Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 11

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 72-73).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ία.	PROPOSITIO XI.
Τὴ δοθείσῃ εὐθείᾳ, ἀπὸ τοῦ πρὃς αὐτῇ δοθέντος σημείου, πρὸς ὄρθας γωνίας εὐθεῖαν γραμμῆν ἀγαγεῖνο	Date recte, a puncto in eà dato, ad rectos angulos rectam. lineam ducere.
Ἔστω ἣ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ. τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ αὐτῆς τὸ Τʼ δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Τ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμήν γαγεινς	Sit quidem data recta AB, datum vero punctum in eá Iʼ ; oportet igitur a Iʼ puncto Ipsi AB recte ad rectos angulos rectam lineam ducere.
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ τυχὸν σημειίον τὸ Δ; καὶ κείσθω τῇ ΓΔ ἴση. ἡ ΓῈ, καὶ συνέστατὼ ἐπῖι τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΖΔΕ, καὶ ἐπ- ἐζεύχθω ἡ ΖΓ. λέγω ὁτι τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ, ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Τ, πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἠκται ἡ ΖΓ.	Sumatur in AT quodlibet punctum A, et po- natur ipsi IʼA cqualis TE, et constituatur super AE triangulo equilatero ZAE, et jungatur ZT ; dico date recte AB a dato in eà puncto LT, ad rectos angulos rectam lineam ductam esse ZI.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΤΔ τῇ ΤῈ ; κοινῆ δὲ ΤΖ. δύο δὴ αἱ ΔΙ. ΤΖ δυσὶ ταῖς ἘΓ. ΤΖ ἰσαϑ εἰσὶν. ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βασις ΔΖ βασει τῇ 2Ὲ ἴση ἐστί" γωνία ἀρα ἡ ὑπὸ ΔΙΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ἘΓΖ ἴση ἐστὶ, καί εἰσιν ἐφεξῆς. Οταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἐσας ἀλλήλαις ποιῇ. ὀρθὴ εἐκατερα τῶν ἰσῶὼν γωνιῶν ἐστιν " ὀρθή ἀρα ἐστὶν ἐκατέρώ τῶν ὑπὸ ΔΙΖ, ΖΙΓῈ.	Quoniam enim æqualis est ʼÀ ipsi PE, com- munis vero TZ, duæ sane ÁT, LZ duabus ETʼ, TZ equales sunt utraque utrique, et basis AZ basi ZE aequalis est ; angulus igitur ATZ angulo ETZ « qualis est, et sunt deinceps. Quando au- tem recta in rectam 1nsistens deinceps. angulos wquales inter se faeit, rectus uterque squa- lium angulorum est ; rectus igitur est uterque ipsorum ATZ, ZTE.
Τῇ ἄρα δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ. ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δόθέντος σημείου τοῦ Τ, πρὸς ὀρθᾶς γωνίας εὐθεῆα γραμμὴ ἠκται᾽ ἡ 2Γ, Οπερ ἔδει ποιῆσαι.	Ergo date recte AB a dato in eá puncto Tʼ, ad rectos angulos recta linea ducta est Z. Quod oportebat facere.

PROPOSITION XI.

À une droite donnée, et à un point donné dans cette droite, mener une ligne droite à angles droits,

Soit AB une droite donnée, et Γ le point donné dans cette droite ; il faut du point Γ mener à la droite AB une ligne droite à angles droits. Prenons dans la ligne droite AT un point quelconque 4, faisons TE égal à rA (3) , construisons sur AE le triangle équilatéral ZAE, et joignons zr ; je dis que la droite TZ est menée à angles droits à la droite AB du point r donné dans cette droite.

Car puisque la droite rA est égale à la droite TE, et que la droite TZ est commune, les deux droites AT, rzZ sont égales aux deux droites Er, TZ, chacune à chacune ; mis la base 47 est égale à la base ZE ; donc l’angle arz est égal à lʼangle Erz (8) ; mais ces deux angles sont de suite, et lorsqu’une droite placée sur une droite fait les angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit (déf. 10) ;  ; donc chacun des angles ArZ, ZTE est droit.

Donc la ligne droite ZΓ a été menée à angles droits à la droite donnée AB du point Γ donné dans cette droite.