédent) et non $\log(z-z_{0}).$

Il vient ensuite

${\begin{aligned}2i\pi \mathrm {J} _{1}=\int _{\beta }^{\gamma }{\frac {(t-k)\,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}&={\text{fonction holomorphe de }}z,\\n\mathrm {J} _{n}+k(n-1)\mathrm {J} _{n-2}&={\text{fonction holomorphe de }}z.\\\end{aligned}}$

Donc $\mathrm {J} _{n}$ reste holomorphe en $z$ si $n$ est impair. Si maintenant $n$ est pair et que nous posions

$\alpha _{n}={\frac {(n-1)(n-3)\ldots 1}{n(n-2)\ldots 2}},$

on aura

$2i\pi \mathrm {J} _{n}=\lambda _{n}(z)+(-k)^{\frac {n}{2}}\alpha _{n}\log(z-z_{0}),$

$\lambda _{n}(z)$ étant holomorphe en $z.$

Il vient donc finalement

$\Phi (z)=\sum _{n=0}^{n=\infty }{\frac {\theta _{2n}(-k)^{n}\alpha _{n}}{2i\pi }}\log(z-z_{0})+\Phi _{2}(z),$

$\Phi _{2}$ restant holomorphe en $z$ pour $z=z_{0}.$

Je puis écrire encore

$\Phi (z)=\Phi _{2}(z)+\Phi _{3}(z)\log(z-z_{0}),$

$\Phi _{2}(z)$ et $\Phi _{3}(z)$ restant holomorphes pour $z=z_{0}.$

Nous avons

$\Phi (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{an+b,cn+d}z^{n}.$

Si donc

$\Phi _{3}(z)=\delta _{0}+\delta _{1}(z-z_{0})+\delta _{2}(z-z_{0})^{2}+\ldots$

et si

$(z-z_{0})^{h}\log(z-z_{0})={\textstyle \sum }\gamma _{n,h}z^{n},$

on aura approximativement pour $n$ très grand

$\mathrm {A} _{an+b,cn+d}=\delta _{0}\gamma _{n,0}+\delta _{1}\gamma _{n,1}+\ldots +\delta _{p}\gamma _{n,p}.$

En général, on pourra se contenter de prendre le premier terme

$\delta _{0}\gamma _{n,0}={\frac {\theta _{0,0}}{2i\pi }}\,{\frac {-1}{nz_{0}^{d}}},$

$\theta _{0,0}$ étant la valeur de $\theta _{0}$ pour $z=z_{0},$ ou bien encore celle de $\theta$ pour $z=z_{0},$ $t=t_{0}.$

Or, si j’appelle $\Delta$ le carré de la distance des deux planètes, on a,

$\mathrm {F} (z,\,t)={\frac {\theta }{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}={\frac {t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}}}{\sqrt {\Delta }}}\cdot$

Donc

$\theta _{0,0}={\frac {1}{2}}t_{0}^{ad-bc-1}\,z_{0}^{-{\frac {d}{c}}}{\frac {d^{2}\Delta }{dt^{2}}},$

à la condition, bien entendu, qu’on fasse $t=t_{0},\,z=z_{0}$ dans ${\frac {d^{2}\Delta }{dt^{2}}}\cdot$

Ce que je viens de dire s’applique à la première et à la deuxième hypothèse du numéro précédent. Si l’on supposait

${\begin{aligned}x_{0}&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y_{0}&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\end{aligned}}$

une méthode analogue serait applicable puisque nous avons, dans ce cas, ramené $\Phi (z)$ à une intégrale

$\int {\frac {\varphi _{2}\,d\xi }{\sqrt {z-z_{0}-\xi ^{2}}}},$

qui est de même forme que

$\int {\frac {\theta \,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}\cdot$

Le coefficient $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ que nous venons de calculer est celui qui entre dans le développement de la partie principale $\mathrm {F} _{1}^{0}$ de la fonction perturbatrice. Nous avons posé en effet

$\mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}.$

Il conviendrait maintenant de tenir compte de la partie complémentaire $\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{1}^{0}$ de la fonction perturbatrice. Posons donc

$\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')},$

puis

${\begin{aligned}\mathrm {F} '(z,\,t)&=\mathrm {F} _{1}t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}},\\2i\pi \Phi '(z)&=\int \mathrm {F} '(z,\,t)\,dt.\\\end{aligned}}$

