CHAPITRE VIII.
L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
I. — Les trois intégrales indéfinies. Les fonctions additives d’ensemble.
Nous appellerons intégrale indéfinie de
l’une quelconque des fonctions
![{\displaystyle \mathrm {F} (x)=\int _{\alpha }^{x}f(x)\,\mathrm {d} x+\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb543ad7c3cb5842437bed94738afdabd5c40b1)
,
étant une constante ; l’intégrale définie de
dans
est l’accroissement
de l’intégrale indéfinie dans l’intervalle
.
Les intégrales indéfinies sont des fonctions continues. Si
est une fonction bornée, cela est évident en vertu du théorème des accroissements finis. Supposons ensuite
sommable mais non bornée, alors on peut trouver
assez grand pour que les intégrales de
dans les deux ensembles
,
soient toutes deux inférieures en module à
. Posons
,
étant nulle pour les deux ensembles
,
et
étant nulle pour
. Alors l’intégrale indéfinie de
est une fonction continue ; l’intégrale de
dans tout intervalle étant
, au plus, autour d’un point quelconque
, on peut donc trouver un intervalle dans lequel l’accroissement de
soit au plus
, ce qui prouve que
est continue.
Si
est sommable,
l’est aussi et, dans tout intervalle, l’intégrale indéfinie de
subit un accroissement en module au plus égal à celui de l’intégrale indéfinie de
; puisque cette dernière intégrale existe et est croissante, donc à variation bornée, l’intégrale indéfinie de
est à variation bornée et sa variation totale dans
est au plus
.
Les propositions trouvées au Chapitre V (p. 73) relativement à la limitation des nombres dérivés de
à l’aide des maxima et des minima de
sont encore exactes ; elles se démontrent de même[1]. Ceci conduit tout naturellement à étudier la dérivation des intégrales indéfinies et la recherche des fonctions primitives ; mais, tout d’abord, nous allons donner aux mots intégrale indéfinie une signification nouvelle.
D’où vient la dénomination intégrale indéfinie ? Il est clair que dans les expressions intégrale définie et intégrale indéfinie, indéfinie n’a pas le sens de infinie mais de non définie, que définie a le sens de déterminée. Ces deux expressions devraient donc s’appliquer à la même quantité
; cette intégrale serait dite définie lorsque l’intervalle d’intégration
serait lui-même défini, c’est-à-dire déterminé, donné et elle serait dite indéfinie lorsque
serait indéfini, c’est-à-dire non défini, non déterminé, inconnu, variable. En revenant à ce sens primitif des dénominations, nous dirons donc que l’intégrale indéfinie de
est la fonction
![{\displaystyle \Phi (\alpha ,\beta )=\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x=\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6b0b69814ba436d5a70837780bb03e90147f14)
;
ce sera une fonction de deux variables ou mieux une fonction de l’intervalle d’intégration
; le mot fonction signifiant ici correspondance, comme à la page 17. Mais il s’agit maintenant de faire correspondre à tout intervalle
un nombre ;
est la variable ou argument de notre fonction, le nombre est la valeur de la fonction. L’intégrale indéfinie est une fonction d’intervalle : toute valeur prise par cette fonction est une intégrale définie.
La relation qui lie
à
permet de traduire toute propriété de
en propriété de
et inversement, et c’est pourquoi on se borne ordinairement à la considération de
, que nous appellerons, lorsqu’un doute sera possible, l’intégrale indéfinie fonction d’une seule variable. En somme ce sont des propriétés de
qu’on étudie ordinairement par l’intermédiaire de
; notre nouveau langage sera plus directement adapté à notre but. Seulement, comme nous avons considéré aussi l’intégrale de
étendue à un ensemble mesurable
, nous devons considérer l’intégrale indéfinie de
comme la fonction d’ensemble
![{\displaystyle \Psi (\mathrm {E} )=\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922f20ce3991babad38c177d3823a420aa6f762d)
;
il est sous-entendu que l’argument
de cette fonction doit être mesurable et formé à l’aide de points de l’intervalle ou ensemble pour les points duquel
est connue. Pour fixer les idées, nous supposerons toujours, sauf avis contraire, que
est définie dans un intervalle que nous appellerons
; ce qui n’entraîne en réalité aucune restriction (p. 127).
Nous considérerons donc finalement : a. l’intégrale indéfinie fonction d’ensemble,
; b. l’intégrale indéfinie fonction d’intervalle,
,
désignant l’intervalle
; c. l’intégrale indéfinie fonction d’une variable,
. Dans ce Chapitre nous allons examiner si la connaissance de l’une de ces fonctions entraîne la connaissance des deux autres et comment les propriétés de ces fonctions se correspondent.
Nous nous attacherons à deux propriétés de
: l’additivité complète et l’absolue continuité ; nous verrons par la suite que ces propriétés caractérisent les fonctions d’ensemble qui sont des intégrales indéfinies et par suite résument et entraînent toutes les autres propriétés.
On peut distinguer, avec M. de la Vallée Poussin[2], le cas de l’additivité restreinte, dans lequel l’égalité précédente n’est assurée que si les
sont en nombre fini, et le cas de l’additivité complète, où l’égalité a lieu même s’il y a une infinité dénombrable de
. L’additivité complète sera seule importante pour nous[3]. Une intégrale indéfinie est complètement additive ; c’est la propriété 2o de la page 130.
L’additivité complète entraîne, à elle seule, bien des propriétés. Remarquons d’abord qu’une fonction additive d’ensemble qui est non bornée a des points en lesquels elle n’est pas bornée ; il faut entendre par là qu’il existe un point
tel que, si petit que soit un intervalle
contenant
à son intérieur et si grand que soit un nombre
, il est possible de trouver un ensemble
formé de points de
et pour lequel la fonction
considérée surpasse
en valeur absolue.
Si, en effet, à tout point de
on pouvait attacher un intervalle
et un nombre
pour lequel cela soit impossible, on pourrait couvrir
à l’aide d’un nombre fini
de ces intervalles
et les nombres
correspondants auraient une borne supérieure
.
étant un ensemble de points de
nous pourrions le considérer comme la somme d’ensembles
,
, …,
situés dans les
intervalles considérés et l’on aurait
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi (\mathrm {E} )|&=|\Psi (\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}+\ldots +\mathrm {E} _{p})|\\&=|\Psi (\mathrm {E} _{1})+\Psi (\mathrm {E} _{2})+\ldots +\Psi (\mathrm {E} _{p})|\\&\leqq |\Psi (\mathrm {E} _{1})|+|\Psi (\mathrm {E} _{2})|+\ldots +|\Psi (\mathrm {E} _{p})|\leqq p\,{\mathcal {N}}{\text{ ;}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74621dc25ce11e7a3977d22aa7d81339776c37b3)
serait donc finie.
Soit
un point en lequel
est non bornée et considérons les deux intervalles
,
; il est clair que
est non bornée dans l’un des deux. Ceci étant, pour démontrer que toute fonction finie complètement additive est bornée, il nous suffira donc de considérer le cas où l’extrémité
de l’intervalle considéré
[4] est un point où une fonction
est non bornée et de montrer que
ne peut être à la fois finie et complètement additive. Soient
,
,
, … une suite de valeurs croissantes tendant vers
. Désignons par
,
,
, … les ensembles de points définis respectivement par
![{\displaystyle a\leqq x<a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3e44a90b8437497cc523fffc828a70c084037e)
,
![{\displaystyle a_{1}\leqq x<a_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b54ccccf04afe8f48370fb19e39054fc0b2463)
,
![{\displaystyle a_{2}\leqq x<a_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfddbd31286abe51b9a5a8bae4c50cd71ce55e09)
,
….
Soient
,
, … les bornes supérieures de
respectivement pour les ensembles formés de points de
,
, …
Si
est un ensemble formé de points de
et si
est la partie commune à
et à
on a,
étant supposée complètement additive,
![{\displaystyle |\Psi (\mathrm {E} )|=\left\vert \Psi \!\left[{\textstyle \sum \mathrm {E} _{i}}\right]\right\vert \leqq {\textstyle \sum |\Psi (\mathrm {E} _{i})|}\leqq \sum _{k}^{\infty }\mathrm {N} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6be81f8edfd978e4124a58cf1087ec77668104)
;
puisque
n’est pas bornée au point
, la série du dernier membre est divergente quel que soit
. Elle peut d’ailleurs contenir des termes infinis.
Soit enfin
un ensemble formé de points de
et pour lequel
surpasse le plus petit
des deux nombres
et
; la série
est divergente. Si l’on partage les
en ceux qui donnent à
des valeurs positives ou nulles, et ceux pour lesquels
a des valeurs négatives, si
et
désignent respectivement les indices des premiers et des seconds, l’une au moins des séries
,
est divergente. Supposons que la première soit divergente. Alors on a
![{\displaystyle \textstyle \Psi (\sum e_{i'})=\sum \Psi (e_{i'})>\textstyle \sum \mathrm {M} _{i'}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1db19fe5a9aaba34cb6688c1cb896e51f7f599c7)
,
la fonction
ne peut donc être finie et complètement additive. Comme nous ne parlons que de fonctions finies d’ensemble, sauf avis exprès du contraire, nous pouvons dire simplement : toute fonction complètement additive est bornée.
