Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/QUESTIONS PROPOSÉES/Soit un triangle sphérique quelconque ABC, et soit

Soit un triangle sphérique quelconque ABC, et soit…

Annales de mathématiques pures et appliquées, 16, 1826 (p. 132).

QUESTIONS PROPOSÉES.

Théorème de trigonométrie.

Soit un triangle sphérique quelconque $\mathrm {ABC,}$ et soit $\mathrm {P}$ un point de la sphère disposé d’une manière quelconque par rapport à ce triangle. Soient en outre $\mathrm {A',B',C'}$ respectivement, les points où les côtés $\mathrm {BC,CA,AB,}$ sont coupés par les arcs de grands cercles $\mathrm {AP,BP,CP.}$ On propose de démontrer que

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {\left({\frac {\operatorname {Sin} .PA'}{\operatorname {Sin} .AA'}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {Sin} .PB'}{\operatorname {Sin} .BB'}}.{\frac {\operatorname {Sin} .PC'}{\operatorname {Sin} .CC'}}\operatorname {Cos} .BC} \\\\+&\mathrm {\left({\frac {\operatorname {Sin} .PB'}{\operatorname {Sin} .BB'}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {Sin} .PC'}{\operatorname {Sin} .CC'}}.{\frac {\operatorname {Sin} .PA'}{\operatorname {Sin} .AA'}}\operatorname {Cos} .CA} \\\\+&\mathrm {\left({\frac {\operatorname {Sin} .PC'}{\operatorname {Sin} .CC'}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {Sin} .PA'}{\operatorname {Sin} .AA'}}.{\frac {\operatorname {Sin} .PB'}{\operatorname {Sin} .BB'}}\operatorname {Cos} .AB} \end{aligned}}\right\}=1.$