Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 10
C. F. Patris, (1, p. 71-73).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ἰ. | PROPOSITIO X. |
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Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δήχα τεμεῖν. |
Datam rectam terminatam bifariam secare. |
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Ἑστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ʼ ἡ ΑΒ’. δὲὶ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πεπερασμένην δῖχα τεμεῖν. |
Sit data recta terminata AB ; oportet igitur AB rectam terminatam bifariam secare. |
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Συνεστάτω ἐπ αὑτὴς τριγῶνον ἰσοπλευρον τὸ ΑΒΓ ; καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΑΤΒ γωνία δῖχα |
Constituatur super ipsá triangulum zquila- terum ABT, et secetur AΓB angulus bifariam
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τῇ ΤΔ εὐθείᾳʼ λέγω ὃτι ἅ ΑΒ εὐθεῖα δύχα τέετμῆται κατὰ τὸ ἃ σηῤέιονο |
ab ΓΔ rectâ ; dico AB rectam bifariam secari in A puncto. |
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Ἐπεὶ γὰρ ἰσὴ ἐστὶν " ΑΤ τῇ ΓΒ. κοιγῆ δὲ ἡ ΓΔ. δύο δὴ αἱ ΑΥ, ΤΔ δυσὶ ταῖς ΒΓ. ΓΔ σαι εἰσ ! ν. ἐκατερῶ ἐκατέρε5 κ͵ὶ γωνίωα Ἡ υή ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἰσὴ ἐστὶ 5" βασις ἀρὰ ἡ ΑΔ βασει τῇ ΒΔ ἰσὴ εστίν, |
Quoniam enim zqualis est AT ipsi TB, com- munis autem IʼA, due Ar, rA duabus BT, LIA xquales sunt, utraque utrique, et angulus ATA angulo BΓΔ æqualis est ; basis igitur AA basi BA æqualis est. |
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Ἢ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἢ ΑΒ δῖχω τέτμηται κατά-τὸ Δ. Οπερ ἔδει ποιῆσαις |
Ergo data recta terminata AB bifariam se- catur in puncto A. Quod oportebat facere. |
Partager une droite donnée et finie en deux parties égales. Soit donnée une droite finie AB ; il faut partager la droite finie AB en deux parties égales.
Construisons sur cette droite un triangle équilatéral ABT (1) , et partageons l’angle AΓB en deux parties égales par la droite ΓΔ (9) ; je dis que la droite AB est partagée en deux parties égales au point Δ.
Car puisque la droite AΓ est égale à la droite ΓB, et que la droite ΓΔ est commune, les deux droites AΓ, ΓΔ sont égales aux deux droites BΓ, ΓΔ, chacune à chacune ; mais l’angle AΓΔ est égal à lʼangle BΓΔ ; donc la base ΑΔ et égale à la base BΔ (4) .
Donc la droite donnée et finie AB est partagée en deux parties égales au point Δ ; ce qu’il fallait faire.