Une fonction complètement additive[5] est à variation bornée ; on entend par là qu’elle est la différence de deux fonctions complètement additives et ne prenant que des valeurs positives ou nulles. Pour le démontrer quelques définitions sont nécessaires.
Considérons les valeurs prises par une fonction complètement additive
pour les ensembles
formés avec les points d’un ensemble
, ces valeurs sont comprises entre
et
,
étant la borne supérieure de
dans tout
. Soit
le plus petit intervalle contenant ces valeurs de
et zéro. Ces deux fonctions
et
sont complètement additives ; vérifions-le pour
. Soient
,
, … sans points communs deux à deux, soient
,
, … formés respectivement de points de
,
, …, on a
![{\displaystyle \Psi (e_{1}+e_{2}+\ldots )=\Psi (e_{1})+\Psi (e_{2})+\ldots \leqq \mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d56e00b408093939f6520f7213376b9aa48ad4)
,
d’où
![{\displaystyle \mathrm {P(E_{1}+E_{2}+\ldots )} \leqq \mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752a490411b297ad59e12ef7e2253d5c3f2f19b5)
;
mais on peut choisir
de façon que
surpasse
si
est supérieure à 0 [si
, on laisse de côté cette valeur de
], et alors on a
![{\displaystyle \Psi (e_{1}+e_{2}+\ldots )=\Psi (e_{1})+\Psi (e_{2})+\ldots >\mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots -\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0757d9f2ac50753d38ce731a9e60c1365f4b2baa)
,
ou
![{\displaystyle \mathrm {P(E_{1}+E_{2}+\ldots )} >\mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots -\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea09a8707550d5beae118ae09111af7e09fd160)
.
L’additivité complète de
résulte de la comparaison de ces deux inégalités.
La fonction
est dite la variation totale positive de
dans
,
est sa variation totale négative,
![{\displaystyle \mathrm {V(E)=P(E)+N(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5512da230b8866787c922b550bec50f2482ddc15)
est sa variation totale. Cette variation totale est aussi une fonction complètement additive, car il clair que la somme ou la différence de deux fonctions complètement additives est complètement additive.
est la borne supérieure de
pour les divisions de
en ensembles partiels
.
Nous prouverons que
est à variation bornée en montrant que l’on a
![{\displaystyle \Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P(E)-N(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8cb0ca4a75d248fc73947051820f43696f3c4f)
.
Avec des points de
on peut former un ensemble
pour lequel
surpasse
. Avec des points de
on peut former un ensemble
pour lequel
soit au plus égal à
. On a
![{\displaystyle \Psi (e_{1}-e_{2})\geqq \Psi (e_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a3b3b2f1d487916b94735db5010af66eb2017d)
,
![{\displaystyle \mathrm {N} (e_{1}-e_{2})<{\frac {1}{2}}\mathrm {N} (e_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbb377573ac0f1186aba212dfc4d39848860d67)
.
Avec des points de
formons un ensemble
pour lequel
soit au plus égal à
, on a
![{\displaystyle \Psi (e_{1}-e_{2}-e_{3})\geqq \Psi (e_{1}-e_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435cd5cce99b6cea2c172485dd7831272984c2c3)
,
![{\displaystyle \mathrm {N} (e_{1}-e_{2}-e_{3})<{\frac {1}{2^{2}}}\mathrm {N} (e_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2702b2821cfe2975b74f0c3832741cd6efe8c255)
.
En continuant ainsi, on arrive à un ensemble
, ou
, pour lequel on a
![{\displaystyle {\mathrm {N(E_{1})} =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f964e22e545718b2facfa1ceea6dc9df41573c)
,
![{\displaystyle {\mathrm {P(E_{1})} =\Psi (\mathrm {E} _{1})\geqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E)} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bdf1610a0352a2ca640feaa462103e761b845a)
,
![{\displaystyle \mathrm {P(E-E_{1})} \leqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b88398e93492d112e0c2534be35a3859792378)
.
Avec des points de
on peut de même former un ensemble
tel que
![{\displaystyle {\mathrm {N(E_{2})} =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5caac4ff337f495adef3f64ceb011779cf21f9d6)
,
![{\displaystyle {\mathrm {P(E_{2})} =\Psi (\mathrm {E} _{2})\geqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E-E_{1})} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f83e392e55e4fbe76286c1f2b9ae37a89776f72)
,
![{\displaystyle \mathrm {P(E-E_{1}-E_{2})} \leqq {\frac {1}{2^{2}}}\mathrm {P(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9f10a0ec33ed4a9d81ebadc9090dfef249bc5a)
.
Puis, avec des points de
, on formera
, tel que
![{\displaystyle {\mathrm {N(E_{3})} =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75afa8bcde1d0d8e4e3afd814f44ba007f2a0f2)
,
![{\displaystyle {\mathrm {P(E_{3})} =\Psi (\mathrm {E} _{3})\geqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E-E_{1}-E_{2})} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7faf7e97a9b3f24a8e3734a3e6731c0c4be8c9d1)
,
![{\displaystyle \mathrm {P(E-E_{1}-E_{2}-E_{3})} \leqq {\frac {1}{2^{3}}}\mathrm {P(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67174d058e21fdc73eba58b1784499405d3dfbc9)
,
et ainsi de suite.
Il est clair que, pour
, on a
![{\displaystyle \mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {N(E_{1})} +\mathrm {N(E_{2})} +\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df23c59d2fcb77058ceb32daa9e19c25599b63a)
,
![{\displaystyle \mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{p})\leqq \mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} _{1}-\mathrm {E} _{2}-\ldots -\mathrm {E} _{k})\leqq {\frac {1}{2^{k}}}\mathrm {P(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0975cf1d9c0b617d14dde6b68c3a101e10021e22)
.
donc
![{\displaystyle \mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{p})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2acd006c89be71f864322d74d58948155c4fcd)
et, puisque
![{\displaystyle \mathrm {P(E)} =\mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{p})+\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb250e0ee4a2493a15a1cbd3d1eadf8afd1da34)
on a
![{\displaystyle \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {P(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c0e8591a65a2c3a62d7fa7288bd2e8fe0fd6fa)
;
de plus
.
D’une façon analogue, on formera
tel que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{n})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3fe63aa27975421264823ccdf20edc42b072134)
,
![{\displaystyle \mathrm {N} (\mathrm {E} ^{n})=\mathrm {N(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b138db8063d7c05bbc481208a3a09375b2dd5fb0)
;
![{\displaystyle \Psi (\mathrm {E} ^{n})=-\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51f83629db431593d7d2e6509f335497d8883e7)
.
Soit
l’ensemble des points communs à
et à
, des deux relations
![{\displaystyle \mathrm {P} (e)\leqq \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272bcebfb51f57cc1f8310000f58fbc06b8dc215)
,
![{\displaystyle \mathrm {N} (e)\leqq \mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a3f0cede0266cee0d54187163bdede0ce62773)
,
il résulte que les deux nombres non négatifs
et
sont nuls ; a fortiori
est nulle. Si donc on retranche
de
on ne modifie ni
, ni
, ni
.
Nous pouvons donc supposer que les deux ensembles
et
sont sans point commun. De même on verrait que
,
, et
sont nulles pour l’ensemble des points de
n’appartenant ni à
ni à
, de sorte que cet ensemble peut être ajouté à
ou à
sans que nos relations soient changées. Finalement on voit que l’on peut supposer
divisé en deux ensembles
et
sans point commun et tels que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Psi (\mathrm {E} ^{p})&{}={}&\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p}),&\qquad \mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})&{}={}&0,\\\Psi (\mathrm {E} ^{n})&{}={}&-\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p}),&\qquad \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{n})&{}={}&0.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4367d8900ed330471fbc6c98a28b720bc9c9b52)
Mais
![{\displaystyle \mathrm {E} =\mathrm {E} ^{p}+\mathrm {E} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084e49abe6ae637320ddf270ae55b3edc2638b03)
,
donc on a
![{\displaystyle \Psi (\mathrm {E} )=\Psi (\mathrm {E} ^{p})+\Psi (\mathrm {E} ^{n})=\mathrm {P(E)-N(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac30957cfd8f65372463f4b383481275a972218)
.
Il est prouvé que
est à variation bornée.
Si à
et
on ajoute une même fonction complètement additive et non négative
on obtient
![{\displaystyle \mathrm {P_{1}(E)} =\lambda (\mathrm {E} )+\mathrm {P(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45054b9c8f951ce1332032f51f3c304020716746)
,
![{\displaystyle \mathrm {N_{1}(E)} =\lambda (\mathrm {E} )+\mathrm {N(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a19d66251f20d458a9c89e348333bb2cbc36ef3)
;
![{\displaystyle \Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)-N_{1}(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8755505108d3c7909354aaa8d056494fbdf160e)
.
