Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 19

Joseph-Louis Lagrange

Leçons sur le calcul des fonctions

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome X, p. 299-321).

LEÇON DIX-NEUVIÈME.

Des fonctions de deux ou plusieurs variables ; de leurs fonctions dérivées. Notation et formation de ces fonctions.

---

Nous n’avons encore traité que des fonctions d’une seule variable ; car, lorsque nous avons considéré des fonctions de deux ou de plusieurs variables, nous avons regardé ces variables elles-mêmes comme fonctions d’une seule et même variable,. Or, si l’on considère une fonction de deux ou de plusieurs variables indépendantes, il est clair que cette fonction pourra avoir différentes fonctions dérivées relatives aux différentes variables, et qui naîtront de la fonction primitive par le simple développement, en attribuant à chaque variable un accroissement particulier.

Ainsi le calcul des fonctions dérivées relatives à une seule variable conduit naturellement à celui des fonctions dérivées relatives à différentes variables, lequel n’est, comme l’on voit, qu’une généralisation du premier, et dépend des mêmes principes.

Si les inventeurs du Calcul différentiel l’avaient regardé d’abord comme le calcul des fonctions dérivées, ils auraient été conduits naturellement et immédiatement au calcul des fonctions dérivées relatives à plusieurs variables, et il ne se serait pas passé un demi-siècle entre la découverte du Calcul différentiel proprement dit et celle du calcul aux différences partielles, qui répond au calcul des fonctions dérivées relatives à différentes variables. $\mathrm {A}$ plus forte raison, au lieu d’envisager ce dernier comme un nouveau calcul, on l’aurait seulement regardé comme une nouvelle application ou plutôt comme une extension du Calcul différentiel, et l’on aurait, dès le commencement, embrassé sous un même point de vue et sous une même dénomination les différentes branches du même calcul, qui ont été longtemps séparées et comme isolées.

Soit d’abord $f(x,y)$ une fonction quelconque de deux variables $x$ et $y,$ que nous regarderons comme indépendantes l’une de l’autre. Si dans cette fonction on substitue à la fois $x+i$ à la place de $x,$ et $y+o$ à la place de $y,$ les deux quantités $i$ et $o$ étant indéterminées, qu’ensuite on développe la fonction $f(x+i,y+o)$ suivant les puissances ascendantes de $i$ et de $o,$ il est clair que le premier terme sans $i$ ni $o$ sera la fonction proposée, $f(x,y),$ et que les autres termes seront de nouvelles fonctions de $x$ et de $y,$ multipliées successivement par $i,o,i^{2},io,o^{2},o^{3},\ldots .$

Ces fonctions seront aussi dérivées de la fonction primitive $f(x,y),$ et l’on trouvera la loi de leur dérivation en considérant successivement les dérivées relatives à chacune des quantités $i$ et $o.$

Pour cela, on commencera par supposer qu’il n’y ait que la variable $x$ qui devienne $x+i,$ la variable $y$ demeurant la même, et l’on développera la fonction $f(x+i,y)$ comme une simple fonction de $x.$ On supposera ensuite que, dans les fonctions dérivées relatives à $x,$ la variable $y$ devienne $y+o,$ et l’on développera chacune de ces fonctions comme des fonctions de $y,$ en regardant alors la variable $x$ comme une constante.

Il naitra ainsi, du développement de $f(x+i,y+o),$ différentes fonctions dérivées de la fonction primitive $f(x,y),$ dont les unes seront relatives à la variable $x,$ les autres seront relatives à la variable $y,$ et d’autres enfin seront relatives en partie à la variable $x$ et en partie à la variable $y,$ la loi du développement étant toujours la même, mais appliquée successivementaux différentes variables.

Mais, pour ne pas confondre dans la notation ces différentes fonctions dérivées, on pourra dénoter les fonctions dérivées, relatives à la seule variable $x,$ par des traits appliqués, comme à l’ordinaire, à la caractéristique de la fonction, et suivis d’une virgule ; les fonctions dérivées relatives à la variable $y,$ par des traits appliqués à la même caractéristique, mais précédés d’une virgule ; enfin les fonctions dérivées relatives en partie à la variable $x$ et en partie à la variable $y,$ par des traits séparés par une virgule, de manière que ceux qui précèdent la virgule se rapportent à la variable $x,$ et ceux qui la suivent se rapportent à la variable $y.$

Cette notation conserve mieux l’analogie qui doit régner entre les fonctions dérivées et la fonction primitive $f(x,y),$ dans laquelle la virgule sépare les deux variables indépendantes $x$ et $y,$ que celle que j’avais employée dans la théorie des fonctions, en appliquant au bas de la caractéristique $f$ les traits relatifs aux fonctions dérivées par rapport à la seconde variable $y.$

D’ailleurs nous trouvons plus convenable d’employer, comme nous l’avons déjà fait dans la Leçon XVII, les traits inférieurs pour désigner les fonctions primitives d’une fonction donnée.

