Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 33

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 105-106).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ λγ.	PROPOSITIO XXXIII.
Αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους επὶ τὰ αὐτά μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι, καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.	Quz et : quales et parallelas ad easdem partes conjungunt recle, ci Ipsz æquales et parallele sunt.
Εστωσαὰν ἰσαάϊ τε καὶ ! πτιρλληλοι αι ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἐπιζευγνύτωσαν αυτὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ’ λέγω ὅτι καὶ αἱ ΑΓ, ΒΔ ἴσαι τε 1 μαὶ παράλληλοί εἰσιν.	Sint ct æquales et parallelic AB, TA, ct con- jungaut 1psas ad easdem parles recte AD, BA ; dico et AT, BA et æquales et parallelas esse.

Επεζευύχϑὼ γάρ 1 ἡ ΒΓ.	Jungatur enim BΓ.
Και ἐπεῖί παραλλήηῆλος ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αυτὰς ἐμπτέεπτωηηεέν ἢ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἀι υπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί, Καὶ ἐπεὶ	Et quoniam parallela est AB ipsi TA, et in ipsas incidit BD, alterni anguli ABP, BTA æquales inter se sunt, Et quoniam æqualis est AB
ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, κοινή δὲ ΒΓ. δὺο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ, δυσὶ ταῖς ΓΔ, ΒΓ ἰίσαι εἰσί" καὶ γωνία ἡ υπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τὴ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση εστίνʼ, Βάσις ἀρὰ ἡ ΑΓ βασει τή ΒΔ ἐστἰὶν Ισή, καὶ τὸο ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριίγωνῷ ἐΖον ἐστὶ. καὶ αἱ λοίστιαι γωνίαειῖ ταᾶἰις λοίταις γνῶνίαις ἰζξὰαιά ἐσοόονται, ἐκίτερὰ εκατέρζ, υῷ ἃς αιἱι ἰσαι πλευῦραι υπα-	ipsi A, communis autem BIʼ ; duzeigitur AB, Br duabus lʼA, BP æquales sunt, et angulus ABr angulo BTʼA » qualis. Basis 1gitur AT. basi BA est vqualis, et. ABP triangudlum. BPA triangulo æquale est ; et reliqui anguli reliquis angulis æquales ernnt uterque utrique, quos æqualia latera subtendunt ; æqualis est igitur ATB an-

Τεινουδιν 17 ἀρὰ Ἡ ὑπὸ ΑΤΒ γώνια τῇ ὑπὸ ΓΒΑ. Καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τάς ΑΤΓ΄. ΒΔ εὐδεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΒΓ τὰς ἐναλλαξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΥΒ. ΓΒΔ ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν" ποιροἔλλπλος ἄρὰ ἐστὶν ἡ ΑΤ τῇ ΒΔ. Ἐδείχθη δὲ αὐτΤῇ καὶ ἰσῃ. Α : αροι τας ἐδσδας. καὶ Τὰ Εζὗ ! ζ.

gulus ipsi PBA. Et quoniam in duas rectes AT, BA rccta incidens BT, alternos angulos ATB, TBA æquales inter se facit, parallela est AT 1psi BA. Ostensa estautem ipsi et zæqualis ; quz igitur æquales, etc.

PROPOSITION XXXIII.

Les droites qui joignent, des mêmes côtés, des droites égales et parallèles, sont elles-mêmes égales et parallèles.

Soient AB, ΓΔ deux droites égales et parallèles ; que les droites AΓ ; ΒΔ les joignent des mêmes côtés ; je dis que les droites AΓ, ΒΔ sont égales et parallèles.

Joignons BΓ.

Puisque AB est parallèle à TA, et que BΓ tombe sur ces droites, les angles alternes ABΓ, BΓΔ sont égaux entr’eux (29) . De plus, puisque AB est égale à ΓΔ, et que la droite Br est commune, 165 deux droites AB, Br sont égales aux deux droites TA, BT ; mais l’angle ABT est égal à l’angle Bra ; donc la base ΑΤ est égale à la base ΒΔ, le triangle ABr est égal au triangle BrA, et les angles restans, opposés à des côtés égaux, seront égaux, chacun à chacun (4) ; donc l’angle ΑΓΒ est égal à l’angle rBA. Mais la droite. Br tombant sur 165 deux droites Ar, ΒΔ fait les anglʼes alternes AIB, IBA égaux entr’eux ; donc la droite AT est parallèle à la droite ΒΔ (27) . Mais on a démontré qu’elle lui est égale ; donc, etc.