Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 37
C. F. Patris, (1, p. 112-113).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λζ'. | PROPOSITIO XXXVII. |
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Τὰ τρίγωνα, τὰ ἐπὶ τῆς αυτῆς βασεὼως ὄντὰ και ἐν ταις αὐυταὶς παραλλῆλοις, . ἴσα ἀλλή- λοις ἐστίν. |
Triangula super ehdem basi constituta et in eisdem parallelis, æqualia inter se sunt. |
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Eστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αυτῆς βάσεως ὀνταῖ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αυταῖς παραλ-ο λήλοις ταις ΑΔ, ΒΓ. λέγω ὁτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὠ ΔΒΓ τριγωνῳ. |
Sint triangula ABΓ, ABΓ super ebdembbasicon ; - tituta BΓ et in eisdem parallelis AΔ, BΓ ; dico æquale esse ABΓ triangulum ABΓ triangulo. |
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Εκξεὐλήσθω ἡ ΑΔ ἐφ᾽ ἑκάτερὰ τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Ε, ΖΖ2, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τὴ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΒΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ. |
Proeducatur AΔ ex utrique parte in E, Z, et per B quidem ipsi ΓA parallela ducatur BE, per Γ vero ipsi BΔ parallela ducatur ΓZ. |
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Παραλληλύόγραμμον ἄρα ἰστὶν ἑκάτερον τῶν ΕΒΓΑ, ΔΒΓΖ’ καί εἰσιν ἴσα 3. ἐπίτε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως εἰσι 4 τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ππαραλ- λήλοις ταῖς ΒΓ, ΕΖʼ καὶ ἔστι τοῦ μὲν ΕΒΓΑ παρ- |
Parallelogrammum igitur est uttumque ipso. rum EBΓA, ABΓZ ; etæqualia sunt, nam super eàdem basi sunt BΓ et in eisdem parallelis BΓ, EZ ; et est ipsius EBΓX quidem parallelogrammi |
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αλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει. τοῦ δὲ ΔΒΓΖ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον, . ή γὰρ ΔΙ διάμετρος αυτὸ δίχα τέμνει. τὰ δὲ τῶν ἰσων ἡμίση ἴσὰ αλλήηλοις ἐστίν" ἰΙσὸν ἄἀρω εἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ. τὰ ἄρα τρί- γωνα, καὶ τὰ εξῆς. |
dimidium ABΓ triangulum, nam AB diameter ipsum bifariam secat ; est vero ipsius ABΓZ pa- rallelogrammi dimidium ABΓ triangulum, nam AΓ diameter ipsum bifariam secat ; æqualium autem dimidia æqualia inter se sunt ; æÓquale igitur est ABΓ triangulum ipsi ABΓ triangulo. Ergo triangula, etc. |
Les triangles, construits sur la même base et entre les mêmes parallèles, sont égaux.
Que les triangles ABΓ, ΔΒΓ soient sur la même base BΓ et entre les mêmes parallèles ΑΔ, BΓ ; je dis que le triangle ΑΒΓ est égal au triangle ABΓ.
Prolongeons de part et d’autre la droite AΔ aux points E, Z, et par le point B conduisons BE parallèle à ΓΑ (31) , et par le point Γ conduisons TZ parallèle à BΔ.
Les figures EBΓA, ΔBΓZ sont des parallélogrammes, et ces parallélogrammes sont égaux (35) ; car ils sont sur la même base BΓ, et entre les mêmes parallèles ; mais le triangle ABΓ est la moitié du parallélogramme EBΓA ; car la diagonale AB le partage en deux parties égales ; le triangle ABr est la moitié du parallélogramme ABrz, car la diagonale ar la partage en deux parties égales (54) ; mais les moitiés des quantités égales sont égales entr’elles ; donc le triangle ΑΒΓ est égal au triangle ABr. Donc, etc.