Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 38

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 113-114).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ληʹ.	PROPOSITIO XXXVIII.
Τὰ τρίγωνα, τὰ ἐπὶ τῶν ἔσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αυταῖς παραλλήλοις, ἴσα ἀλλήλοις ἐστὶντ,	Triangula, super æqualibus basibus constituta et in eisdem parallelis, æqualia inter se sunt.
Εστω τρίγωνα τὰλ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄνταθῬΒ τῶν ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ2, ΑΔ. - λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.	Sint triangula ABΓÀ, AEZ super æqualibus basibus censtituta BΓ, EZ et ineisdem parallelis BZ, AΔ ; dico æquale esse ABΓ triangulum ipsi AEZ triangule.

Eκϐεϐλησθω γὰρ ἡ ΑΔ ἐφ᾽᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ4 τὰ H, Θ. καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΤΑ	Producatur enim AA ex utráque partc in H, O, et per B qyuidem ipsi LTʼA parallcla
παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, διεὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΘ.	ducatur BH, per Z vero ipsi AE parallela d, . catur Z3.

Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΗΒΓΑ, ΔΕΖΘ. καὶ ἴσον τὸ ΗΒΓΑ τῷ ΔΕΖΘ, ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεῶν εἰσι τῶν ΒΓ, ΕΖ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ, ΗΘ. καὶ ἔστι τοῦ μὲν ΗΒΓΑ παραλληλογράμμου ἡμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα ὅ τέμνει. τοῦ δὲ ΔΕ1Θ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΖΕΔ τρίγωνον, ἡ γὰρ ΔΖ διάμετρος αὐτὸ δίχα ὅ τέμνει. τὰ δὲ τῶν ἴσων ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ͂ τριγώνῳ. Τὰ ἄρα τρίγωνα, καὶ τὰ ἑξῆς.

Parallelogrummum igitur est uttumque ipso- rum HBΓA, AEZeO ; et æquale HBΓA ipsi AEZP, inæqualibus enim et basibus sunt BΓ, EZ, et in eisdem parallelis BZ, HΘ ; et est autem ipsius HBΓAΔ parallelogrammi dimidium AB triangulum, AB enim diameter ipsum bifariam secat ; est vero ipsius AEZe parallelogrammi dimidium ZE^ triangulum, nam] diamele ipsum bifariam secat. /qualium autem dimidi æqualia inter se sunt ; æquale igitur est ABʼ triangulum ipsi 3zZtriangulo. Ergo triangula, etc.

PROPOSITION XXXVIII.

Des triangles, construits sur des bases égales et entre les mêmes parallèles, sont égaux entr’eux.

Que les triangles ABr, AEZ soient construits sur des bases égales Br, EZ et entre les mêmes parallèles ΒΖ, Aa ; je dis que le triangle ΑΒΓ est égal au triangle AEZ.

Prolongeons de part et d’autre la droite AA aux points H, Θ ; par le point B conduisons la droite BH parallèle à la droite rA (32) , et par le point Z conduisons la droite ΖΘ parallèle à la droite ΔE.

Les figures HBrA, ΔΕΖΘ sont des parallélogrammes ; mais le parallélogramme HBTA est égal au parallélogramme ΔΕΖΘ (36) , car ils sont construits sur des bases égales BT, EZ et entre les mêmes parallèles ΒΖ, HΘ ; mais le triangle ΑΒΓ est la moitié du parallélogramme HBrA, car la diagonale AB le partage en deux parties égales (34) ; le triangle ZEA est la moitié du parallélogramme ΔΕΖΘ, car la diagonale ΔΖ le partage en deux parties égales, et les moitiés des quantités égales sont égales entr’elles ; donc le triangle ABr est égal au triangle ΔΕΖ. Donc, etc.