De cette manière on aura donc, en premier lieu,

$f(x+i,y)=f(x,y)+if'^{,}(x,y)+{\frac {i^{2}}{2}}f''^{,}(x,y)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''^{,}(x,y)+\ldots .$

Substituant maintenant partout $y+o$ à la place de $y,$ on aura

${\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y+o)+if'^{,}(x,y+o)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''^{,}(x,y+o)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''^{,}(x,y+o)+\ldots .\end{aligned}}$

Développons successivement les fonctions

$f(x,y+o),\quad f'^{,}(x,y+o),\quad f''^{,}(x,y+o),\quad \ldots$

comme des fonctions de $y+o\,;$ on aura pareillement

${\begin{aligned}f(x,y+o)=&f(x,y)+of^{,}\,'(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f^{,}\,''(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f^{,}\,'''(x,y)+\ldots ,\\f'^{,}(x,y+o)=&f'^{,}(x,y)+of'^{,}\,'(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f'^{,}\,''(x,y)+\ldots ,\\f''^{,}(x,y+o)=&f''^{,}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de $i$ et $o,$ on aura ce développement complet

${\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y)+if'^{,}(x,y)+of^{,}\,'(x,y)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''^{,}(x,y)+iof'^{,}\,'(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f^{,}\,''(x,y)\\&+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''^{,}(x,y)+{\frac {i^{2}o}{2}}f'^{,}\,'(x,y)+{\frac {io^{2}}{2}}f'^{,}\,''(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f^{,}\,'''(x,y)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dans lequel la forme générale du terme est

${\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}f^{m,n}(x,y).$

Dans l’opération que nous venons de faire pour avoir le développement de $f(x+i,y+o),$ nous avons commencé par substituer, dans $f(x,y),$ $x+i$ pour $x,$ et nous avons développé suivant $i\,;$ nous avons ensuite substitué, dans tous les termes de ce développement, $y+o$ pour $y,$ et nous avons développé suivant $o.$

Or il est visible qu’on aurait identiquement le même résultat si l’on commençait l’opération par la substitution de $y+o$ à la place de $y,$ et par le développement suivant $o,$ et qu’on fit ensuite la substitution de $x+i$ pour $x,$ et le développement suivant $i.$

De cette manière on aurait d’abord les fonctions primes, secondes,… relatives à $y,$ c’est-à-dire, suivant la notation que nous venons d’employer, les fonctions

$f^{,}\,'(x,y),\quad f^{,}\,''(x,y),\quad \ldots .$

Ensuite on aurait les fonctions primes, secondes,… de celles-ci relatives à $x,$ et qui seraient désignées par

${\begin{array}{lll}f'^{,}\,'(x,y),&f''^{,}\,'(x,y),&\ldots ,\\f'^{,}\,''(x,y),&f^{'',''}(x,y),&\ldots ,\end{array}}$

et l’on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus, comme cela doit être.

Mais il faut remarquer que, dans le premier procédé, la fonction $f'^{,}\,'(x+y),$ relative à la fois à $x$ et à $y,$ s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $x,$ ce qui donne $f'^{,}(x,y),$ et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $y,$ d’où résulte la fonction seconde $f'^{,}\,'(x,y)\,;$ et, dans le second procédé, la même fonction s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $y,$ ce qui donne $f^{,}\,'(x,y),$ et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $x,$ ce qui donne également $f'^{,}\,'(x,y).$

D’où il suit qu’il est indifférent dans quel ordre se fasse la double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive $f(x,y)$ à la double dérivée $f'^{,}\,'(x,y).$

Et, comme on doit dire la même chose des autres fonctions dérivées dénotées par des traits séparés par une virgule, on en peut conclure, en général, que les opérations indiquées par les traits placés avant et après la virgule sont absolument indépendantes entre elles, et qu’elles conduisent aux mêmes résultats, quelque ordre qu’on suive en prenant les fonctions dérivées relativement à $x$ et $y,$ indiquées par les traits qui précèdent ou qui suivent la virgule.

Ainsi on aura également la valeur de la fonction dérivée triple $f''^{,}\,'(x,y),$ en prenant la fonction seconde de $f(x,y)$ relativement à $x,$ et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $y,$ ou en prenant d’abord la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $y,$ et ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à $x,$ ou bien encore en prenant la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $x,$ ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $y,$ et enfin la fonction prime de cette dernière relativement à $x,$ et ainsi de suite.

Soit, par exemple,

$f(x,y)={\frac {x^{3}}{y^{2}}};$

on aura les fonctions primes, relatives à $x$ et $y,$

$f'^{,}(x,y)={\frac {3x^{2}}{y^{2}}},\quad f^{,}\,'(x,y)=-{\frac {2x^{3}}{y^{3}}}.$

La première donnera, relativement à $y,$ la dérivée

$f'^{,}\,'(x,y)=-{\frac {6x^{2}}{y^{3}}},$

et la seconde donnera également, relativement à $x,$

$f'^{,}\,'(x,y)=-{\frac {6x^{2}}{y^{3}}}\,;$

ensuite on aura, relativement à $x$ et à $y$ seuls,

$f''^{,}(x,y)={\frac {6x}{y^{2}}},\quad f^{,}\,''(x,y)={\frac {6x^{3}}{y^{4}}}.$

La dérivée, relativement à $y,$ de $f''^{,}(x,y)$ sera

$f''^{,}\,'(x,y)=-{\frac {12x}{y^{3}}},$

et la dérivée, relativement à $x,$ de $f'^{,}\,'(x,y)$ sera aussi

$f''^{,}\,'(x,y)=-{\frac {12x}{y^{3}}},$

et ainsi des autres.

