LEÇON SIXIÈME.
Fonctions dérivées des quantités de différentes fonctions d’une même variable, ou dépendantes de ces fonctions par des équations données.
Les fonctions que nous venons de considérer dans les trois dernières Leçons sont comme les éléments dont se composent toutes les fonctions qu’on peut former par des opérations algébriques ; c’est pourquoi nous avons cru devoir commencer par chercher les fonctions dérivées de ces fonctions simples ; et nous allons voir maintenant comment on peut trouver les fonctions dérivées des fonctions composées de celles-ci d’une manière quelconque.
Nous supposerons en général que
soient des fonctions quelconques d’une même variable, dont les fonctions dérivées
soient connues, et que
soit une fonction composée de
dont on demande la fonction dérivée
On considérera que,
devenant
deviendra en général

or
deviennent en même temps

il n’y aura donc qu’à substituer ces valeurs dans l’expression de
développer les termes suivant les puissances de
et le coefficient de
sera la valeur cherchée de 
Ainsi, si


étant des coefficients quelconques, on aura sur-le-champ

Si
la quantité
deviendra

donc

Si
on trouvera de la même manière

Si
la quantité
deviendra

Développant le dénominateur en série, suivant les règles connues, on aura

donc

Soit
la quantité
deviendra

donc

On trouvera de la même manière que, si
on aura

et ainsi de suite.
Soit en général
en regardant
comme une fonction de
ses fonctions dérivées seront
en sorte que,
devenant
deviendra

Or,
étant une fonction de
lorsque
devient
devient

Donc, faisant
la fonction
deviendra, par la substitution de
à la place de 
![{\displaystyle f(p)+ip'f'(p)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[p'^{2}f''(p)+p''f'(p)\right]+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408f3454b61aa2614229c9f0e1c0e2cfaf123f00)
Ainsi l’on aura d’abord
d’où résulte ce principe : que la fonction dérivée d’une fonction, qui est elle-même une fonction de
est égale au produit des fonctions dérivées de ces deux fonctions.
Ce principe sert à généraliser les résultats précédents, relativement aux fonctions dérivées des puissances des exponentielles des logarithmes et des sinus et cosinus.
Ainsi :

Supposons ensuite que
soit une fonction de
et
que nous désignerons par
il s’agira de substituer
à la place de
dans les deux fonctions
et
et de trouver ensuite le coefficient de
dans le développement de la fonction composée
Or il est visible qu’on aura le même résultat, soit qu’on fasse ces deux substitutions à la fois, soit qu’on les fasse l’une après l’autre, puisque les quantités
et
sont regardées dans ces substitutions comme indépendantes.
En substituant d’abord
à la place de
dans la fonction
la fonction
regardée seulement comme fonction de
deviendra, par ce que nous venons de trouver,

J’écris simplement
pour désigner la fonction dérivée de
relativement à
seul,
étant regardée comme constante.
Substituons ensuite
au lieu de
dans la fonction
la fonction
deviendra pareillement

où
représente la fonction prime de
prise relativement à
seul,
étant regardée comme constante.
Quant au terme
il est visible qu’étant déjà multiplié par
il se trouverait par cette nouvelle substitution augmenté de termes multipliés par
Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement de
après la substitution de
pour
dans
et
seront simplement

de sorte qu’on aura

Si
était une fonction de
représentée par
on trouverait de la même manière

et ainsi de suite.
D’où l’on peut tirer cette conclusion générale, que la fonction dérivée d’une fonction composée de différentes fonctions particulières sera la somme des fonctions dérivées relatives chacune de ces mêmes fonctions considérées séparément et indépendamment de l’autre.
Ce principe, combiné avec le précédent, suffit pour trouver les premières fonctions dérivées de toutes sortes de fonctions, ainsi que les fonctions dérivées des ordres supérieurs.
Ainsi la fonction dérivée de
étant
relativement à
et
relativement à
la fonction dérivée totale sera
comme nous l’avons trouvé ci-dessus.
De même, en regardant maintenant
et
comme de nouvelles fonctions, dont
et
sont les fonctions dérivées, la fonction dérivée de
sera
et la fonction dérivée de
sera
de sorte que la seconde fonction dérivée de
sera
et ainsi de suite.
Par les mêmes principes, on a

