Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 20

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 84-85).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κ΄.	PROPOSITIO XX.
Παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λο, πῆς μεἰζονές εἶδι. πάντῃ μεταλαμξανόμεναι.	Omnis trianguli duo latera reliquo majora sunt, omnifariam sumta.
Ἑστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ΄ λέγω ὅτι τοῦ ΑΒΓ τρʼγῶνου αἱ δὺο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι. πάντῃ μεταλαμξανομεναι ! . αἱ μὲν ΒΑ. ΑΙ τῆς ΒΓ, αἱ δὲ ΑΒ. ΒΓ τῆς ΑΓ. αἱ δὲ ΒΓ. ΤΑ τῆς ΑΒ.	Sit enim iringulun ABT ; dico ABT trian- guli duo latera reliquo majora esse, omni- fariam sumpta ; 1psa quidem BA, ATʼ ipso BT, lpsa vero AB, BI ipso AT, et ipsa BD, TlʼA Ipso AB.

Διήχθω γὰρ ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον. καὶ κείσθω τή ΤΑ Ισὴ Ἡ ΑΔʼ καὶι επεζευχθω ἢ ΔΙ.	Producatur enim BA ad A punctum, et po- natur ipsi A æqualis AA, et jungatur AT.
Ἐσεῖ ουν Ισὴ ἐστιν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓΓ. ΙσῊ εστι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΙ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ " μει’ζων ἄρα ἡ	Quoniam igitur qualis est. AA. ipsi. AT, æqualis est et angulus AAT ipsi ATA, major
ὑπὸ ΒΓΔ τῆς ὑπὸ ΑΔΙ᾿ καὶ ἐπεὶ ’τρι’γα.νον ἐστι τὸ ΔΙΒ. μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΔΙ, ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ʼ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. ἡ ΔΒ ἄρα τῆς ΒΓ ἐστὶ μείζων, Ἰση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΤ ᾽ μει’ζονες ο’ι’ροι αἱ ΒΑ. ΑΓ τῆς ΒΓ, Ομοίως δὴ δείξομεν ὁτι καὶ αἷ μὲν ΑΒ. ΒΓ τῆς ΤΑ μείζονές εἰσιν" αἱ δὲ ΒΓ. ΤΑ τῆς ΑΒ, ΠὩὰντὸς ἀρα, καὶ τὰ εξπς.	ulique est BTA ipso AAT ; etquoniam triangulum est ATB, majorem habens BTʼA angulumipso BAT, majorem autem angulum majus latus subtendit ; AB igitur 1psá BTʼ est major ; æqualis autem AA ipsi AT ; majores igitur BA, AT ipsá BT. Similiter autem ostendemus et ipsas quidem ABʼ, BIʼ ipsá TA majores esse ; 1psas vero BT, lA ipsá AB. Omnis igitur, etc.

PROPOSITION XX.

Deux côtés d’un triangle quelconque, de quelque manière qu’ils soient pris, sont plus grands que le côté restant.

Soit le triangle ABr ; je dis que deux côtés du triangle ABr, de quelque manière qu’ils soient pris, sont plus grands que le côté restant ; les côtés BA, AT plus grands que Br ; les côtés 4B, Br plus grands que AT, et les côtés Br, rA plus grands que AB.

Prolongeons BA vers Δ, faisons AA égal à TA, et joignons AT.

Puisque ΔA est égal à AΓ, l’angle AΔΓ est égal à l’angle ra (5) ; donc l’angle ΒΓΔ est plus grand que l’angle AaT (not. 9) ; donc, puisque dans le triangle ATB, lʼangle BTA est plus grand que l’angle Bar, et qu’un plus grand côté soutend un plus grand angle (19) , le côté 48 est plus grand que le côté Br ; mais AA est égal à Ar ; donc les côtés BA, Ar sont plus grands que Br. Nous démontrerons semblablement que les côtés AB, Br sont plus grands que TA, et les côtés Br, TA plus grands que AB. Donc, etc.