Si l’on suppose $m_{1}=an+b,$ $m_{2}=cn+d,$ $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ sera le coefficient de $z^{n}$ dans $\Phi '(z)$ de même que $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ était le coefficient de $z^{n}$ dans $\Phi (z).$

La fonction $\mathrm {F} '(z,\,t)-\mathrm {F} (z,\,t)$ n’a d’autres points singuliers que ceux des droites

${\begin{aligned}x&=\tau ,&x&={\frac {1}{\tau }},&y&=\tau ',&y&={\frac {1}{\tau '}}\cdot \end{aligned}}$

La fonction $\Phi '(z)-\Phi (z)$ n’aura donc que 4 points singuliers, à savoir

${\begin{aligned}x&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\cdot \end{aligned}}$

Il en résulte que, si le point singulier qui convient à la question n’est pas un de ces quatre points, c’est-à-dire dans les deux premières hypothèses du n^o 99 (ce qui est le cas le plus ordinaire), la différence $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}-\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ sera négligeable par rapport à $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}},$ et la valeur approchée de $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ sera la même que celle de $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}.$

Si, au contraire, le point singulier $z_{0}$ qui convient à la question est l’un de ces quatre points, il faudra tenir compte de la différence $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}-\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}},$ ce qui ne présente d’ailleurs pas de difficulté.

Application à l’Astronomie.

101.Le plus souvent on pourra se contenter d’une approximation assez grossière ; et, en effet, ce qu’on se propose, c’est de reconnaître si certains termes, dont l’ordre est très élevé, mais qui, par suite de la presque commensurabilité des moyens mouvements, sont affectés de diviseurs très petits, si ces termes, dis-je, sont ou ne sont pas négligeables. Le plus souvent ils le seront, et il suffira de se faire une idée de leur ordre de grandeur.

Je prendrai comme exemple la célèbre inégalité de Pallas. Pour l’étudier il faut faire le calcul en prenant

$a=2,\quad b=1,\quad c=-1,\quad d=0,\quad n=8,$

d’où

$m_{1}=17,\quad m_{2}=-8.$

Il semble qu’on pourrait tenter de retrouver par cette voie le résultat de Le Verrier.

Application à la démonstration de la non-existence des intégrales uniformes.

102.Mais ce n’est pas là le but principal que je me suis proposé en entreprenant ce travail. C’est, on se le rappelle, de combler la lacune que j’ai signalée à la fin du Chapitre précédent dans la démonstration de la non-existence des intégrales uniformes.

Dans le n^o 85, j’ai établi en effet ce qui suit. Soit

$\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')},$

$\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ dépend à la fois des deux grands axes, des deux excentricités, de l’inclinaison des orbites, des longitudes des deux périhélies (comptées à partir du nœud), c’est-à-dire de sept variables.

Soit

$m_{1}=an,\quad m_{2}=cn,$

$a,$ $c$ et $n$ étant des entiers, $a$ et $c$ premiers entre eux et de signe contraire. Donnons aux deux grands axes des valeurs déterminées choisies de telle sorte que le rapport des moyens mouvements soit égal à $-{\frac {c}{a}}\cdot$ Les coefficients $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ ne dépendront plus que de cinq variables. Posons, comme dans le Chapitre précédent,

$\mathrm {D} _{n}=\mathrm {B} _{an,cn}\zeta ^{q},$

$\mathrm {D} _{n}$ dépendra de six variables qui sont les deux excentricités, les longitudes de périhélies, l’inclinaison et $\zeta .$

Eh bien, s’il existait une intégrale uniforme, il y aurait une relation entre six quelconques des quantités $\mathrm {D} _{n}$ et les diverses quantités

$\mathrm {D} _{-n},\quad \ldots ,\quad \mathrm {D} _{-1},\quad \mathrm {D} _{0},\quad \mathrm {D} _{1},\quad \mathrm {D} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {D} _{n},\quad \ldots$

pourraient s 'exprimer en fonctions de cinq variables seulement et non de six.

Or, nous avons

$\Phi '(z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{an,cn}z^{n}$

et, par conséquent,

$\Phi '(z\zeta )={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}z^{n}$

S’il y avait donc une intégrale uniforme, les coefficients du développement de $\Phi '(z\zeta )$ ne dépendraient que de cinq paramètres.