On peut donc mettre une fonction à variation bornée sous la forme d’une différence de deux fonctions non négatives d’une infinité de manières ; le procédé que nous venons d’indiquer est d’ailleurs le plus général, c’est-à-dire que si l’on a
![{\displaystyle \Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)-N_{1}(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8755505108d3c7909354aaa8d056494fbdf160e)
,
et
étant deux fonctions complètement additives et non négatives, on a
![{\displaystyle \mathrm {P_{1}(E)} -\mathrm {P(E)} =\mathrm {N_{1}(E)} -\mathrm {N(E)} =\lambda (\mathrm {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f084a28a6e45a5422cacb95ef1ba1e884089ff31)
,
étant complètement additive et non négative. En effet, soit
la fonction définie par cette double égalité ; elle est absolument continue, montrons qu’elle est non négative. Soit
l’ensemble que nous avons attaché à
; on a, puisque
est contenu dans
,
![{\displaystyle \mathrm {P_{1}(E)} \geqslant \mathrm {P} _{1}(\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})+\lambda (\mathrm {E} ^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421e6986c1005a0918ddfe39a606a58f8b3e929c)
,
![{\displaystyle \mathrm {N} _{1}(\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})+\lambda (\mathrm {E} ^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a468b25a49263fc45e49c8dd2d97e982c6c4a7)
,
Mais, puisque
est nul et que
ne doit pas être négatif,
; d’où
![{\displaystyle \mathrm {P_{1}(E)} \geqslant \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {P(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445e77870cc87c0b94533fdb377ce35f82a3f8b1)
.
Donc
![{\displaystyle \lambda (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)} -\mathrm {P(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f10c5358caa67184b65574035c9d6bc0339b12)
n’est pas négatif.
En d’autres termes, les variations
et
de
sont, parmi toutes les fonctions complètement additives
et
qui ne sont pas négatives et vérifient l’identité
![{\displaystyle \Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)-N_{1}(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8755505108d3c7909354aaa8d056494fbdf160e)
,
celles qui sont les plus petites. Cette propriété correspond exactement à celle de la page 52 pour les fonctions à variation bornée d’une variable ; mais, de plus, nous avons vu incidemment que
et
sont les deux limites, supérieure et inférieure, de
pour
variant dans
et que ces limites sont effectivement atteintes respectivement pour
et pour
, propriétés qui n’ont pas leurs analogues pour les fonctions d’une variable[6]. Pour que la propriété précédente soit entièrement prouvée, il faut toutefois montrer que
a nécessairement la valeur zéro dans certains ensembles, car si, par exemple,
était constamment positive,
serait constamment nulle et ne serait pas la limite inférieure de
,
n’existerait pas. Or ceci est impossible[7], car les ensembles
réduits à un point qui donnent à
une valeur non nulle forment au plus une infinité dénombrable.
En effet, il ne saurait y avoir une infinité de points constituant chacun un ensemble
en lequel
surpasse le nombre positif
; car pour l’ensemble formé par une infinité dénombrable de ces points
serait infinie. En faisant ensuite parcourir à
une suite de nombres positifs tendant vers zéro on voit que les points pour lesquels
a une valeur positive forment, un ensemble dénombrable. La même conclusion s’applique aux points pour lesquels
est négative.
Chaque point constituant à lui seul un ensemble en lequel
n’est pas nulle est dit un point de discontinuité de
. Formons la fonction
égale à la somme des valeurs prises par
en ceux de ses points de discontinuité qui appartiennent à
. Il est clair que
est complètement additive, qu’elle a pour variations positive et négative les fonctions
,
formées de façon analogue avec
et
et qu’elle a pour variation totale la somme
qui est la fonction qui se déduirait de la même manière de
.
est dite la fonction des sauts de
.
La fonction
n’a plus de points de discontinuité, non plus que
,
,
. Montrons que, pour de telles fonctions, tout point
est point de continuité, c’est-à-dire peut être enfermé dans un intervalle
tel que les fonctions soient inférieures en module à
pour tout ensemble formé de points de
[8]. Il suffit de raisonner sur la plus grande, en module, des fonctions considérées, c’est-à-dire sur
![{\displaystyle {\mathrm {V_{0}(E)} =\mathrm {V(E)} -\pi (\mathrm {E} )-\nu (\mathrm {E} )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3f80571289818c93a462bf2a64f0ed053c6a78)
.
Choisissons dans l’intervalle
des valeurs
croissantes vers
et des valeurs
décroissantes vers
; soient
et
les ensembles définis respectivement par
![{\displaystyle a_{i-1}\leqq x<a_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ca0e73571ef531c6391a8b927e2d7ab5982270)
,
![{\displaystyle b_{i}<x\leqq b_{i-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d34bb4b420f67a9db38ac3925127c7010684050)
On a
![{\displaystyle \textstyle \delta =x_{0}+\sum \alpha _{i}+\sum \beta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa658698c2b4c5e6ef0f0f50deff9d3507defa1d)
,
les ensembles du second membre étant sans point commun deux à deux, et
étant nul, on a
![{\displaystyle \textstyle \mathrm {V} _{0}(\delta )=\sum \mathrm {V} _{0}(\alpha _{i})+\sum \mathrm {V} _{0}(\beta _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e154ccf8e49376ca52a740d7e342569cf01306ba)
.
Les sommes du second membre étant convergentes, si l’on prend
assez grand on aura, pour
,
![{\displaystyle \mathrm {V} _{0}(\delta _{k})=\sum _{k+1}^{\infty }\mathrm {V} _{0}(\alpha _{i})+\sum _{k+1}^{\infty }\mathrm {V} _{0}(\beta _{i})<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c48c76f59b994aabe4a766c8f780bf73ce433f4)
;
sera alors l’intervalle
que nous cherchons.
Ainsi une fonction complètement additive, définie dans un intervalle
, y est continue en tout point si, et seulement si, elle prend une valeur nulle pour tout ensemble formé d’un seul point[9]. Une intégrale indéfinie est donc continue.
Examinons maintenant quelles sont les propriétés de
et
qui correspondent à celles de
que nous venons d’envisager.
Une fonction
étant donnée, une fonction d’intervalle est par cela même donnée
; cette fonction est définie pour tout intervalle positif ou nul, c’est-à-dire réduit à un point. Elle n’a pas en général la même valeur pour un intervalle ouvert
![{\displaystyle \alpha <x<\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dae80c01fdec753ee813377f71ce05c0e36bf0d)
,
et pour l’intervalle fermé correspondant
![{\displaystyle \alpha \leqq x\leqq \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570bc4ad39e9e69e79f893b58c4d5e9c99c14596)
;
ni pour les intervalles à demi fermés
![{\displaystyle \alpha <x\leqq \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c2271eccc43c71a303a0ecf90cc1ff899e3ea4)
,
![{\displaystyle \alpha \leqq x<\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4fd8b590c6979975f4213e34d17ecad2b73524)
.
Il n’y a pourtant pas à faire cette distinction si
est continue en tout point, auquel cas
est nulle pour tout intervalle nul.
À toute propriété d’additivité de
correspond une additivité de
qui s’énonce : si un intervalle
est la somme des intervalles
,
, …, sans point commun deux à deux, on a
![{\displaystyle \Phi (\delta )=\Phi (\delta _{1})+\Phi (\delta _{2})+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f607d3b26228694e934764d288663e1533f7ba64)
.
Si
a l’additivité restreinte,
a l’additivité restreinte, c’est-à-dire que les
doivent être en nombre fini. Les
peuvent être en infinité dénombrable si
a l’additivité complète,
est dite alors complètement additive.
Quant à la phrase sans point commun deux à deux, elle doit être prise au sens strict si
a des points de discontinuité ; les intervalles constituants peuvent être seulement sans point intérieur commun si
est continue ; pour le cas d’une intégrale indéfinie, par exemple.
étant supposée complètement additive est à variation bornée ;
est alors à variation bornée, c’est-à-dire que pour des intervalles
,
, … sans point commun deux à deux (même remarque que plus haut), la somme
reste bornée ; sa borne supérieure si les
sont pris dans
est, en effet, au plus la valeur
que prend la fonction
pour
.
se présente comme la différence des deux fonctions non négatives d’intervalle
et
, déduites de
et
.
Les points de discontinuité et de continuité se définissent comme précédemment ; bref, les définitions antérieures s’appliquent. Seulement on ne considère plus que des ensembles réduits à un intervalle fermé ou ouvert, positif ou nul, et, par suite, une propriété qui fait appel à des ensembles qu’on ne saurait réduire à des intervalles n’a pas de transformée ; celle-ci par exemple : toute fonctions
à variation bornée atteint sa limite supérieure.
Passons maintenant d’une fonction d’intervalle complètement additive à une fonction de
. Nous désignerons par
et par des notations analogues les valeurs que prend la fonction
pour les intervalles définis par les inégalités écrites entre crochets. On peut passer de
à
par l’une ou l’autre des formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F(X)} &=\Phi [a\leqq x\leqq \mathrm {X} ]+\mathrm {C} =\mathrm {C} +\Phi [a\leqq x\leqq b]-\Phi [\mathrm {X} <x\leqq b],\\\mathrm {F(X)} &=\Phi [a\leqq x<\mathrm {X} ]+\mathrm {C} =\mathrm {C} +\Phi [a\leqq x\leqq b]-\Phi [\mathrm {X} \leqq x\leqq b],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dbcb9968ae303291b626d5de0d3a11348ea5a79)
dans lesquelles
désigne une constante. Ces deux formules sont équivalentes pour tous les points
qui sont points de continuité pour
; pour les points de discontinuité elles donnent des valeurs différentes pour
. La définition de
comporte donc un certain arbitraire. Nous allons adopter la première formule ; le second choix donnerait des résultats qui se déduiraient de suite de ceux que nous obtiendrons.
