Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 19

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 83-84).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ι0ʹ.	PROPOSITIO XIX.
Παντος τρίγωνου ὑπὸ τῆν μειζονα γῶώνιαν ἢ μειζων σλευρα υὑποτείνειῖ.	Omnis trianguli majorem angulum majus latus subtendit.
Ἐστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΓΑ" λέγω ὁτι καὶ πλευρᾶ ἢ ΑΤἹ πλευρῶς τῆς ΑΒ μείζων ἐστίν.	Sit triangulum ABP, majorem habens ABT angulum ipso BIA ; dico et latus AT latere AB majus esse.

Εἰ γὰρ μή ἥτοι ἰσὴ ἐστὶν ἡ ΑΤ τῇ ΑΒ. ἥ ἐλασσῶν" Ισ μένουν οὐκ ἐστιν ἡ ΑΤ τῇ ΑΒ" ἐσὴ γαρ ἂν ἣν καὶ γωνια : ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ" ᾿οὐκ ἔστι δὲ" οὐκ ἄρα ἴσῃ ἐστὶν ἡ ΑΤ τῇ ΑΒ, Οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἥ ΑΤ τῇ ΑΒ" ἐλάσσων γαρ ἂν ἥν καὶ γωνίῶ Ἡ ὑπὸ ΑΒΙ τῆς υπὸ ΑΤΒ.	Si enim non ; vel equalis est AT ipsi AB, vel minor ; equalis quidem non est AT ipsi AB, equalis enim esset et angulus ABI ipsi ATB. Non est autem ; non igitur equalis est ATʼ 1psl AB. Neque tamen minor est AT ipsà AB ; minor enim esset et angulus ABI ipso ATB ; non est
Οὐκέστι δὲ οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ΑΤ τῆς ΑΒ. Ἐδείχθη δὲ ὃτι οὐδὲ ἰσὴ ἐστί" μείζων ἄρα ἐστὶν ἼΑΙ τῆς ΑΒ, . ΤΙαντὸς ἀρῶ-. καὶ τὰ ἑξῆς.	autem ; non igitur minor est ATʼ ipsà AB. Os. tensum est autem neque z : qualem esse ; major igitur est AT ipsá AB. Omnis igitur, ctc.

PROPOSITION XIX.

Dans tout triangle, un plus grand côté soutend un plus grand angle.

Soit le triangle ABr, ayant l’angle ABr plus grand que lʼangle BrA ; je dis que le côté Ar est plus 8 grand que le côté AB.

Car si cela n’est point, AT est égal à AB, ou plus petit. Mais AT n’est pas égal à AB, car alors l’angle ABr serait égal à lʼangle ATB (5) ; mais il ne l’est pas ; donc AT n’est pas égal à AB. Le côté AT n’est pas plus petit que le côté 4B, car alors l’angle ABT serait plus petit que l’angle ArB (18) ; mais il ne l’est pas ; donc le côté AT n’est pas plus petit que le côté AB. Mais on a démontré qu’il ne lui est pas égal ; donc Ar est plus grand que 48. Donc, etc.