En appliquant les règles des numéros précédents, on trouverait que l’on a approximativement pour $n$ très grand

$\mathrm {D} _{n}=\left({\frac {\zeta }{z_{0}}}\right)^{n}\left({\frac {\mathrm {E} _{1}}{n}}+{\frac {\mathrm {E} _{2}}{n^{2}}}+{\frac {\mathrm {E} _{3}}{n^{3}}}+\ldots \right).$

On verrait alors sans peine que, si les $\mathrm {D} _{n}$ s’expriment à l’aide de cinq variables seulement, il doit en être de même de

${\frac {\zeta }{z_{0}}},\quad \mathrm {E} _{1},\quad \mathrm {E} _{2},\ldots ,$

et, par conséquent, que les $\mathrm {E} _{i}$ dépendent seulement de quatre variables. On reconnaîtrait ensuite qu’il n’en est pas ainsi.

C’était là mon premier dessein ; mais il est plus simple d’opérer autrement.

Les points singuliers de $\Phi '(z\zeta )$ ne dépendent évidemment que des coefficients $\mathrm {D} _{n}\,;$ ils ne devraient donc dépendre que de cinq variables seulement.

Soient

$z_{1},\quad z_{2},\quad \ldots ,\quad z_{6}$

six des points singuliers de $\Phi '(z),$ les points singuliers correspondants de $\Phi '(z\zeta )$ seront

${\frac {z_{1}}{\zeta }},\quad {\frac {z_{2}}{\zeta }},\quad \ldots ,\quad {\frac {z_{6}}{\zeta }},$

et ils dépendront de $\zeta$ et de nos cinq autres variables, excentricités, inclinaison, longitudes des périhélies, que j’appellerai pour un instant

$\alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{5}.$

S’il y avait une intégrale uniforme, ils ne devraient dépendre que de cinq variables et le déterminant fonctionnel

${\frac {\partial \left({\dfrac {z_{1}}{\zeta }},\,{\dfrac {z_{2}}{\zeta }},\,\ldots ,\,{\dfrac {z_{6}}{\zeta }}\right)}{\partial \left(\zeta ,\,\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{5}\right)}}$

devrait être nul.

Mais ce déterminant est égal à

$-{\frac {z_{1}^{6}}{\zeta ^{7}}}\,{\frac {\partial \left({\dfrac {z_{2}}{z_{1}}},\,{\dfrac {z_{3}}{z_{1}}},\,\ldots ,\,{\dfrac {z_{6}}{z_{1}}}\right)}{\partial \left(\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{5}\right)}}\cdot$

Or $z$ n’est pas nul, ni $\zeta$ infini ; on devrait donc avoir

${\frac {\partial \left({\dfrac {z_{2}}{z_{1}}},\,{\dfrac {z_{3}}{z_{1}}},\,\ldots ,\,{\dfrac {z_{6}}{z_{1}}}\right)}{\partial \left(\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{5}\right)}}=0.$

En d’autres termes, les rapports deux à deux des points singuliers de $\Phi '(z)$ ne devraient dépendre que de quatre variables que j’appellerai $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\beta _{3},$ $\beta _{4}.$ Or ces points singuliers sont de deux sortes.

Nous avons d’abord ceux qui nous sont donnés par les équations

${\begin{aligned}x&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}},\end{aligned}}$

$z=x^{a}e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}\,y^{c}e^{{\frac {c\sin \varphi '}{2}}\left({\frac {1}{y}}-y\right)}\,;$

je les appelle $z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$ et $z_{4}.$

On voit toute de suite que $z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$ et $z_{4}$ ne dépendent que des deux excentricités, c’est-à-dire de $\tau$ et de $\tau '\,;$ que

$z_{1}z_{3}=z_{2}z_{4}=1.$

Le rapport ${\frac {z_{1}}{z_{3}}}$ ne dépendrait que de nos quatre variables $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\beta _{3},$ $\beta _{4}\,;$ or ce rapport est égal à $z_{1}^{2}.$ Donc $z_{1}$ et de même $z_{2},$ $z_{3},$ $z_{4}$ ne dépendraient que des quatre variables $\beta _{i}.$

Il en serait donc ainsi de $\tau$ et de $\tau '$ qui sont manifestement fonctions de $z_{1}$ et de $z_{2}.$

Passons aux points singuliers de la seconde sorte, qui nous sont fournis par les équations

$\Delta =0,\qquad {\frac {d\Delta }{dt}}=0.$

Quand, dans ces équations, on prend comme variables $x$ et $y,$ elles deviennent algébriques. L’équation $\Delta =0$ définit alors, comme nous l’avons vu, une courbe du sixième degré qui, pour une inclinaison nulle, se décompose en deux courbes (3) et (4) du troisième degré ; de l’équation ${\frac {d\Delta }{dt}}=0$ combinée avec $\Delta =0,$ on peut, si l’inclinaison est nulle, en déduire deux autres qui sont les équations (5) et (6) du n^o 96.

