Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 45
C. F. Patris, (1, p. 124-126).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ μεʹ | PROPOSITION XLV. |
|---|---|
|
Τῷ δοθέγτι εὐθυγράμμῳ, ἴσον παραλληλός- γράμμον συστήσασθαι, ἐν τῇ δοθείση γωνίῳ εὐθυγράμμφι. |
Dato rectilineo, æquale parallelogrammum constituere, in dato angulo rectilineo. |
|
Εστω τὸ μὲν2 δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΑΒΙΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Εʼ δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓΔ εὐθυγράμμῳᾳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι, ἐν τῇ δοθείση3 γωνίᾳ τῇ 1. |
Sit quidem datum rectilineum ABΓA, datus vero angulus rectilineus E ; oportet igitur ipsi ABΓA rectilineo æquale parallelogrammum cons- tituere, in dato angulo E. |
|
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΔΒ, καὶ συνεστώτω τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΖΘ, ἐν τῇ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ, ἡ ἴση ἐστὶΑ τῇ ΒΕ. καὶ παραξεδλήσθω παρὰ τὴν ΘΗ͂ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ, ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ἐ. |
Jungatur enim AB, et constituatur ipsi ABÁ triangulo æquale parallelogràmmum Ze, in eKz angulo, qui æqualis est ipsi E ; et applicetur ad eH rectam ipsi ABΓ triangulo æquale parallelo- grammum HM, in HΘM angule, qui est æqualis ipsi E. |
|
Καὶ ἐπεὶ ἡ Ε γωνία ἐκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΖ, ΗΘΜ ἐστὶν ἴση. καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΖ ἄραϑ τῇ ὑπὸ ΗΘΜ ἐστὶν ἴσηθ͵, Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΚΘΗ. αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ ταῖς ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἴσαι εἰσίν. Αλλ᾽ αἱ ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ͂ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. καὶ αἱ ὑπὸ ΚΘΗ͂, ΗΘΜ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Πρὸς δὴ τινι εὐθείᾳ τῇ ΗΘ, καὶ τῷ πρὸς αυὐτῇ σημείῳ τῷἔα Θ, Ἠ διὐο εὐθεῖαι αἱ ΘΚ, ΘΜ, μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι, τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν. {π᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΜ. Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΚΜ, ΖΗ εὐθεζα7 ἐνέπεσεν ἡ ΘΗ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΗΛ. αἱ ἄρα ὑπὸ ΜΘΗ͂, ΘΗΛ ταῖς ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἴσαι εἰσίν. Αλλ αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ δυσὶν |
Et quoniam E angulus utrique ipsoarum eEKz, HΘM est æqualis ; et ΘKZ igitur ipsi HΘM est æ- qualis. Communis addatur KEH ; ergo ZKe, KH, ipsis KH, HΘOM æquales sunt. SedZKe, KeH duo- bus rectis æquales sunt ; et KKH, HΘM igitur duo- bus rectis æquales sunt. Ádaliquam igitur rectam H$, etad punctum in eà G, duæ rectem eK, oM, non ad easdem partes positæ, deinceps angulos duobus rectis æqualesfaciunt ; indirectum igitur est KAX ipsi eM. Et quoniam in parallelas KM, ZH recta incidit eH, alterni anguli M8HH, AHZ æquales inter seé sunt. Communis addatur eHΔ ; ergo MBHH, HHΔ ipsis eHZ, HHΔ æquales sunt. Sed MBHH, , ÀHÁ duobus rectis æquales sunt ; et eHz, eBHΔ igitur duobus rectis æquales sunt ; in directum igitur est ZH ipsi HΔ. Et quoniam KZ |
|
ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶν. ε καὶ αἱ ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΔ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίνο ἐπὶ εὐθείας ἄρα ἐστὶνϑ ἡ ΖΗ τῇ ΗΛ. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΚΖ τῇ ΘΗ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΜΔ’ καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ ΜΛ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν. καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΚΜ, ΖΛ, καὶ αἱ ΚΜ, ΖΛ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν παραλληλόγραμμον ἄρα ἰστὶ τὰ ΚΖΛΜ. Καὶι ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΘ παραλλη- λογράμμῳ, τὸ δὲ ΔΒΓ τῷ ΗΜ’ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ εὐθύγραμμον ὁλῳ τῷ ΚΖΛΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον 8. |
ipsi H æqualis et parallela est, sed &H ipsi MÁ ; et KZ igitur ipsi MÁ æqualis et parallela est ; et jungunt ipsas rectæ KM, Z4, et EM, Z^ æquales et parallelæÓ sunt ; parallelogrammum igitur est KZAM. Et quoniam aquale est quidem ABΔ triangulum ipsi Ze parallelogrammo ; ABΓ vero ipsi HM ; totum igitur ABΓA rectilineum toti KZAM parallelogrammo est æquale. |
|
Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓΔ ἴσον παραλληλόγραμμον συνίσταται τὸ ΚΖ͂ΛΜ, ἐν γωνίᾳ τῇ ὑσὸ ΖΚὦΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ 19 δοθείσῃ τῇ Ε. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. |
Ergo dato recitilineo ABΓΔ æquale parallelo- grammum constitutum est KEAM in angulo ZEM, qui est æqualis dato E. Quod oportebat facere. |
Construire, dans un angle rectiligne donné, un parallélogramme égal à une figure rectiligne donnée. ;
Soit ABΓΔ la figure rectiligne donnée, et E l’angle rectiligne donné ; il faut, dans l’angle donné E, construire un parallélogramme égal à la figure rectiligne ΑΒΓΔ. Joignons ΔΒ, et construisons dans Pangle erz égal à l’angle E, le parallélogramme zΘ égal au triangle ΑΒΔ (42) , et à la droite ΗΘ appliquons dans l’angle ΗΘΜ égal à l’angle Ε, le parallélogramme HM égal au triangle APT.
Puisque l’angle Ε est égal à chacun des angles ΘΚΖ, ΗΘΜ, lʼangle ΘΚΖ est égal à langle ΗΘΜΖ ; ajoutons-leur l’angle commun ΚΘΗ͂ ; les angles ΖΚΘ, ΚΘΗ seront égaux aux angles koH, ΗΘΜ. Mais les angles ZôΘ, ΚΘῊΗ sont égaux à deux droits (20) ; donc les angles kÈH, ΗΘΜ sont égaux à deux droits. Donc les deux droites ΘΚ, ΘΜ, non placées du même côté, font avec la droite HΘ, et au point de cette droite, deux angles de suite égaux à deux droits ; donc la droite ΚΘ est dans la direction de la droite ΘΜΗ (14) . Et puisque la droite H tombe sur les parallèles kKM, ZH, les angles alternes ΜΘΗ, ΘΗΖ sont égaux entr’eux (20) . Ajoutons-leur l’angle commun ΘΗΔ ; les angles mo_n, ΘΗΛ seront égaux aux angles ΘΗΖζΖ, ΘΗΛ. Mais les angles MOH, ΘΗΔ sont égaux à deux droits (20) ; donc les angles nz, ΘΗΛ sont aussi égaux à deux droits ; donc la droite ΖΗ est dans la direction de la droite HA ; mais ΚΖ est égal et parallèle à H, et ΘH égale et parallèle à ΜΛ ; donc la droite ΚΖ est égale et parallèle à MA (not. I et 30) ; mais ces deux droites sont jointes par les droites KM, ΖΛ, et les droites KM, ZÛ sont égales et parallèles (33) ; donc ΚΖΛΜ est un parallélogramme. Mais le triangle ΑΒΔ est égal au parallélogramme zo, et le triangle ΔΒΓ est égal au parallélogramme HM ; donc la fîgure rectiligne entière ΑΒΓΔ est égale au parallélogramme entier ΚΖΔΜ.
Donc le parallélogramme ΚΖΛΜ a été construit égal à la figure rectiligne donnée ΑΒΓΔ, dans l’angle ZkM égal à l’angle donné E ; ce qu’il fallait faire.