Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 29
C. F. Patris, (1, p. 99-101).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κθʹ. | PROPOSITIO XXIX. |
|---|---|
|
Ἡ εἰς τὰς ’παραλλυλους εὐθείας εὐθεῖα εμνπι- τουσὰα τὰας τε ενοιλλαξ γωνίας ἰσας σ“λληλαις σοιεῖ 9 καὶ τὴν εΞτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον. και ἐπὶ τὰ αὐτῷὰ μερὴ 25 0 καὶ τὰας εντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ορθαὶς ἴσας. |
In parallelas rectas recta incidens, et alternos angulos æquales inter se facit, et exteriorem inte- riori et opposito et ad easdem partes æqualem, et interiores et ad casdem partes duobus rectis æquales. |
|
ἙἰΪς γάρ παραλλήλους εὐυθείας τὰάς ΑΒ. ΓΔ εὐθεῖα ἐμπιπτέτω ἡ ἘΖʼ λέγω ὅτι τάς τεῖ |
In parallelas enim rectas AB, TʼA recta incidat EZ ; dico eamalternos angulos AHO, HOA quales |
|
ἐναλλαξ γωνίας τεῖς ὑπὸ ΑΗΘ΄. ΗΘΔ ἰσὰς σοιεῖ. καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν υὑτὸ ἘΗῊΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπενάντιον καὶ πίὶ τὰ αὐτῶ μερῆ τῇ υ7ὸ ΗΘΔ, σηὴν. καὶ τὰς εἐντὺς καὶ ἐπὶ τὰ ἀυτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ϑυσὶν ὀρθαῖς ἴσας. |
facere, et exteriorem angulum EHB interiori et opposito et ad easdem partes HOA æqualem, et interiores ad easdem partes BHO, HOÀ duobus rectus æquales. |
|
Εἰ γὰρ ἀνισὸς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑῊΘ τῇ ὑπ0ῆ9ΘΔ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. Ἑστω μείζων ἢ υπὸ ΑΗΟ τῆς ὑπὸ ΗΘΔ΄, Κοινῆ ʼπροσʼκεισθω ἢ υὑπὸ ΒΗΘ᾽ α, ὡρὰ υπὸ ΔΗηΘ. ΒΗΘ τῶν υσο ΒΗΘ. ΗΘΔ μείζονές εἰσιν. Αλλα᾽ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ. ΒΗΘ δυσὶν ορθοως ἴσαι εἰσίν" αἱ“ ἀρα ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΦΘΔ δὺο ᾳρθων ἐλάσσονίς εἶσιν. Αἱ δὲ ἀπ ἐλασσόνων ἢ δύυο ορθων ἐκίζαλλόμεναι εἰς ἀπειρον συμπιίπτουσιν" αἱ αρεί ΑΒ. Γὰ ξκζαλλομεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται" οὐ συμπίπτουσι δὲ, διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι ! " οὐκ ἀρὰ ἄνίφὸος ἐστιν η υπὸο ΔῊΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ", σῇ ἀρώ- |
Si enim inxqualis est AHO ipsi HOA, unus eorum major est ; sit major AHO 1pso HOA. Com- munis addatur BHO ; ergo AHO, BHO ipsis BHO, HOA majores sunt. Sed AHO, BHO duobus recüs æquales sunt ; et igitur BHO, HOA duobus rectis minores sunt. Recie autem a minoribus quam duobus rectis producte 1n infinitum con- currunt. ipse igitur AB, TʼA producte in infi- nitum concurrent ; non autem concurrunt, quia parallel : ponuntur ; non igitur inzsqualis est AHO ipsi HOA ; æqualis igitur. |
|
Αλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τή υπὸ δῚΒ εστιν ισῆη" καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΒ ἀρά τῃ υπὸ ΗΘΔἂ εστιν Ισῆ. Κοινὴ προσχείσθω ἡ υπὸ ΒΗΘʼ αἰ ἀρὼὰ υποὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἰίἰσαι εἰσίν. Αλλὰ αἱ ὑπὸ EῈΗΒ, ΒΗΘ δυσὶν ορθαῖς ἴσαι εἰσί-. καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἀρὰα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, Η ἀρὰ εἰς τάς παραλλήλους, καὶ τὰ ἐξῆς. |
Sed AHO ipsi EHB est æqualis ; et EHB igitur ipsi HOA est æqualis. Communis addatur BHO ; ergo EHB, BHO lpsis BHO, HOA : æquales sunt. Scd EHB, BHO duobus recüs squales sunt ; et BHO, HOGA Igitur duobus rectis ; æquales sunt. Ergo in parallelas, etc. |
Une droite qui tombe sur deux droites parallèles, fait les angles alternes égaux entrʼeux, l’angle extérieur, égal à l’angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieurs placés du même côté, égaux à deux droits.
Que la droite Ez tombe sur les droites parallèles 48, ra ; je dis que cette droite fait les angles alternes AHΘ, HΘA égaux entr’eux, l’angle extérieur EHB, égal à lʼangle HΘA intérieur opposé et placé du même côté, et les angles ΒΗΘ, ΗΘΔ intérieurs et placés du même côté, égaux à deux droits.
Car si l’angle AHΘ n’est pas égal à l’angle H64, l’un d’eux est plus grand. Que l’angle AHΘ soit plus grand que HΘA. Ajoutons l’angle commun BH6, les angles AHΘ, BHΘ seront plus grands que les angles BHΘ, HΘA ; mais les angles AHΘ, BHΘ sont égaux à deux droits (13) ; donc les angles BHΘ, HΘA sont moindres que deux droits. Mais si deux droites sont prolongées à lʼinfini du côté où les angles intérieurs sont plus petits que deux droits, ces droites se rencontrent (dem. 5) ; donc les droites AB, rA prolongées à lʼinfini se rencontreront. Mais elles ne se rencontreront pas, puisquʼelles sont parallèles ; donc les angles AHΘ, ΗΘΔ ne sont point inégaux ; donc 115 sont égaux. Mais l’angle AH® est égal à l’angle EHB (15) ; donc l’angle EHB est égal à l’angle HΘa.
Ajoutons l’angle commun BHΘ, les angles EHB, , ΒΗΘ scront égaux aux angles BHΘ, ΗΘΔ ; mais les angles EHB, BHΘ sont égaux à deux droits (15) ; donc les angles BHΘ, ΗΘΔ sont égaux à deux droits. Donc, etc.