LEÇON VINGTIÈME.
Équations dérivées à plusieurs variables. Théorie de ces équations. Méthodes générales pour trouver les équations primitives des équations du premier ordre à plusieurs variables.
Considérons d’abord une équation quelconque entre les trois variables
et
par laquelle
soit une fonction déterminée de
et
Représentons cette équation par

et supposons, pour un moment, que
et
soient des fonctions données d’une même variable
alors
sera aussi une fonction de
dépendante de l’équation proposée, et, par la théorie des équations dérivées exposées dans les Leçons précédentes, non seulement la fonction
sera nulle, mais encore ses dérivées
prises relativement à
seront nulles.
Or, en conservant la notation de la Leçon VI, on a

dans cette formule,
sont les fonctions dérivées de
par rapport à
et
sont les fonctions dérivées de
prises par rapport à chacune des variables
en particulier.
Ainsi l’équation

donnera celle-ci

Mais, en considérant
comme fonction de
et
on a

donc, substituant, on aura
![{\displaystyle x'\left[\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)\right]+y'\left[\operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e1f4b6f77ac594ec3b50c97834f913324049f4)
Pour que les fonctions
et
de
derneurent indéterminées, il faudra que leurs fonctions dérivées
et
disparaissent de l’équation précédente, ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant les deux équations séparées

Il est visible que ces deux équations ne sont autre chose que les dérivées de l’équation primitive

prises séparément par rapport à
et par rapport à 
En effet, puisque dans cette équation les deux variables
et
sont essentiellement indépendantes entre-elles, ses dérivées par rapport à
et par rapport à
auront lieu chacune en particulier. Or, la variables
étant, par cette équation, une fonction de
et
dont les fonctions dérivées sont
par rapport à
seul, et
par rapport à
seul, il est clair que la dérivée de
sera
par rapport à
et qu’elle sera
par rapport à
de sorte que l’équation primitive

donnera ces deux dérivées indépendantes

lesquelles serviront à trouver les valeurs des fonctions
et
et l’on aura

Ayant ainsi les valeurs des deux premières fonctions dérivées de
on en déduira celles des fonctions secondes
en prenant les dérivées de
et
par rapport à
et
et ainsi de suite. Il suit de là que, l’équation primitive

ayant lieu, ses deux dérivées

auront lieu aussi en même temps ; par conséquent une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi, et pourra tenir lieu de l’équation dérivée.
Ainsi une équation entre
et les deux dérivées
ou
par rapport à
et
sera une équation du premier ordre à trois variables, à laquelle répondra nécessairement une équation primitive en
Soit, par exemple, l’équation

et
étant des quantités constantes.
Son équation primitive sera

la caractéristique
dénotant une fonction quelconque.
En effet, si l’on prend les fonctions dérivées par rapport à
on a

et, si l’on prend ces fonctions par rapport à
on a

de sorte qu’en éliminant la fonction dérivée
on a l’équation dérivée proposée

Considérons l’équation générale de la même forme, dans laquelle
et
soient des fonctions quelconques données de
Supposons que

soit son équation primitive ; on aura, par ce qu’on a vu ci-dessus,

donc, substituant ces valeurs dans l’équation proposée, et multipliant tous les termes par
on aura, en changeant les signes,

Or on a, en général, comme on l’a vu,

en regardant
comme des fonctions quelconques d’une autre variable
donc, substituant dans cette formule, à la place de
sa valeur tirée de l’équation précédente, savoir,
on aura

On voit, par cette expression de la fonction dérivée
que cette fonction deviendra, nulle si l’on établit entre les trois variables
des relations telles, que l’on ait ces deux équations particulières

Ces équations, étant entre les trois variables
serviront à déterminer les valeurs de ces variables en fonctions de la troisième ; de sorte que, par la substitution de ces valeurs, la fonction
deviendra aussi une fonction de cette troisième variable. Donc, puisque sa fonction dérivée doit alors devenir nulle, il s’ensuit que la variable doit disparaître d’elle-même, et que la fonction
ne pourra contenir, après cette substitution, que des constantes.
Or, les deux équations

étant du premier ordre, leurs équations primitives contiendront deux
constantes arbitraires que nous désignerons par

et

En effet, si de ces deux équations on veut éliminer, par exemple, la variable

on tombera dans une équation du second ordre en

et

dans laquelle on pourra faire

suivant qu’on voudra regarder
comme fonction de
ou
comme fonction de
et cette équation aura pour équation primitive une équation en
et
avec deux constantes arbitraires.
Ensuite on aura aussi
en fonction de
et
par l’une des deux équations proposées.
Il suit de là qu’après la substitution des valeurs de
et
en
tirées des deux équations du premier ordre dont il s’agit, la fonction
ne contiendra plus que les constantes
et
avec celles qui se trouvent dans les quantités
et
de sorte qu’elle deviendra simplement une fonction de
et
que nous désignerons par
Par conséquent l’équation primitive

se réduira à

par laquelle on voit que l’une des constantes
et
sera fonction de l’autre.
Mais, à la place des constantes
et
on peut mettre leurs valeurs en
tirées des deux équations primitives, où elles entrent comme arbitraires. Donc, si l’on désigne par
et
ces valeurs de
et
l’équation primitive de la proposée deviendra

la fonction désignée par
étant arbitraire.
Il résulte de là une méthode générale pour trouver l’équation primitive d’une équation quelconque du premier ordre, à trois variables
dans laquelle les deux fonctions dérivées de la variable, qui est censée fonction des deux autres, ne se trouvent qu’à la première dimension, telle que

