Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 47
C. F. Patris, (1, p. 128-130).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ μζ'. | PROPROSITIO XLVII. |
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Εν τοῖς ορθδογωνίοις τριγῶνοις ; τὸ απσο τῆς την ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρὰς τετρά- γώνον, ἰσον ἐστί τοις απὸ τῶν Τὴν ὀρθήν γωνιαν περιεχουσὼν πλευρῶν τετραγωγοΙς. |
In rectangulis triangulis, quadratum ex latere rectum angulum subtendente æquale est quadra- tis ex lateribus rectum augulum continentibus, |
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Εστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓΓ γωνίαν1. λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τος ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τε- τραγώῶγοις. |
Sit triangilum rectangulum ABΓ, rectum habens BAΓ angulum ; dico quadratum ex BΓ æquale esse quadratis ex ipsis BM, AΓ. |
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Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετραγωνον- τὸ ΒΔΕΓ⋅ ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ-Θ καἱι διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔΛ. καὶ ἐπεζεύόχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. |
Describatur enim ex BΓ quidem quadratum BAEΓ ; ex ipsis vero BÁ, AΓ ipsa HB, QE, ; et per A alterutri ipsarum BZ, Γ « E parallela ducatur A, X ; et jungantur AΔ, ZΓ. |
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Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἐκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, , ΒΑΗ γωνιῶν" » " πρὸςὦ δὴ τινι εὐθείᾳαλ τῃῇ ΒΑ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α, δὺο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ, μη ἐπὶ τὰ αὐτὰαὰ μερὴ δείμέναι, τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαζς ἴσας ποιοῦσιν ἐπ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. Διὰ τὰ αὐτά δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΔΘ ἐστὶν ἐπ᾽ εὐθείας. Καὶ ἐπεὶ ἴχση στὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ, οὀρθη γάρ ἐκατέρα, κοινὴ προσκεισθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ. ὁλή ἄρά ἡ ὑπὸ ΔΒΑ δ6λῃ τῇῃ υπσοὸο ΖΒΓ ἐστὶν ἐση. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἥ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ. δυο δὴη᾽ αἱ ΔΒ, ΔΔ. δυτὶ ταῖς ΓΒ, ΒΖ ἴσαι εἰσὶν, ἐκατέρα ἐκατέρᾷ, καὶ γωνία ἡ υὑποὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τὴ ὑπὸ ΖΒΓ ἰσηϊμ βασις ἀρὰ ἡ, οῳ ῶὥῪ΄ ΑΔ βασει τῃῇ ΖΓ2 [Λῥἴίση. καὶ τὸ ΑΒΔ τρἰίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον. Καὶ ἔἐστιῦ τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλοόγραμ- μον, βασιν τε γὰρ τὴν αὐυτὴν ἐχόυσι τὴν. ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς |
Et quoniam rectus est uterque ipsorum BAΓ, BAH angulorum, ad aliquam igitur rectam Ba, et ad punctum in eà A, duæ recte AΓ, AH, non ad easdem partes positæ, deinceps angulos duobus rectis æquales faciunt ; in rectum igitur estΓ A ipsi AH. Propter eadem et BΔ ipsi Aq est in rectum. Et quoniam æqualis est ABΓ angulus ipsi ZBA, rectus enim uterque, communis addatur ABΓ ; totus igitur ABA toti ZBΓ est æqualis. Et quoniam æqualis est quidem A] B ipsi BΓ ipsa vero ZB ipsi BA ; duæ utique AB, AM duabus ΓB, BZ æquales sunt, utraque utrique, et angulus ABA angulo ZBΓ æqualis ; basis igitur AΔ basi ZΓ æqualis, et ABΔ triangulum ipsi ZBΓ triangulo est Àæquale. Et est quidem ipsius ABΔ trianguli duplum BΔW parallelogrammum, basim enim eamdem habent BΔ et in eisdem sunt parffllblis BΔ, AΔ3 ; ipsius vero ZBΓ trianguli duplum BH quadratum, et enim rursus basim eamdem habent et in eisdem |
