Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 21
C. F. Patris, (1, p. 85-86).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ καʹ. | PROPOSITIO XXI. |
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Ἐὰν τρέγωνου ἐπὶ μιας τῶν πλεύρων ἀπὸ τῶν περάτων δὺο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συστα- θεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάσ- σονες μὲν ἐσονται. μείζονα δὲ γωνίαν περιέξουσι. |
Si trianguli super uno laterum a terminis duze recte intus constituantur, constructe reliquis trianguli duobus lateribus minores quidem erunt, majorem vero angulum continebunt. |
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Ἰρέγωνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ μιας τῶν σλευρὼν τῆς ΒΓ. ἀπὸ τῶν περάτων τῶν Β. Τ΄ δῦύο εὐθεῖαι εντος συνεστατωσαν αἱ ΒΔΑ. ΔΙ λέγω ὁτ α ! ΒΔ. ΔΙ᾽ πλευραι ʼ τῶν λοιπὼν τοῦ τριγώνου δύο πλευ- ρβῶν τῶν ΒΑ. ΑΤ ἐλάσσονες μέν εἶσι. μείζονα δὰὲ γώνιᾶν περιέχουσι. τὴν νπὸ ΒΔΙ τῆς υπὸ ΒΑΙ. |
Trianguli enim ABT super uno laterum BT, a terminis B, Y, dus recte intus constituantur BA, AT ; dico BA, AT latera reliquis trianguli duobus lateribus BA, AT minora quidem esse, majorem vero angulum continere, ipsum BAT ipso BAT, |
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Διήχθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Ε. |
Producatur enim BA ad E. |
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Καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγὤνου αἱ δύο πλευραἷ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι, τοῦ ΑΒΕ ἄρα τριγώνου αἱ δύο ʼπλευροιἶ 5 αἱ ΑΒ. ΑΕ τῆς ΒῈ μεἵζονἕς εἰσι" κοινὴ προσκείσϑω ἡ ΒΓʼ αἷ ἄρα ΒΑ. ΑΙ τῶν ΒΕ. ἘΓ μείζονες εἶσι. Ἰπάλιν. ἐπεὶ τοῦ ΤῈΔ τρεγῶνου αἱ δύο ττλευροιἷ αἱ ΤῈ. ἘΔ τῆς ΤΔ μείζονές εἶσι. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΔΒ" αἱ ΤῈ. ΕΒ ἄρα τῶν ΤΔ. ΔΒ μείζονές εἰσιν. Αλλὰ τῶν ΒΕ. ἘΓ μείζονες ἐδείχθησαν αʼ ΒΑ. ΑΤ’ πολλῷ ο’ι’ροι αἱ ΒΑ. ΑΓ τῶν ΒΔ9 ΔΙ μείζονές εἶσι. - |
Et quoniam omnis trianguli duo latera reliquo majora sunt, ABE trianguli duo latera AB, AE ipso BE majora sunt. Communis addatur ET ; ergo BA, AFP ipsis BE, ET majores sunt, Rursus, quoniam TʼEA trianguli duo latera TE, EA ipso TʼÀ majora sunt ; communis addatur AB ; ergo ΓE, EB ipsis TA, AB majores. sunt. Sed ipsis BE, ET majores ostense sunt BA, AT ; multo igitur BA, AT ipsis BA, ATʼ majores sunt. |
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Πάλιν. ἐπεὶ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων ἐστί" τοῦυ ΓΔῈ ἐι’Ροι τρηὧνου ἡ ἐκτὺς γωνἵα- ἢ ὑπὸ ΒΔΓ μεἷζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΤΕΔ. Διὰ ταῦτα τοίνυν 3 καὶ τοῦ ΑΒῈ ’τριγὧνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἢ ὑποὸ ΓΕῈΒ μει’ζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΙ. Αλλὰ τῆς ὑπὸ ΤῈΒ μείζων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΒΔΙ" πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μεί- ζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. Ἐὰν ἀρα. καὶ τὰ ἑξῆς. |
Rursus, quoniam omnis trianguli exterior angulus interiore et opposito major est, DlʼAE trianguli exterior angulus BAT major est ipso LlʼEA. Propter eadem utique et ABE trianguli exterior angulus TEB major est ipso BAT. Sed ipso lʼEB major ostensus est BAT ; multo igitur BΔΓ major est ipso BAΓ. Si igitur, etc. |
Si des extrémités d’un des côtés d’un triangle, on construit intérieurement deux droites, ces deux droites seront plus petites que les deux côtés restans du triangle | mais elles comprendront un plus grand angle.
Des extrémités B, Γ du côté BΓ du triangle ABΓ, construisons intérieurement les deux droites BA, δΔΓ ; Je dis que les droites BA, AT sont plus petites que les deux côtés restants BA, AT, et quʼelles comprennent un angle Bar plus grand que l’angle BAΓ. Prolongeons BA vers E.
Puisque deux côtés d’un. triangle quelconque sont plus grands que le côté restant (20) , les deux côtés AB, AE du triangle ABE sont plus grands que le côté BE ; donc si nous ajoutons la droite commune r, les droites BA, Ar seront plus grandes que BE, Er. De plus, puisque les deux côtés TE, EA du triangle TEA sont plus grands que TA, si nous ajoutons la droite commune 48, les droites TE, EB seront plus grandes que TA, AB ; mais on a démontré que les droites BA, AT sont plus grandes que BE, Er ; donc les droites BA, AT sont beaucoup plus grandes que BA, AT.
De plus, puisqu’un angle extérieur d’un triangle quelconque est plus grand quʼun des angles intérieurs et opposés (16) , l’angle BAT, qui est un angle exté- rieur du triangle AET, est plus grand que l’angle TEA. Par la même raison l’angle TEB, qui est un angle extérieur du triangle ABE, est plus grand que l’angle Bar ; mais il a été démontré que l’angle Bar est plus grand que F’angle TEB ; donc lʼangie Bar est beaucoup plus grand que l’angle BAT. Donc, etc.