ou, ce qui est la même chose,

et
étant des fonctions quelconques de
On fera ces deux équations

dans lesquelles on peut supposer l’une des trois fonctions dérivées
égales à l’unité, suivant la variable qu’on voudra regarder comme principale, et dont les deux autres seront censées des fonctions ; et, ayant trouvé, s’il est possible, les deux équations primitives de ces équations, on en déduira les valeurs
et
des deux constantes arbitraires
et
qu’elles doivent renfermer ; on aura alors

pour l’équation primitive cherchée, d’où résulte

la caractéristique
désignant une fonction quelconque de 
L’analyse précédente est plus simple et plus directe que celle que j’ai donnée dans la Théorie des fonctions[1] ; c’est ce qui m’a engagé à la mettre ici, d’autant qu’elle s’applique avec la même facilité aux équations semblables entre un plus grand nombre de variables. Dans les Mémoires de Berlin de 1779[2], je m’étais contenté de prouver, a posteriori, la légitimité et la généralité de cette méthode.
Considérons de la même manière l’équation à quatre variables
de la forme

étant des fonctions quelconque de 
Si l’on représente son équation par

sa fonction dérivée
sera, en général,

et l’on aura, relativement à chacune des variables
en particulier, les équations

Tirant de ces équations les valeurs des fonctions
et les substituant dans l’équation proposée, elle deviendra, après la multiplication par
et le changement des signes,

d’où l’on tire

Cette valeur de
étant substituée dans celle de
on aura

Si donc on introduit entre les quatre variables
les relations déterminées par les trois équations

la fonction dérivée
deviendra nulle ; par conséquent la fonction primitive
ne pourra contenir que des constantes.
Or les trois équations dont il s’agit, étant du premier ordre, auront trois équations primitives qui contiendront trois constantes arbitraires
et par lesquelles trois des variables
pourront être déterminées en fonction de la quatrième. Donc, si dans la fonction
on substitue les valeurs de ces variables, il faudra que la variable restante disparaisse d’elle-même, et la fonction ne pourra plus contenir que les mêmes constantes
avec celles qui entreront dans les expressions de
De sorte qu’après cette substitution la fonction
deviendra nécessairement de la forme
Or les trois équations primitives dont il s’agit déterminent les valeurs de
en fonctions des variables
de sorte qu’en désignant ces fonctions par
on peut mettre ces équations sous la forme

Donc la fonction
devra être de la forme
puisqu’il n’y a que cette forme qui puisse devenir fonction de
en vertu des trois équations primitives

Donc l’équation primitive

deviendra

par laquelle on aura

la caractéristiques
désignant une fonction quelconque de
et 
Ainsi :
1o L’équation du premier ordre à trois variables

dépend des deux équations du premier ordre entre les mêmes variables

et, si

sont les équations primitives de celles-ci,
et
étant les constantes
arbitraires, l’équation primitive de la proposée sera

étant une fonction quelconque de 
2o L’équation du premier ordre à quatre variables

dépend de ces trois équations entre les mêmes variables

Et, si

sont les trois équations primitives de celles-ci,
étant les constantes arbitraires, l’équation primitive de la proposée sera

désignant une fonction quelconque de
et
et ainsi de suite.
De cette manière, la recherche des équations primitives des équations du premier ordre, par lesquelles une variable est fonction de deux ou de plusieurs autres, est réduite à la recherche des équations primitives d’équations du même ordre, dans lesquelles toutes les variables sont fonctions d’une seule et même variable. Or, en Analyse, on regarde la solution d’un problème comme connue, lorsqu’elle est réduite à celle d’un problème d’un genre inférieur, quoique celle-ci puisse être sujette encore à beaucoup de difficultés.
Supposons, pour donner des exemples très simples, que les quantités
soient constantes ; les deux équations

auront ces primitives

donc l’équation

aura cette primitive

comme nous l’avons déjà vu plus haut.
Les trois équations

auront ces primitives

et l’équation

aura cette primitive

Il est bon de remarquer que les équations

où
sont des constantes arbitraires, donnent chacune une solution particulière de l’équation proposée, ce qui est évident par la forme même de la solution générale

car, puisque la fonction désignée par
est arbitraire, on peut toujours réduire ces équations à

Ainsi il est facile de voir que l’équation

satisfait à l’équation dérivée

car elle donne

donc

Mais, si l’on prenait l’autre équation

on ne verrait pas d’abord comment elle y peut satisfaire, puisque la variable
n’y entre pas. Comme cette équation ne donne qu’un rapport entre
et
par lequel
est fonction de
ou y fonction de
il faudra changer l’équation dérivée de manière qu’au lieu des fonctions dérivées de
par rapport à
et
elles contiennent les fonctions dérivées de
par rapport à
et
ou de
par rapport à
et
ce qu’on obtiendra par les substitutions que nous avons indiquées plus haut.
Nous allons donner ici cette transformation pour servir d’exemple dans les cas semblables.
On mettra donc à la place de
et
les quantités

et l’équation dérivée ci-dessus deviendra, en multipliant tous les termes par 

dans laquelle
est maintenant censée fonction de
et 
Or l’équation

donne

d’où l’on tire

valeurs qui satisfont évidemment à l’éduation précédente.
Nous venons de voir, dans les exemples précédents, que l’équation primitive renferme, dans le cas de trois variables, une fonction arbitraire d’une quantité composée de ces variables, et, dans le cas de quatre variables, une fonction arbitraire de deux quantités composées de ces variables.
Nous allons démontrer que cette proposition est générale, quelle que soit la forme de l’équation dérivée du premier ordre.
En appliquant aux équations à trois variables la théorie que nous avons donnée, dans la Leçon XII, sur les équations dérivées à deux variables, il est aisé de voir que, puisqu’une équation à trois variables a deux équations dérivées, on pourra, par le moyen de ces trois équations, qui ont lieu simultanément, éliminer deux constantes à volonté, et parvenir ainsi à une équation du premier ordre, qui contiendra deux constantes de moins que l’équation primitive.
D’où il suit réciproquement que l’équation primitive d’une équation du premier ordre à trois variables doit contenir deux constantes de plus que l’équation du premier ordre, et que ces constantes seront nécessairement arbitraires.
Prenons pour équation primitive l’équation à trois variables

en regardant
comme fonction de
et
on aura ces deux dérivées, l’une relative à
et l’autre relative à 

