Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 36
C. F. Patris, (1, p. 110-111).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λϛʹ. | PROPOSITIO XXXVI. |
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Τὰ παραλληλόγραμμα, τὰ ἐπὶὴ τῶν ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταϊςπαραλλήλοις, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. |
Parallelogramma, super æqualibus basibus constituta et in eisdem parallelis, æqualia inter se sunt. |
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Εστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα 1 τῶν ΒΓ, ΖΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΘ, ΒΗ ! : λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλύγραμμον τῷ ΕΖΗΘ |
Sint parallelograAmma ABΓΔ, ΕΖΗΘ super æqualibus basibus constituta BΓ, ZH, et in eisdem parallelis AΘ, BH ; dito æquale esse ABΓΔ parallelogrammum ipsi EZHΘ. |
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Επεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΘ. |
Jungantur enim BE, ΓΘ. |
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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τή ΖΗ, ἀλλᾶ 3 ἡ ZH τῇ ΕΘ ἐστὶν ἴση. καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τἭ ΕΘ ἐστὶν ἴση. Εἴσι δὲ καὶ παραλλήλοι καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΒΕ, ΓΘ, αἱ δὲ τὰς ἴσας τεῖ καὶ παραλ. - λήλους ἐπὶ τὰ αυτα μερη ἐπιζευγνυύουσαι ἴσαι τε καὶ παραλληλοί εἰσι" καὶ αἱ ΕΒ, ΓΘ ἀρὰ ἴσαι τέ εἰστ καὶ παραλλήλοι. Παραλληλογραμμὸν ἄρὰα |
Et quoniam æqualis est BΓ ipsi ZH, et ZH ipsi EΘ est æqualis ; et BΓ igitur ipsi EΘ est æqualis. Sunt autem et paralleló ? , et jun- gunt ipsas ipse BE, ΓO, quæ autem æquales et parallelaa ad easdem partes coujungunt, æquales et parallelÓs sunt ; et EB, Γq igitur et æóquales sunt parallelæ. Parallelogrummum |
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ἐστὶ τὸ ΕΒΓΟ, καὶ ἐστιν ἴσον τῷἝ ΑΒΓΔ. βασιν τὲ γαρ αυτῳῷ τὴν αυτῆν ἐχει τὴν ΒΓ. μκαι ἐν ταις αυταῖς παραλλήλοις ἐστὶν αὐυὐτῷ ; ταῖς ΒΓ, ΑΘ. Διὰ τὰ αυτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΖΤΗΘ τῷ αὐτῷ τῷ ΕΒΓΘ ἐστιν ἰσον ὥστε και τὸ ΑΒΓΔ παραλληλογραρ- ὸνν τῷ ΕΖΗΘ εστὶν ἴσονΔ, Τὰ ἄρα παραλληλο- γράμμα, καὶ τὰ ἐξῆς. |
igitur est EBΓt, et est æquale ipsi ABΓΔ ; basim enim eamdem habet BΓ quam ipsum, ct in eisdem parallelis est BΓ, AΘ. Propter cadem, et EZHO eidem EBΓΘ est æquale ; quare et ABΓΔ parallelogrammum ipsi EZHC est æquale. Ergo parallelogramma, etce. |
Les parallélogrammes, construits sur des bases égales et entre les mêmes paral- lèles, sont égaux entr’eux.
Que les parallélogrammes ABrA, ΕΖΗΘ soient construits sur des bases égales ΒΓ, ZH, et entre les mêmes parallèles ΑΘ, BH ; je dis que le parallélogramme ABΓΔ est égal au parallélogramme EZHΘ.
Joignons BE, ΓΘ. Puisque BΓ est égal à ZH, et ZH égal à EΘ, la droite BΓ est égale à EΘ ; mais les droites BE, ΓΘ joignent ces droites qui sont parallèles, et les droites qui joignent des mêmes côtés deux droites égales et parallèles, sont égales et parallèles (33) ; donc les droites EB, TΘ sont égales et parallèles ; donc EBΓΘ est un parallélogramme, et ce parallélogramme est égal au parallélogramme ΑΒΓΔ (35) ; car il a la même base BΓ que lui, et il est construit entre les mêmes parallèles. Par la même raison le parallélogramme ΕΖΗΘ est égal au parallélogramme EBΓΘ ; donc le parallélogramme ABΓΔ est égal au parallélogramme EZHΘ. Donc etc.