Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 46

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 126-128).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ μς'.	PROPROSITIO XLVI.
Απὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον ἀνα- γράψαι.	Ex datá rectà quadratum describere.
Ἐστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ. Κ δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τετράγωνον ἀγαγράψαι.	Sit data recta AB ; oportet igitur ex AB rectá quadratum describere.
ῆχθω τῇ ΑΒ εὐθείᾳ, ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ ση- μείου τοῦ Α, πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ. καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔʼ καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ. διὰ δὲ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ.	Ducaturipsi ABrectæ, a puncto in eà A, ad rectos ipsa AΓ ; etponatur ipsi AB æqualis AΔ ; et per á quidem punctum ipsi AB parallela ducatur AE ; per B wero punctum ipsi AB parallela ducatur BE.

Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ. ἴση ἄρὰ ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΒΕ. Αλλὰϊ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστὶν ἴση0 αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ, ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν- ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ παραλληλύγραμ- μον. Λέγω δὲ ὅτι καὶ ὀρθογώνιον. Ἐπεὶ γὰρ. εἰς παρ- αλλήλους τὰς ΑΒ, ΔΕ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ. αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΔΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Ορθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ. ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΕ. Τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλ- λήλαις εἰσίν" » ὀρθὴ ἄρα καὶ ἐκατέρα τῶν ἀπ- ἐναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ, ΒΕΔ γωνιῶν. ὀρθογώνιον

Parallelogrammum igitur est AAEB ; æqualis igitur est quidem AB ipsi AE, AΔ vero ipsi BE. Sed AB ipsi AΔ est æqualis ; quatuor igitur BΔ, AB, AE, EB æquales inter se sunt ; equilaterum igitur est AΔEB parallelogerammum. Dico etiam et rectangulum. Quoniam enim in parallelas AB, AE recta incidit AΔW ; ergo BAΔ, AΔEauguli duobus rectis æquales sunt. Rectus autem est BAΔ ; rectus igitur et AAE. Parallelogranimorum autem spatiorum opposita latera et anguli Óqualia inter se sunt ; rectus igitur et uterque opposito- rum ABE, BEΔ angulorum ; rectangulum igitur est AΔEB, Ostensum autem est et æquilaterum ;

ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ. Βδείχθῃ δὲ καὶ ἰσοὀπλευρον. τετράγωνον ἄρὰ ἐστι, καὶ ἐστιν ἄπὸ τῆς ΑΒ. εὐθείας ἀναγεγραμμένον. Οπερ ἐδει ποιῆσαι.

quadratum igitur est, et est ex AB rectà deserip- tum. Quod oportebat facere.

PROPOSITION XLVI.

Décrire un quarré avec une droite donnée. Soit AB la droite donnée ; il faut décrire un quarré avec la droite ΑΒ. Du point 4, donné dans cette droite, conduisons AΓ perpendiculaire à ΑΒ (11) ; faisons ΑΔ égal à AB (3) ; par le point Δ conduisons AB parallèle à ΑΒ (31) ; et par le point B conduisons BE parallèle à ΑΔ.

La figure ΑΔΕΒ est un parallélogramme ; donc ΑΒ est égal à ΔE, et AΔ égal à BE. Mais AB est égal à ΑΔ ; donc les quatre droites BA, ΑΔ, X/E, EB sont égales entrelles ; donc le parallélogramme ΑΔEΒ est équilatéral. Je dis aussi qu’il est rectangle. Car puisque la droite as tombe sur les parallèles ΑΒ, ΔΕ, les angles BA) , AGE sont égaux à deux droits (20) ; mais l’angle ΒΑΔ est droit ; donc Pangle ΑΔΕ est droit aussi. Mais les. côtés et angles opposés des parallélogrammes sont égaux entreux (34) ; donc chacun des angles opposés ABE, ΒΕΔ est droit ; donc le parallélogramme AGEB est rectangle ; mais nous avons démontré qu’il est équilatéral ; donc le parallélogramme 43EB est un quarré, et il est décrit avec la droite AB ; ce qu’il fallait faire.