Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 4
C. F. Patris, (1, p. 61-63).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ δʹ. | PROPOSITIO IV. |
|---|---|
|
Ἐαν ὄνο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ταῖς" δυσὶ σλευραιῖς ἰσὰς ἐχῇ, ἐκάτεραν ἐκατερῷ, καὶ πτῆν γῶώνίαν τῇ γωνίῷ Ισὴν ἐχῇ, τὴν ὑπὸ τῶν Ισῶὼν εὐϑείὼῶν σπτεριεχομενην καὶ τῆν βασιν τῇ βαᾶσει ἐσην εξει » καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγῶνῳ ΙσῸν ἐσταῖ. καὶ αἂἱ λοιίσγσγαῖ γωνίαι ταῖς λοίσταιίς γῶώνίαις ἐσαι ἐσονται. ἐκατερα εκατερα ὑῷ ἂς αἱ ίσαι πλευραι υποτείνψουσιψν. |
Si duo triangula duo latera duobus lateribus seequalia habeant, utrumque utrique, et angulum angulo zqualem habeant, ab « qualibus rectis contentum ; et basim basi qualem habebunt, et triangulum triangulo zquale erit, et reliqui &n- guli reliqus anguhs equales erunt, uterque utrique, quos aqualia latera subtendunt. |
|
Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, τὰς δῦύο πλευρᾶὰς τὰς ΑΒ. ΑΓ-. ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα. ἑκατέραν ἑκατέρᾳ. τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, τὴν δὲ ΑΤʼ τῇ ΔΖ, . καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΙ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ἘΔΖ ἴσην" λέγω ὅτι καί βάσις ἡ ΒΓ βάσει τὴ ΕΖ ἴση ἐστὶν, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοίσαι γωνίαι ταῖς λοίπαςς γωνίαις ἰσα ! ἔσονται. |
Sint duo triangula ABT, AEZ, duo latera AB, AT duobus lateribus AE, AZ qualia habentia, utrumque utrique, AB quidem ipsi AE, AT vero ipsi AZ, et angulum BAT angulo EAZ æqualem ; dico et basim BI basi EZ zqualem esse, et ABT triangulum AEZ triangulo equale fore, et reliquos angulos reliquis angulis æquales fore utrumque utrique, quos equalia. |
|
ἐκατέρα εκατερῷ. υῷ ἂς αἱ ἰσα ! πλευραι υο- τείνουσιν. ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. ἢ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. |
latera subtendunt, ABIʼ quidem ipsi AEZ, ATʼB vero ipsi ΔZE. |
|
Ἐφαρμοζομένου γὰρ ποῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπί τὸδ σημεῖον. τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΔΕ. ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον" ἐπὶ τὸ Ἐ. δμηὰ τὸ ἐἰσὴν εἰναι τὴν ΑΒ τῇ ΔΕ’ ἐφαρμοσάσης δὲ τῆς ΑΒ ἐπὶ τὴν ΔῈ. ἐφαρμόσει καὶ ἡ ΑΤ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΔΖ. ὢο ; τὸο ἰσὴν εἰἶναν τὴν υὑπὸ ΒΑΙ γων) αν τῇ ὑπὸ ἘΔΖ" ὡστε καὶ τὸ Τ σήμειον ἔπ ! τὸ Ζ σημεῖον ἐφαρμόσει. δια τὸ ἰσὴν πάλιν εἶνγαι ΤῊΡ ΑΙ τῇ ΔΖ. Αλλὰ μῆν καὶ τὸ Β ἐπὶ τὸ Ἑ εἐφηρ- μόκει, ὥστε βάσις ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ἘΖ ἐφαρ- μόσει εἰ γαρ τοῦ μὲν Β ἐπὶ τὸ Ἑ ἐφαρμόσαντος. τοῦ δὲ Τ ἐπὶ τὸ Ζ. ἡ ΒΓ βαάσις ἐπὶ τὴν ἘΖ οὐκ ἐφαρμόσεἰ, δύο εὐθεῖαι χωρίον περιεξουσιν, ὁπερ ἐστὶν 3 ἀδύνατον, Ἐφαρμόσει ἄρα ἡ ΒΓ βάσις |
Congruente enim ABTʼ triangulo ΔΕΖ trian- gulo, et posito quidem A puncto super A punctum, AB vero rectá super AE ; congruet et B punctum ipsi E, quia est equalis AB ipsi AE ; congruente autem AB ipsi AE, con- gruet et ATʼ recta ipsi AZ, quia squalis est BAT angulus ipsi EAZ ; quare et T punctum Z puncto congruet, quia equalis rursus est AT ipsi AZ. Sed quidem et B ipsi E congruebat ; quare basis BT basi EZ congruet ; si enim quidem B ipsi E congruente, Tʼ vero ipsi Z, BD basis ipsi EZ non congruat, dus recte spatium continebunt, quod est impossibile. Con- gruet igitur BI basis ipsi EZ, et zqualis ei erit ; quare et totum ABT triangulum toti ΔΕΖ |