On a
![{\displaystyle \mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )=\Phi [a\leqq x\leqq \beta ]-\Phi [a\leqq x\leqq \alpha ]=\Phi [\alpha <x\leqq \beta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c7ac02720c6690b47f803cf74eda18533cc3b9)
,
étant supposé inférieur à
.
Si donc on prend arbitrairement
,
, … tels que
![{\displaystyle a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{p}<b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8479875e2ca6387ba3eaa9666bd69b4a6be21480)
,
on aura
![{\displaystyle |\mathrm {F} (x_{1})-\mathrm {F} (a)|+|\mathrm {F} (x_{2})-\mathrm {F} (x_{1})|+\ldots +|\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (x_{p})|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08f2caf095e0c494731915f9b839f5fb47ef520)
![{\displaystyle =|\Phi [a<x\leqq x_{1}]|+|\Phi [x_{1}<x\leqq x_{2}]|+\ldots +|\Phi [x_{p}<x\leqq b]|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768b984882f6450d4b9a5f9e1c950009d72ea032)
.
Et comme le second membre est au plus égal à
, la fonction
est à variation bornée.
Dans la formule de définition de
, faisons tendre
vers
en décroissant, c’est-à-dire donnons à
une suite de valeurs
,
, … décroissant vers
; on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F(X')} &=\mathrm {F(X_{0})+[F(X')-F(X'')]+[F(X'')-F(X''')]} +\ldots \\&=\mathrm {F(X_{0})} +\Phi [\mathrm {X''} <x\leqq \mathrm {X'} ]+\Phi [\mathrm {X'''} <x\leqq \mathrm {X''} ]+\ldots ,\\\mathrm {F(X'')} &=\mathrm {F(X_{0})+0+[F(X'')-F(X''')]} +\ldots \\&=\mathrm {F(X_{0})} +0+\Phi [\mathrm {X'''} <x\leqq \mathrm {X''} ]+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fbc99bcc1d089e7580f465e2ff43967beb019ed)
et ainsi de suite, d’où
![{\displaystyle \mathrm {F(X_{0}+0)=F(X_{0})} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9bd1d81feae205b71751421e6f8d33f59c03dc)
:
la fonction
est donc continue à droite.
Faisant de même tendre
en croissant, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F(X_{0}-0)} &=\lim _{\mathrm {X} \to \mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} <\mathrm {X_{0}} }\left\lbrace \mathrm {C} +\Phi (a\leqq x\leqq \mathrm {X} )\right\rbrace =\Phi [a\leqq x<\mathrm {X} _{0}]+\mathrm {C} ,\\&=\mathrm {F(X_{0})} -\Phi (\mathrm {X} _{0}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de10fcf9dc4406d8f844269cabb1bd4f92c11ac)
la fonction
est discontinue à gauche aux points où
est discontinue et en ces points seulement.
Nous retrouvons ainsi, en particulier, ce résultat : une intégrale indéfinie
est une fonction continue à variation bornée.
Des égalités
![{\displaystyle \Phi (\mathrm {X} _{0})=\mathrm {F(X_{0})-F(X_{0}-0)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84100a8f8c6acf7215cc39e889022cd8dc981c0c)
,
![{\displaystyle \Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0})-F(X_{0}-0)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1fabf50679439a0efacb85ab6fc6a571c0a96a)
,
qui résultent de ce qui précéde, il découle que la fonction
n’est définie par la fonction
que pour les intervalles, nuls ou non nuls, n’ayant pas pour origine
lorsque
n’est connue que dans
. Pour que
puisse définir
dans tout
, convenons que la formule
![{\displaystyle \mathrm {F(X)} =\Phi [a\leqq x\leqq \mathrm {X} ]+\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98821c0981a8538ae958ecce2a622d57b5aa0688)
ne sera utilisée que pour
et que l’on posera
.
Alors
pourra être discontinue à droite en
et l’on aura des formules différentes pour relier
à
suivant qu’il s’agira ou non des intervalles d’origine
.
Nous arrivons ainsi à associer à la fonction d’intervalle
une fonction bien déterminée de points
dont la connaissance entraînerait celle de
.
Mais il est bien évident qu’un autre choix parmi les conventions possibles nous aurait conduit à une fonction
continue à gauche, sauf peut-être en
, et avec laquelle on aurait eu
![{\displaystyle \Phi (\mathrm {X} _{0})=\mathrm {F(X_{0}+0)-F(X_{0})} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408b6592a84f054c010298f24364349e03b59c30)
,
![{\displaystyle \Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0}+0)-F(X_{0})} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182944b5cd1a51df9ea2d96a8e961eb1c6caf096)
,
sauf pour
, auquel cas les formules seraient différentes.
Ce n’est donc que très artificiellement que nous avons attaché à
une fonction
déterminée ; si l’on remarque qu’avec les deux conventions précédentes on a
![{\displaystyle \Phi (\mathrm {X} _{0})=\mathrm {F(X_{0}+0)-F(X_{0}-0)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1e08f370be0f73727a1a1a0db83c563851cd4b)
,
![{\displaystyle \Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0}+0)-F(X_{0}-0)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374f8ac8787ef950bb1393c579c286e718c57758)
,
en posant
,
, on sera conduit à considérer qu’à
est attachée n’importe laquelle des fonctions
à variation bornée vérifiant les relations précédentes. Deux fonctions
satisfaisant à ces conditions ne différeront, à une constante additive près, qu’en certains de leurs points de discontinuité ; inversement, si
répond à la question, toute fonction à variation bornée, égale à
en tous les points où elles sont toutes deux continues à la fois, y répond aussi. Nous retrouverons souvent cette indétermination de
à laquelle il faut tout de suite penser dès qu’on arrive à des conclusions qui semblent contradictoires.
Examinons le passage inverse d’une fonction à variation bornée
à une fonction d’intervalles définie par les formules
![{\displaystyle \Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0}+0)-F(X_{0}-0)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374f8ac8787ef950bb1393c579c286e718c57758)
,
![{\displaystyle \Phi \left[\mathrm {X} _{0}\right]=\mathrm {F(X_{0}+0)-F(X_{0}-0)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2b91aa7340198451dcb159c0ffeb9a2fd7a102)
,
et celles qui en résultent pour les ensembles ouverts ou à demi ouverts quand on veut que
soit additive. Nous voulons prouver que la fonction
ainsi obtenue est complètement additive.
Considérons un intervalle
et divisons-le par un ensemble réductible de points en la famille des intervalles ouverts
![{\displaystyle \delta _{i}=(l_{i}<x<m_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cf6543c8773c95c4fbe2832d5ab0df4a28b685)
contigus à
et les points de
, parmi lesquelles se trouvent
et
,
,
, …. On aura ainsi la division la plus générale d’un intervalle en parties sans points communs, à ceci près qu’on pourrait réunir
et une ou deux de ses extrémités pour constituer un intervalle demi-fermé ou fermé. La formule à démontrer est donc
![{\displaystyle \Phi (\Delta )=\textstyle \sum \Phi (\delta _{i})+\sum \Phi (x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773290404c9afc181a9cf92b392485b041be7973)
,
c’est-à-dire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (&m+0)-\mathrm {F} (l-0)\\&=\textstyle \sum [\mathrm {F} (m_{i}-0)-\mathrm {F} (l_{i}+0)]+\sum [\mathrm {F} (x_{i}+0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)]{\text{.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad04dcae14236d680da3b647349f4aaf6a493467)
Or cette formule résulte (p. 62) de ce que
est à variation bornée.
Si l’on prend convenablement l’ensemble
, la somme
![{\displaystyle \textstyle \sum |\Phi (\delta _{i})|+\sum |\Phi (x_{i})|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7181ce4fafb9bd1d01574ab529fd5794ab1c2e31)
donnera une valeur aussi approchée que l’on veut de la variation totale de
dans
. Or cette somme s’écrit
![{\displaystyle \textstyle \sum |\mathrm {F} (m_{i}-0)-\mathrm {F} (l_{i}+0)|+\sum |\mathrm {F} (x_{i}+0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fda9558e3571f193357d2c85fa02e6e798488c6)
,
quantité qui s’approche autant qu’on le veut de la variation totale de la fonction
,
étant la fonction déduite de
en modifiant celle-ci en ses points de discontinuité, sauf
et
si ceux-ci sont des points de discontinuité, de façon à obtenir une fonction continue à droite, sauf peut-être en
.
Donc on a, entre la variation totale
de
et la variation totale
de
, dans
,
![{\displaystyle \mathrm {V} \left[a\leqq x\leqq \mathrm {X} \right]=v(\mathrm {X} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbdf04f2ecc9e26d83109b8f00b0efeb1bafba8)
.
