Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 28
C. F. Patris, (1, p. 98-99).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κή. | PROPOSITIO XXVIII. |
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Ἐαν εἰς ὄνο εὐθείας εὐθεία ἐμπιίπτουσα τῆν ἐκτὸς γῳνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ὥπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρή ἰσὴν ποιῇ. Ἡ τὰς ἐνγτὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐὑτὰ μέρη δυσὶν οΡθα ; ς ἰσος πτοιἢ παραλ- ληλοῖ ἐσουνταᾶι ἀλλήλαις αὐ εὐθείαι. |
Si in duas rectas recta incidens exteriorem an. gulum interiori et opposito et ad easdem partes a qualem faciat, vel interiores et ad easdem partes duobus rectis cquales faciat ; parallele erunt inter se recta. |
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Ἑἰς γάρ δῶο εὐθείας τάς ΑΒ. ΓΔ εὐθεῖα ἐμ. σιίπτουσω ἢ ἘΖ τῆὴν ἐκτὸς γωνιίαν τὴν υὑπὸ ἘῊΒ τή ἐντὸς καὶ αἀπεναντίον γωνίᾳῷ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ |
In duas enim rectas AB, LʼA recta incidens EZ exteriorem angulum EHEB interiori et Oppo- sito, angulo HOA xqualem faciat, vel inte- |
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ἐσὴν “σοιει ! Τῷῶ 9 ἢ τας ἰντος Ἀωὼ : Τὸὰ ὠυτὸ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ. ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἰσας" λέ5 γω ὅτι “ταραλλπλος ἐστιν ἢ ΑΒ τῃ ΓΔ. |
riores et ad easdem partes ipsos BHO, HOA duobus rectis equales ; dico parallelam esse AB ipsi ΓΔ. |
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Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ἘΗ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, ᾿ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ἘΗΠΒ τῖῆς ὑπὸ ΑΗΘ ἐστὶν ἴση. καὶ ἢ ὑπὸ ΑΗΘ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστὶν ἴση" καί εἶσιν ἐναλλάξʼ παράλληλος ἄρα ἐστὶν. ΑΒ τῇ ΓΔ. |
Quonam enim æqualis est EHB ipsi HOA, sed EHB ipsi AHO cst æqualis, et AHO igitur ipsi HOA est equalis ; et sunt alterni ; parallela igitur est AB ipsi TʼA. |
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Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶν. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ. ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι" αἱ ἆ’ρα ὕπὸ ΑἨΘ. ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ. ΗΘΔ ἔσαι εἰσί, Κοινὴ ἀφηρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ. λο, πὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοισῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστὶν ἰση" καὶ εἶσιν ἐναλλάξʼ παράλληλος ἂρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. Ἐὰν ἄρα εἰς δύο, καὶ τὰ ἐξῆς. |
Rursus, quoniam anguli BHO, HOA duobus rectis equales sunt, sunt autem anguliAHO, BHO duobus recüs xquales ; ergo AHO, BHO ipsis BHO, HOA m « quales sunt. Communis auferatur BHO ; reliquus igitur AHO reliquo HOA est equalis ; et sunt alterni ; parallela igitur est A2 ipsi PA. Si igitur in duas, etc. |
Si une droite tombant sur deux droites fait l’angle extérieur égal à l’angle intérieur, opposé, et placé du même côté, ou bien si elle fait les angles intérieurs et placés du même côté égaux à deux droits, ces deux droites seront parallèles.
Que la droite EZ tombant sur les droites AB, rA fasse l’angle extérieur EHB égal à l’angle intérieur HΘ4, opposé, et placé du même côté, ou bien les angles ΒΗΘ, ΗΘΔ intérieurs, et placés du même côté, égaux à deux droits ; je dis que la droite AB est parallèle à la droite ΓΔ. Car puisque lʼangle EHB est égal à lʼangle ΗΘΔ, et que l’angle EHB est égal à lʼangle AHΘ (15) , lʼangle AHO est égal à l’angle HO4 ; mais ces angles sont alternes ; donc la droite 48 est parallèle à la droite rA (27) .
De plus, puisque les angles BHΘ, HΘA sont égaux à deux droits, | et que les angles AHΘ, BHΘ sont aussi égaux à deux droits (13) , les angles ΔΗΘ, BHO seront égaux aux angles ΒΘΗ, ΗΘΔ. Retranchons l’angle commun BHΘ ; l’angle restant AHΘ sera égal à l’angle restant HΘ4 ; mais ces deux angles sont alternes ; donc la droite AB est parallèle à la droite ra. (27) . Donc, etc.