LEÇON QUATRIÈME.
Fonctions dérivées des quantités exponentielles et logarithmiques. Développement de ces quantités en séries.
La fonction
dans laquelle
est la variable et
est une constante, conduit naturellement à la considération de la fonction
dans laquelle la variable est
et où
est une constante. Ces sortes de quantités s’appellent exponentielles, parce qu’elles ne varient qu’à raison de l’exposant.
Pour trouver la fonction dérivée de
il n’y aura, suivant le principe général, qu’à substituer
à la place de
et développer suivant les puissances de
le coefficient du terme affecté de
sera la fonction cherchée.
Cette substitution donne la fonction

Supposons
on aura

et, par la formule générale démontrée précédemment, on aura

En ordonnant les termes de cette série suivant les puissances de
il est facile de voir que les deux premiers termes du développement de
seront

Soit, pour agréger,

on aura donc
pour les deux premiers termes du développement de
par conséquent, en multipliant par
on aura
pour les deux premiers termes du développement de
Donc
coefficient de
sera la fonction dérivée de 
Le coefficient
dépend, comme l’on voit, de la quantité
qui est comme la base de l’exponentielle, et l’on nomme communément ce coefficient le module.
On peut ainsi établir cette règle, que la foncton dérivée d’une quantité exponentielle est égale à cette exponentielle multipliée par un coefficient constant qui dépend de la base de l’exponentielle, et qu’on nomme le module.
Puisque la dérivée de
est
la dérivée de celle-ci sera
et la dérivée de cette dernière sera de même
et ainsi de suite.
Ainsi, en faisant
on aura

Donc, substituant ces valeurs dans le développementde
on aura

et, divisant par 

C’est la série dont nous n’avions trouvé ci-dessus que les deux premiers termes. Elle peut servir, comme l’on voit, à réduire toute puissance en une série ordonnée suivant les puissances de son exposant.
On peut par cette série déterminer directement la valeur de
en
En faisant
on aura

Et, lorsque
la valeur de
se trouvera exprimée par la série très simple

dont la valeur est

C’est le nombre qu’on désigne ordinairement par
et qui est par conséquent la base des exponentielles dont le module est l’unité.
Ainsi, en faisant
on aura simplement
et conséquemment

Si, dans l’équation trouvée ci-dessus

on fait
on aura

Ainsi l’on a entre les trois constantes
et
la relation

d’où l’on tire

Cette équation donne aussi

d’où l’on voit qu’en prenant
négatif,
se change en
ainsi, en faisant ces changements dans l’équation

donnée ci-dessus, on aura

Cette série est plus propre que la précédente à donner la valeur de
lorsque
est un nombre plus grand que l’unité.
En faisant
on a

et l’on trouvera, par le calcul,

On peut exprimer toute quantité variable par une constante élevée à une puissance variable ; alors l’exposant de cette puissance devient une fonction de la même quantité, et cette fonction est, dans le sens le plus général, le logarithme de la quantité proposée. D’où l’on voit que les fonctions logarithmiques ne sont proprement que les réciproques des fonctions exponentielles.
Nous dénotons, en général, les logarithmes d’une quantité par le mot
mis en avant de cette quantité en forme de caractéristique. Ainsi
exprimera le logarithme ou la fonction logarithmique de
et cette fonction sera donnée par l’équation
où
base de l’exponentielle, sera en même temps la base du système logarithmique.
Pour trouver maintenant la fonction dérivée de
on fera, en général,

ce qui donnera
et, mettant
à la place de
on aura

équation qui doit être identique, et avoir lieu par conséquent, quelle que soit la valeur de
Or, par le développement, on a

en posant

donc, faisant cette substitution, on aura

et, divisant par 

Or, par la formule trouvée ci-dessus, on a, en général,

donc on aura

Donc, remettant pour
sa valeur, et ordonnant les termes suivant les puissances de
on aura cette équation identique
![{\displaystyle {\frac {i}{x}}=icf(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[c^{2}\left[f'(x)\right]^{2}+cf''(x)\right]+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f337eace81ca39cab241a2f2d60224848637ea)
et la comparaison des termes donnera d’abord

d’où l’on tire

La comparaison des autres termes donnera les valeurs de 
mais il est plus simple de les déduire successivement de celle de
La constante
dépend de la base
du système logarithmique, par les mêmes formules que nous avons trouvées plus haut : relativement, aux logarithmes, elle s’appelle le module du système logarithmique.
De là résulte cette règle générale, que la fonction dérivée du loga- rithme d’une variable est égale à l’unité divisée par celle variable multipliée par le module du système logarithmique.
Puisque

en prenant successivement les fonctions dérivées, d’après la règle générale des puissances, on aura

donc, si l’on fait ces substitutions dans le développement de
on aura la série

pour la valeur de 
Ayant ainsi le logarithme d’un nombre quelconque
on peut par cette série trouver celui d’un autre nombre plus grand
et la série sera d’autant plus convergente que la différence
des deux nombres aura un moindre rapport au nombre
Par la théorie des logarithmes, on a

