Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 30

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 101-102).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ λ΄.	PROPOSITIO XXX.
Αἱ τῇ αὐτὴ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.	Quæ eidem rectæ parallele sunt, etinter se sunt parallela.
Εστω ἐκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῇ ΕΖ παραλ- λήλος. λέγω ὁτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἐστὶ παράλ- ληλος.	Sit utraque ipsarum AB, TʼA ipsi EZ paral- lela ; dico et AB ipsi TʼA esse parallelam.
Eμπιπτέτω γὰρ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΗΚ,	Incidat cnim in ipsas rccta HK.

Καὶ ἐτεὶ εἰς παραλλήλους ευθειίας τάς ΑΒ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἰἴσή ἀρὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. Πάλιν. ἐπεὶ εἰς τὰς ἶ πὰρ-	Et quoniam in parallelas rectas A5, EZ recta incidit HK, æqualis est AHO ipsi HOZ. Rursus quoniam in parallelas rectas EZ, TʼA recta in-
αλλήλους, εὐθείας τὰς EΖ. ΓΔ εὐθεῖα εἐμ- πίπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΘΖ τῇ ὑπὸ ΗΚΔ. Εδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ ἴσήη. Καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρὰ τῇ ὑπὸ ΗΧΚΔ ἐστὶν ἴση. καὶ εἴσιν ἐναλλάξ. Παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. Αἱ ἀρὰ τῇ αυτῇ εὐθείᾳῳ) , καὶ τὰ εἐξῆς.	cidit HK, æqualis est HOZ 1ipsi HKA. . Ostensus est autem et AHK 1psi HGZ æqualis ; AHK igitur ipsi HKA est æqualis ; et sunt alterm. Paral- lela igitur est AB ipsi lʼA. Quase igitur eidem recta, etc.

PROPOSITION XXX.

Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entr’elles. Que chacune des droites AB, TA soit parallèle à EZ ; je dis que AB est paralléle à ΓΔ. Que la droite HK tombe sur les droites AB, ΓΔ. Puisque la droite HK tombe sur les droites parallèles AB, EZ, l’angle ΑΗΘ est égal à l’angle ΗΘΖ (27) . De plus, puisque la droite HK tombe sur les droites parallèles EZ, ΓΔ, l’angle ΗΘΖ est égal à l’angle ΗΚΔ (28) . Mais on a démontré que l’angle AHK est égal à l’angle HΘZ ; donc l’angle AHK est égal à l’angle HKΔ ; mais ces angles sont alternes ; donc AB est parallèle à ΓΔ (20) . Donc, etc.