Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 31
C. F. Patris, (1, p. 102-103).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λά. | PROPOSITIO XXXI. |
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Διὰ τοῦ δοθέντος σημείουʼ. τῇ δοθείση εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. |
Per datum punctum, date recte parallelam rectam lineam ducere. |
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Ἐστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ. δεῖ δὴ, διὰ τοῦ Α σημείου, τὴ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. |
Sit quidem datum punctum A, data vero recla BIʼ ; oportet igitur, per A punctum, ipsi BTʼ rectæ parallelam rectam lipeam ducere. |
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Εἰλήφθω ἰπὶ τῆς, ) Γ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ’ καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΑ |
Sumatur in BIʼ quodlibet punctum A, et jun- gatur AÀ ; et constituatur ad AA rectam, et ad |
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εὐθείᾳ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α, τῇ ὑπὸ ΑΔΙ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΑΡ. καὶ ἐκαεξλήσθω ἐπὶ εὐθείας τῆς ΕΑ εὐθεῖα ἡ ΑΖ. |
punctum in eà A, angulo AATr ; qualis angulus AAE, et producatur in directum ipsi EA recta AZ. |
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Καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα2 ἡ ΑΔ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΑΔ, ΑΔΓ ἴσὰς ἀλλήλαις πεποίηκε, παρώλληλος ἐρὰ ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ. |
Et quoniam in duas rectas BT, EZ recta in- cidens AA alternos angulos EAA, AAT æquales inter se facit, parallela est EZ ipsi BT. |
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Διά τοῦ δοθέντος ἄρὰ σημείου τοῦ Α, τῇ δὲ- θείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἥκτάι ἢ ΕΑΖ. ὁπεῤρ ἐδει χοιῆσα. |
Per datum igitur punctum A, datz recte Br parallela recta linea ducta est EAZ. Quod cpor- lebat facerc. |
Par un point donné, conduire une ligne droite parallèle à une droite donnée.
Soit A le point donné, et BΓ la droite donnée ; il faut par le point A conduire une ligne droite parallèle à la droite BΓ.
Prenons sur la droite BΓ un point quelconque Δ, et joignons ΑΔ ; construisons sur la droite ΔA, et au point A de cette droite, l’angle ΔΑE égal à l’angle AΔΓ (25) , et prolongeons la droite AZ dans la direction de EA.
Puisque la droite AΔ, tombant sur les deux droites Br, EZ, fait les angles alternes EAA, AAT ‘égaux entr’eux, la droite Ez est parallèle à droite Br (27) .
Donc la ligne droite EAz a été menée, par le point donné A, parallèle à la droite donnée Br ; ce qu’il fallait faire.