Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 44
C. F. Patris, (1, p. 122-124).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ μδʹ. | PROPOSITION XLIV. |
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Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν, τῷ δοόθέντι τρι- γωνῳ ἰσὸν παραλληλογραμμν παραΘαλε3ᾧν, εν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ. |
Ad datam rectam, dato triangulo æquale parallelogrammum applicare in dato angulo rectilineo. |
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Εστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τοὸο δὲ δεθεν τρίγωνον τό Γ, ἡ δὲ δοθεήσα γωνία εὐθδύυγραμμος ἡ Δʼ δὲ1 δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ, τῷ ὀχθεέντι τρέγωνῳ τῷ Γ ἰσοὸν παραλληλογράμμον παραφαλεῖν, ἐν ἰσή τὴ Δ γωνίᾳ. |
Sit quidem dala recta AB, datum vero trian- gulum Γ, et datus angulus rectilineus] ; oportet igitur ad datam rectam AB, dato triangulo Γ æquale parallel ! Bgrammum applicare in æquali ipsi Δ angulo. |
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Συνεστῶατῳ τῷ Γ τριγωνῷ ἰσον παραλληλό- γράμμον τὸ ΒΕΖΗ, ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΗὴ, ἡ ἐστιν ἰσή τῇ Δ. καὶ κεἰίσθω ὥστε ἐπ εὐθείας |
Constituatur ipsi Γ triangulo æquale parallelo- grammum BEZH, in angulo EBH qui est Yqualis, ipsi Δ ; et ponatur in directum BE ipsi BA, et |
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εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΒΑϊ, καὶ διεήχθω ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Α ὀποτέρᾳ τῶν ΒΗ,Ζ παράλ. ληλος ἤχθω ἡ ΑΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ. Καὶ ᾽πεὶ εἰςὦ παραλλήλους τὰας ΑΘ, ΕΖ εὐθεῖα ἐν- ἔπεσενδ ἡ ΘΖ, αἱ ὑπὸ ΑΘΖ, ΘΖΕ ἀρα3λ γω- νίαι δυσὶν ορθαῖς εἰσὶν ἰσαιάΚ αἱ ἀρὰαὰ ὑπο ΒΘΗ, ΗΖΕ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες εἰσίν. αἱ δὲ ἀπὸ ἐλασσόνων ἢ δύο ορθῶν εἰς ἀπειρον ἐκ-. ζ Σαλλόμεναι συμπίπτουσιν" αἱ ΘΒ, ΖΕ ἄρα ἐκ. Δαλλόμεναι συμπεσοῦνται. ἘκἢαεΥθλήσθωσαν καὶ συμπιπτετωσαν κατὰ τὸ Κ, , ζαι διὰ τοῦὺ Καὶ σημείου ὁποτέρᾳῳ τῶν ΕΑ, ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ, καὶ ἐϐϐλησθωσαν αἱ ΘΑ, ΗΒ ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖας. |
produceatur ZH ad e, et per A alterutri ipsarum BH, EZ parallela ducatur Ae, et jungatur Gs. Et quoniam in parallelas AΘ, EZ recta incidit e2z, ipsi AdZ, ΘZE anguli duobus rectis sunt æquales ; ergo B8H, , HZE duobus rectis minores sunt ; recie autem a minoribus quam duobus rectis in infinitum productæ concurrunt ; GB, ZE igitur product5 concurrent. Producantur et concurrant in É, et per K punctum alterutri ip- sarum EA, Ze parallela ducatur KA, et produ- cantur 914, HB ad 4, M puncta. |
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Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛΚΖ, διά- μέτρος δὲ αυὐτοῦ ἡ ΘΚ, περὶ δὲ τὴν ΘΚ5 πα- ραλληλόγραμμα μὲν τὰ ΑΗ, ΜΕ, τὰ δὲ λεγό. βενα παραπληρώματα ταῦΛλβ, ΒΖʼ ἴσον ἄρα ἐστὶ |
Parallelogrammum igitur est GAKZ, diame- trum autem ipsius OK, et circa GK parallelo- gramma quidem AH, ME, ipsa vero dicta com- plementa AB, BZ ; æquale igitur est AB ipsi BZ, |
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τὸ ΛΒ τῷ ΒΖ. Αλλα7 τὸ ΒΖ τῷΡΓῃ. τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον. καὶ τὸ ΛΒ ἄρα τῷ Γ ἐστὶν ἴσον. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ Δ ἐστὶν ἴση καὶ ἡ ὑπῤ ΑΒΜ ἄραϑ τῇ Δ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση. |
Sed BZ ipsi Γ triangulo est æquale ; et AB igitur ipsi Γ est æquale. Et quoniam æqualis est HBE angulus ipsi ABM, sed HBE ipsi) Δ est æquale ; et ABM igitur ipsi Δ angulo est æqualis. |
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Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ, τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραξέεῦληται τὸ ΛΒ, ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἡ ἐστιν ἴση τῇ Δ. ΟπΠερ ἔδει ποιῆσαι. |
Ad datam igitur rectam AB, dato triangulo Γ æquale parallelogrammum applicatum est AB, in angulo ABM qui est æqdulis ipsi à. Quod opor- tebat facere. |
Α une droite donnée, et dans un angle rectiligne donné, appliquer un parallélogramme égal à un triangle donné. ;
Que AB soit la droite donnée, Γ le triangle donné, et Δ l’angle rectiligne donné ; il faut sur la droite ΑΒ et dans un angle égal à Δ, appliquer un parallélogramme égal au triangle donné Γ.
Dans un angle EBH égal à l’angle 4, construisons un parallélogramme BEZH égal au triangle Γ (42) , plaçons la droite BE dans la direction de la droite B4, prolongeons la droite ΖΗ vers, par le point conduisons ΑΘ parallèle à Pune ou à lʼautre des droites BH, EZ (31) , et joignons ΘΒ. Puisque la droite z tombe sur les parallèles ΑΘ, EZ, les angles 2Θz, ΘΖΕ sont égaux à deux droits (20) ; cdonc les angles BOH, HZE sont moindres que deux droits. Mais les droites prolongées à Dinfini, du côté où les angles intérieurs sont moindres que deux angles droits, se rencontrent (dém. 5) ; donc les droites ΘB, ZE étant prolongées, se rencontreront ; qu’elles soient prolongées (dém. 2) , et quʼelles se rencontrent en K ; par le point K, conduisons KA parallèle à l’une ou à l’autre des droites EA, ZΘ (31) , et prolongeons les droites n, HB vers les points Δ, M- La figure ΘΛΚΖ est un. parallélogramme, ΘΚ est sa diagonale, et autour de ex sont les parallélogrammes AH, ME, et les parallélogrammes |B, ΒΖ, qu’on nomme compléments ; donc ΛΒ est égal à BZ (43) . Mais ΒΖ est égal au triangle Γ ; donc ΛB est égal à Γ. Et puisque l’angle HBE est égal à l’angle ΛΒΜ (15) , et que l’angle HBE est égal à l’angle n, l’angle ΑΒΜ est égal à l’angle Δ.
Donc à la droite donnée ΑΒ, et dans l’angle ΑΒΜ égal à Δ, on applique le parallélogramme ΛB égal au triangle donné Γ ; ce qu’il fallait faire.