Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 6

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 66-67).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ς.

PROPOSITIO VI.

Ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὧσι. καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνασαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται. Ἑστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. ἰσὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑἘΓΤ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΤΒ γωνίᾳʼ λίγω ὅτι καὶ φπλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾷ τὴ ΑΤ΄ʼ ἐστὶὴὶν ἴση. Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ, μία " ἀυτῶν μείζων ἐστίν. Ἐστω μείζων ἡ ΑΒʼ καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσον, τῇ ΑΤ ἴσῃ. ἢ ΔΒ. καὶ ἐπεζεύχθω ὅ ΔΙΓ.

S1 trianguli duo anguli aequales inter se sunt, . et quales angulos subtendentia latera zqualia inter se erunt. Sit triangulum AST equalem habens ABTʼ an- gulum ATB angulo ; dico et latus AB lateri AT esse xquale. Si enim inæquale est AB ipsi AT, unum eorum majus est. Sit majus AB, et auferatur a majore AB minori AT « qualis AB, et jun- gatur AT.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὴν ἥ ΔΒ τῇ ΑΤ΄, κοινγὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύῦο δὴ αἱ ΔΒ. ΒΓ δυσὶ ταῖς ΑΙ, ΤΒ ἔσαι εἰσὶν, ἐκάτερα ἐκατέρᾷ. καὶ γώνία Ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπυ ΑΤΒ ἐστὶν ἴση" βάσις ἆ’ρα Ἢ ΔΙ βάσει τῇ ΑΒ ἴσηῃ ἔσ"τἶνἓ καὶ τὸ ΔΒΓ τρι” ; ωνον τῷ ΑΓΒ3	{{lang|la|Quoniam igitur equalis est AB ipsi AT, com- munis autem BI, dus igitur AB, BF duabus APT, TPB zquales sunt, utraque utrique, et angulus ABT angulo ATB est equalis ; basis igitur AT basi AB cqualis est, et ABT trian-
τριγώνῷῳ ἰσὸν ἐσταϊ. Τὸ ἐελασσον τῷ μειζονρ, ὁστερ ἀτοπον" οὐκ ἀρὰ ἀνίσὸς ε6Τιν ΑΒ τῇ ΑΓΙ " ἰσήὴ ὧρα. Ἐαν ἀρὰ τριγώνου. καὶ τὰ εξῆς.	gulum AT triangulo zquale erit, minus minori, quod est absurdum ; non igitur inequalis est AB ips ? AT ; ergo zqualis. Si igitur trianguli, etc.

PROPOSITION VI.

Si deux angles d’un triangle sont égaux entre eux, les côtés opposés à ces angles égaux, seront aussi égaux entre eux.

Soit le triangle ABΓ, ayant l’angle ABΓ égal à l’angle AΓB ; je dis que le côté AB est égal au côté AΓ.

Car si le côté AB n’est pas égal au côté AΓ, l’un d’eux sera plus grand que l’autre. Soit AB le plus grand ; retranchons du plus grand côté AB la droite ΔB égale au plus petit AΓ (3) , et joignons ΔΓ.

PuisqueΔB est égal à AΓ, et que BΓ est commun, les deux côtés ΔB, BΓ sont égaux aux deux côtés AΓ, ΓB, chacun à chacun ; mais lʼangle ΔBΓ est égal à lʼangle AΓB ; donc la base ΔΓ est égale à la base AB, et le triangle ΔBΓ sera égal au triangle AΓB, le plus petit au plus grand, ce qui est absurde ; donc les droites AB, AT ne sont pas inégales ; donc AB est égal à AΓ. Donc, etc.