Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 35
C. F. Patris, (1, p. 109-110).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λέ. | PROPOSITIO XXXV. |
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ΤτΤὰ παραλληλογράμμα, τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆης βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. |
Parallelogramma, super eàdem basi consti- tuta et in eisdem parallelis, æqualia inter se sunt. |
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Εστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΒΓΖ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βαάασεὼς ὀνταῖ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΖ, ΒΓφς λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΕΒΓΖ2. |
Sint parallelogramma ABΓΔ ; EBΓZ super eàdem basi BΓ constituta et in eisdem parallelis AZ, BΓ ; dico æquale esse ABΓA ipsi EBΓZ. |
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Επεὶ γὰρ παραλληλὀγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ3. Διὰ τὰ αὐυτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση 4. ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΖ ἐστὶν ἴση 1. 0 καὶ κοινὴ ἡ ΔΕ. ὅλη ἄρα ἡ ΔΕ ὁλῃ τὴ ΔΖ ἐστὶν ἴση. Εστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ ἴση. δύο δὴ αἱ ΒΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖς ΖΔ, ΔΓΓ ἴσαι εἰσὶν, ἐκα-- τέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΔΓΓ γωνίᾳ τῇ |
Quoniam enim parallelorrummum est ABΓA, 2æqualis est AΔ ipsi BΓ. Propter eadem, et EZ ipsi BΓ est æqualis. Quare et AΔ ipsi EZ est vqualis ; et communis AE ; tota igitur AE toti ΔZ est æqualis. Est autem et AB ipsi AΓ æqualis ; duæ igitur EA, AB duabus Zí, A æquales sunt utraque utrique, et angulus ZaΓ angulo EAB |
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ὑπὸ ΒΑΒ ἐστὶν ἴσηδ, ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός. βασις ἄρα ἡ ΕΒ βάσει τῇ 2. ἴση ἐστὶ, καὶ τὸ ΒΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἴσον ἔσται 7. Κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΔΗΒ. λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΗΔ τραΖέ- ζιον λοιπῷ τῷ ΒΗΓΖ τραπεζίῳ ἐστὶν ἴσον ὅ Κοινὸν προσκείσθω τὸ ΗΒΓ τρίγωνον". ὁλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ὁλῳ τῷ ΕΒΓΖ παρ- ἀλληλογράμμῳ ἴσον ἐστί. Τὰ ἄρα παραλληλό- γράμμα, καὶ τὰ ἑξῆς. |
est æqualis, exterior interiori ; basis igitur E basi ZΓ æqualis est, et EAB triangulum ipsi AΓZ triangulo æquale erit. Commune auferatur AHE ; reliquum igitur ABHÁ trapezium reliquo EHΓZ trapezio est æquale. Commune addatur Hir iriangulum ; totum igitur ABΓΔ parallelogram- mum toti EBΓZ parallelogrammo zæquale est. Ergo parallelogramma, etc. |
Les parallélogrammes, construits sur la même base et entre les mêmes parallèles, sont égaux entr’eux.
Que les parallélogrammes ABrA, ΕΒΓΖ soient construits sur la même base ΒΓ, et entre les mêmes parallèles AZ, Br ; je dis que le parallélogramme ABrA est égal au parallélogramme EBrz.
Car puisque ΑΒΓΔ est un parallélogramme, ΑΔ est égal à ΒΓ (34) ; par la même raison, EZ est égale à Br ; donc ΑΔ est égal à EZ ; mais la droite A est commune ; donc la droite totale AE est égale à la droite totale Az (not. 2) ; mais AB est égal à AT (34) ; donc les deux droites EA, AB sont égales aux deux droites ZA, Ar, chacune à chacune ; mais l’angle extérieur ZAT est égal à l’angle intérieur EAB (20) ; donc la base EB est égale à la base zr (4) ; donc le triangle Ea8 sera égal au triangle arz. Retranchons la partie commune AHE ; le trapèze restant ABHA sera égal au trapéze restant EHrZ (not. 5) ; ajoutons le triangle commun HBr, le parallélogramme total ΑΒΓΔ sera égal an parallélogramme total ΕΒΓΖ. Donc, etc.