Éliminant, par le moyen de ces trois équations, les constantes
et
on aura l’équation du premier ordre

à laquelle répondra l’équation primitive

les constantes
et
demeurant arbitraires.
Mais il n’en est pas ici comme dans les équations à deux variables, où, dès qu’on a trouvé une équation primitive avec une constante arbitraire, on est assuré qu’elle a toute la généralité que l’équation du premier ordre peut comporter ; car on peut trouver une infinité d’équations à trois variables qui, par l’élimination de deux constantes au moyen de leurs dérivées, donnent la même équation du premier ordre.
Par exemple, l’équation

donne ces deux dérivées

d’où l’on tire, par l’élimination de
et
la même équation

On pourra trouver autant d’autres équations primitives qu’on voudra qui redonneront la même équation du premier ordre ; mais, dès qu’on en a une avec deux constantes arbitraires, on peut en déduire la formule générale de toutes les autres par des principes analogues à ceux qui nous ont conduits aux équations primitives singulières, et que nous avons exposés dans la Leçon XV.
En effet, si l’on considère une équation primitive à trois variables, telle que

dans laquelle il y a deux constantes
et
qu’on se propose de faire disparaître au moyen de ses deux dérivées, il est visible que le résultant de l’élimination de ces constantes sera toujours le même, soit que les constantes
et
soient constantes ou non, pourvu que les deux dérivées soient les mêmes, ce qui aura nécessairement lieu lorsqu’en regardant les quantités
et
comme variables, les termes provenant de leur variation, dans les deux équations dérivées, seront nuls.
Or, tant que
et
sont constants, l’équation

donne, comme on l’a vu plus haut, ces deux dérivées, l’une par rapport à
et l’autre par rapport à y,</math>

Mais, en regardant
et
comme fonctions de
et
ces dérivées deviendront

Et il est clair qu’elles se réduiront aux précédentes, en déterminant
et
de manière que l’on ait les deux équations

Il est d’abord visible qu’on peut satisfaire à ces deux conditions, en faisant

ce qui donne deux équations par lesquelles on pourra déterminer
et
en fonctions de 
Cette solution répond évidemment à celle qui donne les équations primitives singulières des équations à deux variables, comme nous l’avons vu dans la Leçon XV.
Ainsi on pourra appeler aussi équation primitive singulière l’équation

dans laquelle on aura substitué pour

et

les valeurs tirées des deux équations

Mais il y a une manière plus générale de satisfaire aux mêmes conditions.
Supposons que
soit une fonction quelconque de
que nous désignerons par
alors
deviendra
par conséquent
deviendra
et
deviendra
Faisant ces substitutions dans les deux équations de condition, elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)\right]\left({\frac {a'}{x'}}\right)=&0,\\\left[\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)\right]\left({\frac {a'}{y'}}\right)=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a5651aafa29be90f82db0d0192c7780c9cd635)
et l’on y satisfera par cette équation unique

laquelle servira à déterminer la valeur de
et la fonction
demeurera arbitraire.
En effet, si dans l’équation primitive

on fait

elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,y,z,a,\varphi (a)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7547b93cc74da381981afb1edc02eab35e2ef1b)
et, si l’on désigne par
la fonction dérivée de
prise relativement à
seul, il est facile de voir qu’en faisant
![{\displaystyle \operatorname {F} '[a,\varphi (a)]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eee4c9bf60820fd41dcff6955f728884a5dfbb0)
les équations dérivées de la proposée, prises relativement à
et à
seront les mêmes,
étant variable, que si elle ne variait pas ; que, par conséquent, l’équation du premier ordre, déduite de celle-ci par l’élimination de
et
sera encore la même.
Il est visible que l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '[a,\varphi (a)]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b46b69cc22e1faa121c4835fbdccec55c95f5f0)
n’est autre chose que l’équation ci-dessus

en faisant

De cette manière, on aura donc aussi une espèce d’équations primitives singulières, mais plus générales que l’équation primitive proposée, à raison de la fonction arbitraire qu’elles contiendront.
Si donc on a une équation du premier ordre à trois variables, telle que

on peut supposer qu’elle ait pour équation primitive

où
et
soient deux constantes arbitraires.
Nous appellerons celle-ci équation primitive complète, à raison des deux constantes arbitraires qu’elle contient, et qui ne peuvent disparaître que par le moyen de ses deux dérivées. S’il arrivait que les deux constantes s’en allassent à la fois au moyen d’une seule de ces dérivées, elles ne pourraient alors tenir lieu que d’une seule constante, et l’équation primitive ne serait pas complète.
Dès qu’on aura trouvé une équation primitive complète, on en pourra déduire une autre plus générale, et qui contiendra une fonction arbitraire.
Car il n’y aura qu’à faire

et à déterminer ensuite
par la condition
![{\displaystyle \operatorname {F} '[a,\varphi (a)]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99f2e247c70442ba732ee4b4732323964d67e6d)
Nous nommerons celle-ci équation primitive générale, pour la distinguer de la précédente.
Enfin, la même équation primitive complète donnera encore l’équation primitive singulière, en déterminant
et
en fonction de
par les deux conditions