À l’imitation de ce que nous avons fait sur les fonctions d’une variable, si l’on suppose que la variable $z$ soit une fonction de deux variables $x$ et $y,$ soit explicite, soit donnée simplement par une équation quelconque entre $x,y$ et $z,$ on pourra désigner par

$z'^{,},\quad z^{,}\,',\quad z''^{,},\quad z'^{,}\,',\quad z^{,}\,'',\quad \ldots$

ses différentes fonctions dérivées, en appliquant à la lettre $z$ les traits avec la virgule qu’on applique à la caractéristique $f.$

Ainsi, $x$ devenant $x+i$ et $y$ devenant en même temps $y+o,$ la valeur de $z$ deviendra

$z+iz'^{,}+oz^{,}\,'+{\frac {i^{2}}{2}}z''^{,}+ioz'^{,}\,'+{\frac {o^{2}}{2}}z^{,}\,''+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''^{,}+{\frac {i^{2}o}{2}}z''^{,}\,'+\ldots ,$

et le terme général de cette série sera

${\frac {i^{m}o^{m}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}z^{m,n}.$

On voit que les fonctions de deux variables engendrent, par le développement, différentes sortes de fonctions dérivées dont la dérivation répond à chacune de ces variables, et que ces fonctions dérivées se forment de la même manière et par les mêmes règles que celles d’une seule variable, en considérant chaque variable séparément et successivement d’où il suit que tout ce que nous avons démontré sur les fonctions d’une seule variable pourra s’appliquer de même aux fonctions de deux variables, relativement à chacune d’elles.

On pourra donc aussi étendre la théorie des fonctions dérivées aux fonctions de trois variables ou d’un plus grand nombre ; car il ne s’agira que de répéter séparément, pour chaque variable, les mêmes opérations, et de les désigner par une notation semblable.

Dans les Leçons précédentes, où nous ne considérions que les fonctions dérivées relativement à une seule variable, lorsqu’il s’est présenté des fonctions de plusieurs variables, nous nous sommes contentés de renfermer, sous la caractéristique des fonctions dérivées, la variable par rapport à laquelle nous voulions avoir la fonction dérivée.

Ainsi, pour ne pas anticiper sur ce qui regarde les fonctions dérivées relatives à plusieurs variables, nous avons dénoté jusqu’ici par $f'(x),$ $f''(x),\ldots$ les fonctions dérivées de $f(x,y)$ relatives à la seule variable $x,$ qui, suivant la notation précédente, seraient $f^{',}(x,y),f^{'',}(x,y),\ldots .$

Cette manière de noter les fonctions dérivées relativement à une seule variable nous suffisait alors, et nous pourrons l’employer encore quelquefois, pour plus de commodité, pourvu qu’on soit prévenu de son identité avec la notation que nous venons d’établir.

Quoique, dans les fonctions de deux variables que nous considérons ici, les deux variables soient censées indépendantes, et que ce soit même cette indépendance qui produise les différentes espèces de fonctions dérivées dont nous venons de parler, rien n’empêche cependant qu’on ne puisse regarder ces variables elles-mêmes comme des fonctions d’une autre variable quelconque, mais fonctions indéterminées et arbitraires.

Par cette considération, on peut ramener, en quelque manière, la théorie des fonctions de deux variables à celle des fonctions d’une seule, et appliquer, surtout au développement des fonctions de deux ou de plusieurs variables, ce que nous avons démontré dans la Leçon XVIII, sur le développement des fonctions d’une seule variable.

Soit $z$ une fonction de deux variables $x$ et $y\,;$ supposons que chacune de ces variables soit elle-même une fonction d’une autre variable $t,$ de manière que $z$ devienne une simple fonction de $t\,;$ sous ce point de vue, lorsque $t$ devient $t+i,$ $z$ deviendra, par la formule générale (Leçon II),

$z+iz'+{\frac {i^{2}}{2}}z''+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''+\ldots .$

Et si, dans ce développement, on veut s’arrêter au terme $\mu$^ième (Leçon IX), on aura les limites du reste par le terme qui suivra, savoir,

${\frac {i^{\mu }}{1.2.3\ldots \mu }}z^{(\mu )},$

en mettant $t+i$ à la place de $t$ dans la fonction $z^{(\mu )}$ et prenant la plus grande et la plus petite valeur de cette fonction depuis $i=0$ jusqu’à la valeur donnée de $i,$ ou des valeurs quelconques plus grandes et plus petites que celle-ci.

Or, $x$ et $y$ étant supposées fonctions de $t,$ lorsque $t$ devient $t+i,$ $x$ et $y$ deviennent, par la même formule générale,

${\begin{aligned}&x+ix'+{\frac {i^{2}}{2}}x''+\ldots ,\\&y+iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y''+\ldots ,\end{aligned}}$

et l’on trouvera les valeurs des fonctions dérivées $z',z'',\ldots$ en $x,y,$ $x',y',x'',y'',\ldots$ par les procédés exposés dans la Leçon VI.

Si l’on ne veut avoir le développement de $z$ que par rapport aux accroissements $ix'$ et $iy'$ de $x$ et $y,$ il n’y aura qu’à supposer $x'$ et $y'$ constants ; par conséquent

$x''=0,\quad y''=0,\quad \ldots ,$

et $x'$ et $y'$ pourront être des coefficients quelconques.

Si, dans les accroissements de $x$ et $y,$ on voulait considérer les deux termes

$ix'+{\frac {i^{2}}{2}}x'',\quad iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y'',$

on ne ferait alors que

$x'''=0,\quad y'''=0,\quad \ldots ,$

et $x',x'',y',y''$ pourraient être prises pour des constantes quelconques, et ainsi de suite.

