Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 26
C. F. Patris, (1, p. 93-96).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κς'. | PROPOSITIO XXVI. |
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Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γώνίαις ἰσᾶς ἐχῇ ἐκατεραν ἐκατερᾳ 5 καὶ μὲαν σλευρᾶν μιῷ πλευρῷ ἰσὴν » ἥτοι “τῆν πρὸς ταῖς ἰσαιὶς γωνίαις. , ἤ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἰσὼν γωνμων καὶ τὰς λοίπας “Φλεῦρας ταῖς λοσαιίς σλευραὸς ἰσὰς ἐξει. ἐκάτεραν ἐκατερᾳ. καιὶ τὴν λοιπήν γῶνίαν τῇ λοιπτη γῶωνίῷο. |
Si duo triangula duos angulos duobus angulis æquales habeant, utrumque utrique, et unum latus uni lateri equale, vel quod est ad æquales angulos, vel quod subtendit unum squalium angulorum ; et reliqua latera reliquis lateribus æqualia habebunt, utrumque utrique, et reli- quum angulum reliquo angulo. |
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Ἔστω ὅδυο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ. . ΔΕΖ. τὰς δὺο γωνίας τάς ὑπὸ ΑΒΙ΄. ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ. ΕΖΔ ἰσὰς ἐχοντας εἐκατερῶν ἐκατερει 5 ΤῊΡ μἐὲν υπὸ ΑΒΓ τῇ υπὸ ΔΕΖ. τῆν δὲ ὑπὸ ΒΤΑ τῇ ὑπὸ ἘΖΔʼ ἐχέτω δὲ καὶ μίαν πλευρᾶν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην πρότερον. τὴν πρὸς ταῖς ἰσαις |
Sint duo triangula ABT, AEZ, duos angulos ABTʼ, BIʼA duobus AEZ, EZA equales habentia, utrumque utrique, ABT quidem ipsi AEZ, BTʼA vero ipsi EZA, habeant autem et unum latus uni lateri æquale ; primum, quod est ad « quales angulos, ipsum BTʼ ipsi EZ ; dico et reliqua latera |
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γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖʼ λέγω ὅτι καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει. ἐκα- πέραν ἑκατέρᾳ. τῆν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ. τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ. καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπὴ γωνίᾳ. τὴν ὑπὸ ΒΑΙ τῇ ὑπὸ ἘΔΖ. |
reliquis lateribus æqualia habitura esse, utrumque utrique, AB quidem ipsi AE, AT vero ipsi AZ, et reliquum angulum reliquo angulo, BAT ipsi EAZ. |
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Εἰ γὰρ ἄνισος ἔστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ. μία αὐτῶν μείζων ἐστίν, Ἑστω μείζων ἡ ΑΒ. καὶ κείσθω τῇ ΔῈ ἔση ἡ ΒΗ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ἩΓΙ. |
Si enim inæqualis est AB ipsi AE, una earum major est. Sit major AB, et ponatur ipsi AE equalis BH, et jungatur HT. |
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Ἐπεὶ οὖν ἰσὴ ἐστὶν ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΔῈ) δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ. δὺο δὴ αἱ ΒΗ. ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ. ἘΖ ἰἴσαι εἰσιν, εἐκατέερὼ ἐκατερῷ5 καὶ γωνία Ἡ ὑπὸ ΗἩΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔῈΖ ἰσῊ ἐστί βασις ἀρὰ ἡ ἨΓ βασει τῇ ΔΖ (ἰσῊ ἐστί. Καὶ τὸ ΗΒΙ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἔσον ἐστὶ καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοίπαις γωνίαις ισα ! ἐσονται. υῷ ἂς αἱ ἰσα ! σλευραι υποτείνουσιν" Ισὴ ἀρὰ Ἡ υὑπὸ ΗΓΒ γωνία τή ὑπὸ ΔΖΕ. Αλλὰα. ὑπὸ ΔΖῈ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ὑπόκείται Ισῆ" καὶ ἢ υὑπὸ ΒΤῊ ἀαἀρὰ τῇ υϑὸ ΒΓΑ |
Quoniam igitur equalis est BH quidem ipsi AE, BT vero ipsi EZ, dax utique BH, Br duabus AE, EZ squales sunt, utraque utri- que, et angulus HBP angulo AEZ equalis est ; basis igitur HIʼ basi AZ æqualis est, et HBI triangulum AEZ triangulo æquale est, et reliqui anguli reliquis angulis æquales erunt, quos æqualia latera subtendunt ; equalis igitur HIB angulus ipsi AZE. Sed AZE ipsi BTA po- nitur : qualis ; igitur et BH ipsi BIA æqualis est, |
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ἴση ἐστὶν. ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι. ὁπερ ἀδύνατον. Οὐκ εἔρ : ι ἄγισός ἐστιν ἢ ΑΒ τῇ ΔῈ" ἐσὴ ἄρα. Ἐστιε δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ ἰση- δῦυο δὴ αἱ ΑΒ. ΒΓ δὺυδσὶ ταῖς ΔῈ. ἘΖ ʼσαι εἰσιν. εκατερῶ ἐκωτεριι. καἂὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τή υπὸ ΔῈΖ ἐστιν ἰσηξάσὶς ἆ’ρα ἡ ΑΤ βάσει τῇ ΔΖ ἰσὴ ἐστὶ. καὶ λοιπή γωνία ἢ ὕπόΒΑΓΙ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ἘΔΖ ἰση ἐστίν. |
