Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 40
C. F. Patris, (1, p. 116-117).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ μʹ. | PROPOSITIO XL. |
|---|---|
|
Τὰ ἴσα τρίγωνα, τὰ ἐπὶ τῶνϊ ἰσων βασεων οντὰ καὶ επὶ τὰ αυτὰ μεέρη, καίπκ ἐν ταις αυταις πα- ραλλήλοις ἐστίν. |
Æqualia triangula, super æqualibus basibu constituta et ad easdem partes, et in eisdem pa. rallelis sunt. |
|
Εστω ἴσα τρίγωναϑ τὰ ΑΒΓ, ΔΓE, επὶ ἰσὼν βάσεων ὄντα τῶν ΒΓ, ΓῊ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέὲρη4. λέγω ὁτι καὶ ἐν ταῖς αυταῖς παραλλήλοις ἐστίν. Επεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔʼ λέγω ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῃ ΒΕ. |
Sint æqualia. triangula ABΓ, AΓE, super æqua- libus basibus constituta BΓ, ΓOE et ad easdem partes ; dico et in eisdem parallelis esse ; jungatur enim AΔ ; dico parallelam esse AΔ ipsi BE. |
|
Εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΕ παράαλ- λήλος ἡ ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ. |
Si enim non, ducatur per A ipsi BE parallela AZ, et jungatur EZ. |
|
ἴσον ἄραϑ ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΙΔ τρι- γώνῳ. ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ, ΓΒ καὶ ἐν ταῖς αυταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΕ, ΑΖ. Αλλὼ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΓΙῈ τρίς- γώνῳδ. καὶ τὸ ΔΓΒΕ τρίγωνον7 ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ |
Æquale igitur est ABΓ triangulum ipsi ZΓE triangulo ; in æqualibus enim basibus sunt BΓ, ΓE et in eisdem parallelis BE, AZ. Sed ABΓ trianÜgulum æquale est ipsi AΓE triangulo ; et AΓE triangulum igitur æquale est ipsi ZΓE trian- |
|
ΖΙΕ τριγώνῳ, τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι, ὅπερ ἐστίνΒ, ἀδύνατον. οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστινθ ἡ ΑΖ τῇ ΒΕ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ. ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἐστὶ παράλ. - ληλος10 τὰ ἄρα ἴσα, καὶ τὰ ἑξῆς. |
gulo, majus minori, quod est impossibile ; non igitur parallela est AZ ipsi BE. Similiter autem ostendemus neque aliam quampiam esse pruter AB ; AΔ igitur ipsi BE est parallela. Ergo æqualia, etc. |
Les triangles égaux, construits sur des bases égales et du même côté, sont entre les mêmes parallèles.
Que les triangles égaux ΑΒΓΡ, ATE soient construits sur les bases égales BΓ, TE et placés du même côté ; je dis qu’ils sont entre les mêmes parallèles. Joignons ΑΔ ; je dis que ΑΔ est parallèle à BE.
Car si cela n’est pas, par le point A, conduisons ΑΖ parallèle à BE, et joignons EZ. Le triangle ΑΒΓ est égal au triangle ZΓE (33) ; puisque ces deux triangles sont construits sur des bases égales BΓ, ΓE, et quils sont entre les mêmes parallèles BE, AZ. Mais le triangle ΑΒΓ est égal au triangle ΔΙΈ ; donc le triangle ATE est égal au triangle ΖΙΒ, le plus grand au plus petit, ce qui est impossible ; donc ΑΖ m’est point parallèle à ΒΕ. Nous démontrerons semblablement qu’aucune autre droite, excepté ΑΔ, n’est parallèle à BE ; donc ΑΔ est parallèle à BE. Donc, etc.