Entre les variations totales positive et négative de
, soient
et
, et les variations totales positive et négative de
, soient
et
, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\delta )&=\mathrm {P} (\delta )-\mathrm {N} (\delta ),&\mathrm {V} (\delta )&=\mathrm {P} (\delta )+\mathrm {N} (\delta ),\\\mathrm {F_{1}(X)} -\mathrm {F} (a)&=p(\mathrm {X} )-n(\mathrm {X} ),&v(\mathrm {X} )&=p(x)+n(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639826f391ee2c7cf94cf758dd1ca29a5a6944de)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {P} \left[a\leqq x\leqq \mathrm {X} \right]=p(\mathrm {X} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becd0828614deda1940ac2ea482ca1f3a71b1b27)
,
![{\displaystyle \mathrm {N} \left[a\leqq x\leqq \mathrm {X} \right]=n(\mathrm {X} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460b40060c3584889803ad821bcf16f9c24484fe)
,
relations qui achèvent de fixer les relations entre
et
.
On verrait facilement que les fonctions des sauts de
,
,
,
, fonctions qui se définissent comme celles de
,
,
,
, sont les fonctions d’intervalles qui se déduisent des fonctions des sauts de
ou
, de
, de
, de
.
II. — Les fonctions absolument continues.
Ayant ainsi étudié le passage de
à une fonction d’intervalle
, demandons-nous si nous pouvons déduire de
, complètement additive, une fonction d’ensemble
complètement additive.
Il est clair que
est définie pour tous les intervalles fermés ou ouverts ; de l’additivité absolue on déduit la valeur de
pour tous les ensembles mesurables B, puisque ces ensembles peuvent être obtenus par des sommes ou des différences à partir des intervalles[10]. Mais pour atteindre tous les ensembles mesurables, il nous faudra nous appuyer sur la seconde propriété de l’intégrale indéfinie que nous avons nommée l’absolue continuité.
En réalité cette propriété n’a été utilisée que pour des fonctions additives et c’est seulement pour de telles fonctions qu’elle mérite d’être considérée comme définissant un mode de continuité. Soient, en effet,
une fonction additive et
et
deux ensembles. Posons
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}=\mathrm {E} +e_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b344f35637360cd7913bc27c97d15d38e69f6386)
,
![{\displaystyle \mathrm {E} _{2}=\mathrm {E} +e_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de3f90181ac7c6a770ecc5d64f91239292820c4)
,
étant la partie commune à
et
;
et
d’une part,
et
d’autre part étant sans point commun.
Convenons de dire que les deux ensembles
et
sont distants de
[11] si l’on a
![{\displaystyle m(e_{1})\leqq \eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbead1bf16c6f7fc0b565f0bb9169068aae578a)
,
![{\displaystyle m(e_{2})\leqq \eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe7791903590056753b740785571289e2ca64bf)
.
On a
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi (\mathrm {E} _{1})-\Psi (\mathrm {E} _{2})|&=|[\Psi (\mathrm {E} )+\Psi (e_{1})]-[\Psi (\mathrm {E} )+\Psi (e_{2})]|\\&=|\Psi (e_{1})-\Psi (e_{2})|\leqq |\Psi (e_{1})|+|\Psi (e_{2})|\leqq 2\varepsilon {\text{ ;}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f58af8d24fd7df299a5cd3e7bc4f6732a73e103)
ainsi, à deux ensembles
et
, peu distants, correspondent des valeurs de la fonction peu différentes ; il s’agit bien d’une sorte de continuité, et même d’une continuité uniforme[12].
Ce mode de continuité a tout d’abord été remarqué pour les intégrales indéfinies ; on a, en effet, la proposition que voici : L’intégrale d’une fonction sommable
, étendue à un ensemble variable
, tend vers zéro avec la mesure de
. En effet, nous savons qu’on peut choisir
de façon que les intégrales
,
diffèrent de moins de
,
étant valeur absolue de
et
étant la fonction qui se déduit de
comme il a été indiqué (p. 126). Soit alors
un ensemble de mesure au plus égale à
; divisons
en l’ensemble
de ceux de ses points où
est nul et l’ensemble
de ceux de ses points où
est positif.
On a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\vert \int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x\right\vert &=\left\vert \int _{e_{1}}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{e_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\right\vert \\&\leqq \int _{e_{1}}\varphi \,\mathrm {d} x+\left\vert \int _{e_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\right\vert \\&\leqq {\frac {\varepsilon }{2}}+\mathrm {N} \,m(e_{2})\leqq {\frac {\varepsilon }{2}}+\mathrm {N} {\frac {\varepsilon }{2\mathrm {N} }}=\varepsilon {\text{.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c2fe4166bf9204f2903ec15e96e5320ae3f378)
Une intégrale indéfinie
est donc une fonction absolument continue.
D’une fonction complètement additive et absolument continue
nous déduirons une fonction d’intervalle
complètement additive et absolument continue ; cette dernière dénomination exprimant que, quels que soient les intervalles,
,
, …, sans point commun deux à deux, la somme
tend vers zéro avec
. On pourrait dire aussi que la somme
tend vers zéro, car dans
nous pourrions ne conserver que les termes positifs, fournissant
, ou que les termes négatifs, fournissant
, et comme
et
doivent tendre vers zéro,
doit aussi tendre vers zéro. Par intervalles, sans point commun, on peut maintenant entendre intervalles sans point intérieur commun, car l’absolue continuité de
ou de
entraîne évidemment que ces fonctions soient nulles pour tout intervalle réduit à un seul point, c’est-à-dire soient continues en tout point.
Si l’on passe ensuite d’une fonction
ayant les deux propriétés considérées à une fonction
,
est à variation bornée et absolument continue, c’est-à-dire que, pour tout système d’intervalles
, sans point intérieur commun deux à deux, la somme
tend vers zéro avec la somme des mesures des
. Ici encore, on peut à volonté mettre ou non un signe
sous le signe
; remarquons aussi que l’absolue continuité de
entraîne pour
la continuité au sens ordinaire et que
soit à variation bornée.
Si, réciproquement, on part d’une fonction
à variation bornée et absolument continue, on en déduira une fonction
ayant les deux propriétés indiquées. Cherchons maintenant une fonction d’ensemble
ayant aussi ces deux propriétés et se réduisant à
sur les intervalles. Il est clair que s’il s’agit de calculer
pour un ensemble
nous pourrions procéder ainsi : on détermine un ensemble
d’intervalles distant de
de moins d’un nombre positif
; ce qui est facile, par exemple, en enfermant
dans des intervalles. Pour
on connaît
comme égale à la somme des valeurs de
pour les divers intervalles constituant
. Puis on fait tendre
vers zéro et
tend vers la valeur cherchée
.
Cette valeur
existera donc si, quand on remplace
par un autre ensemble d’intervalles,
, distant aussi de
de moins de
,
tend vers zéro avec
. Or, il en est bien ainsi, puisque
et
sont évidemment distants de
au plus[13]. Finalement
se calcule à l’aide de sommes d’accroissements
, pour cette raison nous dirons aussi que
est l’accroissement de
dans l’ensemble
.
Ainsi les trois familles de fonctions : fonction d’ensemble absolument continue et complètement additive, fonction d’intervalles ayant les deux mêmes propriétés, fonction d’une variable absolument continue et à variation bornée, se correspondent entièrement.
En particulier, nous voyons que l’intégrale indéfinie, fonction d’une variable, d’une fonction
détermine entièrement l’intégrale indéfinie, fonction d’ensemble de
. Et nous avons appris à calculer
, à partir des intégrales de
dans les divers intervalles, par un procédé analogue à celui qui permet de calculer
à partir de la mesure des intervalles.
La propriété précédente entraîne cette conséquence très importante : deux fonctions
et
, qui ont même intégrale dans tout intervalle, sont égales, sauf tout au plus aux points d’un ensemble de mesure nulle. En effet, deux telles fonctions ont, par hypothèse, même intégrale indéfinie
, donc même intégrale indéfinie
; or, comme
est la limite, pour
et tendant vers zéro, de
, pour
assez petit l’un des deux ensembles qui viennent d’être nommés serait de mesure non nulle si
et
différaient en un ensemble de points de mesure positive[14]. Et il est clair que, dans cet ensemble
de mesure non nulle, l’intégrale de la fonction
, constamment supérieure à
, ou constamment inférieure à
, ne serait pas nulle. En d’autres termes,
et
différeraient, ce qui est contraire à l’hypothèse.
Ainsi une fonction
est déterminée, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, par la connaissance de l’une quelconque de ses intégrales indéfinies.
L’indétermination qu’on rencontre dans cet énoncé est bien effective ; car, si l’on modifie arbitrairement
aux points d’un ensemble de mesure nulle arbitrairement choisi, on ne modifie pas ses intégrales indéfinies. Nous aurons plus loin à rechercher comment on peut calculer
quand on en connaît une intégrale indéfinie ; mais pour donner aux résultats qu’on obtiendra toute la portée possible, il sera commode de poursuivre quelque peu l’étude des fonctions d’ensemble.
