LEÇON CINQUIÈME.
Fonctions dérivées des sinus et cosinus d’angles, et des angles exprimés par les sinus et cosinus. Développement de ces quantités en séries.
Les angles n’entrent dans l’Analyse que par le moyen de leurs sinus et cosinus, qu’on dénote par les mots
et
placés comme caractéristiques avant les angles. On a ainsi les fonctions angulaires
et
dont la propriété générale, tirée de la nature du cercle, est qu’en prenant deux angles quelconques
et
on a

Cela posé, pour avoir les fonctions dérivées de
et
il n’y aura qu’à mettre
à la place de
et développer ensuite les fonctions

suivant les puissances de
les coefficients de
dans ces développements seront les dérivées cherchées. Or, par les formules précédentes, on a

Ainsi tout se réduit à développer en séries les quantités
et
J’observe d’abord que, quelle que puisse être la série du développement de
elle ne saurait être que de la forme

étant des nombres positifs et qui vont en augmentant ; car le sinus devant être nul lorsque l’angle est nul, il est évident que son expression en série par les puissances de l’angle ne peut contenir aucune puissance négative.
J’observe ensuite que, par les formules générales, en faisant
et
égaux à
on a

donc,
étant
on aura

D’un autre côté, on a

et

donc on aura

cette série devant être identique avec la suivante,

qui exprime la valeur de
la comparaison des premiers termes qui renferment la même puissance
donnera

donc 
Ainsi on est assuré que le premier terme de la série de
est
par conséquent, les deux premiers termes de la série de
seront
faisant ces substitutions dans les expressions ci-dessus de
et
et n’ayant égard qu’à la première puissance de
on aura

donc la fonction dérivée de

sera

et la fonction dérivée de

sera
Le coefficient
est une constante encore inconnue, mais que nous déterminerons ci-après par la nature du cercle.
Connaissant ces premières fonctions dérivées, on pourra de la même manière trouver toutes les suivantes. Ainsi, la première dérivée de
étant
la dérivée de celle-ci sera
et la troisième dérivée sera
et ainsi de suite.
Donc, en général, si
on aura

et, faisant ces substitutions dans la série du développement de
on aura

On aura de même

et ces substitutions donneront

Faisons pour abréger


on aura

d’où l’on tire, par les théorèmes connus,

Ainsi on aura, quel que soit l’angle
les séries


Il semble qu’on aurait pu déduire immédiatement ces séries de celles qu’on a trouvées ci-dessus pour
et
en y faisant
mais nous avons voulu éviter ici, comme nous l’avons déjà fait plus haut, les difficultés qui pourraient naître de ce que le développement de
n’est généralement vrai que tant qu’on ne donne pas à
des valeurs particulières.
Maintenant il est visible que ces séries sont nécessairement convergentes, en prenant l’angle
tel que
soit égal ou moindre que l’unité, et il est visible en même temps qu’on aura alors

car les termes ayant les signes alternatifs, et allant en diminuant, les sommes du second et du troisième, du quatrième et du cinquième, etc., seront toutes négatives ; et au contraire les sommes du troisième et du quatrième, du cinquième et du sixième, etc., seront toutes positives.
D’un autre côté, il est démontré rigoureusement par les théorèmes d’Archimède que le sinus est toujours moindre que l’arc, et que la tangente est plus grande que l’arc, du moins dans le premier quart de cercle ; ainsi on aura

mais

donc

d’où l’on tire

ainsi l’on aura, par la nature du cercle,

Si donc on prend l’angle
moindre qu’un droit et assez petit pour que
soit moindre que l’unité, on aura nécessairement
1o
|
|
|
par conséquent,

2o
|
|
|
par conséquent,

Comme ces conditions doivent avoir lieu, quelque petit que soit
il résulte de la première que
ne peut pas être moindre que
car, si
on aura
or la condition

donc, quelque peu que
surpassât l’unité, il serait toujours possible de prendre
tel que

tandis que cette quantité doit toujours être 
Il résulte ensuite de la seconde condition que
ne peut pas être plus grand que l’unité ; car, quelque peu que
surpassât l’unité, il serait toujours possible de prendre
assez petit pour que l’on eût

tandis qu’on doit avoir toujours

Donc, puisque la valeur de
ne peut être ni moindre ni plus grande que l’unité, il s’ensuit qu’on aura nécessairement
Donc la fonction dérivée de
est simplement
et la fonction dérivée de
est
désignant un angle quelconque, c’est-à-dire un arc dans le cercle dont le rayon est l’unité.
Ainsi l’on aura en général, pour un angle quelconque


formules connues, et dont la découverte est due à Newton.
Nous venons de considérer les sinus et les cosinus comme fonctions des angles. On peut réciproquement considérer les angles comme fonctions de leurs sinus ou cosinus, et en cherchant les fonctions dérivées. On désigne communément cette fonction par les mots
ou
placés avant le sinus ou le cosinus, comme caractéristiques.
Soit

mettant
pour
et supposant

on aura
![{\displaystyle \sin \left[f(x)+\omega \right]=x+i=\sin f(x)\cos \omega +\cos f(x)\sin \omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5dcfece45399921daa58fe20990ed807cc38be)
or

de plus

par les formules trouvées plus haut ; donc, faisant ces substitutions et restituant la valeur de
on aura, en ordonnant les termes par rapport à
l’équation identique
![{\displaystyle x+i=x+i{\sqrt {1-x^{2}}}f'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[{\sqrt {1-x^{2}}}f''(x)-x\left[f'(x)\right]^{2}\right]+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d567245da51f22f20623e3a94425f0b365752f88)
laquelle donne, par la comparaison des premiers termes affectés de 

La comparaison des autres termes donnera les valeurs de
mais il est plus simple de les déduire immédiatement de celle de
Soit maintenant

mettant
pour
et
pour
on aura
![{\displaystyle x+i=\cos \left[f(x)+\omega \right]=\cos f(x)\cos \omega -\sin f(x)\sin \omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abced8861b9a4022e13cf24614d2e0b9ed42dbc8)
or

faisant ces substitutions, et mettant pour
et
leurs valeurs en séries,
et
on aura, après avoir restitué la valeur de
et ordonné les termes suivant les puissances de
cette équation identique
![{\displaystyle x+i=x-i{\sqrt {1-x^{2}}}f'(x)-{\frac {i^{2}}{2}}\left[{\sqrt {1-x^{2}}}f''(x)-x\left[f'(x)\right]^{2}\right]+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ede2b5c1110781a24f49641d197603a28b966a8)
et la comparaison des deux premiers termes affectés de
donnera

d’où résulte

Donc, puisque
étant le sinus d’un angle,
en est le cosinus et
étant le cosinus,
en est le sinus, il résulte de ce que nous venons de trouver que la fonction dérivée d’un angle, exprimé par son sinus, est égale à l’unité divisée par le cosinus, et que la fonction dérivée d’un angle, exprimé par son cosinus, est égale à l’unité divisée par le sinus, et prise avec le signe