LEÇON SEPTIÈME.
Sur la manière de rapporter les fonctions dérivées à différentes variables.
Nous avons vu comment les fonctions dérivées naissent des fonctions primitives par le simple développement, lorsqu’on attribue à une variable de la fonction un accroissement indéterminé.
Ainsi toute fonction dérivée est nécessairement relative à une variable, et une fonction qui contient plusieurs quantités peut avoir différentes fonctions dérivées, suivant les quantités qu’on y considère comme variables. Lorsque ces quantités dépendent les unes des autres, il y a aussi une relation entre les fonctions dérivées qui y sont relatives, par laquelle on peut déduire les fonctions les unes des autres ; cette relation étant un point important de la théorie des fonctions, nous allons nous en occuper dans cette Leçon.
En regardant
comme une simple fonction de
on sait que
devient
devenant
Si l’on suppose que
soit elle-même une fonction d’une autre variable quelconque
et qu’on veuille regarder y comme fonction de
alors
devenant
ou bien (pour ne pas confondre les accroissements de
et de
),
devenant
deviendra aussi de la forme

Mais pour distinguer les fonctions dérivées
qui dans la première formule se rapportent à
celles de la seconde, qui se rapportent à
nous désignerons pour un moment les premières par
de manière que,
devenant
deviendra

Or
étant regardé comme fonction de
lorsque
devient
devient

donc, si dans la formule précédente l’on met à la place de
l’accroiscroissement de
qui est
on aura également ce que
devient lorsque
devient
Ainsi on aura l’équation identique


d’où l’on tire, par la comparaison des termes affectés des différentes puissances de 

La première équation donne

la seconde donnera

et, substituant la valeur précédente de
l’on aura

La troisième équation donnerait la valeur de
et ainsi de suite.
Mais j’observe que l’on peut déduire immédiatement la valeur de
de celle de
et successivement celle de
de celle de
par la loi uniforme qui doit régner entre ces fonctions dérivées successives.
En effet, puisque
fonction dérivée de
par rapport à
est égale à
c’est-à-dire à la fonction dérivée de
par rapport à
divisée par celle de
de même
fonction dérivée de
par rapport à
sera égale à la fonction dérivée de
par rapport à
divisée par
et ainsi de suite. Or la fonction dérivée de
est
donc on aura

comme on l’a trouvé par la seconde équation. Et ainsi de suite.
Par ces substitutions on dépouille, pour ainsi dire, les fonctions dérivées de ce qui dépend de la variable à laquelle elles se rapportaient originairement, et on les généralise de manière qu’elles peuvent se rapporter également à toute autre variable.
Or ce qui déterminait les fonctions dérivées de
à se rapporter à la variable
c’était qu’elles résultaient de l’accroissement
attribué à cette variable ; au lieu qu’en rapportant ces fonctions à une autre variable dont
est censée fonction, l’accroissement de
devient alors
étant l’accroissement de la nouvelle variable. Ainsi, comme le cas particulier où l’accroissement de
est simplement
résulte de l’expression générale de l’accroissement de
en y faisant
il s’ensuit que
est la condition, qui détermine les fonctions dérivées à se rapporter à la variable
et qu’en général pour les rapporter à toute autre variable il n’y aura qu’à supposer égale à l’unité la fonction prime de cette variable.
Il résulte de là cette conclusion générale que, si une formule contient les fonctions dérivées
relatives à une variable
et qu’on veuille les rapporter à une autre variable quelconque, il faudra changer
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y'{\text{ en }}{\frac {y'}{x'}},\\&y''{\text{ en }}{\frac {\left({\cfrac {y'}{x'}}\right)'}{x'}}={\frac {y''}{x'^{2}}}-{\frac {y'x''}{x'^{3}}},\\&y'''{\text{ en }}{\frac {\left[{\cfrac {\left({\cfrac {y'}{x'}}\right)'}{x'}}\right]'}{x'}}={\frac {\left({\cfrac {y''}{x'^{2}}}-{\cfrac {y'x''}{x'^{3}}}\right)'}{x'}}={\frac {y'''}{x'^{3}}}-{\frac {3y''x''}{x'^{4}}}-y'\left({\frac {x'''}{x'^{4}}}-{\frac {3x''^{2}}{x'^{5}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff0dec9c5d58337f0fdc4d453a4e18daccce387)
et ainsi de suite. Si

est la nouvelle variable à laquelle on veut rapporter les fonctions dérivées, cette variable étant une fonction quelconque de

et

il n’y aura qu’à faire

et par conséquent

équations par lesquelles on déterminera les valeurs de

ou de
Ce principe est général et doit s’appliquer à toutes les fonctions dérivées qui se rapportent à une même variable. Il est d’un grand usage dans le calcul des fonctions, et constitue un des principes fondamentaux de l’algorithme de ce calcul.
Le cas le plus simple est celui où,
étant supposé fonction de
et ses fonctions dérivées
étant rapportées à
on veut au contraire regarder
comme fonction de
et rapporter à
les fonctions dérivées
On fera dans ce cas les substitutions indiquées ci-dessus, et l’on supposera

On substituera donc
à la place de
à la place de
et ainsi des autres.
Ainsi, ayant trouvé dans la Leçon IV que
donne, relativement à

on pourra avoir immédiatement la valeur de
relativement à
en substituant simplement
à la place de
ce qui donnera

Comme
est le logarithme de
pour la base
on a par là la fonction dérivée du logarithme.
De même, en supposant

on a vu dans la Leçon V que l’on a, relativement à 

donc, pour avoir réciproquement la fonction dérivée
de l’angle par
le sinus

il n’y aura qu’à substituer

à la place de

ce qui donnera

Si l’on fait

on a

donc, on obtiendra de la même manière

Ces résultats s’accordent avec ceux qu’on a trouvés dans les endroits cités d’une manière directe, mais plus longue.
Enfin ayant vu, dans la Leçon VI, que

si l’on veut avoir la fonction dérivée de l’arc par la tangente, on aura sur-le-champ

En général, puisque

on aura réciproquement

étant une fonction quelconque de 
Si maintenant on veut regarder
comme fonction de
et rapporter la fonction dérivée
à la variable
on fera
et l’on aura

comme ci-dessus.
La formule
est très propre pour trouver facilement les fonctions dérivées de
des ordres supérieurs. En effet, on aura d’abord

en substituant la valeur précédente de

Prenantde nouveau les fonctions dérivées, on aura

et, continuant de la même manière, on aura

et ainsi de suite.
Ayant ainsi toutes les fonctions dérivées de
relativement à
c’est-à-dire, en supposant
si on les substitue dans la formule

on aura la valeur de
répondant à 
Ainsi l’on aura la valeur de l’arc dont la tangente sera
exprimée par la série


formule remarquable par sa simplicité et sa généralité.
Si l’on fait
on trouvera

formule connue et due à Leibnitz ; mais il n’est permis de faire
qu’autant qu’on est assuré d’avance de la forme de la série.