III. — Les singularités des fonctions non absolument continues.
Des deux propriétés indiquées pour l’intégrale indéfinie fonction d’une variable : être à variation bornée et être absolument continue, la première est contenue dans la seconde ; en effet, pour une fonction
à variation non bornée, il est possible de choisir (p. 57) un système dénombrable d’intervalles non empiétants et tels que la série
correspondante soit divergente ; or une telle série, d’après la définition même de l’absolue continuité (p. 158), est toujours convergente pour une fonction absolument continue.
Au contraire, il existe des fonctions continues et à variation bornée qui ne sont pas absolument continues ; la fonction
de la page 56 en est un exemple. En effet,
a une variation totale égale à 1 dans tout système d’intervalles enfermant
et cela bien que
soit de mesure nulle.
Lorsque l’on considère une fonction
à variation bornée, pour estimer dans quelle mesure elle s’écarte de l’absolue continuité, il suffit de prendre des ensembles d’intervalles de mesures au plus égales à
et de former pour eux les sommes
et
des différences
positives et des différences négatives. En choisissant les
de toutes les manières,
et
ont deux limites supérieures
,
qui, quand on fait tendre
vers zéro en décroissant, tendent en décroissant vers deux limites
et
. Il est clair qu’on peut dire que
s’écarte de l’absolue continuité : dans le sens des variations positives de
, dans le sens des variations négatives de
, au point de vue de la variation totale de
.
Ces nombres
et
auraient pu être définis en appliquant le procédé précédent non plus à
mais respectivement à sa variation positive
et à sa variation négative
; c’est-à-dire qu’on aurait remplacé
, par exemple, par la somme des variations positives de
dans tous les intervalles
. En effet, en opérant ainsi nous avons
; mais, dans
, on peut trouver des intervalles non empiétants
tels que toutes les différences
soient positives et que leur somme, pour
seul variable, diffère aussi peu que l’on veut de
; on a donc, en choisissant bien les
,
![{\displaystyle \textstyle \sum \left[\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})\right]-\varepsilon <\sum \left[\mathrm {F} (\beta _{i,j})-\mathrm {F} (\alpha _{i,j})\right]\leqq \sum \left[\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003702aee50b472ffc7bd507ea26e3eacb332c40)
et, comme la mesure de l’ensemble des
est au plus celle des
, les deux procédés de définition de
sont bien équivalents. Ajoutons qu’on peut évidemment exiger que chaque système d’intervalles employé n’en contienne qu’un nombre fini. À chaque mode de définition de
, de
, donc de
, correspond évidemment une formulation différente de la condition d’absolue continuité.
Désignons par
,
,
les nombres
,
,
relatifs à l’intervalle
, il est évident que dans l’intervalle positif
les nombres
,
,
sont
,
,
; il est clair aussi que ces trois nombres sont positifs ou nuls et au plus égaux, respectivement à
,
,
. En d’autres termes, les six fonctions
,
,
;
,
,
sont non négatives et non décroissantes. Ces fonctions ne sont actuellement définies que dans
; nous les prendrons égales à zéro au point
et nous poserons
![{\displaystyle \mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )=\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )-\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/410915af8de1257b5cd8a9f99449e86115718775)
.
Les fonctions
,
,
,
sont dites les fonctions des singularités de
,
,
,
; voici leur propriété caractéristique : si
est la fonction des singularités d’une fonction à variation bornée
, la différence
est absolument continue et
est, de toutes les fonctions
telles que la différence
soit absolument continue, celle qui a la plus petite variation totale, et qui s’annule pour
.
Il est évident, d’après la définition même de
et de
qu’il ne saurait y avoir une fonction corrective
ayant des variations dans
inférieures à
,
,
et que la seule fonction pour laquelle ces valeurs minima soient atteintes est
![{\displaystyle \mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )+{\text{const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049f1f158d1ba66ce88f8aaaaeee51124ab13364)
Mais il reste à prouver que
est une fonction corrective. Or on a
![{\displaystyle \mathrm {F(X)} -\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )=[\mathrm {P(X)} -\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )]-[\mathrm {N(X)} -\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6195c4ffb9ff1360d09f19965a45b1acf785acf5)
;
comme les deux crochets du second membre sont positifs ou nuls, il faut donc prouver que le nombre
relatif au premier crochet et le nombre
relatif au second sont nuls.
Si le nombre
relatif à
était égal à
, c’est qu’on pourrait trouver dans
des points en nombre fini,
![{\displaystyle x_{0}=a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{k}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38dfbecbabde361c001f5a5df4be5c4e9f8d98b)
,
tels que la mesure de l’ensemble des intervalles de rang pair
soit inférieure à
et tels cependant que la somme
![{\displaystyle \textstyle \sum \left\lbrace [\mathrm {P} (x_{2i})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i})]-[\mathrm {P} (x_{2i-1})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i-1})]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd951496eb3656411554530941473d1c7c3bce1)
surpasse
. Ce qui s’écrit encore
![{\displaystyle \textstyle \sum [\mathrm {P} (x_{2i})-\mathrm {P} (x_{2i-1})]\geqq \sum [\mathrm {P} _{s}(x_{2i})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i-1})]+\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00ef9fe3f1fe4c408475c0c09dfffdf3cb4e158)
.
D’autre part, on peut trouver dans chaque intervalle de rang impair
des intervalles
dont la mesure totale soit aussi faible qu’on le veut et qui fournissent une somme
![{\displaystyle \textstyle \sum [\mathrm {P} (\beta )-\mathrm {P} (\alpha )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e688f0b84f6a5e9683a2cf88ec523ab65335ed)
au moins égale à
, d’après la définition même de
. De sorte que l’on peut supposer que l’ensemble des
relatifs à toutes les valeurs de
ait une mesure inférieure à
et que cependant on ait
![{\displaystyle \textstyle \sum [\mathrm {P} (\beta )-\mathrm {P} (\alpha )]\geqq \sum [\mathrm {P} _{s}(x_{2i+1})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54469984e239b8824b9852d09dec2d1cc2901bbc)
.
D’où, par addition,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum [\mathrm {P} (x_{2i})-\mathrm {P} (x_{2i-1})]+\sum [\mathrm {P} (\beta )-\mathrm {P} (\alpha )]&\geqq \lambda +\textstyle \sum [\mathrm {P} _{s}(x_{j})-\mathrm {P} _{s}(x_{j-1})]\\&=\lambda +\mathrm {P} _{s}(b){\text{ ;}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22135d52dd403e2e78d9e633373c860a7784a54)
et ceci est impossible, d’après la définition de
, puisque l’ensemble des
et des
est de mesure
aussi petite que l’on veut.
La proposition est donc démontrée.
Posons
,
représente donc une fonction absolument continue : le noyau de
. Les fonctions
et
ont les mêmes sauts en tout point, donc la même fonction des sauts
(fonction
de la page 60). Si l’on pose
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {S} +\mathrm {C} =\mathrm {F} _{s}+\mathrm {AC} =\mathrm {S} +\mathrm {C} _{s}+\mathrm {AC} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d786c39470022d9fc653330d368bc64ba983a20a)
,
est la partie continue de
(fonction
de la page 61) et
est à la fois la partie continue de
et la fonction des singularités de la partie continue
de
[15].
Considérons une suite
,
, … d’ensembles d’intervalles dont les mesures tendent vers zéro et fournissant des sommes
,
, … tendant vers la plus grande limite possible
. Les sommes analogues relatives à
tendent vers zéro, à cause de l’absolue continuité de
, donc les sommes
,
, … tendent aussi vers
.
En supprimant au besoin certains des
primitifs nous pouvons supposer que la série des mesures des
est convergente ; alors si nous désignons par
l’ensemble d’intervalles
, les
forment une suite possédant toutes les propriétés signalées de la suite des
et, de plus,
contient
. Soit
l’ensemble des points communs à tous les
; il est de mesure nulle et pour tout système d’intervalles ouverts[16] enfermant
la somme
.
En effet, soit
un tel système d’intervalles, pour
assez grand
est contenu dans
sans quoi, comme l’ensemble
obtenu en retirant de
les parties contenues dans
contient
, il existerait des points communs à tous les
, donc à tous les
, et ne faisant pas partie de
, ce qui est impossible. Donc il fournit une somme
au moins égale à celle que fournit
pour
très grand, donc au moins égale à
, donc exactement égale à
puisque aucune somme
, ne saurait surpasser
.
Lorsqu’un ensemble est de mesure nulle et que tout système d’intervalles ouverts l’enfermant donne une somme
, égale à
, c’est-à-dire donne une somme
au moins égale à
, cet ensemble est dit l’ensemble des singularités de
parce que, en un certain sens, toute la variation de
est concentrée aux points de cet ensemble.
L’ensemble
que nous venons de construire est donc l’ensemble des singularités de
, ou si l’on veut un ensemble des singularités car il est clair que l’ensemble des singularités est très indéterminé.
Par exemple, en ajoutant à
un ensemble quelconque de mesure nulle on a encore un ensemble des singularités.
Tout ensemble des singularités contient nécessairement les points de discontinuité de
; mais ce sont les seuls points qu’il contient nécessairement. Soit, en effet,
un point de continuité de
et supposons qu’il appartienne à
; considérons un ensemble
d’intervalles ouverts enfermant
. Cet ensemble
enferme les parties
et
de
situées dans
et
, qui sont évidemment les ensembles des singularités de
dans ces intervalles.
fournit donc une somme
au moins égale à
. Or, par hypothèse,
tend vers zéro avec
, donc
fournit une somme
égale à
.
