Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 39
C. F. Patris, (1, p. 115-116).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λθ'. | PROPOSITIO XXXIX. |
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ΤτΤὰ ἴσὰ τρἰγωνα, τὰ ἐπὶ τῆς αἀυτῆς Ζασεῶς ὄυτα καὶ ἐπὶ τὰ αυτὰ μερῆ, καὶ ἐν ταις αυταις παραλληλοις ἐστὶιν. |
Æqualia triangula, super eàdem basi cons- tituta et ad easdem partes, et in eisdem paral- lelis sunt. |
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Εττω ἴσα τρίγωνα3 τὰ ΑΒΓς ΔΒβΒΓ, ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάαζσεως ὀντὰ τῆς ΒΓ, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη3. λέγω ὀτιῖϊ καὶ ἐν ταις αυταιῖς παραλλήλοις ἐστίν. Επεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ. λεέγω ὁτι παραλ- ληλος ἐστιν ἡ ΑΔ τῃ ὯΓ. |
Sint æqualia triangula ABΓ, ABΓ, super eàdem basi BΓ et ad easdem partes ; dico et in eisdem parallelis esse. Jungatur enim AΔá ; dico parallelam esse AΔ ipsi BΓ. |
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Εἰ γὰρ μὴ, ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθεία παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕΓ. |
Si enim non, ducatur per A punctum ipsi BΓ rectæ parallela AE, et jungatur EΓ. |
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Ισον ἄρα5 ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τρι- γώνῳ. ἐπί τε γὰρ τῆς αὐυτῆς βασεὼς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΒ6, Αλλὰ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον7 τῷ ΔΒΓ ἐστὶν |
Æquale igitur est ABΓ triangulum ipsi EBΓ triangulo ; super eàdem enim basi est BΓ super quà ipsum BEΓ, et in eisdem parallelis BΓ, AE ; sed ABΓ triangulum ipsi ABΓ est æquale ; ergo |
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ἴσον. καὶ τὸ ΔΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΕΒΓ ἴσον ἐστὶν, τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι, ὅπερ ἐστὶνδ ἀϑδύνατον. οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. Ομοίως δὴ δείξομεν. ὁτι οὐδὲ ἄλλη τις πλῆν τῆς ΑΔ. ἡ ΑΔ ἀρὰ τῇ Β8ΒΓ ἐστὶ παράλληλος, Τὰ ἀρὰ ίἰσὰ ; , καὶ τὰ ἐξῆς. |
et ABΓ triangulum ipsi EBΓ æquale est, maju ; minori, quod est impossible. Non igitur paral. lela est AE ipsi BΓ. Similiter autem ostendemu ; neque aliam quampiam esse pr&ter AB ; AA igitur ipsi BΓ est parallela. Ergo æqualia, etc. |
Les triangles égaux, construits sur la même base et placés du même côté, sont compris entre les mêmes parallèles.
Que les deux triangles égaux ΑΒΓ, ΔΒΓ soient construits sur la même base ΒΓ, et placés du même côté ; je dis que ces deux triangles sont compris entre les mêmes parallèles. Joignons ΑΔ ; je dis que ΑΔ est parallèle à ΒΓ.
Çar si cela n’est pas, par le point Α conduisons ΑΒ parallèle à ΒΓ (31) , et joignons EΓ.
Le triangle ABΓ est égal au triangle EBΓ (37) , puisque ces deux triangles sont. construits sur la base BΓ, et placés entre les mêmes parallèles ΒΓ, ΑΕ.
Mais le triangle ΑΒΓ est égal au triangle ΔΒΓ ; donc le triangle ΔΒΓ est égal au triangle ΕΒΓ, le plus grand au plus petit, ce qui est impossible ; donc ΑΒ mʼest point parallèle à ΒΓ. Nous démontrerons semblablement qu’aucune autre droite, excepté AΔ, n’est parallèle à BΓ ; donc ΑΔ est parallèle à ΒΓ. Donc, etc.