minor majori, quod impossibile. Non igitur inæqualis est AB ipsi AE ; equalis igitur est. Estautem et BI ipsi EZ æqualis, dux utique AB, BT duabus AE, EZ æquales sunt, utraque utrique, et an- gulus ABI angulo AEZ est æqualis ; basis igitur AT basi AZ equalis est, et reliquus angulus BAT reliquo angulo EAZ æqualis est. |
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Αλλα δὴ σαλιν. εἐστῶσαν αἱ ὑπὸ τας Ισὰς γωνίας πλευρα ! υποτείνουσοαι σο ! . 7. ὡς ἢ ΑΒ τῇ ΔΕ" λέγω παλιν. ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ πλεύραι ταῖς λοιπαὶς σλευραις ἰσαι ἐσονταιϊ » ἡ μεὲν ΑΤ τῇ ΔΖ. ἡ δὲ ΒΓ τῇ ἘΖ ; : καὶ ἔτι ἢ λοιπή γώωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γων ῳ ὃ τῇ ὑπὸ ἘΔΖ ἴσὴ ἐστίν. |
Sed et rursus, sint ipsa equales angulos latera subtendentia s æqualia, ut AB ipsi AE ; dico rursus et reliqua latera reliquis lateribus equalia futura essc, AT quidem ipsi AZ, BT vero ipsi EZ, et adhuc reliquum angulum BAT reliquo angulo EAZ s : æqualem esse. |
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ἘΪ γάρ ἀνισὸς ἐστιν Η ΒΓ τῇ ΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. Ἐστω μείζων. , εἰ δυνατὸν. ἡ ΒΤ τῆς ΕΖ(10). καὶ κείσθω τῇ ἘΖ ἰσὴ ἡ ΒΘ. καὶ ἐπε-, ς ζεύχθω ἡ ΔΘ. |
Si enim inæqualis est BIʼ ipsi EZ, una earum major est. Sit major, si possibile est, BD ipsá EZ, et ponatur ipsi EZ æqualis B9, et jun- gatur AO. |
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Καὶ ἐπεὶ ἰσὴ ἐστὶν ἢ μὲν ΒΘ τῇ ΕΖ. - ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ. δυο δὴ αἱ ΑΒ. ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔῈ. ἘΖ ἰσα ! εἰσὶν, ἐκατερα εἐκῶτερι 5 καὶ γῶνίας ἔσαὰς περιεχουσι βάσις ἄρα ἡ ΑΘ (άσει τῇ ΔΖ ἴσὴ |
Et quoniam æqualis est BO quidem ipsi EZ, AB vero ipsi AE, due utique AB, BO duabus AE, EZ æquales sunt, utraque utrique, et an- eulos equales continent ; basis igitur AO basi AZ |
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ἐστὶ. καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔῈΖ τριγῶνῳ ἴσον ἐστὶ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἔσαι ἐσονται ʼʼγυῷ ς αἱ ἰσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν" ἰσ ἀρᾶὶ εἐστιὶν Ἡ ὑπὸ ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΔ, Αλλὰ ἡ ὑπὸ ἘΖΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ " ἐστὶν ἰση καὶ ἢ ὑπόΒΘΑ ἀρα τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἐστὶν ἰσῊ. τριγῶώνου δὴ τοῦ ΑΘΓ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπένάντέον τῇ ὑπὸ BΓΑ, οπερ |
equalis est, et triangulum ABO triangulo AEZ equale est, ct reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, quos zqualia latera subtendunt ; equalis igitur est BOA. angulus ipsi EZA. Sed EZA ipsi BPA est ; : qualis ; et BO4A igitur ipsi BTA est equalis ; trianguli igitur AOT exterior an- gulus BOA equalis estinteriori et opposito BTʼA, quod est impossibile. Non igitur inzqualis est |
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αδυνατὸν, Οὐκ ἄρα ἁνισὸς ἐστιν Ἡ ΒΓ τῇ ἘΖ. ἰση ἄρα. Ἐστι δὲ καὶ η ΑΒ τῇ ΔΕ ἰσηο" δύο δὴ αἱ ΑΒ ; ΒΓ δυσὶ ταῖῆς ΔΕῈ, ΕΖ ἰσαι εἰσὶν. ἐκατέρα εκατέρᾷ. . καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι" βάσις ἀρα ΑΤ (ἀσε ; τῇ ΔΖ ἴσὴ ἐστὶ. καὶ τὸ ΑΒΓ τρέγωον τῷ ΔΕΖ τριγῶνῳ ἔσον. καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ἘΔΖ ΙσῊ, Ἐαν ἄρα δύο, καὶ τὰ εξῆς. |
BT ipsi EZ ; : qualis igitur, Est autem ct AB ipsi AE ecqualis ; dux igitur AB, BI duabus AE, EZ wquales sunt, utraque utrique, et angulos equales continent ; basis igitur AT basi AZ equalis est, et triangulum ABT triangulo AEZ equale, et reliquus angulus BAT reliquo angulo EAZ aqualis. Si igitur duo, ctc. |
Si deux triangles ont deux angles égaux, chacun à chacun, et un côté égal à un côté, ou celui qui est adjacent aux angles égaux, ou celui qui est opposé à un des angles égaux, ils auront les autres côtés égaux, chacun à chacun, et l’angle restant égal à lʼangle restant.