Par exemple, nous avons vu plus haut que l’équation du premier ordre

a pour équation primitive complète

Pour en déduire l’équation primitive générale, on fera

et l’on prendra les fonctions dérivées par rapport à
seul ; on aura les deux équations

d’où il faudra éliminer
comme la fonction
est arbitraire, on peut, en lui donnant différentes formes, en déduire une infinité d’équations primitives complètes différentes, avec deux constantes arbitraires.
Soit, par exemple,

les deux équations deviendront

la seconde donne

et cette valeur, substituée dans la première, la réduit à

qui est l’autre forme d’équation primitive que nous avions trouvée.
On pourra, de la même manière, en trouver tant d’autres qu’on voudra ; mais il est remarquable que la première équation primitive complète, d’ôù l’équation primitive générale a été déduite, n’y est jamais comprise.
Ainsi, il est impossible de déterminer la fonction
de manière que les deux équations

donnent celle-ci

et
étant des constantes arbitraires.
Car supposons la chose possible ; en substituant dans la première la valeur de
on aura à satisfaire à ces deux équations

La seconde donne

cette valeur, substituée dans la première, la rend divisible par
et il en résulte

d’où l’on tire

divisant par
on a l’équation

dont chaque membre est une fonction dérivée exacte.
La fonction primitive du premier membre est
et celle du second membre est
la caractéristique
dénotant le logarithme hyperbolique (Leçon IV) ; donc, prenant les fonctions primitives et ajoutant la constante arbitraire
on aura
![{\displaystyle l[\varphi (a)-\mathrm {B} ]=l(a-\mathrm {A} )+lk,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c50097a9a02ed81c13428d5dee9c138e11cd7)
d’où l’on tire

et, par conséquent,

Telle devrait donc être la forme de la fonction
d’où l’on déduit

Ces valeurs étant maintenant substituées dans les deux équations ci-dessus, elles deviendront

auxquelles on ne peut satisfaire qu’en faisant

ce qui ne donne rien.
Jusqu’à présent on avait cru que toute équation primitive qui satisfait à une équation du premier ordre à trois variables, avec une fonction arbitraire, est aussi générale que celle-ci peut le comporter. L’exemple précédent met cette proposition en défaut, et nous prouverons plus bas la même chose d’une manière générale et directe.
Il est vrai que, dans le cas que nous venons d’examiner, on peut donner à l’équation primitive une forme plus simple et plus générale.
Car, en considérant les deux équations

on voit que la seconde donne

d’où il résulte que
est une fonction de 
Faisons donc

nous aurons

mais il faudra qu’il y ait entre les fonctions

et

une relation dépendante de l’équation

En effet, si, en regardant a comme une variable, on prend les fonctions dérivées relativement à la quantité
les équations

donneront

donc, substituant dans la seconde, pour
et pour
leurs valeurs, on aura l’équation de condition

Maintenant la première équation devient, par la substitution des valeurs de
et de

et, si l’on met cette équation sous la forme
![{\displaystyle z=x\left[\psi \left({\frac {x}{y}}\right)+{\frac {y}{x}}\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5edd7e63a7074ac00d45ab8d419bea45b86403cc)
il est visible qu’elle se réduit à celle-ci

La fonction
demeure absolument arbitraire, puisque les deux fonctions
et
ne forment qu’une fonction de
en sorte que la relation trouvée entre ces fonctions devient ici inutile.
Et il est bon de remarquer que cette dernière solution est précisément celle que l’on trouve directement par la méthode générale exposée plus haut pour les équations du premier ordre de la forme

Car l’équation proposée

étant divisée par
et comparée à la formule précédente, donne

de sorte que les deux-équations particulières

deviennent

Chacune de ces deux équations, étant divisée par
devient une dérivée exacte, et l’on a les deux primitives

On a ainsi

d’où résulte l’équation primitive

qui s’accorde avec celle que nous venons de trouver.
On voit aussi que cette forme renferme l’équation complète

car il n’y a qu’à supposer

Si l’on avait l’équation du premier ordre
![{\displaystyle z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right)+f\left[\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f607e0b45e19bf4e406be4f3ab6e9ee4747504f)
la caractéristique
dénotant une fonction quelconque donnée des deux fonctions dérivées
on trouverait aisément pour son équation primitive complète l’équation

et
étant deux constantes arbitraires.
En effet, en prenant les deux dérivées de cette équation par rapport à
et à
on a

et, substituant ces valeurs de
et
il vient l’équation proposée.
Maintenant, pour trouver l’équation primitive générale, il n’y aura qu’à faire

et déterminer ensuite
par la dérivée, prise relativement à
seul.
Ainsi on aura le système des deux équations
![{\displaystyle z=ax+y\varphi (a)+f\left[a,\varphi (a)\right],\quad x+y\varphi '(a)+f'\left[a,\varphi (a)\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8898c3b0decddc7775a4b3941a3996115ef35bdd)
Enfin, pour avoir l’équation primitive singulière, on éliminera
et
au moyen des deux dérivées, l’une par rapport à
et l’autre par rapport à
Ces dérivées sont