De même, de l’ensemble des singularités on peut retrancher une infinité dénombrable arbitraire de points de continuité de
, sans que l’ensemble cesse d’être ensemble des singularités.
Considérons la fonction
![{\displaystyle \mathrm {F} (x)=\xi (x)+{\frac {1}{2^{2}}}\xi (2x)+{\frac {1}{2^{4}}}\xi (2^{2}x)+{\frac {1}{2^{6}}}\xi (2^{3}x)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df18b81eb17c72af179bd93174d5c0e9e0b198d9)
,
étant la fonction de la page 56 mais supposée prolongée en dehors de (0, 1) de façon qu’elle ait la période 2 et qu’elle soit paire.
est continue et à variation bornée dans tout intervalle, elle n’est absolument continue dans aucun intervalle, de sorte que l’ensemble des singularités de
est partout dense et que pourtant il ne contient obligatoirement aucun point particulier ; tout point est qualifié au même titre pour entrer dans cet ensemble de mesure nulle[17].
Soit
l’ensemble des singularités de
; alors pour toute suite d’ensembles d’intervalles ouverts enfermant
et de mesures tendant vers zéro, on a
![{\displaystyle \lim \left[{\textstyle \sum }\Delta \mathrm {P} +{\textstyle \sum }\Delta \mathrm {N} \right]=\lim {\textstyle \sum }\Delta \mathrm {V} =\mathrm {V} _{s}(b)=\mathrm {P} _{s}(b)+\mathrm {N} _{s}(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff4768ed8b88478be128cca3b198abb4d552f93)
;
or
et
ne peuvent surpasser respectivement
![{\displaystyle \mathrm {P} _{s}(b)=p_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2008d7ad01232574c1871e1dfe2c8e99eec5a582)
,
![{\displaystyle \mathrm {N} _{s}(b)=n_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748c15f3ddf4a31f8f096566cb89d6a739a53a6e)
,
donc on a exactement
![{\displaystyle \lim \textstyle \sum \Delta \mathrm {P} =p_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e944f52ddc9e74b871810f1266f7bbf2b34076)
,
![{\displaystyle \lim \textstyle \sum \Delta \mathrm {N} =n_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff91b66726265bbc9a01c01df605b67c298aa54)
;
est aussi l’ensemble des singularités de
et de
.
Inversement, de quelque manière qu’on ait déterminé les ensembles des singularités de
et de
, leur réunion donne l’ensemble des singularités de
; car il est évident que la somme des ensembles des singularités des termes d’une somme est l’ensemble des singularités de la somme.
étant l’ensemble des singularités de
, pour toute suite d’intervalles ouverts enfermant
et de mesure tendant vers zéro, la somme
![{\displaystyle \textstyle \sum \Delta \mathrm {F} =\sum (\Delta \mathrm {P} -\Delta \mathrm {N} )=\sum \Delta \mathrm {P} -\sum \Delta \mathrm {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459a4376bc1fe4cdc5e72b426a48abbaf2923313)
tend vers
![{\displaystyle p_{0}-n_{0}=\mathrm {P} _{s}(b)-\mathrm {N} _{s}(b)=\mathrm {F} _{s}(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0194dfad9c5cd795d1adafd9a207503988451b)
.
En d’autres termes, le procédé qui a permis d’attacher à chaque ensemble
mesurable un accroissement
lorsque
était absolument continue — procédé consistant à enfermer
dans une suite d’ensemble d’intervalles ouverts[18] dont les mesures tendent vers celles de
et à prendre la limite des sommes
fournies par cette suite d’ensembles d’intervalles — s’applique à une fonction
à variation bornée quelconque lorsque l’on prend pour
son ensemble des singularités. Mais l’ensemble des singularités est le seul ensemble pour lequel ce procédé s’applique encore, du moins s’il s’agit d’une fonction continue.
D’une façon plus précise, on pourra démontrer que si l’on appelle
une fonction égale à
, sauf aux points où l’on a
![{\displaystyle \mathrm {F} (x-0)=\mathrm {F} (x+0)\neq \mathrm {F} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa1cae3625c5fa587c202bd384b3f1bd02b7792)
pour lesquels
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(x)=\mathrm {F} _{1}(x-0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052c4844244a05b2843d911db98b8d9416c0faae)
,
— c’est-à-dire si l’on appelle
la fonction qui fournit la même fonction d’intervalle que
, mais qui est débarrassée des singularités inutiles de
— le procédé de définition précédemment utilisé pour l’accroissement dans un ensemble d’une fonction absolument continue peut encore être employé pour
mais seulement pour les ensembles qui sont ensembles de singularités pour
.
Par un procédé tout différent nous allons définir l’accroissement de
dans une classe étendue d’ensembles. Pour cela, décomposons
en
. À la fonction des sauts
nous attachons dans
un accroissement égal à
![{\displaystyle \sum _{\mathrm {E} }[\mathrm {F} (x+0)-\mathrm {F} (x-0)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4279478d6f922943cb9e9bfd8ee29a95edaf0e4)
.
la sommation étant étendue à ceux des points de discontinuité de
qui appartiennent à
.
Soit
la variation totale de
de
à
, le changement de variable
![{\displaystyle \theta =x+{\mathcal {V}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2754a78926610e02be0045cece8f27f998acccb)
transforme
en une fonction de
, soit
[19].
ayant dans tout intervalle
une variation totale
, inférieure à
, a, par rapport à
, des nombres dérivés inférieurs en valeur absolue à 1.
, étant absolument continue, a un accroissement déterminé dans chaque ensemble mesurable
; mais à
correspond un ensemble
. Nous convenons de poser pour définition de l’accroissement dans ![{\displaystyle \mathrm {E} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4077d9f2b0bd68a96e10fa79763cb9142aed6d3a)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathrm {C} }(\mathrm {E} _{x})={\mathcal {A}}_{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}_{\theta })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f89b61254b6df1f446b937222576711038ec7e)
.
Les ensembles
que nous atteignons ainsi sont tous mesurables ; car si l’on enferme
et son complémentaire
dans deux familles d’intervalles ayant des parties communes de mesure totale
, par le changement de variable de
à
on en déduit deux familles d’intervalles enfermant
et son complémentaire
et dont les parties communes ont au plus
pour mesure ; à un intervalle
correspond, en effet, un intervalle
de longueur égale ou supérieure.
Mais on ne peut pas affirmer que l’accroissement soit défini pour tous les ensembles
mesurables. En tout cas il est défini pour tous les
réduits à un intervalle ou à un point car pour eux les
sont des intervalles ou des points ; le changement de variable transformant les additions et les soustractions d’ensembles en additions et soustractions ; il s’ensuit qu’aux ensembles
mesurables B correspondent des
mesurables B et par suite l’accroissement de
est défini en particulier dans tout ensemble
mesurable B.
Pour énoncer le résultat, remarquons que
désignant toujours la variation totale de
de
à
, nous aurions pu raisonner directement sur
en posant
![{\displaystyle t=x+\mathrm {V} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbc6cc18f19aad079d2b827c7b969a0ea162f62)
,
quand
est point de continuité de
, et, quand
est point de discontinuité, en lui faisant comprendre toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
![{\displaystyle t_{2}=x+\mathrm {V} (x+0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eabae62be0a4c11dc5520383a1ef5a9d287b92d)
.
La fonction
sera telle que
![{\displaystyle {\mathcal {F}}[x+\mathrm {V} (x)]=\mathrm {F} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0c06c2edb904fe52b0b0522644173059b69992)
si
est point de continuité et, si
est point de discontinuité on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}(t_{1})&={\mathcal {F}}[x+\mathrm {V} (x-0)]=\mathrm {F} (x-0),\\{\mathcal {F}}(t_{2})&={\mathcal {F}}[x+\mathrm {V} (x+0)]=\mathrm {F} (x+0),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79856827edfbc9c670d8609ceb6be8280262ded1)
étant linéaire entre
et
.
Alors il suffira de poser
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(\mathrm {E} _{x})={\mathcal {A}}_{{\mathcal {F}}(t)}({\mathcal {E}}_{t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd216e9324fb6da45f1bb4040f9e41e7ffb82f10)
pour définir l’accroissement de
par un procédé analogue au précédent et fournissant le même résultat, comme on le constatera de suite. Donc : on peut attacher à chaque fonction
à variation bornée une fonction complètement additive d’ensemble que l’on appelle l’accroissement de
et qui est définie dans une famille d’ensembles mesurables, variable avec
, mais qui comprend toujours tous les ensembles mesurables B ; c’est la famille des ensembles qui, par le changement de variable
convenablement interprété, fournit des ensembles mesurables en
.
On a vu, par le procédé même qui nous a permis de construire
, que l’on pouvait toujours faire en sorte que l’ensemble des singularités de
soit mesurable B. Alors, pour cet ensemble, on a deux définitions différentes de l’accroissement de
, il faut vérifier qu’elles sont en accord.
