Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 9

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 70-72).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ θʹ.	PROPOSITIO IX.
τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.	Datum angulum rectilineum bifariam secare.
Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος. ἢ ὑπὸ ΒΑΓΙ’ δὲῖ δὴ αὐτὴν δἴχα τεμεῖν.	Sit datus angulus rectilineus BAT ; oportet igitur ipsum bifariam secare.

Εἰλήφθω γὰρʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ. καὶ ἀφηρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΤ τῇ ΑΔ ἰση ἢ ΑΒ. καὶ ᾿σεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔῈ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ 5 καὶ ἐπεζεύχθω

Sumatur enim in AB quodlibet punctum A, et auferatur ab AT ipsi AA zqualis AE, et

jungatur AE, et constituatur super AE trian- gulo aquilatero AEZ, et jungatur AZ ;

ἢ ΑΖʼ λέγω ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΤ γωνια ἆιχα τετμυτοω ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας.

dico BAT angulum bifariam secari ab AZ rectâ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ, δὲ ἡ ΑΖ. δύο δὴ αἱ ΔΑ. ΑΖ δυσὶ ταῖς ἙΑ. ΑΖ ἰσαι εἰσὴν. ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. , καὶ βάσις ἢ ΔΖ βάσει τῇ ἘΖ ἴση ἐστί" γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ γωνίᾳ τή ὑπὸ ἘΑΖ ! σὴ ἐστιν.

Quoniam enim zqualis est AA ipsi AE, coin- munis autem AZ, due AA, AZ duabus EA, AZ æquales sunt, utraque utrique, et basis AZ basi EZ æqualis est ; angulus igitur AAZ angulo EAZ æqualis est.

Ἢ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὗθύγροιμμος, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, δύχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας. Ο’περ ἔδει ποιῆσαι,

Datus igitur angulus rectilineus BAΓ bifariam secatur ab AZ rectâ. Quod oportebat facere.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ία.	PROPOSITIO XI.
Τὴ δοθείσῃ εὐθείᾳ, ἀπὸ τοῦ πρὃς αὐτῇ δοθέντος σημείου, πρὸς ὄρθας γωνίας εὐθεῖαν γραμμῆν ἀγαγεῖνο	Date recte, a puncto in eà dato, ad rectos angulos rectam. lineam ducere.
Ἔστω ἣ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ. τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ αὐτῆς τὸ Τʼ δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Τ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμήν γαγεινς	Sit quidem data recta AB, datum vero punctum in eá Iʼ ; oportet igitur a Iʼ puncto Ipsi AB recte ad rectos angulos rectam lineam ducere.

PROPOSITION IX.

Partager un angle rectiligne donné en deux parties égales.

Soit BAT un angle rectiligne donné ; il faut le partager en deux parties égales.

Prenons dans la droite AB un point quelconque 4, retranchons de la droite Ar une droite AE égale, à la droite A4, joignons AE, sur la droite AE, construisons le triangle équilatéral AEZ (1) , et joignons AZ ; je dis que l’angle BAΓ est partagé en deux parties égales par la droite AZ.

Puisque AΔ est égal à AE, et que la droite AZ est commune, les deux droites AA, AZ, seront égales aux deux droites EA, AZ, chacune à chacune ; mais la base AZ est ‘égale à la base Ez ; donc l’angle A4Z est égal à lʼangle E4z (8) .

Donc lʼangle rectiligne donné BAT est partagé en deux parties égales par la droite AZ ; ce quʼil fallait faire.

PROPOSITION XI.

À une droite donnée, et à un point donné dans cette droite, mener une ligne droite à angles droits,

Soit AB une droite donnée, et Γ le point donné dans cette droite ; il faut du point Γ mener à la droite AB une ligne droite à angles droits.