Comme l’élimination de
et
est impossible tant qu’on ne particularise pas la fonction
si à la place des variables
et
on introduit les deux variables
et
on aura

et de là

pour l’équation primitive singulière.
Si l’on considère ces trois espèces d’équations primitives, il est facile de voir qu’elles sont essentiellement distinctes l’une de l’autre, et que chacune d’elles ne peut être renfermée dans aucune des deux autres, ni les renfermer ; car, dans la première, les quantités
et
sont constantes, au lieu qu’elles deviennent, dans la seconde et dans la troisième, des fonctions différentes des variables
Mais on peut s’en convaincre d’une manière plus sensible, par la considération des surfaces représentées par ces différentes équations primitives. Pour cela, je considère d’abord l’équation générale du plan

dont la position par rapport aux trois plans rectangulaires des
des
et des
est déterminée par les constantes
Car il est facile de prouver que
est la tangente de l’angle que l’intersection de ce plan avec le plan des
et
fait avec l’axe des
que
est la tangente de l’angle que l’intersection du même plan avec l’autre plan des
et
fait avec l’axe de
enfin que ce plan passe par le point de l’axe des
qui est éloigné de l’origine commune des trois axes de la quantité
Ainsi on peut regarder
comme les éléments du plan, puisque sa position par rapport aux axes des
en dépend entièrement.
Si l’on combine l’équation du plan avec ses deux dérivées, prises séparément par rapport à
et
on peut déterminer les valeurs des trois éléments
en fonctions de
et l’on trouve

Or nous avons démontré rigoureusement, dans la Théorie des fonc- tians analytiques[3], que, par rapport à une surface quelconque dont on a l’équation en
les expressions précédentes des quantités
donnent également les éléments du plan tangent de la surface au point qui répond aux coordonnées
d’où il suit que deux surfaces qui, pour les mêmes coordonnées, auront aussi les mêmes valeurs des fonctions dérivées
et
se toucheront nécessairement au point qui répond à ces coordonnées, puisqu’elles auront l’une et l’autre le même plan tangent.
Cela posé, l’équation primitive complète

dans laquelle
et
sont des constantes arbitraires, représente une surface dont la nature et la position dépendent de ces constantes ; en sorte qu’en faisant varier ces constantes la surface variera aussi successivement.
Or, si l’on fait

et qu’on détermine
en fonction de
de manière que les deux équations dérivées restent les mêmes que si
ne variait pas, ce qui donne l’équation primitive générale, il est visible que cette équation représentera une surface tout à fait différente, mais qui aura, en chaque point, le même plan tangent que si la quantité
demeurait constante, puisque les expressions des quantités
et
restent les mêmes. Donc cette surface sera touchée en chaque point par la surface de l’équation primitive complète qui répond à

et où
aura une valeur constante déterminée par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '\left[a,\varphi (a)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d556f18cbfb18eb705e64730cdca8f60ed2795ca)
qui est la condition de l’équation primitive générale, les valeurs de 

dont

devient fonction, répondant au point de contact des deux surfaces, et étant censées constantes par rapport aux surfaces touchantes.
Mais, en regardant
comme constante, l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '\left[a,\varphi (a)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7a5a90835655cbc2fc7dfd7f470a8efeac289e)
représente aussi une surface ; et son intersection avec la surface représentée par
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,y,z,a,\varphi (a)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21fc687bba5340880e90c9e0274f4802999dcff9)
sera une ligne tracée sur cette même surface, dont chaque point sera, par conséquent, un point de contact des deux surfaces dont il s’agit.
D’où l’on peut conclure que la surface représentée par l’équation primitive générale sera touchée, dans toute l’étendue d’une ligne, par une des surfaces représentées par l’équation primitive complète, dans laquelle on supposera l’une des constantes.

de manière que l’équation primitive complète
![{\displaystyle \operatorname {F} [x,y,z,a,\varphi (a)]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e366a735d54cdafdedd5c20d19af2e8ab8168bd0)
où
est constante, donnera, en faisant varier successivement la valeur de
une infinité de surfaces successives dont chacune aura une ligne d’attouchement avec la surface représentée par l’équation primitive générale, et il est aisé de concevoir que ces lignes ne pourront être que les intersections mutuelles des mêmes surfaces ; que, par conséquent, la surface représentée par l’équation primitive générale ne sera formée elle-même que par toutes ses intersections successives.
Maintenant il est évident que la nature de cette surface est subordonnée à la fonction
et qu’elle n’a de contact qu’avec celles des surfaces de l’équation primitive complète

pour lesquelles

Mais, si, en regardant
et
comme variables, on les détermine par les
deux équations

ce qui donne alors l’équation primitive singulière, la surface représentée par cette dernière équation sera aussi touchée par la surface de l’équation primitive complète, dans laquelle
et
auront des valeurs constantes, puisque les valeurs des expressions
et
sont encore les mêmes, soit que
et
soient constantes ou variables, et les points d’attouchement pour des valeurs données de
et
seront déterminés par les deux équations

combinées avec l’équation primitive

de sorte que, pour chaque valeur de
et
il n’y aura qu’un point de contact déterminé ; d’où il est aisé de conclure que la surface représentée par l’équation primitive singulière ne sera touchée en chacun de ses points que par une des surfaces de l’équation primitive complète

mais qu’elle sera touchée par toutes celles qui peuvent être représentées par cette équation, en donnant à
et
des valeurs constantes quelconques ; de sorte qu’on pourra regarder cette même surface comme formée par l’intersection mutuelle et continuelle de toutes les surfaces dont nous parlons, en faisant varier successivement les valeurs des constantes
et 
Cette théorie n’est, comme l’on voit, qu’une généralisation de celle que nous avons donnée dans la Leçon XVIII, sur les courbes représentées par les équations primitives ordinaires ou singulièresdes équations du premier ordre à deux variables.
L’équation primitive complète

que nous avons traitée plus haut, représente, comme l’on voit, un plan dont la position dépend des deux constantes

et
Si l’on fait

et qu’on détermine
par l’équation
![{\displaystyle x+y\varphi '(a)+f'\left[a,\varphi (a)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e018c1b4e7cacfb63f5a77753f58df618a467ec5)
pour avoir l’équation primitive générale, la surface représentée par cette équation sera touchée et formée par l’intersection mutuelle et successive de tous les plans représentés par l’équation
![{\displaystyle z=ax+y\varphi (a)+f\left[a,\varphi (a)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e27979551e9933224fd8a8a306170a7764458f)
en donnant successivement à
toutes les valeurs possibles, et cette surface sera développable dans le sens le plus étendu.
Mais, si l’on détermine
et
par les deux équations