donc, si l’on fait dans la formule précédente
on aura

formule connue.
Soit
on aura

donc
![{\displaystyle \log z={\frac {1}{c}}\left[(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517908cadbe520fd50ca00ce82242246823a7912)
Cette série n’est convergente et par conséquent ne peut servir à trouver le logarithme d’un nombre donné
que lorsque ce nombre diffère peu de l’unité ; mais on peut la rendre convergente, dans tous les cas, par la substitution de
au lieu de
car, puisque
est égal à
on aura, en multipliant par
![{\displaystyle \log z={\frac {r}{c}}\left[\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)^{3}-\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74b6cf6801f6630731ae0890bf6d710740263e4)
où l’on peut prendre pour
un nombre quelconque positif ou négatif.
Or, quel que soit le nombre
on peut toujours en extraire la racine d’un degré
tel que
soit un nombre aussi peu différent de l’unité qu’on voudra ; ainsi la formule précédente donnera toujours la valeur de
avec toute l’exactitude qu’on pourra désirer.
Si l’on prend
négativement, alors
devient
et la série qui exprime
devient, en changeant les signes,
![{\displaystyle \log z={\frac {r}{c}}\left[\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)^{3}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651abe25e5c03be8b6605f9fc92028675e42630b)
où tous les termes sont positifs. Ainsi l’on peut avoir à volonté, pour la valeur de
une série dont tous les termes soient positifs, ou alternativement positifs ou négatifs. Car il est évident que,
étant un nombre plus grand que l’unité,
sera plus grand que l’unité, et,
étant moindre que l’unité,
sera aussi moindre que l’unité ; mais les différences seront d’autant plus petites, que l’exposant
de la racine sera un plus grand nombre ; donc
et
seront positifs dans le premier cas, et négatifs dans le second.
Si
est la base des logarithmes, en sorte que
on pourra, par les mêmes formules, déterminer aussi exactement qu’on voudra la valeur du module
car, en faisant
on aura
![{\displaystyle c=r\left[\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)^{3}-\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd61461f2aaceb845eb9f10fc6d91df4ef227699)
ou bien
![{\displaystyle c=r\left[\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)^{3}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9509654b4bb99f40d4c2e653b56e7362d832ce7a)
Il est clair que les deux séries que nous venons de donner pour l’expression de logz seront nécessairement convergentes aussitôt qu’on aura extrait de
une racine
telle que
soit une fraction moindre que l’unité ; car alors
sera une fraction plus petite encore, puisque
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}={\frac {{\sqrt[{r}]{z}}-1}{\sqrt[{r}]{z}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c4e5fd5ba12a0de05792088c26f10fd9c22bc8)
Ainsi, puisque dans la première série les termes sont alternatifs, le second et le troisième, le quatrième et le cinquième, etc., formeront des sommes négatives ; de sorte que la première série donnera
![{\displaystyle \log z<{\frac {r}{c}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba75add038e6d70f6e48148d67b8d33fb3fa4228)
Au contraire, la seconde série, ayant tous ses termes positifs, donnera
![{\displaystyle \log z>{\frac {r}{c}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c47c582d44d08076cca1a93af657fb29705d0ca)
Ainsi l’on a tout de suite deux limites pour la valeur de
qu’on peut resserrer autant que l’on veut, en prenant
toujours plus grand.
On aura, par la même raison, si
![{\displaystyle c<r\left({\sqrt[{r}]{a}}-1\right)>r\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{a}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e78df155ab435df3b5e4508006cdc30ba99ce20)
Puisqu’on a
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}={\frac {{\sqrt[{r}]{z}}-1}{\sqrt[{r}]{z}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38d1c44849128aeb75e0c8cced1afc88e01ae2d)
il est visible que la différence entre les deux limites de
sera
![{\displaystyle {\frac {r}{c}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84876d57079000bf6a560cb403414347e9a6f104)
ainsi, en prenant l’une ou l’autre des deux expressions précédentes de
on est assuré que l’erreur en excès ou en défaut est nécessairement moindre que cette même quantité.
Ainsi l’on sera sûr d’avoir, par ces expressions, les logarithmes exacts jusqu’à
chiffres, en prenant la racine
de telle manière qu’il y ait après la virgule
zéros avant les chiffres significatifs.
En général, puisque l’erreur va en diminuant à mesure que l’on prend l’exposant
de la racine plus grand, on peut dire qu’elle deviendra nulle ou comme nulle, si l’on prend
infiniment grand de sorte qu’on pourra regarder alors l’une et l’autre des deux formules
![{\displaystyle {\frac {r}{c}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)\quad {\text{et}}\quad {\frac {r}{c}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3825a435831135c98795a90d349fff0a8f7287)
comme l’expression exacte de 