Soit $z_{0}$ une des racines des équations

(1)

$\Delta ={\frac {d\Delta }{dt}}=0,$

les rapports ${\frac {z_{0}}{z_{1}}},\,{\frac {z_{0}}{z_{2}}}$ et, par conséquent, $z_{0}$ ne dépendraient que des quatre variables $\beta _{i}.$

Si donc $z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}''$ sont trois racines des équations (1), $z_{0},$ $z_{0}',$ $z_{0}'',$ $\tau$ et $\tau '$ dépendraient seulement de ces quatre variables, de sorte que le déterminant fonctionnel

${\frac {\partial (\tau ,\,\tau ',\,z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}'')}{\partial (\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\alpha _{3},\,\alpha _{4},\,\alpha _{5})}}$

est nul. Supposons par exemple que $\alpha _{1}$ et $\alpha _{2}$ soient les deux excentricités ; $\tau$ dépendra seulement de $\alpha _{1}$ et $\tau '$ de $\alpha _{2},$ de sorte que ce déterminant fonctionnel est égal à

${\frac {d\tau }{d\alpha _{1}}}\,{\frac {d\tau '}{d\alpha _{2}}}\,{\frac {\partial (z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}'')}{\partial (i,\,\varpi ,\,\varpi ')}},$

puisque les trois dernières variables sont l’inclinaison $i$ et les longitudes des périhélies $\varpi$ et $\varpi '.$

On devrait donc avoir

${\frac {\partial (z_{0},\,z_{0}',\,z_{0}'')}{\partial (i,\,\varpi ,\,\varpi ')}}=0,$

ce qui voudrait dire que les racines de l’équation (1) (quand on regarde les deux excentricités et, par conséquent, $\tau$ et $\tau '$ comme des constantes) ne dépendraient plus que de deux variables.

Il me reste à démontrer qu’il n’en est pas ainsi.

103.Commençons par le cas où l’inclinaison est nulle. Dans ce cas, les racines des équations (1) ne dépendent que des grands axes, des excentricités et de la différence $\varpi -\varpi '.$ Si, comme nous venons de le faire, nous regardons les grands axes et les excentricités comme des constantes, ces racines ne dépendront plus que de la différence $\varpi -\varpi '.$

En se rappelant ce que nous avons dit au n^o 85 et en raisonnant comme nous venons de le faire dans le numéro précédent, on verrait que pour que le problème des trois Corps dans le plan admît une intégrale uniforme (autre que celles des forces vives et des aires), il faudrait que ces racines ne dépendissent pas de $\varpi -\varpi '$ et qu’elles demeurassent constantes quand les grands axes et les excentricités demeurent eux-mêmes constants et l’inclinaison nulle.

Or il est clair qu’il n’en est pas ainsi, car $z_{0}$ est réel quand $\varpi -\varpi '$ est nul et imaginaire, en général, dans le cas contraire.

Revenons maintenant au cas où l’inclinaison n’est pas nulle.

Énumérons les points singuliers donnés par les équations

(1)

$\Delta =0,\qquad {\frac {d\Delta }{dt}}=0.$

Pour cela, supposons l’inclinaison très petite, nous verrons, en nous reportant à ce qui a été dit au n^o 98, qu’il existe :

1^o Huit points singuliers très peu différents de D, C, F, T et de leurs réciproques ;

2^o Huit points singuliers dont deux diffèrent très peu de B, deux autres très peu de R et deux autres très peu de chacun de leurs réciproques ;

3^o Quatre points très peu différents de U $(x=\tau ,\,y=\tau ')\,;$ et en effet, quand l’inclinaison est nulle, les deux courbes $\Delta =0,$ ${\frac {d\Delta }{dt}}=0$ ont un point double en U ;

4^o Quatre points très peu différents de U′ $(x={\frac {1}{\tau }},\,y={\frac {1}{\tau '}}).$

En tout 24 points singuliers.

On peut arriver au même résultat d’une autre manière.