Soit, par exemple :

$z=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m};$

on aura, en prenant les dérivées d’après la Leçon VI, et supposant $x',y'$ constantes,

${\begin{aligned}z'\ \ =&2m(xx'+yy')\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-1},\\z''\ =&2m\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-1}\\&+4m(m-1)(xx'+yy')^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-2},\\z'''=&12m(m-1)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(xx'+yy')\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-2}\\&+8m(m-1)(m-2)(xx'+yy')^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-3},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, lorsque $x$ et $y$ deviennent $x+ix',y+iy',$ on aura

$\left[(x+ix')^{2}+(y+iy')^{2}\right]^{m}$

${\begin{aligned}=&\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m}+2m(xx'+yy')\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-1}\\&+\left[2m\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-1}+4m(m-1)(xx'+yy')^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-2}\right]{\frac {i^{2}}{2}}+\ldots .\end{aligned}}$

Si l’on veut s’arrêter à ces trois premiers termes, alors, le terme suivant étant ${\frac {i^{3}}{2.3}}z''',$ on aura les limites du reste en substituant $x+ix',$ $y+iy',$ au lieu de $x$ et de $y,$ dans l’expression de $z'''$ et prenant la plus grande et la plus petite valeur de cette expression depuis $i=0.$

Si $m-3$ est un nombre positif, et que $x'$ et $y'$ soient aussi des quantités positives, il est facile de voir que la plus petite valeur de $z'''$ sera

${\begin{aligned}12m(m-1)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)&(xx'+yy')\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-2}\\+8m(m-1)(m-2)&(xx'+yy')^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-3},\end{aligned}}$

qui répond à $i=0,$ et que la plus grande sera cette même quantité, en y mettant $x=ix'$ et $y+iy'$ à la place de $x$ et $y.$

Si l’on voulait avoir le développement de $z$ répondant à $x+i$ et $y+o,$ comme dans le commencement de cette Leçon, il est clair qu’il n’y aurait qu’à faire

$x'=1,\quad iy'=0;$

on trouverait des résultats semblables.

Car, en désignant par des traits sans virgule les fonctions dérivées par rapport à la variable principale $t,$ et par des traits séparés par une virgule les fonctions dérivées relativement à chacune des variables $x$ et $y,$ comme nous l’avons fait ci-dessus, on aura, suivant ce qu’on a vu dans la Leçon VI sur les dérivées des fonctions composées d’autres fonctions,

$z'=x'z'^{,}+y'z^{,}\,';$

de là, en prenant les fonctions dérivées par rapport à la variable principale $t,$

$z''=x''z'^{,}+y''z^{,}\,'+x'\left(z'^{,}\right)'+y'\left(z^{,}\,'\right)'.$

Mais, $z'^{,}$ et $z^{,}\,'$ étant aussi regardées comme des fonctions de $x$ et $y,$ leurs dérivées relatives à $t$ seront

$\left(z'^{,}\right)'=x'z''^{,}+y'z'^{,}\,',\quad \left(z^{,}\,'\right)'=x'z'^{,}\,'+y'z^{,}\,''.$

Donc, substituant,

$z''=x''z'^{,}+y''z^{,}\,'+x'^{2}z''^{,}+2x'y'z'^{,}\,'+y'^{2}z^{,}\,'',$

et ainsi de suite.

Si les fonctions dérivées $x'$ et $y',$ relativement à $t,$ sont constantes, en sorte que $x''=0,$ $y''=0,$ $x'''=0,\ldots ,$ on aura simplement

${\begin{aligned}z'\ \ =&x'z'^{,}+y'z^{,}\,',\\z''\ =&x'^{2}z''^{,}+2x'y'z'^{,}\,'+y'^{2}z^{,}\,'',\\z'''=&x'^{3}z'''^{,}+3x'^{2}y'z''^{,}\,'+3x'y'^{2}z'^{,}\,''+y'^{3}z^{,}\,''',\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z^{(m)}=&x^{'m}z^{(m),}+mx^{'m-1}y'z^{(m-1),'}+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{'m-2}y'^{3}z^{(m-2),''}\ldots .\end{aligned}}$

Ces valeurs, substituées dans la formule générale

$z+iz'+{\frac {i^{2}}{2}}z''+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''+\ldots ,$

donnent

${\begin{aligned}z&+\ i\ \left(x'z'^{,}+y'z^{,},'\right)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}\left(x'^{2}z''^{,}+2x'y'z'^{,}\,'+y'^{2}z^{,},''\right)\\&+{\frac {i^{3}}{2.3}}\left(x'^{3}z'''^{,}+3x'^{2}y'z''^{,}\,'+3x'y'^{2}z'^{,}\,''+y'^{3}z^{,},'''\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

Et, si l’on fait

$x'=1,\quad iy'=0,$

on aura la même formule trouvée plus haut pour le développement de $z,$ suivant les puissances de $i$ et $o.$

Les expressions des fonctions $z',z'',\ldots$ que nous venons de trouver donnent la composition des fonctions dérivées de fonctions quelconques des deux variables $x$ et $y.$

Ainsi, en faisant

$x'=1,$

ce qui revient à prendre $x$ pour variable principale, c’est-à-dire à regarder $y$ comme fonction de $x,$ si l’on veut que

$\psi (x,y)+y'\varphi (x,y)$

soit une fonction dérivée d’une fonction de $x$ et $y,$ en la comparant à

l’expression de $z',$ il faudra que l’on ait

$\psi (x,y)=z'^{,},\quad \varphi (x,y)=z^{,}\,'.$

Pour éliminer $z$ de ces deux équations, il n’y a qu’à prendre leurs dérivées par rapport à $y$ pour la première, et par rapport à $x$ pour la seconde ; on aura ainsi