|
ἐπὶ τΜν ΕΖ, καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τριγωνον ἐπὶ ὅλον τὸ ΔΕΖ τριγωνον εφαρμοοʼει Η καὶ ἴσον ἀυτῷ ἔσται. καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἐπὶ τας λοιποις γωνιας εφαρμοσκσʼι. καὶ ἴσαι αὐταῖς Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δὺο πλευρᾶς ταῖς ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ |
triangulo congruet, et æquale ei erit, et reliqui. anguli reliquis angulis congruent, et equales eis erunt, ABI quidem ipsi AEZ, ATʼB vero ipsi AZE. |
|
Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δὺο πλευρᾶς ταῖς δυσὶ πλευραιῖς ἰσὰς ἐχῇ. ἐκατερῶᾶν ἐκατερᾷ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἰσὴν Ἐχἢ. τὴν ὑπὸ τῶν ἰσὼν εὐθειῶν περιεχομένην καὶ τὴν βάσιν τῇ βασει ἐσὴν εζε ! . καὶ τὸ τριίγῶνον τῷ πτριγῶνῷῳ Ισὸν ἐστα ! . καὶ αἱ λοίπαὶ ! γωνίαι ταις λοπαις γωνίαις ’ἴσα ! ἐσονται. ἐκώτερὰ ἐκατερᾷῷ. υῷ ας αἱ ἔσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. Οἴπερ ἔδει δεῖξαι. |
Si igitur duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habeant, utrumque utrique, et angulum angulo s » qualem habeant ab æqua- libus lateribus contentum ; et basim basi equalem habebunt, et triangulum triangulo æquale erit, et reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, uterque utrique, quos æqualia latera subtendunt. Quod oportebat ostendere. |
Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et si les angles compris par les côtés égaux sont égaux, ces triangles auront leurs bases égales, ils seront égaux, et les angles restans, soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun.
Soient les deux triangles ABΓ, ΔEZ ; que ces deux triangles aient les deux côtés AB, AT égaux aux deux côtés AE, 4z, chacun à chacun, le côté 4B égal au côté AE, et le côté Ar au côté Az, et quʼils aient aussi lʼangle BAT égal à lʼangle EAZ ; Je dis que la base Br est égale à la base EZ, que le triangle ABT sera égal au triangle 4EZ, et que les angles restans, soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun ; l’angle ΑΒΓ égal à l’angle ΔΕΖ, et l’angle ABΓ égal à l’angle ΔZE.
Car le triangle ABΓ étant appliqué sur le triangle ΔEZ, le point A étant posé sur le point A, et la droite AB sur la droite 4E, le point B s’appliquera sur le point E, parce que AB est égal : à AE ; mais AB étant appliqué sur AE, la droite Ar $ ʼappliquera sur AZ, parce que lʼangle BAT est égal à l’angle Eaz ; donc le point Tr s’appliquera sur le point Z, parce que AT est égal à AZ ; mais le point B s’applique sur le point E ; donc la base Br s’appliquera sur la base EZ ; car si le point B s’appliquant sur le point E, et le point r sur le point Z, la base Br ne s’ap- pliquait pas sur la base EZ, deux droites comprendraient un espace, ce qui est impossible (dem. 6) ; donc la base Br s’appliquera sur la base EZ, et lui sera égale ; donc le triangle entier ABΓ s’appliquera sur le triangle entier ΔEZ, et lui sera égal ; et les angles restans s’appliqueront sur les angles restans, et leur seront égaux, l’angle ABΓ à l’angle ΔEZ, et l’angle AΓB à lʼangle ΔZE.
Donc, si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et si les angles compris par les côtés égaux sont égaux, ces triangles auront leurs bases égales, ils seront égaux, et les angles restans, soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun. Ce qu’il fallait démontrer.