On voit que

$x^{2}y^{2}\Delta =\mathrm {P}$

est un polynôme entier du sixième ordre en $x$ et $y\,;$ de sorte que l’équation

$\mathrm {P} =0$

est celle d’une courbe du sixième ordre qui se décompose en deux autres (3) et (4), quand l’inclinaison est nulle.

D’autre part, l’équation ${\frac {d\Delta }{dt}}$ peut être remplacée par la suivante

$\mathrm {Q} =cx^{2}(1+\tau ^{2})(y-\tau ')(1-\tau 'y){\frac {d\mathrm {P} }{dx}}-ay^{2}(1+\tau '^{2})(x-\tau ')(1-\tau x){\frac {d\mathrm {P} }{dy}}=0.$

Cette équation $\mathrm {Q} =0$ est celle d’une courbe du neuvième ordre, et les points singuliers seront les intersections de ces deux courbes, moins celles qui sont rejetées à l’origine ou à l’infini.

La courbe $\mathrm {P} =0$ admet l’origine comme point double et les axes comme asymptotes doubles ; la courbe $\mathrm {Q} =0$ admet l’origine comme point triple et les deux axes comme asymptotes triples.

Mais il y a plus. On peut remarquer que $\mathrm {P}$ est la somme de trois carrés, de sorte que je puis écrire

$\mathrm {P} =\mathrm {U} _{1}^{2}+\mathrm {U} _{2}^{2}+\mathrm {U} _{3}^{2}=\Sigma \mathrm {U} ^{2},$

avec

$\mathrm {U} =\mathrm {A} x^{2}y+\mathrm {B} xy^{2}+\mathrm {C} xy+\mathrm {D} x+\mathrm {E} y.$

D’autre part, on peut poser

$\mathrm {V} =x\,{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}-\mathrm {U} =\mathrm {A} x^{2}y-\mathrm {E} y,$

d’où

$x\,{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}=2\Sigma \mathrm {VU} +\mathrm {P} .$

Il vient donc, en tenant compte de $\mathrm {P} =0,$

${\begin{aligned}\mathrm {Q} &=2cxy(1+\tau ^{2})(y-\tau ')(1-\tau 'y)\Sigma (\mathrm {A} x^{2}-\mathrm {E} )\mathrm {U} \\&-2axy(1+\tau '^{2})(x-\tau )(1-\tau x)\,\Sigma (\mathrm {B} y^{2}-\mathrm {D} )\mathrm {U} ,\\\end{aligned}}$

de sorte qu’en supprimant le facteur $2xy$ le système

$\mathrm {P} =\mathrm {Q} =0$

peut être remplacé par le suivant

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=0,\\\mathrm {R} &=c(1+\tau ^{2})(y-\tau ')(1-\tau 'y)\Sigma (\mathrm {A} x^{2}-\mathrm {E} )\mathrm {U} \\&-a(1+\tau '^{2})(x-\tau )(1-\tau x)\,\Sigma (\mathrm {B} y^{2}-\mathrm {D} )\mathrm {U} =0.\\\end{aligned}}$

La courbe $\mathrm {R} =0$ n’est plus que du septième ordre ; elle n’a plus à l’origine qu’un point simple. Elle admet comme asymptotes les deux axes, deux droites autres que l’axe des $x$ et parallèles à cet axe, deux droites autres que l’axe des $y$ et parallèles à cet axe, une droite non parallèle aux axes.

Les deux courbes $\mathrm {R} =0,$ $\mathrm {P} =0$ ont en tout 42 intersections. Parmi ces intersections il y en a deux à l’origine. Voyons combien il y en a à l’infini dans la direction de l’axe des $x.$

La courbe $\mathrm {R}$ a trois asymptotes parallèles à l’axe des $x$ parmi lesquelles cet axe lui-même ; la courbe $\mathrm {P}$ admet cet axe comme asymptote double ; en général, cela ferait sept points d’intersection. En général, en effet, s’il y a une asymptote double, c’est qu’il y a un « point de rebroussement à l’infini ». Il n’en est pas ainsi pour la courbe $\mathrm {P} ,$ mais elle présente deux branches de courbes distinctes se touchant à l’infini, ce qui donne non pas sept, mais huit points d’intersection.

Nous avons donc à l’infini huit points dans la direction de l’axe des $x,$ et huit dans celle de l’axe des $y.$

Il reste donc

$42-2-8-8=24$ points singuliers.