$\psi '(y)=z'^{,}\,',\quad \varphi '(x)=z'^{,}\,',$

d’où l’on tire

$\psi '(y)=\varphi '(x).$

C’est l’équation de condition connue pour que la formule

$\psi (x,y)+y'\varphi (x,y)$

puisse être une dérivée exacte d’une fonction de $x$ et $y,$ indépendamment d’aucune relation entre $x$ et $y.$

Ainsi, sans cette condition, il serait illusoire de supposer l’équation

$z'=x'\psi (x,y)+y'\varphi (x,y),$

à moins d’admettre en même temps une relation quelconque entre $x$ et $y,$ ou entre $x,y,z.$

En général, si l’on avait l’équation

$z'=x'\psi (x,y,z)+y'\varphi (x,y,z),$

on trouverait, par les mêmes principes, la condition nécessaire pour qu’elle pût avoir une équation primitive indépendamment d’aucune relation particulière entre $x,y,z.$

Car, en comparant cette expression de $z'$ avec l’expression générale de $z'$ donnée ci-dessus, on a pareillement

$\psi (x,y,z)=z'^{,},\quad \varphi (x,y,z)=z^{,}\,'.$

Pour que ces deux équations s’accordent, il faudra que la dérivée de $\psi (x,y,z)$ par rapport à $y$ soit égale à la dérivée de $\varphi (x,y,z)$ par rapport à $x,$ puisque l’une et l’autre deviennent $z'^{,}\,'.$

Or, $z$ étant censée fonction de $x,y$ (puisque, si l’équation proposée a une primitive, la valeur de $z$ sera déterminée par cette primitive eu fonction de $x$ et $y$), il faudra la regarder comme telle dans les fonctions $\psi (x,y,z)$ et $\varphi (x,y,z)\,;$ et, d’après notre notation, il est clair que la dérivée de $\psi (x,y,z)$ par rapport à $y,$ sera exprimée par

$\psi '(y)+\psi '(z)z^{,}\,',$

et que la dérivée de $\varphi (x,y,z),$ par rapport à $x,$ sera

$\varphi '(x)+\varphi '(z)z'^{,}.$

On aura donc l’équation de condition

$\psi '(y)+\psi '(z)z^{,}\,'=\varphi '(x)+\varphi '(z)z'^{,},$

savoir, en substituant pour $z'^{,}$ et $z^{,}\,'$ leurs valeurs,

$\psi '(y)+\psi '(z)\varphi (x,y,z)=\varphi '(x)+\varphi '(z)\psi (x,y,z);$

et cette équation devra avoir lieu d’elle-même, c’est-à-dire être identique pour que la variable $z$ puisse être une fonction de $x$ et $y,$ et que, par conséquent, la proposée ait une primitive en $x,y$ et $z.$ Dans ce cas, on trouvera facilement cette primitive au moyen de l’une ou de l’autre des deux équations

$z'^{,}=\psi (x,y,z),\quad z^{,}\,'=\varphi (x,y,z).$

Car, prenant, par exemple, l’équation

$z'^{,}=\psi (x,y,z),$

dans laquelle $z'^{,}$ est la dérivée de $z$ en y regardant $y$ comme constant, on pourra la traiter comme une équation du premier ordre entre $x$ et $z,$ l’autre variable $y$ étant supposée constante ; et, ayant trouvé sa primitive dans cette supposition, il faudra regarder la constante arbitraire comme une fonction inconnue de $y,$ qu’on déterminera ensuite par le moyen de l’autre équation

$z^{,}\,'=\varphi (x,y,z).$

Mais, lorsque l’équation de condition que nous venons de trouver n’aura pas lieu d’elle-même, l’équation proposée ne pourra pas subsister, à moins qu’on ne suppose une relation quelconque entre $x,y,z,$ de manière que deux de ces variables deviennent fonctions de la troisième.

Ainsi, dans ce cas, en supposant

$z=f(x,y),$

on aura

$z'=f'(x)+y'f'(y);$

et, substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on aura alors une équation en $x,y$ et $y',$ par laquelle on pourra trouver la valeur de $y$ en $x,$ et l’on aura $y$ et $z$ en fonctions données de $x,$ la fonction $f(x,y)$ demeurant indéterminée.

Mais, comme on pourrait avoir ainsi une équation du premier ordre en $x$ et $y,$ dont il serait difficile et peut-être impossible de trouver l’équation primitive, on a cherché les moyens de donner à la fonction arbitraire une forme telle que l’on ait immédiatement, pour la détermination de $y$ et $z$ en $x,$ deux équations entre ces variables.

Pour en donner un exemple très simple, supposons l’équation

$z'=xy(x+yy')\,;$

on aura ici

$\psi (x,y)=x^{2}y,\quad \varphi (x,y)=xy^{2}\,;$

donc

$\psi '(y)=x^{2},\quad \varphi '(x)=y^{2}.$

Ainsi il est impossible que $z$ soit une fonction de $x$ et $y,$ regardées comme indépendantes entre elles.

