Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 43

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 121-122).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ μγ.	PROPROSITIO XLIII.
Παντὸς παραλληλογράμμου ττῶν σέρι τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώ- ματὰα ἴσὰ αλλήλοις ἐστίν.	Omnis parallelogrammi eorum circa diame- trum parallelogrammorum complementa æqualia inter se sunt.
Εστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμε- τρος δὲ αὐυὐτοῦ ΄ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλλη- λόύγραμμα μὲν ἔστω τὰ ΕΘ, ZΗ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρωματὰ τὰ ΒΚ, ΚὰδλΔοο λέγῳ ὅὁτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΚ παραπλήρωμα τῷ ΚΔ παραπσλη- ρώματι.	Sit parallelogrammum ABΓM, diameter autem ipsius AΓ, etcirca AΓ parallelogramma quidem sint EΘ, ZH, ipsa vero dicta complementa BE, KΔ, ; dico æquale esse BK complementum ipsi KΔ complemento.

Επεὶ γὰρ παραλληλὐύγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, ἴσον ἰστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ, Πώλιν. ἐπεὶ παραλ. - ληλὀγραμμόν ἐστι τὸ ΕΚΘΑ, διώμετρος δὲ αὐτοὺ ἐστὶν η ΑΚ, ἴσον ἄρα1ϊ ἐστὶ τὶ ΛΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚτριγώνῳ. Διὰ τὰἀαὐτὰ δῃ καὶτι ΚΖΓ τρίγωνον	Quoniam enim parallelogrammum est ABΓA, diameter autem ipsius AΓ, æquale est ABΓ trian- gulum ipsi AΓΔ triangulo. Rursus quoniam paral- lelogrammum est EKΘA, diameter autem ipsius est AEK, æqualeest AEK triangulum ipsi ADK trian- gulo. Propter eadem et KZΓ triangulum ipsi KHΓ
τῷ ΚΗΓ τριγωνῳ“ έἐστιν ἰΙσὸν. Επσεῖι οὐὖν τὸ μτν ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον, τὸ σδὲ ΚΖΓ τῷ ΚΗ͂Γ, τὸ ΑΕΚ τρέγωνον μετὰ τοῦ ΚΗΓ ἐστὶν ἴσον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ μετὰ τοὰ ΚΖΓ τριγώτου » ἔστι δὲ καὶ ἕλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΑΔΓ ἴσον. λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΚ παραπλήρωμα λοιπῷ τῷ ΗΔ παραπληρώματι ἐστὶν ἴσον3, Παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου, καὶ τὰ ἐξῆς.	est Áæquale. Quoniam igitur AEK quidem trian. gulum ipsi AQ"K triangulo est æquale ; KZΓ yero ipsi KHΓ, triangulum AEK cum ipso KHΓ est æquale ipst ABK triangulo cum KZΓ triahgulo ; est autem et totum ARBΓ triangulum toti AΔΓ æquale. Reliquum igitur B complementum re- liquo Hü complemento est æquale. Omuis igitur parallelogramnii, etc.

PROPOSITION XLIII.

Dans tout parallélogramme, les complémens des parallélogrammes, autour de la diagonale, sont égaux entreux.

Soit le parallélogramme ABΓ, que ΑΓ soit sa diagonale, qu’autour de ΑΓ soient les parallélogrammes EΘ, ΖΗ, et les parallélogrammes BK, KA qu’on appelle compléments ; je dis que le complément ΒΚ est égal au complément ΚΔ.

Car puisque ΑΒΓΔ est un parallélogramme, et que ΑΓ est sa diagonale, le triangle ΑΒΓ est égal au triangle ΑΓΔ (34) - Dc plus, puisque ΕΚΘΑ est un parallélogramme, et que ΑΚ est sa diagonale, le triangle 4EK est égal au triangle ΑΘΚ ; le triangle ΚΖΡΓ est égal au triangle KHΓ, par la même raison ; donc puisque le triangle AEX est égal au triangle ΑΘΚ, et le triangle ΚΖΓ égal au triangle ΚΗΓ, le triangle ΑΕΚ, avec le triangle ΚΗ͂Γ, est égal au triangle ΑΘΚ avec le triangle ΚΖΓ ; mais le triangle entier ΑΒΓ est égal au triangle entier AΔΓ ; donc le complément restant BK est égal au complément restant HA (not. 3) . Donc, etc.