Cela posé, est-il possible que les $z$ de ces 24 points singuliers ne dépendent que de deux variables ? Appelons $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$ ces deux variables. Nous pouvons en choisir une troisième $\gamma _{3}$ de façon que $i,$ $\varpi$ et $\varpi '$ soient des fonctions de $\gamma _{1},$ $\gamma _{2}$ $\gamma _{3}.$ Alors, quand on ferait varier $\gamma _{3},$ les deux autres variables $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$ demeurant constantes, les $z$ ne devraient pas varier.

On a par hypothèse

$\Delta =0,\qquad {\frac {d\Delta }{dt}}=0.$

En différentiant la première de ces deux équations, on trouve

${\frac {d\Delta }{dt}}\,dt+{\frac {d\Delta }{dz}}\,dz+{\frac {d\Delta }{d\gamma _{3}}}\,d\gamma _{3}=0.$

Or ${\frac {d\Delta }{dt}}=0$ et d’autre part $dz$ devrait être nul puisque $z$ ne devrait pas varier. Il resterait donc

(2)

${\frac {d\Delta }{d\gamma _{3}}}\,d\gamma _{3}=0.$

Voyons ce que signifie cette équation. Si l’on fait varier $\gamma _{3},$ la courbe $\Delta =0$ (ou ce qui revient au même la courbe $\mathrm {P} =0$) varie ; considérons la courbe

$\Delta +{\frac {d\Delta }{d\gamma _{3}}}=0,$

infiniment peu différente de $\mathrm {P} =0$ et que j’appellerai la courbe $\mathrm {P} '.$ L’équation (2) signifierait que cette courbe $\mathrm {P} '$ devrait passer par les 24 points singuliers.

Or ces deux, courbes $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ sont du sixième ordre ; elles ne peuvent donc, sans se confondre, admettre plus de 36 points d’intersection.

Elles en ont quatre à l’origine où elles ont toutes deux un point double.

Elles admettent l’axe des $x$ comme asymptote double, ce qui fait (en tenant compte de la remarque faite plus haut au sujet de la nature de cette asymptote double) huit intersections à l’infini dans la direction de l’axe des $x.$ Il y en aurait de même huit dans la direction de l’axe des $y.$

Cela ferait en tout

$24+4+8+8=44$ intersections.

Les deux courbes devraient donc se confondre.

Ainsi, quand on ferait varier $\gamma _{3},$ la courbe $\mathrm {P} =0$ ne devrait pas varier.

Interprétons ce résultat.

Considérons les deux ellipses décrites par les deux planètes. Ces deux ellipses seront invariables de grandeur et de forme puisque nous sommes convenus de regarder les grands axes et les excentricités comme des constantes ; mais, quand on fera varier $i,$ $\varpi$ et $\varpi ',$ ces deux ellipses se déplaceront l’une par rapport à l’autre. Je puis supposer que l’une des ellipses $\mathrm {E}$ est fixe, et l’autre $\mathrm {E} '$ mobile.

Dire que la courbe $\mathrm {P} =0$ ne change pas quand $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$ restent constants, c’est dire que l’on peut trouver une loi du mouvement de $\mathrm {E'} ,$ telle que si, à un instant quelconque, un point $\mathrm {M} '$ de $\mathrm {E} '$ est à une distance nulle d’un point $\mathrm {M}$ de $\mathrm {E}$ (inutile de rappeler que ces deux points étant imaginaires peuvent être à une distance nulle sans coïncider), la distance de ces deux points restera constamment nulle.

Soit $\mathrm {M} _{0}'$ la position du point $\mathrm {M} '$ à un instant quelconque. Il y a sur $\mathrm {E}$ quatre points : $\mathrm {M} _{1},$ $\mathrm {M} _{2},$ $\mathrm {M} _{3},$ $\mathrm {M} _{4}$ qui sont à une distance nulle de $\mathrm {M} _{0}'\,;$ ces quatre points ne peuvent être en ligne droite. Le point $\mathrm {M} '$ devrait donc rester sur quatre sphères de rayon nul ayant leurs centres en $\mathrm {M} _{1},$ $\mathrm {M} _{2},$ $\mathrm {M} _{3},$ $\mathrm {M} _{4}\,;$ mais, comme ces centres ne sont pas en ligne droite, ces quatre sphères ne peuvent avoir que deux points communs à distance finie. Il est donc impossible que le point $\mathrm {M} '$ se meuve en restant sur ces quatre sphères.

La non-existence des intégrales uniformes se trouve ainsi rigoureusement démontrée.