Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 8
C. F. Patris, (1, p. 68-70).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ηʹ. | PROPOSITIO VIII. |
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Eαν δυο τριγωνα, τὰς δυο ’π. λευρας τεὺς δυσὶ τλευραις ἴσας εχη, εκατεραν ἐχοὶ τςροι ἐχη δὲ παι τὴν βάσιν τῇ βᾶσει ἴσην" καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἐξει. τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν σπερι- ἐχομένην. |
Si duo triangula duo latera duobus lateribus vequzlha habeant, utrumque utrique, habeant autem et basim baci eqvalem ; et angulum an- gulo xqualem habebunt, ab æqualibus rectis contentum.
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Ἕστω δῦο. ʼτρι’γὠνοι τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ. τὰς δὺς πλευροὶς τὰς ΑΒ. ΑΓ ταῖῆς δυσὶ ’πλευρα, ἳ’ς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἔσας ἔχοντα. , ἑκατέραν ἕκςιτἔρᾳ. τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ-, τὴν δὲ ΑΤ τῇ ΔΖʼ ἐχέτω δὲ καὶ βάσιν τὴν ΒΓ βάσει τῇ ἘΖ ἔτην" λέγω ὅτι καὶ, γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΙ γωγίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστὶν ἰση. |
Sint duo triangula ABr, AEZ, duo latera AB, AT duobus lateribus AE, AZ zqualia habentia utrumque utrique, AB quidem ipsi AE, AT vero ipsi AZ ; habcat autem et basim Br bas EZ equalem ; dico et angulum BAr angulo EAZ esse æqualem. |
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Εφαρμοζομξου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγῶνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Β σημείου ἐπὶ τ Ἑ σημεῖον. τῆς δὲ ΒΓ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΕΖ. ἐφαρμόσει καὶ τὸ Τ σήμεῖον ἐπὶ τὸ Ζ. διὰ τὸ ἐσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ᾽ ἐφαρμοσάσης δῊ τῆς ΒΓ ἐπ’ι τὴν ἘΖ : ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ. ΤΑ επι τας ΕΔ. ΔΖ. Εἰ γαρ βάσις μὲεν ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ἘΖ ἐφαρμόσει. αἱ δὲ ΒΑ. ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰας ἘΔ. ΔΖ οὐκ ἔφαρμὄζουσιν, ἀλλὰ παραλ- λαξουσιν, ὡς αἱ ἙΗ. ΗΖ. , συσταθήσονται. ἐπὶ τῆς αὐτὴς εὐθείας. δυσὶ ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δὺο εὐθεῖαι ἴσαι. ἑκατέρα ἐκατέρᾳ. πρὸς |
Congruente enim ABT trianguloipsi AEZtrian- gulo, etposito quidem B puncto super E punctum, BIʼ vero rectá super EZ, congruet et I punctum ipsiZ, quia equalis est BIʼ ipsi EZ ; congruente igitur BIʼ ipsi EZ, congruent et BA, LʼA ipsis EA, AZ. S1 enim basis quidem BTʼ basi EZ con- gruat, BA, AT vero latera ipsis EA, AZ non congruant, sed sitim miutent ut EH, HZ, constituentur super eádem rectá duabus rectis alie due recte : wquales, utraque utrique, ad aliud et aliud punctum, ad easdem partes, eosdem terminos habentes. Non constituuntur
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ἄλλῳ καὶ ἀλλῷ σημείῳ 5 ἐπὶ τὰ αὑτὰ μερῆ. 5 τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι. Οὐ συνίστανται δὲ" οὐκ ἄρα, εφαρμοζομενυς τῆς ΒΓ βάσεως ἐπὶ τὴν ἘΖ βασιν. οὐκ ἐφαρμόσουσι καὶ αἴ᾿ ΒΑ. ΑΓ πλέυβαὶ ἐπὶ τὰας ἘΔ. ΔΖ. Εφαρμὄσουσιν ὥρα" ὠστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΤ ἐπὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ἘΔΖ ξφοιρ- μόσει. καὶ ἰσὴ αὐτῇ ἔσται. Ἐὰν ἀρα δύο, καὶ τὰ ἑξῆς. |
quidem. Non igitur, congruente BT basi Ez basi, non congruent et BA, AT latera ipsis EA, AZ. Congruent igitur ; quare et angulus BAT angulo EAZ congruet, et wqualis ei erit, Si igitur duo, étc. |
Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et s’ils ont la base égale à la base, les angles compris par les côtés égaux seront égaux. Soient les deux triangles ABΓ, ΔEZ, ayant les deux côtés AB, AΓ égaux aux deux côtés AE, AZ, chacun à chacun, le côté AB égal au côté AE, et le côté Ar égal au côté 4z ; qu’ils aient de plus la base Br égale à la base EzZ ; je dis que l’angle Bar est égal à l’angle EAZ.
Car le triangle 4Br étant appliqué sur le triangle AEz, le point B étant placé sur le point E, et la droite Br sur la droite Ez, le point r s’appliquera sur le point z, parce que Br est égal à Ez ; la droite Br s’appliquant sur la droite Ez, les droites BA, TA s’appliqueront sur les droites EA, AZ ; car si la base Br s’appliquant sur la base EZ, les côtés BA, AT ne s’appliquaient pas sur les côtés AE, AZ, et prenalent une autre position, comme EH, HZ, On pourrait construire sur une même droite, et à deux points différens placés du même côté, deux droites égales à deux autres droites, chacune à chacune, et ayant les mêmes extrémités que ces deux autres ; mais elles ne peuvent pas être construites (7) ; donc la base Br sʼappliquant sur la base Ez, les côtés BA, AT ne peuvent pas ne point s’appliquer sur les côtés EA, AZ ; donc ils sʼappliqueront les uns sur les autres ; donc l’angle BAT s’applique sur l’angle EΔZ ; donc il lui est égal. Donc, etc.