ce qui donne l’équation primitive singulière, la surface représentée par cette dernière équation sera formée et touchée par tous les plans qui peuvent être représentés par l’équation

en donnant successivement à
et
toutes les valeurs successives possibles.
Et toutes ces différentes surfaces seront représentées à la fois par l’équation du premier ordre
![{\displaystyle z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right)+f\left[\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0e856d50793baeccf2b44bdf52c6699bbdcd4b)
On peut voir, dans les écrits de Monge, la théorie de la génération des surfaces et des équations qui peuvent les représenter, développée dans toute son étendue, et avec des considérations particulières et ingénieuses qui lui appartiennent.
Lorsque l’équation du premier ordre renfermera plus de trois variables, on pourra aussi la supposer déduite d’une équation entre ces mêmes variables, et autant de constantes arbitraires qu’il y aura de variables moins une ; car alors cette équation fournira autant d’équations dérivées qu’il y aura de constantes, par lesquelles on pourra, en éliminant ces constantes, parvenir à l’équation du premier ordre.
L’équation avec les constantes arbitraires sera donc l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre ; et l’on en pourra déduire des équations primitives plus ou moins générales par la variation de ces constantes, en supposant l’une, ou quelques-unes d’entre elles, fonctions de toutes les autres, et les déterminant par les équations dérivées prises par rapport à chacune de celles-ci.
Enfin si, sans établir aucun rapport entre ces constantes, on les détermine toutes par les équations dérivées prises par rapport à chacune d’elles en particulier, on aura l’équation primitive singulière ; car, par ces déterminations, les équations dérivées resteront les mêmes, et le résultat de l’élimination sera, par conséquent, le même que si les variables étaient demeurées constantes.
Ainsi l’équation entre quatre variables
et trois constantes

sera la primitive complète de l’équation du premier ordre entre
et les trois fonctions dérivées
déduites des trois dérivées prises par rapport à 

en éliminant, par leur moyen, les trois constantes 
De là, en regardant
comme variables, et faisant

on aura l’équation primitive générale par les deux équations dérivées
relatives à

et

et, si l’on fait à la fois

on aura une autre équation primitive moins générale, en déterminant
par l’équation relative à 

Enfin on aura l’équation primitive singulière par les trois équations dérivées relatives à
,

On voit par là qu’en général toute équation du premier ordre entre trois variables, dont une est censée fonction des deux autres, peut avoir pour équation primitive une équation entre ces mêmes variables, contenant une fonction arbitraire ; que toute équation du premier ordre entre quatre variables, dont une sera censée fonction des trois autres, pourra avoir pour équation primitive une équation entre ces quatre variables, contenant une fonction arbitraire de deux quantités formées de ces variables, et ainsi de suite l’introduction de ces fonctions arbitraires dans les équations primitives et leur évanouissement dans les équations dérivées sont le vrai caractère qui distingue les équations dérivées à plusieurs variables de celles qui n’ont que deux variables, et où l’équation primitive n’admet que des constantes arbitraires.
Nous avons donné plus haut une méthode directe pour trouver l’équation primitive de toute équation du premier ordre à un nombre quelconque de variables, lorsque les fonctions dérivées n’y passent pas le premier degré. On peut, par une considération fort simple, que j’ai proposée il y a longtemps [Mémoires de Berlin de 1772[4]], rendre toute équation du premier ordre à trois variables susceptible de cette méthode. Mais il se présente alors, dans l’application de la même méthode, des difficultés qui ont échappé à ceux qui ont déjà fait cette application, et que je n’ai pas cherché à résoudre dans la Théorie des fonctions[5], en traitant le même sujet, parce que je n’avais encore rien trouvé de satisfaisant. C’est ce qui m’engage à revenir sur cet objet pour n’y plus rien laisser à désirer.
Faisons, pour plus de simplicité,

toute équation du premier ordre à trois variables sera représentée par

et l’on aura la formule

à laquelle il faudra satisfaire par le moyen de l’une des indéterminées
et
l’autre étant donnée par l’équation du premier ordre.
Comme les quantités
et
ne peuvent être que des fonctions de
si l’on suppose

on aura l’équation

qui ne peut avoir une équation primitive qu’autant que les fonctions désignées par
et
satisferont à la condition

comme nous l’avons vu dans la Leçon précédente.
Or, puisque

on aura

donc, faisant ces substitutions, on aura, pour l’équation de condition, celle-ci du premier ordre

ou bien

L’équation donnée

fournit ces trois dérivées, relatives à 

par le moyen desquelles on pourra éliminer les fonctions dérivées de
ou de 
Éliminons celles de
on aura, par la première et la troisième,

et, substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus du premier ordre, elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+p\operatorname {F} '(z)+\operatorname {F} '(p)\left({\frac {p'}{x'}}\right)+\operatorname {F} '(q)\left({\frac {p'}{y'}}\right)+\left[p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)\right]\left({\frac {p'}{z'}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bb1b89901458a2a1b6b61257bcc2c0f8232aed)
où l’on voit que les fonctions dérivées de l’inconnue
ne sont qu’à la première dimension, la quantité
étant d’ailleurs une fonction de
donnée par l’équation

