Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 24
C. F. Patris, (1, p. 90-91).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κδʼ. | PROPOSITIO XXIV. |
|---|---|
|
Ἐὰν δὺο τρίγωνα τὰς δυο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἰσὰς ἐχῆ. ἐκατέραν ἐκατέρᾳ. τὴν δὲ γωνίαν τῆς γώνιας μειζονοι ἐχή τὴν ὑπὸ τῶν ἴσῶν ευθειὧν σπεριεχοβενην" καὶ τὴν ζασιν τῆς βασεως μςιζονα εξει. |
Si duo triangula duo latera duobus lateribus equaliaa habeant, utrumque utrique, angulum autem angulo majorem habeant, qui ab zsqua- libus lateribus continetur ; et basim basi majorem habebunt. |
|
Ἐστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ; ΔΕΖ. τὰς δὺο ’πλευρας τὰας ΑΒ) . ΑΓΙ ταῖς δυςὶ ʼπλευροεις ταῖς ΔΕ. ΔΖ τσας ἐχοντὰ. εκατερᾶν ἐκατερῷ. τῆν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, τῆν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ ; : γωνία δὲ ἡ υὑπο Β ΆΓ γωνίας τῆς υπὸ ἘΔΖ ῖ μειζων εστῶω" λέγῶ ὑτʼ καὶ βάσις ἥ ΒΓ βάσεως τῆς ἘΖ μείζων ἐστίν. |
Sint duo triangula ABT, AEZ, duo latera AB, AT duobus lateribus AE, AZ xqualia ha- bentia, utrumque utrique, AB quidem ipsi AE, AT vero ipsi AZ, et angulus BAT angulo EAZ major sit ; dico et basim BT basi EZ majorem esse. |
|
Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐσ ὶν ἐ ὑπὸ ΒΑΤ γωνία τῆς ὑπὸ ἘΔΖ γωνίας. συνεστάτω πρὸς τῇ ΔῈ εὐθείᾳ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ" σημείῷ τῷ Δ. τῇ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ἘΔΗ" καὶ κείσθω ὁποτέρᾳ τῷν ΑΤ. ΔΖ ἴση ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ἘΗ. ΖΗ. |
Quoniam enim major est BAT angulus EAZ angulo, constituatur ad AErectam, et ad punctum in cá A, ipsi BAT angulo equalis EAH ; et ponatur alterutri Ipsarum ATʼ, AZ equalis AH, et jun- gantur EH, ZH. |
|
Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἥ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, δῈ ΑΤ τῇ ΔΗ. δύο δὴ αἱ ΒΑ-. ΑΓ δὺυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΗ ἐσα ! εἰσὶν » ἐκατερα εμάτερᾳᾷ 5 καὶ ὙΩΥΙ Ἡ ὑπτὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ἘΔΗ ἴση ἐστί"" βασις ἄρα ἡ ΒΓ άσει τῇ ἘΗ ἐστὶν ἴση. ἸΠάλιν. ἐπεὶ ἰσῊ ἐστιν ἢ ΔΖ τῇ ΔΗ. ἰσὴ ἐστι και " ηυπὸ ΔΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΗΖ" μειζων ἄρα ἥυπο Δ2Η. τῆς υπὸ ΕΗΖ. σ-ολλῷ αροι μειζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ἘΖΗ τῆς ὑπὸ ἘΗΖ᾽" Καὶ επειτρφωνον ἐστι τὸ ΕΖΗ, μειζονοι ἐχοὸν τὴν υπὸ ἘΖΗῊ ’γωνἷαν τῆς ὑπο ἘΗΖ" ὑπὸ δὲ τὴν μειζονω ώνιαν Μμειζων σλευρα ὑποτείνει" μει’ζων αρα καἶ πλευρᾳᾷ ἢ ἘΗ τῆς ἘΖ. Ἰσή δξ ἢ ἘΗ τῇ ΒΓ" μειζων ἄρω καὶ ἢ ΒΤΓ τῆς ἘΔ4. Ἐὰν ἀρὰ δὺυος καὶ τὰ εξῆς. |
Quoniam igitur equalis est AB quidem ipsi AE, ATʼipsa vero ipsi AH, due utique BA, AT duabus EA, AH : quales sunt, utraque utrique, ct angulus BAT angulo EAH equalis est ; basis igitur BIʼ basi EH est equalis. Rursus, quoniam equalis est AZ ipsi AH, equalis estet AZH angulus ipsi AHZ ; major igitur AZH ipso EHZ ; multo igitur major est EZH ipso EHZ. Et quoniam trian- gulum est EZH, majorem habens EZH angulum ipso EHZ ; majorem autem angulum majus latus subtendit ; majus igitur et latus EH ipso EZ. JÉquale autem EH ipsi BD ; majus igitur et BTʼ ipso EZ. Siigitur duo, etc. |
Si deux triangles ont deux côtés égaux, chacun à chacun, et la base de l’un plus grande que la base de l’autre, ils auront les angles compris entre les côtés égaux plus grands l’un que l’autre.
Soient les deux triangles ABrT, AEZ, ayant les deux côtés AB, AT égaux aux deux côtés AE, AZ, chacun à chacun, le côté AB égal au côté AE, et le côté AT égal au côté AZ ; que l’angle Bar soit plus grand que l’angle E4Z ; je dis que la base Br est plus grande que la base Ez. Car puisque l’angle BAT est plus grand que l’angle EAZ, construisons sur la droite AE, et au point Δ de cette droite, un angle EAH égal : à lʼangle BAT (23) ; faisons la droite AH égale à l’une ou à l’autre Rs droites AT, AZ (3) , et joignons EH, ZH.
Puisque AB est égal à AE, et AT à AH, les deux droites BA, AT sont égales aux deux droites EA, AH, chacune à chacune ; mais l’angle BAT est égal à l’angle EAH ; donc la base Br est égale à la base EH (4) . De plus, puisque 4Z est égal à 4H, lʼangle AZH est égal à l’angle AHZ (5) ; donc l’angle 42H est plus grand que l’angle Exz ; donc l’angle EzH est beaucoup plus grand que l’angle EHZ ; et puisque EzH est un triangle, ayant l’angle EZH plus grand que l’angle EHZ, et qu’un plus-gemd côté soutend un plus grand angle {19) , le côté EH est plus grand que sé, mais EH est égal à Br ; donc le côté Br est plus grand que le côté EZ. Donc etc.