pour la fonction dérivée de
le premier terme étant la fonction dérivée relative à
et le second étant la fonction dérivée relative à
et ainsi du reste.
Si
et
on a
et
donc, lorsque

on aura

Ainsi, comme la tangente d’un angle est égale au sinus divisé par le cosinus, en la dénotant par le mot
placé avant l’angle comme caractéristique, et faisant

on aura

Et en général, si
on trouvera

Mais la fonction
pourrait n’être donnée que par une équation entre
et
Représentons en général cette équation par

il est clair que, si l’on regarde
comme une fonction de
déterminée par cette équation, et qu’on imagine cette fonction substituée au lieu de
dans
il en résultera une fonction de
qui sera identiquement nulle, quelle que soit la valeur de
et par conséquent aussi en mettant
à la place de
quelle que soit la valeur de 
Dénotons cette fonction par
et comme
devenant
devient
on aura, quelle que soit la valeur de
l’équation

d’où l’on tire les équations

Maintenant,
étant
on aura, par les formules ci-dessus,

en dénotant par
la fonction prime de
prise relativement à
seul, et par
la fonction prime de
prise relativement à
et faisant
puisque
devient simplement 
Ainsi l’équation dérivée
sera

d’où l’on tire

On aura de cette manière la valeur de
en fonction de
et
de là, en regardant toujours
comme fonction de
on pourra déduire la valeur de
en fonction de
et
Car, en supposant pour abréger
la fonction dérivée de
sera de la forme
donc, substituant pour
sa valeur, on aura

et ainsi de suite.
On trouverait les mêmes valeurs de
par les équations
Si l’on avait plus généralement l’équation

on trouverait de la même manière l’équation dérivée

d’où l’on tire

Et, regardant de nouveau la valeur de
comme une fonction de
sa fonction dérivée sera la valeur de
et ainsi de suite.
Enfin, si l’on avait deux fonctions
et
données par les équations

on pourrait par les mêmes opérations trouver immédiatement les valeurs de
et
en fonctions de 
Car on aurait d’abord les équations dérivées

d’où l’on tirerait
et
et ainsi du reste.
Les règles que nous venons d’établir suffisent pour trouver les fonctions dérivées d’un ordre quelconque de toute fonction d’une variable, de quelque manière qu’elle soit donnée, soit explicitement par des expressions déterminées, soit implicitement par des équations quelconques.
À l’égard de la notation que nous avons employée pour représenter séparément chaque partie d’une fonction dérivée, relative à chacune des fonctions particulières qui entrent dans la fonction primitive, on voit qu’elle est très simple et très commode, et nous nous en servirons ainsi dans la suite.
On peut même, par cette notation, ne séparer du reste de la fonction dérivée que la partie relative à une variable donnée. Ainsi les fonctions primes de
et
ou de
et
ou …, peuvent se développer de cette manière,


et ainsi des autres.
Il faut toujours observer de ne renfermer, entre les parenthèses qui suivent la caractéristique
des fonctions dérivées, que les variables par rapport auxquelles on veut prendre la fonction dérivée.
Lorsqu’il n’y a qu’une seule variable entre les parenthèses, comme
cette expression indique que la fonction dérivée doit être prise relativement à cette variable, comme si elle était seule et unique ; c’est-à-dire que
sera le coefficient de
dans le développement de la fonction donnée, en y substituant simplement
au lieu de
quelque fonction d’ailleurs que
puisse être de
Quoiqu’il soit plus simple de déduire les fonctions dérivées des différents ordres les unes des autres, parce que de cette manière les mêmes règles et les mêmes opérations font trouver toutes les dérivées, et que ce soit même dans cette dérivation successive des fonctions que consistent l’essence et l’algorithme fondamental du Calcul des fonctions dérivées, il y a néanmoins des cas où la considération immédiate des termes successifs de la série peut donner les fonctions dérivées successives d’une même fonction d’une manière plus directe et plus générale ; c’est ce qui a lieu lorsque le développementde la fonction en série peut s’exécuter facilement par les formules connues.
En effet, si l’on a en général