On fera donc

$y=f(x),$

et l’on aura

$y'=f'(x)\,;$

donc

$z'=x^{2}f(x)+xf^{2}(x)f'(x)\,;$

par conséquent $z$ sera égal à la fonction primitive de

$x^{2}f(x)+xf^{2}(x)f'(x).$

Mais on peut éviter la recherche de cette fonction primitive, en mettant le terme $xy^{2}y'$ de l’expression de $z'$ sous la forme $\left({\frac {xy^{3}}{3}}\right)'-{\frac {y^{3}}{3}},$ ce qui réduit l’équation à cette forme

$z'=\left({\frac {xy^{3}}{3}}\right)'+yx^{2}-{\frac {y^{3}}{3}},$

et supposant ensuite

$yx^{2}-{\frac {y^{3}}{3}}=f'(x),$

moyennant quoi elle devient

$z'=\left({\frac {xy^{3}}{3}}\right)'+f'(x),$

dont la primitive est

$z={\frac {xy^{3}}{3}}+f(x).$

Ainsi ces deux équations remplacent conjointement l’équation proposée, la fonction $f(x)$ demeurant arbitraire.

On doit dire, à plus forte raison, la même chose des équations que l’on pourrait supposer entre $x,y,z$ et $y',z',$ dans lesquelles les fonctions dérivées $y',z'$ monteraient à des puissances quelconques.

Qu’on suppose, par exemple, l’équation

$z'^{2}=1+y'^{2};$

en faisant

$y=f(x),$

on aurait

$z'={\sqrt {1+f'^{2}(x)}}.$

Et il faudrait, pour avoir $z$ en $x,$ trouver la fonction primitive de ${\sqrt {1+f'^{2}(x)}},$ ce qui est impossible tant que la fonction $f(x)$ demeurera indéterminée, à moins d’employer les séries.

Mais, en introduisant une troisième variable, on peut avoir des expressions finies de $x,y,z$ en fonction de cette même variable.

Pour cela il faut rétablir la fonction prime $x',$ qui est $=1$ lorsque $x$ est la variable principale, et substituer, par conséquent, ${\frac {y'}{x'}}$ et ${\frac {z'}{x'}},$ à la place de $y'$ et $z',$ conformément aux principes établis dans la Leçon septième. Ainsi l’équation sera

$z'^{2}=x'^{2}+y'^{2}.$

Pour résoudre cette équation de la manière la plus générale, nous emploierons un principe dont nous ferons, dans la suite, un plus grand usage, et qui consiste à trouver d’abord des expressions de $x,y,z$ qui y satisfassent avec des constantes arbitraires, et à rendre ensuite ces constantes variables, de manière que les expressions des dérivées $x',y',z'$ restent les mêmes.

Prenons un angle arbitraire $\omega \,;$ puisque

$\sin ^{2}\omega +cos^{2}\omega =1,$

en multipliant le second membre de l’équation proposée par

$sin^{2}\omega +cos^{2}\omega ,$

le premier ne changera pas.

Or le produit de $x'^{2}+y'^{2}$ par $\sin ^{2}\omega +cos^{2}\omega$ peut se mettre sous la forme

$(y'\cos \omega -x'\sin \omega )^{2}+(y'\sin \omega +x'\cos \omega )^{2}\,;$

de sorte que l’équation proposée deviendra

$z'^{2}=(y'\cos \omega -x'\sin \omega )^{2}+(y'\sin \omega +x'\cos \omega )^{2}.$

Supposons

$y'\sin \omega +x'\cos \omega =0,$

ce qui est permis à cause de l’indéterminée $\omega \,;$ on aura, en extrayant la racine carrée des deux membres,

$z'=y'\cos \omega -x'\sin \omega .$

Regardons d’abord l’angle $\omega$ comme constant ; les deux équations que nous venons de trouver auront pour primitives ces deux-ci :

$z=y\cos \omega -x\sin \omega +a,$

$y\sin \omega +x\cos \omega =b,$

$a$ et $b$ étant deux constantes arbitraires.

Ainsi ces deux équations donnent des valeurs de $y$ et $z$ en $x$ qui satisfont à l’équation proposée, quelles que soient les valeurs des trois constantes $a,b$ et $\omega ,$ comme on peut s’en assurer par la substitution.

Or il est facile de concevoir que ces mêmes valeurs satisferont encore à la proposée, en supposant que les quantités $a,b$ et $\omega$ soient variables, pourvu que les dérivées $x',y',z'$ restent les mêmes, ce qui aura lieu si, en prenant les dérivées des deux équations précédentes, les termes dus aux dérivées de $a,b$ et $\omega$ se détruisent.

Il n’y aura donc qu’à prendre les dérivées des mêmes équations par rapport à $a,b$ et $\omega ,$ et déterminer, par leur moyen, les variables $a$ et $b.$

Regardons dans ces dérivées la variable comme la principale ; nous ferons

$\omega '=1,$

et l’on aura

$-y\sin \omega -x\cos \omega +a'=0,$

$y\cos \omega -x\sin \omega =b'$

Mais nous avons déjà

$y\sin \omega +x\cos \omega =b\,;$

donc on aura

$-b+a'=0,$

ce qui donne

$b=a'$

et, par conséquent,

$b'=a''.$

Ainsi on aura ces trois équations

${\begin{aligned}z=&y\cos \omega -x\sin \omega +a,\\&y\sin \omega +x\cos \omega =a',\\&y\cos \omega -x\sin \omega =a''.\end{aligned}}$

Mais, $a$ étant une fonction quelconque de $\omega ,$ si on la dénote par $f(\omega ),$ on aura

$a'=f'(\omega ),\quad a''=f''(\omega ),$

et les trois équations précédentes fourniront ces expressions de $x,y,z$ en $\omega ,$

${\begin{aligned}x=&\cos \omega f'(\omega )-\sin \omega f''(\omega ),\\y=&\sin \omega f'(\omega )+\cos \omega f''(\omega ),\\z=&f(\omega )+f''(\omega ),\end{aligned}}$

la fonction $f(\omega )$ demeurant arbitraire.

