Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 5
C. F. Patris, (1, p. 63-65).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ εʹ. | PROPOSITIO V. |
| Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσω, γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί" καὶ. πτροσεκθληθεισῶν τῶν ἰσὼων εὐθειῶν. αἱ υπὸ τῆν βάσιν γωνίαι ἰσαϊ ἀλλήλαις ε’σοντω.
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Isoscelium triangulorum ad basim anguli æquales inter se sunt ; et productis æqua- libus rectis, sub basim anguli equales inter se erunt. |
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Ἑστὼ τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΙ΄. , ἐσὴν ἔχον τὴν ΑΒ σπλευρὰν τῇ ΑΓ πλευρᾷ, καὶ προσέεκξε- ἔλήσθωσαν ἐπ᾽ εὐθείας ταῖῆς ΑΒ. ΑΙ εὐθεῦαι αἱ ΒΔ, ΓΕ λέγω ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΤΒ ἴση ἐστὶν. ἡ δὲ ὑπὸ ΤΒΔ τῇ ὑπὸ ΒΤῈ. |
Sit triangulum isosceles ABI, equale habens AB latus ATʼ lateri, et producantur in direc. tum ipsis AB, ATʼ recte BA, TE ; dico qui- dem ABTʼ angulum ipsi ATʼB æqualem esse, IʼBA vero ipsi BTE. |
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Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑἙ τῇ ἐλάσ- σον ; τῇ ΑΖ ἴσὴ ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ. ΗΒ εὐθείαις |
Sumatur enim in BA quodlibet punctum Z, et auferatur à majore AE minori AZ squalis ipsa AH, et jungantur ZTʼ, HB rectz. |
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Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΑΗ, ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΑΓ. δύο δὴ αἱ ΖΑ. ΑΤ δυσὶ ταῖς ἨΑ, ΑΒ ὁσαι εἰσὶν. ἐκατέερὰ ἐκάτερῷ ; καὶ γῶών ! αν κοινὴν περιεχουσιν τὴν ὑῶὸ ΖΑΗ’ βάσις ἀρὰ ἢ ΖΤ βάσει τῇ ΗΒ ἰσὴ ἐστὶν καὶ τὸ ΑΖΓ τρέγωνον τῷ ΑῊΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἰσαι ἐσονται 5 ἐκατερῶ ἐκατερᾳ. τὉᾧ ἂς αἱ Ισᾶ ! πλευρα υσο- |
Quoniam igitur est quidem AZ ipsi AH, AB vero ipsi AT, dus igitur ZA, AT duabus HA, AB æquales sunt, utraque utrique, et angulum communem contünent ZAH ; basis igitur ZT basi HB xqualis est, et AZT triangulum AHB triangulo æquale erit, et reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, uterque utrique, quos qualia latera subtendunt, ATZ quidem |
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τείνουσιν. ἢ μην ὑπὸ ΑΓΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ. ἢ δὲ ὑπὸ ΑΖΤ ʼτκ ὑπὸ ΔΑΗΒ. Καὶ ἐπεὶ ὁλη ἡ ΑΖ ολυ ἢ ΑΗ ἐστὶν ἰσὴ 5 ὧν ἡ. ΑΒ τῇ ΑΤ ἐστὶν ἰση. λοι’ππ ωςα ἡ ΒΖ λοιπῇ τῇ ΤῊ ἐστὶν ἴση. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ 2 τῇ ΗΒ ἰση" δύο δὴ αἱ ΒΖ. 21 δυσὶ ταῖῆς ΓΗ. ΗΒ ἴσαι εισʼιν, εκατεμ επωτε, ρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΙ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΤῊΒ ἰσῇ, καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἢ ΒΓ" καὶ τὸ ΒΖΓ αρὰ τρι’- γῶνον τῷ ΓῊΒ τριγώνῷ ἴσον ἔσται. καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἰσαι ἔσονται ; εκώτερα ἐκατερᾷ. υῷ ἂς αἱ Ισαϊ ! σλευραι υπο- τείνουσιν" Ισὴ ἄρὼ εἐστιν Ἡ μὲν υπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ : ἡ, δὲ ὑπὸ ΒΓΖ τὴ ὑπὸ ΓΒΗ. Επε ! οὺν ὁλῆ ἢ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἰσῃῆ. ὧν ἢ ὑπὸ ΤΒῊ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ ΙσῊ. λοιπῆή ἄρα ἢ υπὸ ΑΒΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΤΓΒ ἐστιν Ι |
lpsi ABH, AZTʼ vero ipsi AHB. Et quoniam tota AZ toti AH est equalis, quarum AB ipsi AT est equalis, reliqua igitur BZ relique LʼH est equalis. Ostensa est autem et ZTʼ ipsi HB equalis ; due igitur BZ, Zr duabus TH, HB equales sunt, utraque utrique, et angulus BZT angulo lHB equalis, et basis eorum communis BI ; et BZT igitur triangulum PHB triangulo equale erit, et reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, uterque utrique, quos zqualia latera subtendunt ; æqualis igitur est quidem ZBT ipsi HTB, BIZ vero ipsi BH. Quoniam igitur totus ABH angulus toti ATZ angulo os- tensus est equalis, quorum IʼBH ipei BlʼZ equa- lis ; reliquus igitur ABT reliquo ATB est zequalis, et est ad basim ABT trianguli ; ostensus est autem et ZBl ipsi HIB equalis, et sunt sub basim ; isoscelium igitur triangulorum, etc. |
Dans les triangles isoscèles, les angles sur la base sont égaux entre eux, et les côtés égaux étant prolongés, les angles sous la base seront aussi égaux entre eux. Soit le triangle isoscèle ABΓ, ayant le côté AB égal au côté AΓ ; menons les droites BΔ, ΓE, dans la direction de AB, AΓ (dem. 2) ; Je dis que lʼangle ABΓ est égal à lʼangle AΓB, et que lʼangle ΓBA est aussi égal à l’angle BΓE.
Car prenons dans BA un point quelconque 7, et de la droite AE, plus grande que 4Z, retranchons une droite AH égale à la plus petite AZ, et joignons les droites ZT, HB.
Puisque AZ est égal à AH, et AB à AT, les deux droites ZA, AT sont égales aux deux droites HA, AB, chacune à chacune ; mais elles comprennent un angle commun ZAH ; donc (4) la base Zr est égale à la base HB, le triangle AZTr sera égal au triangle AHB, et les angles restans, soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun ; l’angle ATZ à l’angle ABH, et l’angle 4zr à l’angle AHB. Et puisque la droite entière AZ est égale à la droite entière AH, et que 4B est égal à AT, la restante BZ sera égale à la restante rH (not. 5) . Mais on a démontré que Zr est égal à HB ; donc les deux droites Bz, Zr sont égales aux droites TH, HB, chacune à chacune ; mais l’angle BZr est égal à l’angle rHB, et la droite Br est leur base commune ; donc le triangle BZT sera égal au triangle rHB, et les angies restans, Soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun ; donc l’angle ZBr est égal à l’angle HrB, et l’angle BrZ égal à l’angle r8H. Mais on a démontré que l’angle entier ABH est égal à l’angle entier Arz, et l’angle TBH est égal à l’angle 8rz ; donc l’angle restant ABr est égal à l’angle restant ATB (not. 3) , et ces angles sont sur la base ; mais on a démontré aussi que l’angle zBr est égal à lʼangle HΓB, et ces angles sont sous la base ; donc, etc.