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ΒΔ, ΑΛ. τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΗτε- τράγωνον, βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐυτὴν ἐχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταὶς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις7 ταὶς ΖΒ, ΗΓ. τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΔ παρ- αἀλληλύγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. Ομοίως |
sunt parallelis ZB, HΓ ; æqualium autem dupla 2 ? qualia inter se sunt ; æqquale igitur est et B^ pa. rallelogrammum ipsi HB quadrato. Similiter au. tem junctis AE, BK ostendetur et ΓA parallelo- grammum æqualeipsi 9ΓÀ quadrato. Tʼotum igitur BAEΓ quadratum duobus HB, Qr quadratis æ- |
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δὲ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΒ, ΒΚ, δειχϑήσεται και τὸ ΤΛ παραλληλὀόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τε- τραγώνῳ⋅ ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστί, Καὶ ἔστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγρωνον ἄπο τῆς Β8Γ ἀγαγρα- φὲεν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΡ̓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ" » τὸ ἄρα απο τῆς ΒΓ πλευρὰς τέἐτραγωνον" ἰσὸν ἐστ τοιςὦ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγῶνοις. Εν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις, καὶ τὰ ἐξῆς. |
quale est, et est quidem BAEΓ quadratum ex Bà descriptum, ipsa vero HB, GΓ ex BΔ, AΓ ; ergo quadratum ex BΓ latere æquale est quadratis ex BA, AΓ lateribus ; ergo in rectangulis, etc. |
Dans les triangles rectangles, le quarré du côté opposé à l’angle droit est égal aux quarrés des côtés qui comprennent l’angle droit. Soit ABΓ un triangle rectangle, que BAT soit l’angle droit ; je dis que le quarré côté BΓ est égal aux quarrés des côtés BA, ΑΓ. Décrivons avec ΒΓ le quarré ΒΔΕΓ, ct avec BA ; ΑΓ les quarrés HB, AT ; et par le point Α conduisons ΑΛ parallèle à l’une ou à l’autre des droites BA, TE ; et joignons ΑΔ, ZF.
Puisque chacun des angles BAΓ, BçH est droit, les deux droites Aï, ΑΗ͂, non placées du même côté, font avec la droite BA au point de cette droite, deux angles de suite égaux à deux droits ; donc la droite ΓΑ est dans la direction de ΑΗ ; la droite ΒΑ ‘est dans la direction ΑΘ, par la même raison. Et puisque l’angle ΔΒΓ est égal à Pangle ΖΒΑ, étant droits l’un et lautre, si nous leur ajoutons l’angle commun ΑΒΓ, Pangle entier ΔΒΑ sera égal à l’angle entier zBT (not. 4) - Et puisque ÛB est égal à BΓ, et ZB à B4, les deux droites ôB, ΔΑ sont égales aux deux droites ΓΒ, ΒΖ, chacune à chacune ; mais l’angle ΔΒΑ est égal à l’angle ΖΒΓ ; donc la base ΑΔ est égale à la base zç, et le triangle ΑΒΔ égal au triangle ZBΓ (4) . Mais le parallélogramme BÛ est double du triangle ΑΒΔ (41), car ils ont la même base BΔ et ils sont entre les mêmes parallèles BA, ΑΔ ; le quarré BH est double du triangle ΖΒΓ, car ils ont la môême base ΒΖ et ils sont entre les mêmes parallèles zB, Hr ; et les grandeurs qui sont doubles de grandeurs égales, sont égales entr®elles ; donc le parallélograme BÛ est égal au quarré HB. Ayant joint ΑΒ, BK, mous démontrerons semblablement que le parallélogramme ΓΛ est égal au quarré ΘΓ ; donc le quarré entier BAEΓ est égal aux deux quarrés HB, Ez. IMais le quarré ΒΔΕΓ est décrit avec BΓ, et les quarrés HB, ΘΓ sont décrits avec BA, AT ; donc le quarré du coté BΓ est égal aux quarrés des côtés BA, ΑΓ. Donc dans les triangles, etc.