Ces formules pourraient servir à trouver des courbes rectifiables ; car, si $x$ et $y$ sont les coordonnées rectangles d’une courbe plane, et z l’arc correspondant, on sait, par le Calcul différentiel, et je l’ai démontré rigoureusement dans la Théorie des fonctions^[1], que l’on a

$z'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}},$

en regardant $x$ et $y$ comme fonctions d’une même variable quelconque.

Si l’on fait $f'(\omega )=m,$ on a

$f''(\omega )=0\quad {\text{et}}\quad f(\omega )=m\omega +n\,;$

les formules précédentes donneront

$x=m\cos \omega ,\quad y=m\sin \omega ,\quad z=m\omega +n,$

ce qui est le cas du cercle.

En prenant pour $f(\omega )$ des fonctions quelconques de $\sin \omega$ et $\cos \varphi ,$ on aura autant de courbes algébriques qu’on voudra, dont la rectification sera algébrique aussi, problème sur lequel les géomètres se sont autrefois beaucoup exercés, et dont on peut voir différentes solutions dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.

Les équations dont nous venons de nous occuper sont connues sous le nom d’équations qui ne satisfôntpas aux conditions d’intégrabilité. On trouve des solutions élégantes de plusieurs de ces équations dans un Mémoire de Monge imprimé dans le Recueil de l’Académie des Sciences pour l’année 1784.

La notation que nous avons employée pour désigner les fonctions dérivées de $z$ par rapport à $x$ et $y,$ par des traits séparés par une virgule, est, comme l’on voit, très simple et conforme à la nature de la chose ; mais elle ne met pas en évidence les variables auxquelles chaque groupe de traits doit se rapporter ; et, si l’on avait des fonctions de plus de deux variables, la multitude des virgules pourraitrendre la notation incommode et causer de la confusion par rapport aux variables auxquelles les différentes fonctions dérivées répondraient.

On pourrait, dans ces cas, employer avec avantage la notation que j’ai déjà proposée dans l’Ouvrage sur la Résolution des équations numériques^[2], et qui dérive aussi de la nature de ce calcul.

En effet, la formule donnée plus haut

$z'=x'z'^{,}+y'{z^{,}}'$

fait voir que, si l’on veut considérer à part les dérivées relatives à $x$ et $y,$ on a, par rapport à $x,$

$z'=x'z'^{,}\,;$

donc

$z'^{,}={\frac {z'}{x'}}\,;$

ici $s'$ ne doit être pris que par rapport à la variable $t,$ en tant qu’elle est renfermée dans la fonction $x\,;$ et, pour indiquer ce point de vue, il n’y a qu’à enfermer l’expression ${\frac {z'}{x'}}$ entre deux parenthèses, ce qui donnera

$z'^{,}=\left({\frac {z'}{x'}}\right)\,;$

On aura pareillement, par rapport à $y,$

$z'=y'{z^{,}}'\,;$

donc

${z^{,}}'={\frac {z'}{y'}}\,;$

en renfermant l’expression ${\frac {z'}{y'}}$ entre deux parenthèses, pour indiquer

qu’ici la dérivée $z'$ n’est relative à la variable $t$ qu’autant qu’elle est renfermée dans $y,$ on aura

${z^{,}}'=\left({\frac {z'}{y'}}\right).$

De cette manière, l’expression de la dérivée $z'$ prendra cette forme

$z'=x'\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y'\left({\frac {z'}{y'}}\right),$

où l’on voit que $\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ ne sont proprement que les coefficients de $x'$ et de $y'$ dans l’expression de la dérivée $z'.$

Comme la variable $t,$ dont on suppose que $x$ et $y$ sont fonctions, demeure indéterminée, en prenant $x$ pour $t,$ on aurait

$x'=1;$

l’expression $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ deviendrait alors simplement $(z'),$ et indiquerait, comme elle le doit, la fonction dérivée de $z$ par rapport à la variable principale $x\,;$ de même, en prenant $y$ pour $t,$ on aurait

$y'=1,$

et l’expression $\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ deviendrait aussi $(z'),$ et indiquerait la fonction dérivée de $z$ par rapport à la variable principale $y.$

Mais, pour distinguer ces fonctions l’une de l’autre, nous retiendrons toujours les lettres $x'$ et $y'$ sous $z',$ et nous entendrons simplement par $\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ les fonctions dérivées de $z$ par rapport à $x$ et $y.$

D’ailleurs cette manière d’exprimer les fonctions dérivées a l’avantage de faciliter la transformation de ces fonctions lorsqu’on veut les rapporter à d’autres variables.

Ainsi, comme l’expression $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ indique que $z$ est regardé comme fonction de $x,$ l’expression réciproque $\left({\frac {x'}{z'}}\right)$ indiquerait que $x$ serait regardé comme fonction de $z\,;$ et il est facile de se convaincre, par la nature de ces expressions, que l’on a, en effet,

$\left({\frac {z'}{x'}}\right).\left({\frac {x'}{z'}}\right)=1,$

comme si les parenthèses n’existaient pas, de sorte que l’on aura

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)={\frac {1}{\left({\dfrac {x'}{z'}}\right)}}.$

Si donc, au lieu de regarder $z$ comme fonction de $x$ et $y,$ on voulait regarder $x$ comme fonction de $z$ et $y,$ on substituerait d’abord ${\frac {1}{\left({\dfrac {x'}{z'}}\right)}}$ à la place de $\left({\frac {z'}{x'}}\right).$

