Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 12
C. F. Patris, (1, p. 74-75).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιβ΄. | PROPOSITIO XII. |
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Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἀπειρον, ἀπὸ τοῦ δοθεντος σημείου, ὃ μὴ ἐστιν ἐπ αὐτῆς. κάθετον εὐθεῖαν γροιμμπν ἀγαάγεῖν. |
Super datam rectam infinitam, a dato puncto, quod non est in eá, perpendicularem rectam lineam ducere. |
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Ἑστω ἢ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ουπειρος. ΑΒ΄. τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον. ὃ μή ἔστιν ἐπ᾿ αὐτῆς, τὸ Τʼ δὲ ; δὴ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἀπεῖρον τὴν ΑΒ. ἄπὸ τοῦ δόοθεντος σημείου τοῦ Τ. ὃ μή ἐστιν ἐπ αὐτῆς. κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. |
Sit quidem data recta infinita AB, datum vero punctum Tʼ, quod non est 1in eà ; oportet igitur super datam rectam infinitam AB, a dato puncto Tʼ, quod non est in eà, perpendicularem rectam lineam ducere. |
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Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς ΑΒ εὐθείας τυχον σήμεῖον τὸ Δ9 καὶ κεντρῷ μὲν τῷ 1 διαστήματι δὲ τῷ ΓΔ. κύκλος γεγράφθω ὁ ἘΖΗ. καὶ τετμήσθω ἡ ἘΗ εὐθεία Ἶ δέχα κατὰ τὸ Θ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΤΗ. ΓΘ. ΓΙῈ εὐθεῖαι λέγω ὅτι ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ. ἀπὸ τοῦ δοθεντος σημείου τοῦ Γ, . 0 μή ἐστιν ἐπ αὐτῆς, κάθετος ἤἥκται ἢ ΓΘ. |
Sumatur enim ad alteram partem AB rectæ quodlibet punctum A, et centro quidem T, intervallo autem ΓΔ, circulus describatur EZH, et secetur EH recta bifariàm in O, et jun- gantur ΓH, ΓΘ, ΓE rectæ ; dico super datam rectam infinitam AB, a dato puncto T, quod non est in eà erpendicularem ductam esse ΓΘ.
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Ἐπεί γὰρ ἔση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ ; κοινὴ δὲ ἢ ΘΓ, δῦύο δὴ αἱ ΘΗ ΘΓ δυσὶ ταῖς ἘΘ, ΘΓ ἔσαι εἰσὶν. ἓκατἑρω ἐκαάτερᾳ 5 καὶ βασις ἢ ΤΗ βασει τῇ ΤῈ ἐστὶν ἴση" γωνία ἀρὼ ἢ ὑπὸ ΤΘῊΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ἘΘΤ ἐστὶν ἰση. καὶ εἶσιν εφεξυ ς. Ὅτὰν δὲ εὐθεῖα ἐπὶ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ͵εφεξυς γωνίας ἰσας ἀλλήλαις ποιῥῇρν ρθή ἐκατερῶ τῶν ἰσὼν γωνεῶν ἐστιν καὶ ἡ ἐφεστηκυΐα εὐθεῖα καθετος καλεται εῷ ἣν ἐφεστήκεν. |
Quoniam enim zqualis est HO ipsi OE, communis autem OTCTʼ, du » utique OH, er duabus EO, OTʼ : quales sunt, utraque utrique, et basis TH basi FE est equalis ; angulus igitur LlʼOH angulo EGTʼ est equalis, et sunt deinceps. Quando autem recta in rectam insistens, deinceps angulos quales inter se facit, rectus uterque aequalium angulorum est ; et insistens recta perpendicularis appellatur in quam insistit. |
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Επʼ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον τῆν ΑΒ. απὸ τοῦ δοθεντὸος σημείου τοῦ Γ. ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὑτῆς, κάθετος ἧκται ἢ ΓΘ. Οπερ ἐδὲ, ποιῆσαι- |
Super datam igitur rectam infinitam AB a dato puncto Iʼ quod non est in eà, perpendicularis ducta est ʼO. Quod oportebat facere. |
A une droite indéfinie et donnée, et d’un point donné qui n’est pas dans cette droite, mener une ligne droite perpendiculaire.
Soit AB une droite indéfinie et donnée, et T un point donné qui n’ést pas dans cette droite ; il faut à cette droite indéfinie et donnée AB, mener du point donné r qui n’est pas dans cette droite, une ligne droite perpendiculaire.
Prenons de l’autre côté de la droite 4B un point quelconque 4, et du centrer et d’un intervalle rA, décrivons le cercle EZH (dem. 3) , partageons la droite EH en deux parties égales au point Θ (10) , et joignons TH, TΘ, TE ; je dis qu’à la droite indéfinie et donnée 48, et du point donné T qui n’est pas dans cette droite, on a mené une perpendiculaire ΓΘ. Car puisque la droite HΘ est égale à la droite @E, et que la droite er est
commune, les deux droites ΘΓ, ΘH sont égales aux deux droites EΘ, ΘΓ, chacune à chacune ; mais la base ΓH est égale à la base ΓE (déf. 15) ; donc lʼangle ΓΘH est égal à l’angle EΘΓ (8) ; mais ces deux angles sont de suite, et lorsquʼune droite placée sur une droite fait les angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit, et la droite placée au dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.
On a donc mené ΓΘ perpendiculaire à la droite indéfinie AB, du point donné Γ placé hors de cette droite. Ce qu’il fallait faire.