étant des fonctions de
et qu’on substitue
à la place de
cette équation deviendra

Et elle devra avoir lieu indépendamment de la quantité indéterminée
de sorte que, si l’on peut développer directement la fonction qui forme le second membre en une série de la forme

on aura sur-le-champ

Soit, par exemple,
on aura à réduire en série l’expression

et il est facile de voir qu’on aura

et, en général,


l’exposant placé entre deux parenthèses désignant l’ordre de la fonction dérivée ; de sorte qu’en multipliant par
on aura la formule générale

En général, si l’on fait
on trouvera de la même manière que la valeur de
sera composée d’autant de termes de la forme

qu’on pourra donner de valeurs différentes aux nombres
de manière que l’on ait

Supposons

la quantité
étant toujours telle que
on aura

et la fonction dérivée de l’ordre
sera

on aura de même

Donc, puisque
il s’ensuit que la quantité

pourra se développer en autant de termes de la forme

qu’il y aura de manières différentes de satisfaire à l’équation

ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé d’une autre manière à la fin de la Leçon IV.
Faisons maintenant

on aura

en faisant

Donc, prenant les fonctions dérivées des ordres
on aura


Donc, puisque

la quantité

se trouvera composée d’autant de quantités de la forme

qu’il y a de manières différentes de satisfaire à l’équation

ce qui indique une analogie singulière entre le développement de la puissance d’un multinôme et celui du produit continue] du même degré.
En effet, ayant développé une puissance comme

en ses différents termes, on aura tout de suite le développement du produit continuel

où

en substituant dans chaque terme, à la place des puissances
les produits continuels

On trouve une démonstration directe de ce théorème, pour le binôme, dans l’ouvrage de Kramp, qui vient de paraître sous le titre d’Analyse des Réfractions.
Nous terminerons cette Leçon par une observation importante sur la nature des fonctions dérivées.
Il est facile de se convaincre, par la manière dont les fonctions dérivées dépendent de la fonction primitive, que ces fonctions sont absolument déterminées, de sorte qu’une fonction donnée ne peut avoir que des fonctions dérivées données aussi et uniques pour chaque ordre.
Il n’en est pas de même des fonctions primitives à l’égard de leurs dérivées ; car, puisque la fonction dérivée de toute quantité constante est nulle, il s’ensuit que, si une fonction donnée est primitive à l’égard d’une autre fonction donnée, elle le sera encore, étant augmentée ou diminuée d’une constante quelconque. Ainsi une fonction donnée peut avoir une infinité de fonctions primitives à raison de la constante qu’on y peut ajouter. Mais il ne s’ensuit pas que toutes les fonctions primitives dont elle est susceptible ne puissent différer que par une constante c’est ce que nous allons démontrer.
Soit une fonction donnée
dont
et
soient également fonctions primitives ; on aura donc, par l’hypothèse,

donc, prenant les fonctions dérivées successives, on aura aussi

et de même

Considérons maintenant les fonctions

on a, par le développement,

donc, substituant les valeurs de
on aura

et de même

donc, retranchant l’une de l’autre ces deux équations, on aura

Comme cette équation doit avoir lieu quels que soient
et
et que le premier membre est une fonction de
et le second une pareille fonction de
il est visible que cette fonction ne peut être qu’une constante indépendante de
et
On aura donc nécessairement

étant une constante, et par conséquent

d’où l’on-voit que, si
est une fonction primitive de
toute
autre fonction primitive

de la même fonction

ne pourra différer de

que par une constante.
Il suit de là que, lorsqu’on aura trouvé d’une manière quelconque une fonction primitive d’une fonction donnée, en y ajoutant une constante arbitraire, on aura l’expression générale de la fonction primitive de la fonction donnée.