Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 27

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 97-98).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κζʹ.	PROPOSITIO XXVII.
Ἐὸν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὸξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ 5 νπᾳράλ. . ληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.	Si in duas rectas. recta incidens alternos an- gulos equales inter se faciat, parallele erunt inter se recto.
Εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεία ἐμ- πίπτουσα ἥ ΕΖ. τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΔΕΖ. ΕΖΔ ἴσας ἀλλήλαις ποιείτω" λέγω ὅτι παράλληλός ἔστιν ἢ ΑΒ τῇ ΓΔ᾽ʼ,	In duas enim rectas AB, TʼA recta incidens EZ, alternos angulos AEZ, EZA zequales inter se faciat dico parallelam esse AB ipsi ʼA-

ἙΕι γαρ μῆ. εκζαλλομεναι αʼ ΑΒ, . ΤΔ συμ- σεσοῦνται. ἥτοι ἐπὶ τὰ ΒΔ Μερῆ 5 ἢ ἐπὶ τὰ ΑΤ, Ἐκξεβλήσθωσαν. καὶ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τὰ ΒΔ μμπερή κατὰ τὸ H.	Si enim non, producie AB, TA, convenient vcl ad BA partes, vel ad AT ; producantur, et conveniant ad BA partes in H.
Ἰρίγώνου δὴ τοῦ ἘΠ7Ὶ ἡ ἐκτὸς γωνία Ἡ υπὸ ΔῈΖ ἰσὴ εἐστι τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ υπὸ ΕΖΗ, ὁπὲρ ἐστὶν ἀδύνατον οὐκ ἀρα αἱ ΑΒ. ΓΔ εἐκζαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ ΒΔ	Trianguli igitur EHZ exterior angulus AEZ cqualis est interiori et opposito EZH, quod est impossibile ; non igitur AB, TʼA product con- venient ad BA partes. Similiter autem. osten-
μέρη. Ομοίως δὴ δειχθήσεται. ὃτι οὐδὲ ἐπὶ τὰ ΑΓ᾽ αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι. ʼποιροἔλλυλοι’ εἰσι" παράλληλος α’ρα ἐστὶν ἢἡ ΑΒ Τῇ ΓΔ. Ἐὰν ἄρὰ εἰς ἆυο, καὶ τὰ ἓξπς.	detur neque ad ADT ; qu » autem in neutras partes conveniunt, parallela sunt ; parallela igitur est AB ipsi ΓΔ. Si igitur in duas, etc.

PROPOSITION XXVII.

Si une droite tombant sur deux droites fait les angles alternes égaux entrʼeux, ces deux droites seront parallèles.

Que la droite EZ tombant sur les deux droites 4B, TA fasse les angles alternes AEZ, EZA égaux entr’eux ; je dis que la droite AB est parallèle à la droite ΓΔ.

Car si elle ne lui est pas parallèle, les droites AB, TA étant prolongées se rencontreront, ou du côté BA, ou du côté Ar. Qu’elles soient prolongées, et qu’elles se rencontrent du côté BA, au point H.

L’angle extérieur AEZ du triangle EHZ est égal à lʼangle intérieur et opposé EZH, ce qui est impossible (16) ; donc les droites AB, rA prolongées du côté BA ne se rencontreront point. On démontrera de la même manière qu’elles ne se rencontreront pas non plus du côté AT ; mais les droites qui ne se rencontrent d’aucun côté sont parallèles (déf. 35) ; donc la droite AB est parallèle à la droite ra. Donc, etc.