Lorsqu’on aura déterminé, par ces équations, les fonctions
et
l’équation

aura nécessairement une équation primitive, qui sera en même temps l’équation primitive de la proposée du premier ordre
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,y,z,\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77258e7998e2bb0c8ccba5d67c3e5ccce0b290ae)
Comparons maintenant l’équation ci-dessus, qui contient les fonctions dérivées de
relativement aux trois variables
avec la formule

que nous avons déjà traitée dans cette Leçon, et dont nous avons vu que l’équation primitive dépend des trois équations particulières

nous aurons, en prenant respectivement les variables
à la place des variables
les valeurs

de sorte que les trois équations particulières deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'\operatorname {F} '(p)-x'\operatorname {F} '(q)=&0,\\z'\operatorname {F} '(p)-x'\left[p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)\right]=&0,\\p'\operatorname {F} '(p)+x'\left[\operatorname {F} '(x)\ \ +p\operatorname {F} '(z)\right]=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b5938997c87953bfac63bc655bcace833830eb)
Comme ces trois équations ne renferment que quatre variables
on pourra les réduire à une seule entre deux variables ; ainsi la difficulté est rabaissée aux équations de ce genre.
Supposons donc qu’on ait trouvé leurs équations primitives qui renfermeront nécessairement trois constantes arbitraires
on pourra en tirer les valeurs de ces trois constantes en
et
et, si l’on dénote ces valeurs par
on aura sur-le-champ, comme nous l’avons démontré, l’équation

pour l’équation primitive de l’équation du premier ordre en
et
la fonction
étant une fonction arbitraire quelconque de
et de 
Cette équation, combinée avec l’équation donnée

donnera les valeurs de
et
en
qui, étant substituées dans l’équation

la rendront susceptible d’une équation en
qui sera l’équation cherchée.
Comme jusqu’ici rien ne limite la fonction
il s’ensuivrait que l’équation primitive d’une équation du premier ordre à trois variables pourrait renfermer une fonction arbitraire de deux quantités, tandis que, dans les cas que nous avons examinés, nous n’avons jamais trouvé que des fonctions arbitraires d’une seule quantité ; il est d’ailleurs facile de se convaincre qu’il est impossible de faire disparaître d’une équation à trois variables une fonction arbitraire de deux quantités, par le moyen de ses deux équations dérivées.
Cette difficulté, je l’avoue, m’a longtemps tourmenté ; enfin je suis parvenu à la résoudre par les considérations suivantes.
Je remarque d’abord que, comme les trois équations

satisfont, par l’hypothèse, aux trois équations du premier ordre
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'\operatorname {F} '(p)-x'\operatorname {F} '(q)=&0,\\z'\operatorname {F} '(p)-x'\left[p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)\right]=&0,\\p'\operatorname {F} '(p)+x'\left[\operatorname {F} '(x)\ \ +p\operatorname {F} '(z)\right]=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b5938997c87953bfac63bc655bcace833830eb)
avec les constantes arbitraires

, si l’on tire de ces mêmes équations

les valeurs de
en fonction de
et qu’on les substitue dans les équations précédentes, elles deviendront nécessairement identiques ; de sorte que, par ces substitutions, les premiers membres des équations dont il s’agit deviendront identiquement nuls, quelles que soient les valeurs de
En général, comme les variables
sont regardées comme indépendantes, il sera indifférent de substituer les valeurs de trois de ces variables exprimées en fonctions de
et de la quatrième variable.
Or le premier membre de la première, étant multiplié par
et retranché du premier membre de la seconde des mêmes équations, donne

Donc, si dans la formule
on fait les mêmes substitutions des valeurs de
en
le résultat sera encore identiquement nul.
À la place des variables
on peut, sans nuire à la généralité, introduire les quantités
regardées comme variables, en conservant les mêmes expressions de
en
Alors, dans la formule
les termes provenant de la variabilité de
se détruiront mutuellement, puisque ces mêmes expressions rendent cette formule nulle dans le cas où
sont constantes ; elle deviendra donc de la forme
dans laquelle
seront des fonctions de
Donc l’équation

deviendra

et la condition qui doit la rendre susceptible d’une équation primitive sera, par ce que nous avons trouvé,

puisque la substitution des valeurs de

en

donne

d’où ces valeurs sont supposées tirées.
Or, en prenant les fonctions dérivées, on a

Donc, faisant ces substitutions, l’équation
![{\displaystyle \left[\mathrm {A+C} \varphi '(a)\right]a'+\left[\mathrm {B+C} \varphi '(b)\right]b'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff090af5796fea288b22f4d49087c5753852a390)
aura nécessairement une équation primitive, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la variable
disparaîtra d’elle-même de l’équation, puisque sa fonction dérivée
a déjà disparu.
Alors l’équation sera entre les deux seules variables
et
et amura toujours une équation primitive, par laquelle
deviendra fonction de
seul ; et cette fonction sera arbitraire, à cause de la fonction arbitraire
Ainsi les deux quantités
et
seront nécessairement, l’une et l’autre, fonctions de
seul ; mais il faudra qu’elles satisfassent à l’équation

Soient donc

en les substituant dans cette équation, on aura

ce qui donne une relation entre les deux fonctions
et
et il en restera une d’arbitraire.
Maintenant, si l’on remet pour
leurs valeurs
on aura, pour l’équation primitive cherchée, le système des deux équations

d’où, en éliminant
on aura une équation en
avec une fonction arbitraire.
Telle est la solution directe et complète du problème ; mais nous verrons qu’on peut la simplifier dans plusieurs cas.
Prenons pour exemple l’équation du premier ordre

