Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 7
C. F. Patris, (1, p. 67-68).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ζʹ. | PROPOSITIO VII. |
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Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας. δυσὶ ταῖς αὐταὶς εὐθείαις ἀλλαι δυο εὐθεῖαι ἰσαι ἐκατερα ἐκατερᾳ οὐ συσταθήσονται. πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τῷ αὐτὰ μερῆ. τὰ αὐτὰ περᾶταὰ εἐχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις. |
Super eádem rectá, duabus eisdem rectis alie duae recte zquales utraque utrique non constituentur, ad aliud et aliud punctum ad easdem partes, cosdem terminos habentes quos prima recto. |
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Εἰ γαρ δυνάτὸν. « πὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ. δυσὶ ταῖς αὐταῖς εὐθεία : ς ταῖς ΑΓ. ΤΒ ἄλλα, δύο εὐθεῖαι αἰʼ ΑΔ. ΔΒ ἔσαι, εκατέρα οκατεέρῷ, συγεστατωσαᾶν » πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ τῷ τε Τ καὶ Δ. ἐπίι τὰ αὐυτὰ Μμερῆ τὰ Ι. Δ, τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχύυσαι τὰ Α- Β2" ὥστε ἐσὴν εἰνα ! τὴν μὲν ΤΑ τῇ ΔΑ. τὸ αὐτὸ πέρας |
Si enim possibile, super eádem rectà AB duabus eisdem rectis AT, TB, alix dus recte AA, AB zquales utraque utrique constituantur ad aliud et aliud punctum Tʼ et A, ad easdem partes, P, A, et eosdem £erminos habentes A, B ; ita ut equalis sit quidem TA ipsi AA, eum- dem terminum habens quem illa, punctum A, |
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χουσαν αὐτῇ τὸ Α, τὴν δὲ ΤΒ τῇ ΔΒ. τὸ αὐτὸ ’πξρας ἔχουσαν αὖτᾗ τὸ Β᾽ καὶ ἕ’πεζευ’χθω ἡ ΓΔ’ (καὶ αἰνβι, ΒΔ ἐχξεθλήσθωσαν ἐπ᾽ εὐθείας ἐπὶ τὰ, Ζ 3. ) |
TB vcro ipsi AB, . eumdem terminum labens quem illa, punctum B ; et jungatur ʼA ; (et ipsae BT, BA producantur in directum ad E, Z. ) |
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Ἐπεὶ οὖν ἴσὴ ἐστὶν ἡ ΑΤ τῇ ΑΔ. ἰσὴ ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΤΔ τῇ ὑπὸ ΑΔΙ" μεέζων ἑ : ’ρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓΙ τῆς ὑπὸ ΔΙῈ" πολλῷ ἀρα ἡ ὑπὸ ΓΔΖ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΔΙῈ. Πάλιν ἐπεὶ ἰσὴ ἐστὶν ἡ ΤΡ τῇ ΔΒ. ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ὁ ὑπὸ ΤΔΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΙῈ. Ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων, ὑπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἀρα ἐπὶν καὶ τὰ εξῆς. |
Quoniam igitur xqualis est AT ipsi AA, wqualis est et angulus ATA ipsi AAT ; major igitur AAT ipso ATE ; multo igiter TAZ major est ipso APE. Rursus quoniam zqualis est IʼB 1psi AB, xqualis est et angulus AZ angulo ATE. Ostensus est autem 1pso et multo major, quod est impossibile. Non igitur super, etc. |
Sur une même droite, et à deux points différents placés du même côté, on ne peut pas construire deux droites égales à deux autres droites, chacune à chacune, et ayant les mêmes extrémités que ces deux autres.
Car, si cela est possible, sur une même droite A, B, et à deux points différents Γ et Δ, placés du même côté, construisons les deux droites AΔ, ΔB égales à deux autres droites AΓ, ΓB, chacune à chacune, et ayant les mêmes extrémités A, B ; de manière que la droite TA soit égale à la droite AA, et ait la même extrémité 4 que celle-ci, et que la-droite ΓB soit égale à la droite ΔB, et ait la même extrémité B que celle-ci ; joignons ra, (et prolongeons BΓ, BΔ vers les points E, Z. )
Puisque AΓ est égal à AΔ, l’angle AΓΔ est égal à l’angle 4ΔΓ (5) ; donc l’angle AΔΓ est plus grand que l’angle ΔΓE ; donc l’angle ΓΔZ est beaucoup plus grand que l’angle ΔΓE. De plus, puisque ΓB est égal à ΔB, l’angle ΓΔZ est égal à l’angle ΓΔE ; mais on a démontré qu’il est beaucoup plus grand, ce qui est impossible, Donc, etc.