On peut conclure de là que les logarithmes rentrent dans la classe des puissances, et forment le premier terme de la série des puissances dont les exposants croissent ou décroissent depuis zéro, ou le dernier terme des racines dont les degrés vont en augmentant à l’infini.
C’est aussi sous ce rapport qu’on peut dire qu’à un nombre donné répond toujours une infinité de logarithmes, puisque sa racine infinitième a nécessairement une infinité de valeurs différentes.
La meilleure manière d’employer la formule précédente est de prendre pour
une puissance de
puisqu’on n’aura alors que des extractions de racines carrées à faire. C’est ainsi que Briggs a calculé les premiers logarithmes il avait remarqué qu’en faisant des extractions successives de racines carrées d’un nombre quelconque, si l’on s’arrête dans une de ces extractions à deux fois autant de décimales qu’il y aura de zéros à la suite de l’unité, lorsqu’il n’y a plus que l’unité avant la virgule, la partie décimale de cette racine se trouve exactement la moitié de la racine précédente, en sorte que ces parties décimales ont entre elles le même rapport que les logarithmes des racines mêmes ; c’est ce qui résulte évidemment de la formule précédente.
Ainsi, en prenant
on trouve, pour
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{r}]{a}}=&1{,}00000\ 00000\ 00000\ 00199\ 71742\ 08125\ 50527\ 03251\ \ldots ,\\{\frac {1}{r}}=&0{,}00000\ 00000\ 00000\ 00086\ 73617\ 37988\ 40354\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82058033e1ed0716c620693c4a2f9bb724b532e)
de sorte que l’on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}={\frac {1}{r}}{\frac {1}{{\sqrt[{r}]{a}}-1}}={\frac {86\ 73617\ 37988\ 40354\ \ldots }{199\ 71742\ 08125\ 50327\ \ldots }}=0{,}43429\ 44819\ \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff68e7d70eaf0a252dc82fb8b53d317d563f2327)
C’est de ce nombre qu’on a tiré celui qu’on a donné ci-dessus pour la valeur de
Si maintenant on veut avoir, par exemple, le logarithme de
on fera
et, employant de même
extractions de racines carrées, on trouvera les nombres suivants :
![{\displaystyle {\sqrt[{r}]{z}}=1{,}00000\ 00000\ 00000\ 00095\ 28942\ 64074\ 58932\ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e432ebdbc4bd86dde014fb8794e0750e3bc82d7)
et de là
![{\displaystyle \log z={\frac {{\sqrt[{r}]{z}}-1}{{\sqrt[{r}]{a}}-1}}={\frac {95\ 28942\ 64074\ 58932\ \ldots }{199\ 71742\ 08125\ 50527\ \ldots }}=0{,}47712\ 12547\ 19662\ \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a557d80c00e20bffb767c80e489b27f067938c2)
Cette méthode est, comme l’on voit, très laborieuse par le grand nombre d’extractions de racines qu’elle demande pour avoir un résultat en plusieurs décimales ; mais les séries que nous avons données ci-dessus servent à la simplifier et à la compléter ; car, quel que soit le nombre
il suffira d’en extraire quelques racines carrées, jusqu’à ce qu’on parvienne à un nombre
qui n’ait que l’unité avant la virgule ; alors les puissances de
seront des fractions d’autant plus petites qu’elles seront plus hautes ; par conséquent il suffira toujours de prendre un certain nombre de termes de la série pour avoir les logarithmes exacts jusqu’à tel ordre de décimales qu’on voudra.
Les logarithmes qui ont l’unité pour module sont ceux qui se nomment logarithmes naturels ou hyperboliques, parce qu’ils représentent l’aire de l’hyperbole équilatère, rapportée aux abscisses prises sur l’une des asymptotes, et que Neper a le premier calculés. Leur base est le nombre
et, pour les distinguer des autres, nous les dénoterons simplement par la caractéristique
Ainsi
aura pour fonction dérivée
et la formule générale
deviendra pour ces logarithmes
de sorte qu’on aura en général
et, comme on a trouvé plus haut
on aura
et, par conséquent,
D’où l’on voit que les logarithmes d’un même nombre, dans différents systèmes, sont en raison inverse de leurs modules.
Au reste, l’équation
donne
d’où il suit que le module
du système logarithmique dont la base est
n’est autre chose que le logarithme naturel de la même base. Ainsi l’on pourra par la suite substituer l’expression
à la place de
dans les fonctions dérivées de
et de
De cette manière, on aura
pour la dérivée de
et
pour la dérivée de
Dans le système des logarithmes des Tables usuelles, la base
est supposée égale à
ainsi le module de ce système sera
dont la valeur est
Avant de terminer cette Leçon, je ne puis m’empêcher d’indiquer un usage de la formule

pour trouver le développement d’une puissance quelconque d’une quantité composée d’autant de termes que l’on voudra.
En effet, si à la place de
on met
on aura

Ainsi le terme multiplié par
sera

d’un autre côté, on a

Donc le coefficient de
dans le développement de ces différents produits, multiplié par
sera la valeur de
Or il est visible que ce coefficient se trouvera composé d’autant de termes de la forme

qu’on peut donner de valeurs différentes à
de sorte que l’on ait

en prenant pour
des nombres entiers positifs.
Ainsi la puissance
sera composée d’autant de termes de la forme

ce qui s’accorde avec ce que donne la théorie des combinaisons.