Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 48
C. F. Patris, (1, p. 131-132).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ μιη΄ | PROPOSITIO XLVIII. |
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Ἐὰν τριγῶνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετρά- γωνον ἴσον ἡ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τρίγωῶνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις. ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστι. |
Si trianguli ex uno laterum quadratum æquale est quadratis ex reliquis trianguli duobus late- ribus ; contentus angulus a reliquis trianguli duobus laleribus rectus est. |
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Τριγωνου γὰρ του ΑΒΓ τὸ ἀπὸ μιὰς τὴς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστω τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώγοις λέγω ὅτι ὀρθή ἐστὶν ἡ υπὸ ΒΑΓ γωγία. |
Trianguli enim ABΓ ex uno BΓ latere quadra- tum æquale sit quadratis ex BA, AF lateribus ; dico rectum esse BAΓ angulum. |
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Ἡχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΓʼ εὐθείᾳ. πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΔ, καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. |
Ducatur enim ab A puncto ipsi AΓ rectæ ad rectos AΔ, et ponatur ipsi BA Éæquaiis AΔ, etjun- gatur AΓ. |
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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. Κοιγὸν προσχείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ |
Et quoniam æqualis est ΔA ipsi AB, æquale est etex i quadratum ipsiex AB quadrato. Com- mune addatur ex AΓ quadratum ; ipsa igitur ex |
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τεἐτραγωνον" τὰ ἀρὰ ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ τετράγωνα ἐσὰ ἐστὶ τοίς ἀπὸὰ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις. Αλλὰ τοῖς μὲν απὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ τῆς ΔΓΙ, ὀρθή γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΤ΄ γωνἰἝὰ" τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσὸν ἐστι τὸ ἄσο Τῆς 8Γ, υὑπύκειται γαρ. ρ τὸ ἀρὰ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετρά- γωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγωνῳῷ ἤ ὥστε |
AAM, AΓ quadrata æqualia sunt ipsis ex BA, AΓ quadratis. Sed ipsis quidem ex AM, AΓ æquale est ipsum ex Am, rectus enim est AAΓ angulus, ipsis vero ex BΔ, AΓ æquale est ipsum ex HΓ, penitur enim ; ipsum igitur ex AmΓ quadratum æquale est ipsi ex BΓ quadrato ; quare et latus AΓ ipsi BΓ est æquale ; et quoniam æqualis est |
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καὶ πλευρὰ ἡ ΔΙ τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση » καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ, πκοιγὴ δὲ ἡ ΑΓ δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσὶ, καὶ βάσις ἡ ΔΙῚ βάσει τῇ ΒΓ 3 ἴσηἍ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ 32 ἴση, ορθλ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ"Ἅἤ ὀρθὴ ἄρὰα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. Εὰ » , ἄρα τριγώ- γου, καὶ τὰ ἐξᾶς. |
AΔ ipsi AB, communis autem AΓ, dug uli- que AM, AΓ duabu : BΔ, AΓ æquales sunt, et basis AΓ basi BΓ est æqualis ; angulus igitur Aaor angulo BAΓ est æqualis. Rectus autem AtAΓn ; rectus igitur et BAΓ. Si igitur trianguli, etc. |
Si le quarré d’un des côtés d’un triangle est égal aux quarrés des deux côtés restants de ce triangle, l’angle compris par les deux côtés restants est droit.
Que le quarré du côté BΓ du triangie ABΓ soit égal aux quatrés des côtés BA, ΑΓ ; je dis que l’angle ΒΑΓ est droit.
Du point, conduisons la droite ΑΔ perpendiculaire à AT (11) , faisons ΑΔ égal à BA, et joignons ΔΓ.
Car puisque ΔΑ est égal à ΑΒ, le quarré de ΔΑ est égal au quarré de AB. Ajoutons le quarré commun de AΓ ; les quarrés des droites ΔA, ΑΓ seront égaux aux quarrés des droites BA, AΓ. Mais le quarré de ΔΓ est égal aux quarrés des droits ΔΑ, ΑΓ (47) , car l’angle ΔΑΓ est droit, et le quarré de ΒΓ est supposé égal aux quarrés des droites BA, ΑΓ ; donc le quarré de ΔΓ est égal au quarré de BΓ ; donc le côté àÀΓ est égal au côté BΓ ; mais ΑΔ est égal à ΑΒ, et ΑΓ est commun ; donc les deux droites ΔΑ, AT sont égales aux deux droites B4, ΑΓ ; mais la base ΔΙΓ est égale à la base BΓ ; donc l’angle ΔΑΓ est égal à l’an- gle Bar (8) . Mais l’angle ΔΑΓ est droit ; donc l’angle BAΓ… est droit aussi. Donc, etc.