Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 42

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 119-120).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ μβ'.	PROPOSITIO XLII.
τῷ δοθέντι τριγῶνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείση γωνίᾳ εὐθυνράμμῳ.	Dato triangulo æquale parallelegrammum constitnere iau dato angulo rectilineo.
Εστω τὸ μὲν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ἡ ὁ : δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ32 Δ. δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓ τριγωνῷ ἰσὸν παραλληλογραμμωυον συστησασμαι ὸν ἴσῃ3Ὀ τῇ Δ γωνίᾳ εὐθυγράμμρ.	Sit quidem datum triangulum ABF, datus vero angulus rectilineus Δ ; oportet igitur insi ABΓ triangulo æquale parallelegrammum coustituere in æquali ipsi ΓN angulo rectilineo.

Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ 1, καὶ ἐπ- ἐζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΓ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείω τῷ Ὁ τῇ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΕΖ, καὶ δὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλ- ληλος ἤχθω ἡ ΑΗ͂, διὰ δὲ τοὺ Γ τῇ ΕΖ παράλ- ληλοςὦ ἤχθω ἡ ΓΗ⋅ παραλληλύγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ.	Secetur BΓ bifariam in E, et jungatur AE, et constituatur ad EΓ rectaim et ad puuctum in eà E ipsi Δ anguloe æqualis ΓEZ, et per A quidem ipsi EΓ parallela ducatur AH, per Γ vero ipsi EZ parallela ducatur ΓH ; parallelograAmmum igitur est ZEΓH.
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ. ἐπί τε γὰρ	Et quoniam æqualis est BE ipsi EΓ, æquale est et ABE triangulum ipsi AEΓ triangulo ; ^am super
ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΕ, ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΗ" διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνονήί τοῦ ΑἘΓ τρίγώνου. Ἐστι δὲ καὶ τὸ ΖΕΓΗ͂ παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν	æqualibus basibus BE, EΓ sunt, et in eisdem parallelis BΓ, AH ; duplum igitur est ABΓ triangulum ipsius AEΓ trianguli. Est autem et ZEΓH parallelogrammum duplum ipsius AEΓ trianguli ; basim enim quam AEΓ eamdem habet,

ἐέχει καὶ ἐν ταις αυταιῖς ἐστιν αυτῷ παραλληλοῖς ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΈΓΗ παραλληλογράαμμον τῷ ΑΕΓ τριγωνῷ ; καὶ ἐχει τὴν ὑπὸ ΓΕΖ γωνίαν ἰσην τῃ δοθείσῃ τῇ Δ.	et in eisdem est parallelis in quibus ipsum AEΓ ; æquale igitur est ZEΓH parallelogrammum ! psi ABΓ triangulo, et habet ΓEZ angulum æqualem dato A.
Τῷ ἀρα δοθέντι τριγωνῳ τῷ ΑΒΓ ἴγσον παραλ. ληλόγραμμον συνέεστωται τὸ ΖΕΓΗ, ἐν γωνίᾳ τή υπο͵ιΤῬΖ, ἡτις3 ἐστὶν ἴση τῃ ἃ. ΟΖσερ ἐδει τοιῆσαι.	Dato igitur triangulo ABΓ æquale parallelo- grammum constitutum est ZEΓEH in angule ΓEZ qui est æqualis ipsi à. Quod oportebat facere.

PROPOSITION XLII.

Construire, dans un angle rectiligne donné, un parallélogramme égal à un triangle donné.

Soit ABΓ le triangle donné, et Δ l’angle rectiligne donné ; il faut construire un parallélogramme égal au triangle ABΓ dans l’angle rectiligne Δ.

Coupons la droite BΓ en deux parties égales en E (10) , joignons ΑΒ, sur la droite ΕΓ, et au point E de cette droite construisons un angle TEZ égal à l’angle Δ (23) , par le point Α conduisons AH parallèle à ΕΓ (31) , et par le point Γ conduisons ΓΗ parallèle à BZ ; la figure ZETH sera un parallélogramme.

Puisque BE est égal à ΒΓ, le triangle XBE est égal au triangle ΑΕΓ (38) , car ils sont sur des bases égales BE, EΓ, et entre les mêmes parallèles ΒΓ, AH ; donc le triangle ΑΒΓ est double du triangle ΑΒΓ. Mais le parallélogramme ΖΕΓΗ͂ est double du triangle ΑΒΓ (41) , car il a la même base que lui, et il est dans les mêmes parallèles ; donc le parallélogramme ΖΕΓΗ est égal au triangle ΑΒΓ (not. 6) , et il a l’angle ΓEZ égal à l’angle donné n.

Donc le parallélogramme ZEΓH a été construit égal au triangle ΑΒΓ dans un angle qui est ΓΕΖ égal à l’angle donné Δ ; ce qu’il fallait faire.