On aura ici

donc

et les trois équations du premier ordre en
deviendront

Or l’équation

donne

donc les trois équations dont il s’agit deviendront

et l’on pourrait faire l’une des fonctions dérivées
égale à l’unité.
La première et la dernière donnent

d’où l’on tire l’équation primitive

étant une constante arbitraire.
Ensuite la seconde et la troisième donnent

savoir

les fonctions primitives logarithmiques sont

d’où l’on tire

étant une constante arbitraire.
Enfin, si dans la première on substitue
pour
et
pour
on a, en divisant par

d’où l’on déduit, en prenant les fonctions primitives,

étant la troisième constante arbitraire.
Ainsi on aura, en dégageant les valeurs de ces constantes,

Maintenant, si dans l’équation

on substitue pour
la valeur
elle devient

Et si, à la place de
on y met les expressions trouvées ci-dessus en
en regardant les quantités
comme variables, on a la transformée

qui, en effaçant ce qui se détruit et divisant ensuite par
se réduit à

Donc, faisant

on aura

ce qui donne

Ainsi on aura le système de ces deux équations

savoir,

d’où il faudra éliminer
et la fonction
demeurera arbitraire.
Nous ferons ici une remarque importante : lorsqu’on a trouvé deux équations primitives renfermant deux constantes arbitraires, comme

on pourrait croire qu’en éliminant
on aurait une équation primitive avec deux constantes arbitraires, qui serait, par conséquent, l’équation primitive complète de la proposée, et d’où l’on pourrait ensuite tirer l’équation primitive générale avec une fonction arbitraire.
On aurait, de cette manière, l’équation

Mais il est facile de se convaincre qu’elle ne satisfait pas à la proposée

car elle donne

Il en serait de même si l’on employait, pour chasser
la seconde et la troisième équation ; on aurait alors

savoir,

ce qui donnerait

Mais, si l’on employait la première et la dernière, on aurait, par l’élimination de

d’où l’on tire

cette expression donne

valeurs qui satisfont à la proposée.
La raison de cette espèce de bizarrerie se trouve dans l’équation donnée plus haut

Elle fait voir que les deux quantités
et
peuvent être constantes ensemble ; que, par conséquent, les deux équations

ont lieu à la fois, de sorte qu’en éliminant
on a une équation en
et les deux constantes arbitraires
qui sera, par conséquent, l’équation primitive complète de la proposée. Mais l’équation ne serait pas satisfaite par la simple supposition de
et
ou de
et
constantes ensemble ; d’où il suit que les deux équations

prises ensemble, ne satisfont pas à la proposée.
Au reste, on peut trouver l’équation primitive complète, au moyen d’une seule de ces équations ; car elle donne une valeur de
en
et une constante arbitraire ; et, comme cette valeur satisfait à l’équation du premier ordre en
et
elle rendra l’équation

susceptible d’une équation primitive ainsi il n’y aura qu’à chercher cette équation en
ajoutant une constante arbitraire, et l’on aura l’équation primitive complète avec les deux constantes.
Ou bien on tirera de l’équation trouvée la valeur de
en
et, comme

on cherchera l’équation primitive, en ne regardant que
et
comme variables. Cette équation pourra alors renfermer une fonction arbitraire de
qu’on déterminera aisément par l’équation proposée ; et, comme celle-ci est du premier ordre, la fonction de
renfermera au moins une constante arbitraire, de sorte qu’on aura de nouveau une équation primitive complète avec les deux constantes.
Prenons dans l’exemple précédent la première équation
savoir,

Elle donne

et, comme on a

on aura

Ces deux valeurs, étant substituées dans l’équation

donnent

équation qui, étant divisée par
a pour primitive

où
est la nouvelle constante arbitraire.
Or cette équation est la même que nous avons trouvée ci-dessus par l’élimination de
La même équation

devient, en substituant pour

sa valeur

Comme il n’y a ici que la fonction dérivée de
relativement à
on peut ôter les parenthèses et mettre l’équation sous la forme

dont l’équation primitive, en regardant
comme constante, est

étant une fonction quelconque de 
Cette valeur donne, en prenant les fonctions dérivées par rapport à
et

Substituant ces expressions dans la proposée

on a

d’où l’on tire

et, par conséquent,

en prenant
pour une constante arbitraire.
Ainsi l’équation primitive devient, comme ci-dessus,

Ayant cette équation primitive complète, pour en tirer l’équation primitive générale, on fera

et l’on prendra la dérivée par rapport à
seul ; on aura ainsi le système
des deux équations
![{\displaystyle z=(y-a)\left[x=\varphi (a)\right],\quad x-\varphi (a)+(y-a)\varphi '(a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d337f0ac6b884310cafd5331d7070542542ed9)
d’où il faudra éliminer 
Pour les comparer aux équations trouvées ci-dessus par la méthode générale, il n’y a qu’à les mettre sous la forme

Comme la quantité
doit être éliminée, on peut mettre à sa place une quantité quelconque. Si l’on y met sa valeur
on a les mêmes équations déjà trouvées, d’où il faut ensuite éliminer
La théorie des équations à plusieurs variables des ordres supérieurs au premier est encore très imparfaite.
Lorsque ces équations admettent une équation primitive de l’ordrc immédiatementinférieur, on peut les regarder comme provenant d’une équation primitive complète de ce dernier ordre avec deux constantes arbitraires, ainsi que nous l’avons démontré pour les équations du premier ordre ; et, lorsqu’on connaît, d’une manière quelconque, cette équation primitive, on peut, par les mêmes principes, en tirer les équations primitives générales et singulières ; mais on sait que, dès le second ordre, il y a une infinité d’équations qui ne sont point susceptibles d’une équation primitive du premier ordre, et qui admettent néanmoins une équation primitive absolue sans fonctions dérivées. Nous n’entrerons point ici dans ce détail qui nous mènerait trop loin, et nous renvoyons, pour ce qui regarde les équations de ce genre, aux Traités connus de Calcul différentiel.