Soient les deux triangles ABT, AEZ, ayant les deux angles ABT, BTA égaux aux deux angles AEZ, EZA, chacun : à chacun, l’angle ΑΒΓ égal à lʼangle AEZ, et lʼangle BrA égal : Ν anale EZA ; que ces deux triangles aient auest un côté égal à un côté, et dʼabord celui qui est adjacent aux angles égaux, le cèté BΓ égal au côté EZ ; je dis qu’ils auront les autres côtés égaux aux autres côtés, chacun à chacun, le côté AB égal au côté AE, le côté AT égal au côté 4z, et l’angle restant égal à l’angle restant, l’angle BAT égal à l’angle EΔZ.
Car si le côté AB n’est pas égal au côté AE, l’un d’eux est plus grand que lʼautre, Soit AB le plus grand ; faisons BH égal à AE (3) , et Joignons HΓ.
Puisque BH est égal à AE, et Br égal à Ez, les deux côtés BH, Br sont égaux aux deux côtés AE, EZ, chacun à chacun ; mais l’angle HBrT est égal à l’angle ΔῈΖ ; donc la base Hr est égale à la base AZ (4) ; le triangle HBr est égal au triangle AEZ, et les angles restants, soutendus par les côtés égaux, seront égaux aux angles restants ; donc l’angle Hr8 est égal à l’angle AZE ; mais lʼangle AZE est supposé égal à l’angle BΓA ; donc l’angle BΓH est égal à l’angle BrA, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible ; donc les côtés AB, AE ne sont pas inégaux ; donc ils sont égaux. Mais Br est égal à Ez ; donc les deux côtés AB, BT sont égaux aux deux côtés AE, EZ, chacun à chacun ; mais l’angle ABr est égal à l’angle AEz ; donc la base AT est égale à la base AZ (4) , et l’angle restant BAr est égal à l’angle restant EAZ,
Mais de plus, que les côtés opposés aux angles égaux soient égaux, le côté AB égal au côté AE ; je dis que les côtés restants seront égaux aux côtés restants, le côté Ar égal au côté 4z, et le côté Br égal au côté Ez, et que l’angle restant BAT est égal à l’angle restant EAz.
Car si le côté Br n’est pas égal au côté Ez, l’un d’eux est plus grend que l’autre ; que BT soit plus grand que Ez, s’il est possible ; faisons BΘ égal à EzZ (5) , et joi- gnons AΘ.
Puisque BO est égal à Ez, et AB égal à AE, les deux côtés AB, BΘ@ sont égaux aux deux côtés AE, EzZ, chacun à chacun ; mais ces côtés comprennent des angles égaux ; donc la base 40 est égule à la base 4z (4) ; le triangle ABΘ est égal au triangle AEZ, et les angles restants, opposés aux côtés égaux, seront égaux aux angles restants, chacun à chacun ; donc l’angle BΘA est égal à l’angle EZA ; mais l’angle EZA est égal àl’angle BrA ; donc l’angle BΘA est égal à l’angle ΒΓΑ ; donc lʼangle extérieur B6A du triangle AΘTr est égal à l’angle intérieur et opposé Br4 ; ce qui est impossible (16) ; donc les côtés Br, EZ ne sont pas inégaux ; donc ils sont égaux. Mais le côté AB est égal au côté AE ; donc les deux côtés AB, Br sont égaux aux deux côtés AE, EZ, chacun à chacun ; mais ces côtés comprennent des angles égaux ; donc la base lAT est égale à la base AZ (4) ; le ‘triangle ABr est égal au triangle AEZ, et l’angle restant BAT égal à l’angle restant E4z. Donc, etc.