Ensuite, pour avoir la valeur de l’autre fonction dérivée $\left({\frac {z'}{y'}}\right),$ on remarquerait qu’ici la variable $x$ est censée constante, puisque $z$ n’est regardée que comme fonction de $y.$

Or, $x$ étant supposée fonction de $y$ et $z,$ on aura, en général,

$x'=\left({\frac {x'}{y'}}\right)y'+\left({\frac {x'}{z'}}\right)z'\,;$

donc, pour que $x$ soit constante, $x'$ devra être zéro, ce qui donnera l’équation

$\left({\frac {x'}{y'}}\right)y'+\left({\frac {x'}{z'}}\right)z'=0,$

d’où l’on tire

${\frac {z'}{y'}}=-{\frac {\left({\dfrac {x'}{y'}}\right)}{\left({\dfrac {x'}{z'}}\right)}},$

et cette valeur de ${\frac {z'}{y'}}$ tirée de la supposition de $x$ constante, sera, par conséquent, la même que celle de $\left({\frac {z'}{y'}}\right).$

D’où il suit que l’on aura ces transformées

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)={\frac {1}{\left({\dfrac {x'}{z'}}\right)}},\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=-{\frac {\left({\dfrac {x'}{y'}}\right)}{\left({\dfrac {x'}{z'}}\right)}}.$

De sorte que, si l’on a une équation qui contienne $x,y,z$ avec les fonctions dérivées $\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right),$ elle ne changera pas essentiellement par les substitutions précédentes ; seulement, au lieu de supposer $z$ fonction de $x$ et $y,$ ce sera $x$ qui sera fonction de $y$ et $z,$ et ainsi pour les cas semblables.

Maintenant, puisque $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ est une fonction de $x$ et $y,$ on aura de même, en prenant sa dérivée relativement à $t,$

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)'=x'\left({\dfrac {\left({\frac {z'}{x'}}\right)'}{x'}}\right)+y'\left({\dfrac {\left({\frac {z'}{x'}}\right)'}{y'}}\right)\,;$

mais, comme $x'$ et $y',$ entre les parenthèses, n’ont qu’une signification de convention, on peut, sans inconvénient, écrire

$\left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right),\quad \left({\frac {z''}{x'y'}}\right),\quad {\text{à la place de}}\quad \left({\dfrac {\left({\frac {z'}{x'}}\right)'}{x'}}\right),\quad \left({\dfrac {\left({\frac {z'}{x'}}\right)'}{y'}}\right),$

et, par conséquent,

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)'=x'\left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right)+y'\left({\frac {z''}{x'y'}}\right).$

On aura de même

$\left({\frac {z'}{y'}}\right)'=x'\left({\frac {z''}{x'y'}}\right)+y'\left({\frac {z''}{y'^{2}}}\right),$

où l’on voit que les symboles

$\left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right),\quad \left({\frac {z''}{x'y'}}\right),\quad \left({\frac {z''}{y'^{2}}}\right)$

expriment ici ce que nous avions dénoté plus haut par les signes

$z''^{,},{z'^{,}}',{z^{,}}''.$

Donc la dérivée seconde de $z,$ c’est-à-dire la valeur de $z''$ que nous avons donnée plus haut, sera représentée ainsi

$z''=x''\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y''\left({\frac {z'}{y'}}\right)+x'^{2}\left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right)+2x'y'\left({\frac {z''}{x'y'}}\right)+y'^{2}\left({\frac {z''}{y'^{2}}}\right).$

On voit ici que $\left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right)$ et $\left({\frac {z''}{y'^{2}}}\right)$ sont aussi les coefficients de $x'^{2}$ et $y'^{2}$ dans l’expression complète de $z'',$ mais que $\left({\frac {z''}{x'y'}}\right)$ n’est plus le simple coefficient de $x'y'$ dans la même expression, comme on serait porté à le supposer d’après sa notation.

En général, l’expression $\left({\frac {z^{(m+n)}}{x^{'m}y^{'n}}}\right)$ dénotera ce que nous avions dénoté par $z^{(m,n)},$ c’est-à-dire la fonction dérivée de $z$ de l’ordre $(n+m)$^ième, prise $m$ fois relativement à $x,$ et $n$ fois relativement à $y.$

Cette dernière notation se rapproche, comme l’on voit, de celle qui est depuis longtemps en usage chez les analystes pour désigner les différences qu’on appelle partielles.

En effet, il est visible que les fonctions dérivées que nous désignons ici par

$\left({\frac {z'}{x'}}\right),\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right),\quad \left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right),\quad \left({\frac {z''}{x'y'}}\right),\quad \ldots$

ne sont autre chose que les quantités

${\frac {dz}{dx}},\quad {\frac {dz}{dy}},\quad {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\quad {\frac {d^{2}z}{dxdy}},\quad \ldots ,$

que plusieurs géomètres, à l’exemple d’Euler, renferment aussi entre deux parenthèses.

Ainsi on aura, en général, ces notations correspondantes

$z^{(m,n)}=\left({\frac {z^{(m+n)}}{x^{'m}y^{'n}}}\right)=\left({\frac {d^{(m+n)}z}{dx^{m}dy^{n}}}\right).$

Après avoir donné la manière de former et de noter les fonctions dérivées relativement à différentes variables, nous allons considérer les équations qui contiennent des fonctions de ce genre, et qu’on peut appeler équations dérivées à plusieurs variables.

1. Œuvres de Lagrange, t. IX, p. 369.
2. Œuvres de Lagrange, t. VIII.