Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 32

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 103-105).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ λβʹ.	PROPOSITIO XXXII.
Παντὸς τριγώνου μιὰς τῶν πλευρῶν πρὸόσεκ- λησειίσῆς. ἢ ἐκτος γωνίὼ σύσι ταὶίς εντος καὶ απσπειαντίον ἰσὴ ἐστὶ᾽ παάὶ αἱ ςντοὸς τοῦ τρἰγῶνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν οὀρθαῖς ἰσαι εἰσίφ.	Omnis trianguli uno latere producto, ex- terior angulus duobus interioribus et oppositis æquals est ; et interiores trianguli tres abguli duobus rectis æquales suut,

Ἑστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. καὶ προσεκἝελήσθω αὐτοὸυ μίω πλευρὰ ἢ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δʼ λέγω ὅτι	Sit triangulus ABP, et producatur ipsius unum latus BIʼin A ; dico exteriorem angulum
ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶ ταῖςʼ δυσὶ ταις ἐντὸς και ἀπεναντίον ταῖς υπὸ ΓΑΒ. ΑΒΓ. καὶ αἰ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι, αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ ; ΓΑΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.	ATA æqualem esse duobus interioribus et op- posiis PAB, ABD, et interiores triauguli tres angulos ABP, BIʼA, TAB duabus rectis æquales esse.
ῆχθω γάρ, διὰ τοῦ Γ σημείου, τῇ ΑΒ εὐϑείᾳ πάρώλλαλος ἡ ΓΕ.	Ducatur enim, per Γ punctum, ipsi AB recte parallela ΓE.

Καὶ επεὶ πταραλληλὸς εἐστιν ἢἡ ΑΒ τῇ ΤΕ, καὶ εἰς αὐτὰΑὰς ἐμλπίπτωκεν ἡ ΑΓ, αἱ ἐνελλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΕΑΕ ἰσαι ἀλλήλαις εἰσί, Πάλιν, ἱἐπεὶ παράλλήλος ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτάας ἐμππέπτωκεν ευθείὰα ἡ ΒΔ’ ἡ ἐκτὸος γωνἰα ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστὶ τί ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. Εδείχθη δὲ παὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τὴῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἰσὴ ὁὑλῆ ἀρὰ ἢ υπὸ ΑΓΔ ἐκτος, γωνίώ ΙσῊ εστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ απεναντίον ταῖς υπό ΒΑΓ, ΑΒΓ.	Et quoniam parallela est AB ipsi TE, et in ipsas incidit. AT, alterni anguli BAT, ATE æquales inter se sunt. Rursus ; quoniam paral- lcla est AB ipsi TE, et in 1psas incidit recta BA, exterior angulus EFA æqualis est interiori et opposito ABF. Ostensus autem est et ATE ipsi BAT æqualis ; totus igitur ATA exterior angulus tqualis est duobus interioribus et oppositis BAΓ, ABΓ.
Κηἰίνῆ προσκχείσθω ἡ υπὸ ΑΓἔἢ. αἱΐ ἀρα υπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΙ, ΒΓΑ, ΓΑΒ ἴσαι	Communis addatur ATB ; ergo ATA, ATB tribus ABP, BUTA, TAB æquales sunt. Sed AΓΔ,
εἰσίν. Αλλ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθειῖς ἰσαι εἰσί. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΑ ; ΓΑΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί, Παντὸς ἀρὰ τριγώνου, καὶ τώ ἐξῆς.	ATʼB duobus rcctis æquales sunt ; et ATB, TʼBA, LAB igitur duobus rectis æquales sunt. Omnis igitur trianguli, elc.

PROPOSITION XXXII.

Ayant prolongé un côté d’un triangle quelconque, l’angle extérieur est égal aux deux angles intérieurs et opposés ; et les trois angles intérieurs du triangle sont égaux à deux droits.

Soit le triangle ABr ; et prolongeons le côté Br en a ; je dis que l’angle extérieur AΓΔ est égal aux angles intérieurs et opposés TAB, ABT ; et que les trois angles intérieurs ABr, BrA, TAB sont égaux à deux droits.

Menons, par le point r, la droite rE parallèle à AB (31) .

Puisque AB est parallèle à TE, et que Ar tombe sur ces droites, les angles alternes BAT, ATE sont égaux entr’eux (29) . De plus, puisque la droite AB est parallèle à la droite ΓE, et que la droite BA tombe sur ces droites, l’angle exté- rieur ETA est égal à l’angle intérieur et opposé ABr. Mais on a démontré que l’angle ΑΤῈ est égal à l’angle BAΓr ; donc l’angle extérieur ArA est égal aux deux angles intérieurs et opposés BAΓ, ABΓ.

Ajoutons l’angle commun ΑΓΒ ; les angles AΓA, AΓB seront égaux aux trois angles ABΓ, BΓA, ΓAB. Mais les angles AΓΔ, AΓB sont égaux à deux droits (13) ; donc les angles AΓB, ΓBA, ΓAB sont égaux à deux droits. Donc, etc.