Or soit
un ensemble mesurable B, il lui correspond un ensemble
; enfermons
dans des intervalles ouverts
[20] et dont on fera tendre la mesure vers celle de
. Si l’on a eu soin de choisir les
de façon qu’ils n’aient aucune extrémité à l’intérieur des intervalles
correspondant aux points singuliers de
, ce qui est possible,
correspond à un ensemble d’intervalles ouverts
[21] enfermant
et de mesure tendant vers celle de
; la somme
tend alors vers
car elle est égale à
qui tend vers
.
Si donc
est l’ensemble des singularités de
, la seule chose nouvelle qui se présente c’est que nous ne sommes plus obligés d’utiliser l’ensemble particulier
déduit des
pour calculer
; on peut employer tout autre ensemble
d’intervalles ouverts enfermant
, et de mesure variable et tendant vers zéro.
Quand on se restreint[22] à la considération des ensembles
auxquels correspondent des ensembles
mesurables, on peut dire que les ensembles des singularités sont ceux pour lesquels on a à la fois
![{\displaystyle m(\mathrm {E} _{x})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd49235425f60c840b01d4c27c52f31b95ca32f6)
,
![{\displaystyle {{\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} _{x})}=\mathrm {V} _{s}(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ed2e2efd157eed0a4194af6aa4b8412460ca9a)
.
Déduisons de là que si
et
sont pour
deux ensembles des singularités, de cette catégorie, mesurables B par exemple, l’ensemble
des points communs à
et à
est aussi ensemble des singularités de
.
On a en effet
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} ^{1})=\mathrm {V} _{s}(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063e9f723966b3173e6ca907993a6c4e89106c44)
;
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} ^{1}+\mathrm {E} ^{2})=\mathrm {V} _{s}(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73ad8ab1113a3633a4e185ad73be774cba4ce44)
;
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} ^{1}+\mathrm {E} ^{2})={\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} ^{1})+{\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} ^{2}-\mathrm {E} ^{12})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec66628448b2c51d45504aa5d2049a735d87243)
.
D’où
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} ^{2}-\mathrm {E} ^{12})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02e7e95236481c4595382ac60519473506b95f3)
,
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} ^{12})={\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} ^{2})-{\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} ^{2}-\mathrm {E} ^{12})={\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} ^{2})=\mathrm {V} _{s}(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925ae1f026e8631710a5dbb35896a093a6a55887)
;
le théorème est démontré.
Étudions la fonction d’ensemble
qui vient d’être définie ; pour cela remarquons que si, au début de cette théorie des fonctions d’ensemble, nous avons été naturellement conduits à nous occuper des fonctions définies sur tous les ensembles mesurables, cette condition n’était nullement essentielle à nos raisonnements ; les conclusions de ces raisonnements subsistent pour les fonctions d’ensembles définies seulement, ou connues seulement, pour les ensembles mesurables B. Il nous sera commode de parler des fonctions connues pour tous les ensembles mesurables B, parce que les ensembles
,
de la page 148, ainsi que l’ensemble
de la page 164, sont mesurables B.
La fonction
, ou simplement
, est définie pour tous les ensembles mesurables B et complètement additive dans la famille de ces ensembles. Elle est donc à variation bornée et a des variations
,
,
qui sont aussi complètement additives ; comment pourrait-on calculer ces fonctions connaissant
?
On n’a pas toujours
![{\displaystyle {\mathcal {V}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae16ff22ba8263672acfda83ff9e19cf538045d)
;
l’exemple de
partout nulle dans (0, 1) sauf pour
le montre de suite.
est alors identique à zéro, donc aussi
et pour
réduit au point
, on a
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathrm {V} (x)}(\mathrm {E} )=2\left\vert \mathrm {F} \!\left({\frac {1}{2}}\right)\right\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc673d8699d30cb4251ef3f4a0b7501665173b8)
.
Pour écarter de telles singularités, modifions
en ses points de discontinuité intérieurs à
de façon que la nouvelle fonction
n’ait en aucun point deux sauts de signes contraires.
Pour fixer les idées, prenons
continue à droite à l’intérieur de
. Soient
,
,
les trois variations totales de
; on va prouver que l’on a
![{\displaystyle {\mathcal {V}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {V} _{1}(x)}(\mathrm {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0495bfa66694558ac27a8ea68d1cb4cb87f7f6b6)
;
![{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(\mathrm {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6df5165afd2ed74674993e2498cb6d4fb2a881)
;
![{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {N} _{1}(x)}(\mathrm {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c642cd9777eaa3d4b50976029ceafc14dc1deb85)
;
est la limite supérieure des valeurs de
; mais chaque valeur de
peut se calculer à l’aide d’un système
d’intervalles, donc
est la limite supérieure des nombres
pour les systèmes
d’intervalles ouverts, sauf peut-être en
et
. D’autre part
est la limite supérieure des nombres
pour les systèmes
d’intervalles fermés. Comme en barrant d’un système
d’intervalles tous ceux qui donnent des
négatifs nous augmentons
, et qu’on peut réunir deux intervalles donnant des
non négatifs et ayant une extrémité commune, on peut supposer les intervalles
sans extrémités communes. Soit
l’un de ces intervalles,
étant continue à droite, l’intervalle
donne le même accroissement que
et presque le même que
, pour
très petit.
Donc
, pour
formé d’intervalles fermés, diffère aussi peu que l’on veut de
pour
convenablement formé d’intervalles ouverts, sauf peut-être en
et
. Et l’on a
![{\displaystyle {\mathcal {P}}(a\leqq x\leqq b)={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(a\leqq x\leqq b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01727cbeae0f627f278149ca88ec3b68a4006dd)
.
Mais on aurait eu de même
![{\displaystyle {\mathcal {P}}(a\leqq x\leqq \mathrm {X} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(a\leqq x\leqq \mathrm {X} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79469ebc9c1021d4de3b974c28d0635958d8bd1b)
,
d’où il résulterait que, dans tout intervalle
ouvert, fermé ou à demi fermé, on a
![{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathrm {I} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(\mathrm {I} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339a37c1524612847f46d44dfb3d38f45f5587ce)
;
puis on déduirait l’égalité
pour tous les ensembles mesurables B.
Les égalités analogues relatives à
et
en résultent.
Soient
,
,
,
les fonctions des singularités de
,
,
,
;
,
,
sont les trois variations de
. À ces fonctions, qui sont continues à droite à l’intérieur de
, correspondent des accroissements
,
,
,
liés entre eux comme
,
,
,
. Ces fonctions
,
,
,
sont dites les fonctions des singularités de
,
,
,
. Comme
est la fonction de plus petite variation totale telle que
soit absolument continue, la fonction des singularités d’une fonction
, complètement additive d’ensembles mesurables B, est, parmi toutes les fonctions correctives
rendant
absolument continues, celle qui a la plus petite variation totale.
L’ensemble des singularités de
, pris mesurable B, est dit l’ensemble des singularités de
. Ainsi, par ensemble des singularités d’une fonction
additive d’ensemble mesurable B, nous entendons tout ensemble
, mesurable B, qui est de mesure nulle et pour lequel la fonction
, variation totale de
, atteint la plus grande des valeurs qu’elle peut atteindre sur des ensembles de mesure nulle.
L’ensemble des singularités de
est par conséquent un ensemble
en lequel
![{\displaystyle {\mathcal {P}}[\mathrm {E} _{s,{\mathcal {P}}}]=\mathrm {P} _{1s}(b)={\mathcal {P}}_{s}[\mathrm {E} _{s,{\mathcal {P}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a4f585ee7e5bcbdee63645a520d026c77f239c)
;
pour tout ensemble
, n’ayant aucun point commun avec
,
sera par suite nul, puisque
ne peut être ni négatif ni supérieur à
. L’ensemble
est l’ensemble en lequel
, ou
, atteint sa limite supérieure. L’ensemble
des singularités de
est celui en lequel
, ou
, atteint sa limite inférieure. L’ensemble
est l’ensemble des singularités de
.
L’ensemble des singularités d’une fonction
complètement additive d’ensemble mesurable B se décompose en deux ensembles sans points communs qui sont respectivement les ensembles des singularités de la variation positive de
et de sa variation négative ; nous avons vu, en effet (p. 148), que les ensembles
et
, en lesquels une fonction [ici
] atteint sa limite supérieure et sa limite inférieure, peuvent être pris sans points communs.
Ainsi les ensembles des singularités de
et
peuvent être pris sans points communs et l’on peut supposer qu’aucun point singulier de
ne fait partie de ces ensembles, puisque ces points singuliers ne forment qu’un ensemble fini ou dénombrable. Mais pour avoir l’ensemble des singularités de
il suffit d’ajouter à l’ensemble des singularités de
les points en lesquels
a au moins un saut positif. Donc les ensembles des singularités des variations positive et négative,
et
, d’une fonction à variation bornée,
, peuvent être pris sans autres points communs que ceux en lesquels
a un saut de droite et un saut de gauche différents de zéro et de signes contraires.
De toute cette analyse il faut retenir surtout qu’une fonction complètement additive d’ensemble mesurable B est absolument continue si, et seulement si, elle a une valeur nulle sur tout ensemble mesurable B de mesure nulle. La fonction est alors prolongeable à tout ensemble mesurable[23].