Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 22

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 87-88).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κϐʹ.	PROPOSITIO XXII.
Ἐκ τριῶν εὐθειῶν. αἱ εἶσιν ἰσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις εὐθείαις1. τρίγωνον συστήσασθαι δεῖ δὴ τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι. πάντῃ μεέτα- λαμβανομένας. διὰ τὸ καὶ παντὸς τρίγῶνου. τὰς δύο πλευρὰς τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι. παντή μετοειλαμβανομενας2.	Ex tribus rectis, qui sunt æquales tribus datis rectis, triangulum constituere ; oportet autem duas reliquà majores esse, omnifariam sumptas, quia et omnis trianguli duo latera reliquo majora sunt, omnifariam sumpta.
Ἑστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Τ᾿ ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν, πάντῃ μεταλαμξανόμεναι. αἱ μὲν Α. 8 τῆςΓ΄, αἱ δὲ Α. Τʼ τῆς Β. καὶ ἔτι αἱ Β9. Τ τῆς Α δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Τ τρίγωνον συστήσασθαι.	Sint date tres recte A, B, T, quarum dus reliquà majores sint, omnifariam sumptz, ipsze quidem A, Bipsáà Lʼ, 1pse vero A, Tʼ ipsá B, et denique ipsa B, T 1psà A ; oportet igitur ex rectis æqualibus ipsis A, B, T triangulum constituere.

Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔῈ. πεπερασμέενη μὲν κατὰ τὸ Δ. ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ Ἐ" καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἰσὴ ἢ ΔΖ, τὴ δὲ Β ἰσὴ ἡ ΖΗ. τὴ δῈ Τ ἰσὴ	Exponatur aliqua recta AE, terminata quidem ad A, infinita vero ad E ; et ponatur ipsi quidem A æqualis AZ, ipsi vero B : æqualis ZH, et ipsi P
ἡ ΗΘʼ καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ, δηαστήματι δὲ τῷ ZΔ, κύκλος γεγροἔφθω ὃ ΔΚΔ᾿ καὶ “ποἷλιν, κἕντρῳ μὲν τῷ Ἡ. διαστήματι δὲ Ἐ τῷ ἨΘ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛΘ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΖ. ΚΗ’ λέγω ὅτι ἐκ τριῶν εὐθειῶν. τῶν ἴσων ταῖῆς Α, Β, Τ. τρίγωγον συνέσταται, Ἅ τὸ ΚΖΗ,	cequalis HO ; et centro quidem Z, inter- vallo vero ZA, circulus describatur AKA ; et rursus, centro quidem H, intervallo vero H6, circulus describatur KAGO, et jungantur KZ ; KH ; dico ex tribus rectis, equalbus ipsis A, B, l, triangulum constitutum esse KZH,

Ἐπεὶ οὐν" τὸ 2 σημεῖον κἕντρον ἐστὶ τοῦ ΔΚΛ κύκλου. ἴση ἐστὶν ἡ ΖΔ τῇ 2Κ᾽ ἀλλὰ ἡ ΖΔ Ττῇ Α ἐστὶν ἴση" καὶ ἡ ΚΖ ε’ι’ροι τῇ Α ἐστὴὶν ἴση, ἸΠάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΛΚΘ κύκλου. ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ’ ἀλλὰ ἥ ΗΘ τῇ Γ ἐστὶν ἴση" καὶ ἅ ΚΗ ἄρα τῇ Τ ἐστὶν ἴση. Ἐστι δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῇ Β ἴση" αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΚΖ. 2Η. ΗΚ, τρισὶ ταῖς Α. Β : Τ ἴσαι εἰσίν.	Quoniam igitur Z punctum centrum est AKA circuli, æqualis est ZA ipsi ZK ; sed ZA ipsi A est cqualis ; et KZ igitur ipsi A est equalis. Rursus, quoniam H punctum centrum est AKO circuli, : qualis est HO ipsi HK ; sed HO ipsi T est equalis ; et KH igitur ipsi T est equalis. Est autem et ZH Ipsi B equalis ; tres igitur recte KZ, ZH, HK tribus A, B, Tʼ æqualcs sunt.
Ἐκ τριῶν ἀἄρα εὐθειῶν τῶν ΚΖ. 2Η. Η αἷἵ εἰσιν ἰσα ! τρισὶ ταῆς δοθείσαις εὐθείαις ταῖς Α, Β, Γ, τρἷ ; -ωνον συνίσταται τὸ ΚΖΗ. Οʼπερ εἐδει σοιῆσαι,	Ex tribus igitur rectis KZ, ZH, HK, quz sunt equales datis recüs A, B, P, triangulum cons- titum est KZH. Quod oportebat facere.

PROPOSITION XXII.

Avec trois droites qui sont égales à trois droites données, construire un triangle : il faut que deux de ces trois droites, de quelque manière qu’elles soient prises ; soient plus grande que la troisième ; parce que deux côtés d’un triangle, de quelque manière qu’ils soient pris, sont plus grands que le troisième.

Soient données les trois droites A, B, Γ, dont deux, de quelque manière qu’elles soient prises, soient plus grandes que la troisième ; les droites À, B plus grandes que Tr ; les droites A, T plus grandes que B, et enfin les droites 8, r plus grandes que A ; il faut, avec trois droites égales aux droites A, B, T, construire un triangle.

Soit la droite AE, terminée en A, et indéfinie en E ; . faisons la droite AZ égale à la droite A (prop. 3) , la droite ZH égale à la droite 8, et la droite Ho égale à la droite Γ ; du centre Z et de lʼintervalle ZΔ décrivons le cercle ΔΓΛ (dem. 3) ; et de plus du centre H et de lʼintervalle HΘ décrivons le cercle AKΘ6, et joignons KZ, KH ; je dis que le triangle KZH est construit avec trois droites égales aux droites Α, Β, Γ.

Car puisque le point z est le centre du cercle AKA, ZA est égal à Zk (déf. 15) ; mais ZA est égal à A ; donc KZ égal à 4. De plus, puisque Île point H est le centre du cercle AKΘ, HΘ est Cgal à HK ; mais HΘ est égal à r ; donc KH est égal à Tr. Mais ZH est égal à B ; donc les trois droites KZ, ZH, HK sont égales aux trois droites A, B, T.

Donc le triangle KZH a été construit avec trois droites KZ, ZH, HK, qui sont égales aux trois droites données Α, Β, Γ. Ce qu’il fallait faire.